文档内容
07A / B04 平面向量
考情链接
1. 本次任务由两个部分构成
（1）实数与向量相乘
（2）向量的线性运算
2. 考情分析
（1）平面向量的线性运算，属于图形与几何部分，占中考考分值约10%.
（2）平面向量以选择、填空题为主，也会考察学生的作图能力.
（3）对应教材：初三上册，第二十四章：相似三角形，第四节：平面向量的线性运算
（4）平面向量的线性运算是九年级数学上学期第一章第四节的内容．在八年级下学期第三
章第四节“平面向量及其加减运算”中，我们学习了平面向量的相关概念和加减运算的法则，
本节的学习需要建立在此基础上．本讲主要讲解实数与向量相乘，以及向量的线性运算，重
点是平面向量的有关概念及线性运算，难点是在几何图形中对目标向量进行线性表示．
1知识加油站 1——实数与向量相乘
考点一：向量的基本概念
知识笔记 1
平面向量的基本概念
1. 向量：既有__________、又有__________的量；
2. 向量的长度（或向量的模）：向量的大小；
3. 相等的向量：方向___________且长度___________的两个向量；
4. 互为相反向量：方向_________且长度相等的两个向量；
5. 平行向量：方向_____________的两个向量；
6. 零向量：长度为零的向量，记作
2
0 ；
7. 单位向量：长度为1的向量．设 e 为单位向量，则 e = 1 ．
例题1:
（1）（2023•宝山区一模）已知非零向量 a 、 b 、 c ，下列条件中，能判定向量 a 与向量 b 方
向相同的是 ( )
A． a / / c ， b / / c B． | a |= 2 | b | C． a + b = 0 D． a = 3 c , b = 2 c
（2）（2023•普陀区一模）已知 k 为实数， a 是非零向量，下列关于 k a 说法中正确的是 ( )
A．如果 k = 0 ，那么 k a = 0
B．如果 k 是正整数，那么 k a 表示 k 个 a 相加
C．如果 k 0 ，那么 | k a |= k | a |
D．如果 k 0 ， k a 与 a 的方向一定相同
（3）（2023•杨浦区一模）已知一个单位向量 e ，设m、 n 是非零向量，下列等式中，正确的
是 ( )
1 1 1
A． m=e B．|e|m=m C．|n|e=n D． m= n
|m| |m| |n|
（4）（2023•奉贤区一模）如果C是线段AB的中点，那么下列结论中正确的是( )
A．AC=BC B．AC//BC C．AC+BC=0 D．AB=2BC练习1:
（1）（2023•松江区一模）已知
3
a 、 b 为非零向量，下列判断错误的是 ( )
A．如果 a = 2 b ，那么 a / / b
B．如果 a + b = 0 ，那么 a = − b
C．如果 | a |= | b | ，那么 a = b 或 a = − b
D．如果 e 为单位向量，且 a = 2 e ，那么 | a |= 2
（2）（2022•青浦区协和双语期末）已知非零向量 a 、 b ，且有 a = − 2 b ，下列说法中，不正
确的是 ( )
A．|a|=2|b| B．a//b C．a与b 方向相同 D．a+2b =0
（3）（2020•浦东新区期末）已知一个单位向量 e ，设 a 、 b 是非零向量，那么下列等式中
正确的是 ( )
A． | e | a = a B． | b | e = b C．
|
1
a |
a = e D．
|
1
a |
a =
|
1
b |
b
（4）（2023•崇明区一模）已知 e 为单位向量，向量 a 与 e 方向相反，且其模为|e|的 4 倍；
向量 b 与 e 方向相同，且其模为 | e | 的2倍，则下列等式中成立的是 ( )
A． a = 2 b B．a=−2b C． a =
1
2
b D． a = −
1
2
b考点二：向量的计算法则
知识笔记2
1. 平面向量的加减法则
（1） 几个向量相加的多边形法则；
（2） 向量减法的___________法则；
（3） 向量加法的___________法则．
2. 实数与向量相乘的运算律
设m、n为实数，则
（1）______________________；
（2）______________________；
（3）______________________．
