文档内容
07A / B04 平面向量
考情链接
1. 本次任务由两个部分构成
（1）实数与向量相乘
（2）向量的线性运算
2. 考情分析
（1）平面向量的线性运算，属于图形与几何部分，占中考考分值约10%.
（2）平面向量以选择、填空题为主，也会考察学生的作图能力.
（3）对应教材：初三上册，第二十四章：相似三角形，第四节：平面向量的线性运算
（4）平面向量的线性运算是九年级数学上学期第一章第四节的内容．在八年级下学期第三
章第四节“平面向量及其加减运算”中，我们学习了平面向量的相关概念和加减运算的法则，
本节的学习需要建立在此基础上．本讲主要讲解实数与向量相乘，以及向量的线性运算，重
点是平面向量的有关概念及线性运算，难点是在几何图形中对目标向量进行线性表示．
环节 需要时间
作业讲解及复习 15分钟
切片1：实数与向量相乘 20分钟
切片2：向量的线性运算 65分钟
出门测 10分钟
错题整理 10分钟
1知识加油站 1——实数与向量相乘【建议时长：20分钟】
考点一：向量的基本概念
知识笔记 1
平面向量的基本概念
1. 向量：既有__________、又有__________的量；
2. 向量的长度（或向量的模）：向量的大小；
3. 相等的向量：方向___________且长度___________的两个向量；
4. 互为相反向量：方向_________且长度相等的两个向量；
5. 平行向量：方向_____________的两个向量；
6. 零向量：长度为零的向量，记作
2
0 ；
7. 单位向量：长度为1的向量．设 e 为单位向量，则 e = 1 ．
【填空答案】
1. 大小；方向
3. 相同; 相等
4. 相反
5. 相同或相反
例题1:
（1）（★★☆☆☆）（2023•宝山区一模）已知非零向量 a 、 b 、 c ，下列条件中，能判定向
量 a 与向量 b 方向相同的是 ( )
A． a / / c ， b / / c B．|a|=2|b| C．a+b =0 D． a = 3 c , b = 2 c
（2）（★★☆☆☆）（2023•普陀区一模）已知 k 为实数，a是非零向量，下列关于ka的说法
中正确的是( )
A．如果k=0，那么ka=0
B．如果 k 是正整数，那么ka表示 k 个a相加
C．如果k0，那么|ka|=k|a|
D．如果k0，ka与a的方向一定相同（3）（★★☆☆☆）（2023•杨浦区一模）已知一个单位向量e，设
3
m 、n是非零向量，下列
等式中，正确的是 ( )
1
A． m=e B．
|m|
| e | m = m C． | n | e = n D．
|
1
m |
m =
|
1
n |
n
（4）（★★☆☆☆）（2023•奉贤区一模）如果 C 是线段AB的中点，那么下列结论中正确的
是( )
A． A C = B C B． A C / / B C C． A C + B C = 0 D． A B = 2 B C
【常规讲解】
（1）解：对于A选项，由 a / / c , b / / c ，可得 a / / b ，
a 与 b 的方向相同或相反，
故A选项不符合题意；
对于 B 选项， a 与 b 的方向相同或相反，
故B选项不符合题意；
对于 C 选项，由 a + b = 0 ，可得a=−b，
a 与b 的方向相反，
故C选项不符合题意；
对于 D 选项，由 a = 3 c ， b = 2 c ，可得 c =
1
3
a =
1
2
b ，
a与 b 的方向相同，
故 D 选项符合题意．
故选： D ．
（2）解： A ．若 k = 0 ，则ka=0，
故A选项错误，不符合题意；
B ．若 k 是正整数，则 k a 表示 k 个a相加，
故B选项正确，符合题意；
C ．当 k 0 时， | k a |= − k | a | ，
故C选项错误，不符合题意；
D．当k0时，ka与a的方向相反，
故D选项错误，不符合题意．故选：B．
（3）解：
4
A 、得出的是向量 n 的方向不是单位向量，故不符合题意；
B 、符合向量的长度及方向，故符合题意；
C 、由于单位向量只限制长度，不确定方向，故不符合题意；
D 、左边得出的是向量 m 的方向，右边得出的是向量 n 的方向，两者方向不一定相同，故不
符合题意．
故选： B ．
（4）解：由题意得： | A C |= | B C | ，且它们的方向相反，
A C + C B = 0 ， A C / / B C ，
故选： B ．
练习1:【学习框8】
（1）（★★☆☆☆）（2023•松江区一模）已知 a 、 b 为非零向量，下列判断错误的是 ( )
A．如果 a = 2 b ，那么 a / / b
B．如果 a + b = 0 ，那么a=−b
C．如果 | a |= | b | ，那么 a = b 或 a = − b
D．如果 e 为单位向量，且 a = 2 e ，那么 | a |= 2
（2）（★★☆☆☆）（2022•青浦区协和双语期末）已知非零向量 a 、 b ，且有 a = − 2 b ，下列
说法中，不正确的是 ( )
A．|a|=2|b| B． a / / b C．a与 b 方向相同 D． a + 2 b = 0
（3）（★★☆☆☆）（2020•浦东新区期末）已知一个单位向量 e ，设 a 、 b 是非零向量，那
么下列等式中正确的是( )
A．|e|a=a B．|b|e =b C．
|
1
a |
a = e
1 1
D． a= b
|a| |b|
（4）（★★☆☆☆）（2023•崇明区一模）已知 e 为单位向量，向量a与e方向相反，且其模
为|e|的4倍；向量b 与e方向相同，且其模为|e|的2倍，则下列等式中成立的是( )
1 1
A．a=2b B．a=−2b C．a= b D．a=− b
2 2
【常规讲解】（1）解：A、如果
5
a = 2 b ，那么两向量是共线向量，则 a / / b ，故本选项不符合题意．
B 、如果 a + b = 0 ，那么两向量为共线向量，则a=−b，故本选项不符合题意．
C、|a|=|b|，只能说明两个向量的模相等，无法判定方向，故本选项符合题意．
D 、根据向量模的定义知， | a |= 2 | e |= 2 ，故本选项不符合题意．
故选：C．
（2）解： 非零向量a、b ，且有 a = − 2 b ，
|a|=2|b|， a / / b ， a 与 b 方向相反， a + 2 b = 0 ，
故A， B ，C正确， D 错误，
故选： D ．
（3）解： A 、|e|a=a计算正确，故本选项符合题意．
B 、 | b | e 与 b 的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意．
C 、
|
1
a |
a 与 e 的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意．
D 、
|
1
a |
a 与
|
1
b |
b 的模相等，方向不一定相同，故错误．
故选： A ．
（4）解：根据题意知， a = − 4 e ， b = 2 e ．则 a = − 2 b ，观察选项，只有选项 B 符合题意．
故选： B ．考点二：向量的计算法则
知识笔记2
1. 平面向量的加减法则
（1） 几个向量相加的多边形法则；
（2） 向量减法的___________法则；
（3） 向量加法的___________法则．
2. 实数与向量相乘的运算律
设m、n为实数，则
（1）______________________；
（2）______________________；
（3）______________________．
【填空答案】
1.（2）三角形；（3） 平行四边形
2.（1）
6
m ( n a ) = ( m n ) a ；
（2） ( m + n ) a = m a + n a ；
（3） m
(
a + b
)
= m a + m b ．
例题2:
（1）（★☆☆☆☆）（2023•宝山区一模）计算：2(a−b)−3(a+b)=_________．
（2）（★☆☆☆☆）（2023•徐汇区一模）计算： 2 ( a − b ) −
1
3
( 3 a − b ) = _________．
（3）（★☆☆☆☆）（2022•嘉定区新城实验期末）如果向量 a 、 b 、 x 满足关系式a−(x−2b)=b ，
那么 x = _________（用向量 a 、b 表示）．