例题2:
（1）（2023•宝山区一模）计算：
4
2 ( a − b ) − 3 ( a + b ) = _________．
（2）（2023•徐汇区一模）计算： 2 ( a − b ) −
1
3
( 3 a − b ) = _________．
（3）（2022•嘉定区新城实验期末）如果向量 a 、 b 、 x 满足关系式a−(x−2b)=b ，那么
x = _________（用向量 a 、b 表示）．
练习2:
（1）（2023•虹口区一模）计算： 2 b −
1
2
( 6 a − 2 b ) = _________．
（2）（2023•崇明区一模）计算：5a−3(2a−b)=_________．
（3）（2021•青浦区毓秀中学期中）如果向量a,b,x满足关系式4a−(b−2x)=0，那么 x =
_________．（用向量a,b表示）知识加油站 2 向量的线性运算
考点三：向量的线性运算
知识笔记3
1、向量的线性运算
向量____________、____________、____________以及它们的混合运算．
2、向量的合成与分解
如果
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a 、 b 是两个不平行的向量， c = m a + n b （m、n 是实数），那么____________就是向
量 m a 与 n b 的合成；也可以说向量 c 分解为 m a 、 n b 两个向量，这时，向量 m a 与 n b 是向量
c 分别在 a 、 b 方向上的分向量， m a + n b 是向量 c 关于 a 、 b 的分解式．
注：平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解．
例题3:
（1）（2022•青浦区6月适应性模拟）如图，在平行四边形 A B C D 中，延长 B C 至点 E ，使
CE=2BC，联结 D E ，设AB=a， A D = b ，那么DE可表示为( )
A． a + 2 b B． a − 2 b C．−a+2b D．−a−2b
（2）（2022•浦东新区洋泾菊园实验期中）如图，平行四边形 A B C D 中，E是边 A B 的中点，
联结 C E 、 D E ，设AB=a， A D = b ，那么下列向量中，可表示为
1
2
a + b 的是( )
A．EC B．CE C． E D D． D E（3）（2023•虹口区一模）如图，在ABC中，点D在边AC上，已知ABD和BCD的面
积比是
6
1 : 2 ，AB=a，DB=b，那么用向量 a 、 b 表示向量AC为__________．
（4）（2023•金山区一模）如图，AB与CD相交于点E，AC//BD，联结BC，若AE=2，
B E = 3 ，设AC =a，ED=b，那么BC =__________（用含 a 、b 的式子表示）．
练习3:
（1）（2023•嘉定区期末）如图，在 A B C 中，点 D 是边 B C 的中点，AB=a， A C = b ，那
么AD等于 ( )
A． A D =
1
2
a −
1
2
b B． A D = −
1
2
a +
1
2
b
1 1
C．AD=− a− b D．
2 2
A D =
1
2
a +
1
2
b
（2）（2023•徐汇区期末）如图，已知平行四边形 A B C D 的对角线 A C 和 B D 交于点 O ，设
O A = a ， O B = b ，那么向量OC、 O D 、AB、 B C 关于 a 、b 的分解式中，下列结论正确的
是 ( )
A．OC =a B． O D = − b C．AB=a−b D． B C = a + b（3）（2023•松江区期末）如图，梯形
7
A B C D 中，AB//CD，且
A
C
B
D
=
4
3
，若AB=m，AD=n．请
用m， n 来表示AC= ．
例题4:
（1）（2023•普陀区一模）如图，已知梯形ABCD中，AD//BC，E是BC上一点，AE//CD，
A E 、 B D 相交于点 F ， E F : C D = 1 : 3 ．
BE
① 求 的值；
AD
② 联结 F C ，设 A B = a ， F E = b ，那么 B F = __________， F C = __________
.