【常规讲解】
（1）解： 2 ( a − b ) − 3 ( a + b )
=2a−2b−3a−3b
=−a−5b．
故答案为：−a−5b．（2）解：
7
2 ( a − b ) −
1
3
( 3 a − b )
= 2 a − 2 b − a +
1
3
b
= a −
5
3
b ．
故答案为： a −
5
3
b ．
（3）解： a − ( x − 2 b ) = b ，
a − x + 2 b − b = 0 ，
a−x+b =0，
x = a + b ．
故答案是：a+b ．
练习2:【学习框10】
（1）（★☆☆☆☆）（2023•虹口区一模）计算： 2 b −
1
2
( 6 a − 2 b ) = _________．
（2）（★☆☆☆☆）（2023•崇明区一模）计算： 5 a − 3 ( 2 a − b ) = _________．
（3）（★☆☆☆☆）（2021•青浦区毓秀中学期中）如果向量a,b,x满足关系式 4 a − ( b − 2 x ) = 0 ，
那么 x = _________．（用向量 a , b 表示）
【常规讲解】
1
（1）解：2b− (6a−2b)
2
=2b−3a+b
=b−3a．
故答案为： b − 3 a ．
（2）解： 5 a − 3 ( 2 a − b )
=5a−6a+3b
= − a + 3 b ．
故答案为：−a+3b．
（3）解：4a−(b−2x)=0，
4a−b+2x=0，
2 x = 4 a + b ，
1
x=−2a+ b，
2故答案为：
8
− 2 a +
1
2
b ．
知识加油站 2 向量的线性运算【推荐时长 65分钟】
考点三：向量的线性运算
知识笔记3
1、向量的线性运算
向量____________、____________、____________以及它们的混合运算．
2、向量的合成与分解
如果a、b是两个不平行的向量， c = m a + n b （m、n 是实数），那么____________就是向
量ma与 n b 的合成；也可以说向量c分解为 m a 、 n b 两个向量，这时，向量ma与 n b 是向量
c分别在a、b方向上的分向量， m a + n b 是向量c关于a、b的分解式．
注：平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解．
【教学建议】建议老师可以通过自己画图，对已知向量进行分解，帮助学生直观理解向量的
分解过程及分解式的概念。
例： A C 是 A D 向量在AE方向上的分向量
A B 是 A D 向量在AF方向上的分向量
【填空答案】
1、加法、减法、实数与向量相乘
A
C
E
B
D
F2、向量
9
c
例题3:
（1）（★★★☆☆）（2022•青浦区6月适应性模拟）如图，在平行四边形 A B C D 中，延长 B C
至点 E ，使 C E = 2 B C ，联结 D E ，设 A B = a ， A D = b ，那么 D E 可表示为 ( )
A． a + 2 b B． a − 2 b C． − a + 2 b D．−a−2b
（2）（★★★☆☆）（2022•浦东新区洋泾菊园实验期中）如图，平行四边形 A B C D 中， E 是
边AB的中点，联结CE、DE，设 A B = a ， A D = b ，那么下列向量中，可表示为
1
2
a + b 的
是( )
A． E C B． C E C． E D D． D E
（3）（★★★☆☆）（2023•虹口区一模）如图，在 A B C 中，点 D 在边AC上，已知 A B D
和BCD的面积比是 1 : 2 ，AB=a， D B = b ，那么用向量a、 b 表示向量 A C 为__________．
（4）（★★★☆☆）（2023•金山区一模）如图，AB与CD相交于点 E ， A C / / B D ，联结BC，
若AE=2，BE=3，设 A C = a ， E D = b ，那么 B C = __________（用含a、 b 的式子表示）．【常规讲解】
（1）解： 四边形
10
A B C D 为平行四边形，
A D = B C ，AB=CD，
B C = b ， D C = a ，
C E = 2 B C ，
C E = 2 b ，
DE=DC+CE=a+2b．
故选： A ．
（2）解：在平行四边形 A B C D 中， A D = B C ．
A D = b ，
B C = A D = b ．
E 是边 A B 的中点， A B = a ，
A E = E B =
1
2
a ．
1
2
a + b = E B + B C = E C ．
故选： A ．
（3）解： A B D 和 B C D 的面积比是 1 : 2 ，
AD:DC=1:2，
A D =
1
3
A C ，
A D =
1
3
A C ，
B D = B A + A D ，DB=b，
− b = − a +
1
3
A C ，
AC=3a−3b，
故答案为：3a−3b，
（4）解： AC//BD，AE=2，BE=3，
AC AE 2 EC AE 2
= = ， = = ，
BD BE 3 ED BE 3
3 2
BD= AC，EC= ED，
2 311
A C = a ，
D B =
3
2
A C =
3
2
a ，
E D = b ，
E C = −
2
3
b ，
E B = E D + D B = b +
3
2
a ，
B C = E C − E B = −
2
3
b − ( b +
3
2
a ) = −
5
3
b −
3
2
a ．
故答案为： −
3
2
a −
5
3
b ．
练习3:【学习框12】
（1）（★★★☆☆）（2023•嘉定区期末）如图，在 A B C 中，点 D 是边 B C 的中点， A B = a ，
A C = b ，那么 A D 等于( )
A． A D =
1
2
a −
1
2
b B． A D = −
1
2
a +
1
2
b C． A D = −
1
2
a −
1
2
b D． A D =
1
2
a +
1
2
b
（2）（★★★☆☆）（2023•徐汇区期末）如图，已知平行四边形 A B C D 的对角线 A C 和 B D
交于点 O ，设 O A = a ， O B = b ，那么向量OC、 O D 、 A B 、 B C 关于 a 、 b 的分解式中，下
列结论正确的是 ( )
A．OC =a B．OD=−b C． A B = a − b D． B C = a + b（3）（★★★☆☆）（2023•松江区期末）如图，梯形
12
A B C D 中，AB//CD，且
A
C
B
D
=
4
3
，若
A B = m ， A D = n ．请用 m ， n 来表示 A C = ．
【常规讲解】
（1）解：如图，延长 A D 到点 E ，使 A D = D E ，连接 B E 、 C E ，
点 D 是边 B C 的中点，
B D = C D ，
在ADC与 E D B 中，
A
C
D
A
D
=
D
=
C
D
B
E
=
D
E D B ，
A D C E D B ( S A S ) ，
B E = A C ，
A E = A B + B E ，
A D =
1
2
( A B + B E ) =
1
2
( a + b ) ，
故选： D ．
（2）解： 平行四边形 A B C D 的对角线 A C 和 B D 交于点 O ， O A = a ， O B = b ，
O C = − a ，
O D = − b ，
AB=OB−OA=b−a，
BC =OC−OB=−a−(−b)=b−a，
故选项 A 、C、 D 错误，选项 B 正确，
故选：B．
AB 4
（3）解： AB//CD， = ，AB=m，
CD 313
D C =
3
4
m ，
A C = A D + D C = n +
3
4
m ．
3
故答案为：n+ m．
4
例题4:
（1）（★★★☆☆）（2023•普陀区一模）如图，已知梯形 A B C D 中， A D / / B C ，E是 B C 上
一点， A E / / C D ， A E 、 B D 相交于点F ， E F : C D = 1 : 3 ．
BE
① 求 的值；
AD
② 联结 F C ，设 A B = a ， F E = b ，那么 B F = __________， F C = __________
.