（用向量 a 、
b 表示）
（2）（2023•杨浦区一模）如图，已知 A B C 中，点D、 E 分别在边AB和 A C 上， D E / / B C ，
且 D E 经过 A B C 的重心 G ．
① 设 B C = a ， D E = __________（用向量 a 表示）；
② 如果 A C D = B ，AB=9，求边 A C 的长．练习4:
（1）（2023•奉贤区一模）如图，在
8
A B C 中，点 D 在边BC上， B D = A B =
1
2
B C ， E 是 B D
的中点．
① 求证： B A E = C ；
② 设 A B = a ， A D = b ，用向量 a 、 b 表示向量 A C ．
（2）（2020•杨浦区期末）如图，已知在 A B C 中，点 D 、 E 分别在边 A B 、AC 上， D E / / B C ，
点M为边 B C 上一点， B M =
1
3
B C ，联结 A M 交 D E 于点 N ．
① 求
D
N
N
E
的值；
② 设 A B = a ， A M = b ，如果
A
D
D
B
=
2
3
，请用向量 a 、 b 表示向量 N E ．考点四：向量的作图
例题5:
（1）（2021•杨浦区十五中月考）如图，已知在
9
A B C 中， A B = a ， A C = b ，点 D 是边 B C
上的一点，
B
C
D
D
=
2
3
．
① 试用 a 和 b 表示 C D ，即 = ________；
② 在图中分别作出向量 A D 在 a 、 b 方向上的分向量，并分别用 a 、 b 表示．（写出结论，
不要求写作法）
（2）（2023•崇明区一模）在梯形 A B C D 中， A D / / B C ，且 B C = 3 A D ．过点 A 作 A E / / D C ，
分别交 B C ， B D 于点 E 、 F ，若 A B = a ， B C = b ．
① 用 a 、 b 表示 B D 和 A F ；
② 求作 B F 在 a 、b 方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图
中表示结论的分向量）练习3:
（2022•奉贤区六校联考期中）如图，在
10
A B C 中，点 D 、 E 分别在边 A B 、 A C 上， A C = 3 C E ，
AD=2BD，已知BA=a， B C = b ．
（1）用向量 a 、 b 分别表示向量 B E 、AE；
（2）作出向量 D C 分别在 D A 、 B C 方向上的分向量（写出结论，不要求写作法）．全真战场
关卡一
练习1:
（1）（2020•虹口区期末）如果向量
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a 和 b 是单位向量，那么下列等式中，成立的是 ( )
A．a=b B． | a |= | b | C．a+b =2 D．a−b =0
（2）（2020•奉贤区期末）已知 a 、 b 和 c 都是非零向量，下列结论中不能确定 a / / b 是 (
)
A． | a |= | b | B．2a=3b C． a / / c ，c//b D． a =
1
2
c ， b = 3 c
练习2:
（1）（2020•崇明区期末）计算：2(a−2b)+3(2a+b)=_____________．
（2）（2020•长宁区期末）计算：
1
2
( 2 a − b ) + b = ______________．
（3）（2020•嘉定区期末）已知向量关系式 2 a + 6 ( b − x ) = 0 ，那么向量 x = ______________
（用向量a 与向量b 表示）．
练习3:
（2022•嘉定区期中）如图，已知点 G 是 A B C 的重心，联结 A G 、BG、 C G ，延长 B G 交
AC于点D，设 A G = a ， D G = b ，分别用a、b 表示向量 A C 、 B C ．练习4:
（2021•长宁区期末）如图，在梯形ABCD中，AB//CD，且AB:CD=3:2，点
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E 是边 C D
的中点，联结 B E 交对角线 A C 于点 F ，若 A B = m ， A D = n ．
（1）用 m 、 n 表示 A C 、AF ；
（2）求作 B F 在 B A 、 B C 方向上的分向量．
（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）
关卡二
练习5:
如图已知点 M 是 A B C 边 B C 上一点，设AB=a，AC=b
（1）当
B
M
M
C
= 2 时，AM =_____________；（用 a 与 b 表示）
BM
（2）当 =m(m0)时，
MC
A M = _____________；（用 a 、 b 与m表示）
（3）当 A M =
4
7
a +
3
7
b
BM
时， =_____________．
MC练习6:
（2021•闵行区一模）如图，
13
A D ， B E 是 A B C 的中线，交于点 G ，且AB=a， B C = b ．
（1）直接写出向量 A G 关于a、 b 的分解式， A G = _________；
（2）在图中画出向量 B G 在向量 a 和 b 方向上的分向量．
（不要求写作法，但要保留作图痕迹，井写明结论）
练习7:
如图， A 、 B 两点的坐标分别是 ( 8 , 0 ) 、 ( 0 , 6 ) ，点 P 由点 B 出发沿 B A 方向向点 A 做匀速
直线运动，速度为每秒3个单位长度，点 Q 由 A 出发沿 A O ( O 为坐标原点）方向向点 O 做
匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接 P Q ，若设运动时间为 t ( 0 t
1 0
3
) 秒．解
答如下问题：
（1）当 t 为何值时， P Q / / B O ？
（2）设 A Q P 的面积为 S ，
① 求 S 与 t 之间的函数关系式，并求出 S 的最大值；
② 若我们规定：点 P 、Q的坐标分别为 ( x
1
， y
1
) ，(x ，
2
y
2
) ，则新坐标(x −x ，
2 1
y
2
− y
1
)
称为“向量PQ”的坐标．当 S 取最大值时，求“向量PQ”的坐标．