（用向量 a 、
b 表示）
（2）（★★★☆☆）（2023•杨浦区一模）如图，已知ABC中，点 D 、 E 分别在边AB和 A C
上， D E / / B C ，且 D E 经过 A B C 的重心 G ．
① 设 B C = a ， D E = __________（用向量 a 表示）；
② 如果 A C D = B ， A B = 9 ，求边 A C 的长．
【常规讲解】
（1）① 解： AD//BC， A E / / C D ，
四边形AECD为平行四边形，
AE=CD，
EF:CD=1:3，EF:AE=1:3，EF:AF =1:2，
14
A D / / B C ，
BEF∽DAF，
B
A
E
D
=
E
A
F
F
=
1
2
；
② 联结 F C ，如图，
由（1）可得 A F = 2 E F ，
F E = b ，
A F = 2 b ， A E = 3 b ，
BF = AF−AB=2b −a ，
B E = A E − A B = 3 b − a ，
B
A
E
D
=
1
2
，AD=EC，
E C = 2 ( 3 b − a ) = 6 b − 2 a ，
B C = B E + E C = 3 b − a + 6 b − 2 a = 9 b − 3 a ，
F C = B C − B F = 9 b − 3 a − 2 b + a = 7 b − 2 a ．
故答案为： 2 b − a ， 7 b − 2 a ．
（2）解：① 连接AG并延长交BC于 M ，如图：
G 是 A B C 的重心，
A G = 2 M G ，
AG 2
= ，
AM 3
D E / / B C ，
A D G ∽ A B M ， A D E ∽ A B C ，
AG AD DE 2
= = = ，
AM AB BC 3
2
DE= BC，
3
BC =a， D E / / B C ，
D E =
2
3
a ；
2
故答案为： a；
3
AD 2
② AB=9，由（1）知 = ，
AB 3AD=6，
15
A = A ， A C D = B ，
A C D ∽ A B C ，
A
A
C
B
=
A
A
D
C
，即 A C 2 = A B A D ，
A C 2 = 9 6 ，
解得 A C = 3 6 （负值已舍去），
边 A C 的长为 3 6 ．
练习4:【学习框14】
（1）（★★★☆☆）（2023•奉贤区一模）如图，在 A B C 中，点 D 在边BC上， B D = A B =
1
2
B C ，
E 是BD的中点．
① 求证： B A E = C ；
② 设 A B = a ， A D = b ，用向量 a 、 b 表示向量 A C ．
（2）（★★★☆☆）（2020•杨浦区期末）如图，已知在 A B C 中，点D、E分别在边 A B 、
A C 上，DE//BC，点 M 为边BC上一点， B M =
1
3
B C ，联结AM 交 D E 于点 N ．
DN
① 求 的值；
NE
AD 2
② 设AB=a，AM =b，如果 = ，请用向量a 、b 表示向量
DB 3
N E ．
【常规讲解】（1）①证明：
16
B D = A B =
1
2
B C ， E 是 B D 的中点，
B E =
1
2
B D ，
A
B
B
C
=
1
2
，
B
A
E
B
=
1
2
A
B
B
D
=
1
2
，
又 A B E = C B A ，
A B E ∽ C B A ，
B A E = C ；
② 解： A B = a ， A D = b ，
BD= AD−AB=b−a，
1
BD= AB= BC，
2
B D = D C ，
D C = B D = b − a ，
A C = A D + D C = b + b − a = 2 b − a ．
（2）①解： B M =
1
3
B C ，
B
M
M
C
=
1
2
．
D E / / B C ，
D
B
N
M
=
N
M
E
C
，
D
N
N
E
=
B
M
M
C
=
1
2
．
即：
D
N
N
E
的值是
1
2
；
②解： A B = a ， A M = b ，
B M = A M − A B = b − a ．
D E / / B C
AD 2
， = ，
DB 3
A
A
D
B
=
D
B
N
M
=
2
5
．
2
DN = BM ．
5
DN 1
由①知， = ，则NE=2DN．
NE 217
N E = 2 D N = 2
2
5
B M =
4
5
b −
4
5
a ．
考点四：向量的作图
例题5:
（1）（★★★★☆）（2021•杨浦区十五中月考）如图，已知在 A B C 中， A B = a ， A C = b ，
点 D 是边 B C
BD 2
上的一点， = ．
CD 3
① 试用a和 b 表示 C D ，即 = ________；
② 在图中分别作出向量 A D 在 a 、 b 方向上的分向量，并分别用 a 、 b 表示．（写出结论，
不要求写作法）
（2）（★★★★☆）（2023•崇明区一模）在梯形 A B C D 中，AD//BC，且 B C = 3 A D ．过点
A作 A E / / D C ，分别交 B C ， B D 于点E、F ，若 A B = a ，BC =b ．
① 用 a 、 b 表示 B D 和 A F ；
② 求作 B F 在a、 b 方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图
中表示结论的分向量）
【教学建议】分向量的作图是学生考试弱点，建议老师重点进行讲解。
【常规讲解】
（1）解：① CB=CA+AB， A B = a ， A C = b ，
CB=a−b，
BD:CD=2:3，18
C D =
3
5
C B ，
C D =
3
5
a −
3
5
b ．
故答案为：
3
5
a −
3
5
b ；
② 如图，AM ， A N 即为所求．
D M / / C ，DN //AB，
四边形 A M D N 是平行四边形，
AM =DN ，AN =DM ，
D
A
N
B
=
C
C
D
B
=
3
5
，
D
A
M
C
=
B
C
D
B
=
2
5
，
D N =
3
5
A B ， D M =
2
5
A C ，
A M =
3
5
a ， A N =
2
5
b ．
（2）解：① A D / / B C ， B C = b ， B C = 3 A D ，
A D =
1
3
b ，
B D = B A + A D = − a +
1
3
b ，
A D / / E C ， A E / / C D ，
四边形 A E C D 是平行四边形，
A D = E C ，
B E = 2 E C ，
2
BE= b，
3
A E = A B + B E = a +
2
3
b ，
AD//BE，
AF AD 1
= = ，
FE BE 2
1
AF = AE，
3
1 2
AF = a+ b；
3 9
② 如图，BN ，BM 即为所求．【拓展练习1】→全真战场关卡二练习5（巩固向量的表示）
【拓展练习2】→全真战场关卡二练习6（巩固分向量的作法）
【拓展练习3】→全真战场关卡二练习7（向量的新定义，介绍高中向量坐标的概念，自招
需求学生可以简单了解）
练习5:【学习框16】
（★★★★☆）（2022•奉贤区六校联考期中）如图，在
19
A B C 中，点 D 、 E 分别在边AB、
A C 上， A C = 3 C E ， A D = 2 B D ，已知 B A = a ， B C = b ．
（1）用向量 a 、b分别表示向量 B E 、 A E ；
（2）作出向量 D C 分别在 D A 、 B C 方向上的分向量（写出结论，不要求写作法）．
【常规讲解】
解：（1） A C = A B + B C ，
AC=−a+b，
AC=3CE，
A E =
2
3
A C ，
A E = −
2
3
a +
2
3
b ，
BE=BA+AE，
2 2 1 2
BE=a− a+ b = a+ b ；
3 3 3 3（2）
20
A C = 3 C E ， A D = 2 B D ，
A
A
D
B
=
A
A
E
C
，
D E / / B C ，
过点 C 作 C T / / A B 交 D E 的延长线于点 T ， D B ， D T 即为所求．全真战场
教师可以根据课堂节奏将“全真战场”作为课堂补．充．练习或课后补．充．练习让学生的完成
关卡一
练习1:
（1）（★★☆☆☆）（2020•虹口区期末）如果向量
21
a 和 b 是单位向量，那么下列等式中，成
立的是 ( )
A． a = b B． | a |= | b | C． a + b = 2 D． a − b = 0
（2）（★★★☆☆）（2020•奉贤区期末）已知 a 、 b 和c都是非零向量，下列结论中不能确
定a//b的是( )
A． | a |= | b | B． 2 a = 3 b C． a / / c ，c//b D． a =
1
2
c ，b =3c
【常规讲解】
（1）解： A 、向量 a 与 b 方向相同时，该等式才成立，故本选项不符合题意．
B 、由题意知， | a |= | b | ，故本选项符合题意．
C 、当向量 a 与 b 方向相反时， a + b = 0 ，故本选项不符合题意．
D 、当向量 a 与 b 方向相同时， a − b = 0 ，故本选项不符合题意．
故选： B ．
（2）解： A 、由 | a |= | b | 只能推知 a 与 b 的模相等，无法推知这两个向量的方向，无法确定
a / / b ，故本选项符合题意．
B 、由 2 a = 3 b 可以确定 a 与 b 的方向相同，可以确定 a / / b ，故本选项不符合题意．
C 、由 a / / c ， c / / b 可以确定 a 、b 和 c 的方向相同，则确定 a 与b 的方向相同，可以确定
a / / b ，故本选项不符合题意．
D
1
、由a= c ，
2
b = 3 c 可以确定 a 、 b 和 c 的方向相同，则确定 a 与 b 的方向相同，可以确
定 a / / b ，故本选项不符合题意．
故选： A ．练习2:
（1）（★☆☆☆☆）（2020•崇明区期末）计算：
22
2 ( a − 2 b ) + 3 ( 2 a + b ) = _____________．
（2）（★☆☆☆☆）（2020•长宁区期末）计算：
1
2
( 2 a − b ) + b = ______________．
（3）（★☆☆☆☆）（2020•嘉定区期末）已知向量关系式 2 a + 6 ( b − x ) = 0 ，那么向量 x =
______________（用向量 a 与向量 b 表示）．
【常规讲解】
（1）解：原式 = 2 a − 4 b + 6 a + 3 b = 8 a − b ．
故答案是： 8 a − b ．
（2）解：原式 = a −
1
2
b + b = a +
1
2
b ．
故答案是： a +
1
2
b ．
（3）解： 2 a + 6 ( b − x ) = 0 ，
x =
1
3
a + b ，
故答案为：
1
3
a + b ．
练习3:
（★★☆☆☆）（2022•嘉定区期中）如图，已知点 G 是 A B C 的重心，联结 A G 、 B G 、 C G ，
延长 B G 交 A C 于点 D ，设 A G = a ， D G = b ，分别用 a 、 表示向量 、 b AC B C ．
【常规讲解】
解： ， ，
AG=a DG=b
AD=a−b，
AD=CD，
DC= AD=a−b，AC=2AD=2a−2b ，点
23
G 是 A B C 的重心，
BD=3DG，
D B = 3 D G = 3 b ，
B C = D C − D B = a − b − 3 b = a − 4 b ．
练习4:
（★★★☆☆）（2021•长宁区期末）如图，在梯形 A B C D 中，AB//CD，且 A B : C D = 3 : 2 ，
点E是边 C D 的中点，联结 B E 交对角线 A C 于点 F ，若 A B = m ，AD=n．
（1）用m、n表示AC、AF ；
（2）求作 B F 在 B A 、 B C 方向上的分向量．
（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）
【常规讲解】解：（1） A B : C D = 3 : 2 ，
C D =
2
3
A B ，
D C =
2
3
m ，
A C = A D + D C = n +
2
3
m ，
D E = E C ， C E / / A B ，
C
A
F
F
=
E
A
C
B
=
1
3
，
A F =
3
4
A C ，
3 2 3 1
AF = (n+ m)= n+ m．
4 3 4 2
（2）如图， B F 在BA、BC方向上的分向量分别为BP， B Q ．关卡二
练习5:
（★★★★☆）如图已知点
24
M 是 A B C 边 B C 上一点，设 A B = a ， A C = b
BM
（1）当 =2时，
MC
A M = _____________；（用 a 与 b 表示）
（2）当
B
M
M
C
= m ( m 0 ) 时， A M = _____________；（用 a 、 b 与m表示）
（3）当 A M =
4
7
a +
3
7
b 时，
B
M
M
C
= _____________．
【常规讲解】解：（1） A B = a ，AC =b，
B C = A C − A B = b − a ，
B
M
M
C
= 2 ，
B M =
2
3
B C =
2
3
( b − a ) =
2
3
b −
2
3
a ，
A M = A B + B M = a + (
2
3
b −
2
3
a ) =
1
3
a +
2
3
b ；
（2） A B = a ， A C = b ，
B C = A C − A B = b − a ，
B
M
M
C
= m ，
B M =
m
m
+ 1
B C =
m
m
+ 1
( b − a ) =
m
m
+ 1
b −
m
m
+ 1
a ，
m m 1 m
AM = AB+BM =a+( b− a)= a+ b；
m+1 m+1 m+1 m+1
4 3
（3） AM = a+ b，
7 725
m
1
+ 1
=
4
7
，
解得： m =
3
4
，
B
M
M
C
=
3
4
．
故答案为：（1）
1
3
a +
2
3
b ；（2）
m
1
+ 1
a +
m
m
+ 1
b ；（3）
3
4
．
练习6:
（★★★★☆）（2021•闵行区一模）如图， A D ， B E 是 A B C 的中线，交于点 G ，且
A B = a ，BC =b ．
（1）直接写出向量 A G 关于 a 、b 的分解式，AG=_________；
（2）在图中画出向量 B G 在向量 a 和 b 方向上的分向量．
（不要求写作法，但要保留作图痕迹，井写明结论）
【常规讲解】解：（1）如图，过点 G 作 G T / / B C 交AB于点T．
A D ， B E 是ABC的中线，交于点 G ，
A G = 2 G D ，
G T / / D B ，
T
B
G
D
=
A
A
G
B
=
A
A
T
B
，
A T =
2
3
A B =
2
3
a ， T G =
2
3
B D =
1
3
B C =
1
3
b ，
2 1
AG= AT +TG= a+ b．
3 3
故答案为：
2
3
a +
1
3
b ．
（2）向量BG在向量a和b 方向上的分向量分别是：BT ，BM ．练习7:
（★★★★★）如图，
26
A 、 B 两点的坐标分别是 ( 8 , 0 ) 、 ( 0 , 6 ) ，点 P 由点 B 出发沿 B A 方向
向点 A 做匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点 Q 由 A 出发沿 A O ( O 为坐标原点）
方向向点 O 做匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接 P Q ，若设运动时间为
t ( 0 t
1 0
3
) 秒．解答如下问题：
（1）当 t 为何值时，PQ//BO？
（2）设 A Q P 的面积为 S ，
① 求 S 与 t 之间的函数关系式，并求出 S 的最大值；
② 若我们规定：点 P 、Q的坐标分别为(x ，
1
y
1
) ，(x ，
2
y
2
) ，则新坐标(x −x ，
2 1
y
2
− y
1
)
称为“向量 P Q ”的坐标．当S取最大值时，求“向量 P Q ”的坐标．
【教学建议】向量坐标概念属于高中知识，后期目标自招的学生可以做简单了解。
【常规讲解】解：（1） A 、 B 两点的坐标分别是 ( 8 , 0 ) 、 ( 0 , 6 ) ，则OB=6， O A = 8 ，
A B = O B 2 + O A 2 = 6 2 + 8 2 = 1 0 ．
如图①，当 P Q / / B O 时，AQ=2t， B P = 3 t ，则AP=10−3t ．
PQ//BO，
A
A
P
B
=
A
A
Q
O
10−3t 2t
，即 = ，
10 8
20
解得t= ，
11
20
当t= 秒时，PQ//BO．
11（2）由（1）知：
27
O A = 8 ， O B = 6 ，AB=10．
①如图②所示，过点 P 作 P D ⊥ x 轴于点 D ，则 P D / / B O ，
A
A
P
B
=
P
O
D
B
，即
1 0
1
−
0
3 t
=
P D
6
，解得 P D = 6 −
9
5
t ．
S =
1
2
A Q P D =
1
2
2 t ( 6 −
9
5
t ) = 6 t −
9
5
t 2 = −
9
5
( t −
5
3
) 2 + 5 ，
S 与 t
9 5 10
之间的函数关系式为：S =− (t− )2 +5(0t )，
5 3 3
当 t =
5
3
秒时， S 取得最大值，最大值为5（平方单位）．
②如图②所示，当 S 取最大值时， t =
5
3
，
P D = 6 −
9
5
t = 3 ，
P D =
1
2
B O ，
又 P D / / B O ，
此时 P D 为 O A B 的中位线，则 O D =
1
2
O A = 4 ，
P ( 4 , 3 ) ．
10
又 AQ=2t = ，
3
O Q = O A − A Q =
1 4
3
， Q (
1 4
3
， 0 ) ．
依题意，“向量 P Q ”的坐标为 (
1 4
3
− 4 ， 0 − 3 ) ，即 (
2
3
， − 3 ) ．
当 S 取最大值时，“向量 P Q ”的坐标为 (
2
3
， − 3 ) ．
