FY25暑假初三A14B10二次函数性质综合教师版_初中资料合集_2025年秋初中《789年级暑假数学讲义》含6升7衔接（学生+教师版）上海专版_初三_志高_教师版PDF

14A/10B 二次函数性质综合 考情链接 1. 本次任务由两个部分构成 （1）二次函数面积类问题 （2）二次函数背景下三角比的求法 2. 考情分析 （1）二次函数的概念及图像性质属于函数版块，是初中常考必考知识点，占九年级分值约 20%； （2）本讲知识点题目以19-22的解答题和24的第（1）、（2）为主，属于压轴题的前置铺 垫，需要学生快速且准确求解； （3）对应教材：初三下册，第二十六章：二次函数. 环节 需要时间 作业讲解及复习 15分钟 切片1：二次函数面积类问题 40分钟 切片2：二次函数背景下的三角比求法 40分钟 出门测 15分钟 错题整理 10分钟 1知识加油站 1——二次函数的面积类问题【建议时长：40 分钟】 考点一：二次函数的面积问题 知识笔记1 请用两种方法求三角形面积 方法一：铅垂法 方法二：割补法 【填空答案】 方法一：铅垂法 方法二：割补法 求解三角形面积时，找到水平宽和与之对应 的铅垂高，其乘积的一半即为三角形的面积. 计算公式： S =S −S −S −S ABC DEBF DAC EBC ABF 计算公式： 2 S  A B C = 1 2 水平宽度 ·铅垂高度 A A E 水 D 平 C 宽 C 铅 度 垂 B 高 E 度 C D B B A D A F C C E B B例题1: （★★★☆☆）（2023•徐汇区一模）已知二次函数y=−3x2 +6x+9． （1）用配方法把二次函数y=−3x2 +6x+9化为y=a(x+m)2 +k 的形式，并指出这个函数 图象的开口方向、对称轴和顶点的坐标； （2）如果将该函数图象向右平移2个单位，所得的新函数的图象与 3 x 轴交于点A、 B （点 A 在点 B 左侧），与 y 轴交于点 C ，顶点为 D ，求四边形 D A C B 的面积． 【常规讲解】 解：（1） y = − 3 x 2 + 6 x + 9 = − 3 ( x 2 − 2 x ) + 9 = − 3 ( x 2 − 2 x + 1 − 1 ) + 9 = − 3 ( x − 1 ) 2 + 1 2 ，  y = − 3 ( x − 1 ) 2 + 1 2 ， −30，  图象开口向下， 则对称轴 x = 1 ，顶点坐标为 (1 ,1 2 ) ； （2）根据题意可得平移后的解析式为： y = − 3 ( x − 3 ) 2 + 1 2 ， 顶点坐标为 ( 3 ,1 2 ) ，即 D ( 3 ,1 2 ) ， 当y=0时，即−3(x−3)2 +12=0，解得：x =1，x =5， 1 2 新函数的图象与 x 轴交于点A、B（点A在点B左侧），  A (1 , 0 ) ， B ( 5 , 0 ) ， 当 x = 0 是， y = − 1 5 ， 点 C 的坐标为 ( 0 , − 1 5 ) ， 如图所示S =S +S 四边形ACBD ABD ABC 1 1 = 412+ 415 2 2=54， 四边形DACB的面积为54． 练习1:【学习框8】 （★★★☆☆）（2024•崇明区一模）已知二次函数y=2x2 +4x−6． （1）用配方法把二次函数y=2x2 +4x−6化为 4 y = a ( x + m ) 2 + k 的形式，并指出这个函数图 象的对称轴和顶点坐标； （2）如果该函数图象与 x 轴负半轴交于点 A ，与 y 轴交于点 C ，顶点为 D ， O 为坐标原点， 求四边形 A D C O 的面积． 【常规讲解】 解：（1） 二次函数 y = 2 x 2 + 4 x − 6 = 2 ( x + 1 ) 2 − 8 ，  该函数图象的顶点坐标为 ( − 1 , − 8 ) ，对称轴为直线x=−1． （2）当 y = 0 时，即 2 x 2 + 4 x − 6 = 0 ，解得：x =−3， 1 x 2 = 1 ， 函数图象与 x 轴负半轴交于点A， A(−3,0)，5  O A = 3 ， 当x=0是， y = − 6 ，  点 C 的坐标为 ( 0 , − 6 ) ，  O C = 6 ，  S 四 边 形 A D C O = S  A D O + S  D C O = 1 2  3  8 + 1 2  6  1 = 1 5 ， 四边形 A D C O 的面积为15． 例题2-1: 3 （★★★☆☆）（2023•崇明区一模）如图，在直角坐标平面xOy中，对称轴为直线x= 的抛 2 物线 y = a x 2 + b x + 2 经过点 A ( 4 , 0 ) 、点 M (1 , m ) ，与 y 轴交于点 B ． （1）求抛物线的解析式，并写出此抛物线顶点 D 的坐标； （2）联结 A B 、 A M 、 B M ，求 S  A B M 的面积； 【常规讲解】 解：（1） 抛物线y=ax2 +bx+2的对称轴为直线 x = 3 2 ，  − b 2 a = 3 2 ①， 抛物线 y = a x 2 + b x + 2 经过点A(4,0)，  1 6 a + 4 b + 2 = 0 ②， 1 3 由①②可得a=− ，b= ， 2 26  y = − 1 2 x 2 + 3 2 x + 2 ， 1 3 在y=− x2 + x+2中，令 2 2 x = 3 2 得： y = − 1 2  ( 3 2 ) 2 + 3 2  3 2 + 2 = 2 5 8 ， 抛物线顶点 D 3 的坐标为( ， 2 2 5 8 ) ； （2）过 M 作 M P / / y 轴交 A B 于 P ，如图： 1 3 在y=− x2 + x+2中，令 2 2 x = 0 得y=2，  B ( 0 , 2 ) ， A ( 4 , 0 ) ，  直线 A B 解析式为 y = − 1 2 x + 2 ， 1 3 在y=− x2 + x+2中，令 2 2 x = 1 得y=3，  M (1 , 3 ) ， 1 在y=− x+2中，令 2 x = 1 得 y = 3 2 ，  P (1 , 3 2 ) ，  P M = 3 − 3 2 = 3 2 ，  S  A B M = 1 2 P M  | x A − x B |= 1 2  3 2  4 = 3 ；例题2-2: （★★★★☆）（2023•黄浦区期末）如图，直线 7 y = − x + 3 与x轴、 y 轴分别交于点 A 、 B ．对 称轴为直线 x = 1 的抛物线 y = a x 2 + b x + c 经过点 A 、 B ，其与 x 轴的另一交点为 C ． （1）求该抛物线的表达式； （2）将该抛物线平移，使其顶点在线段 A B 上点 P 处，得到新抛物线 L ，其与直线 y = − x + 3 的另一个交点为 Q ． ①如果抛物线 L 经过点 A ，且与 x 轴的另一交点为 D ，求线段 C D 的长； ②试问：CPQ的面积是否随点 P 在线段 A B 上的位置变化而变化？如果变化，请说明理由； 如果不变，请求出  C P Q 面积． 【常规讲解】 解：（1） 直线 y = − x + 3 与x轴， y 轴分别相交于点 A 、 B ，  A ( 3 , 0 ) ，B(0,3)， 又 对称轴为直线 x = 1 的抛物线 y = a x 2 + b x + c 经过点 A 、 B ，其与 x 轴的另一交点为 C ．  点 C 的坐标为(−1,0)． 将A(3,0)，B(0,3)，C(−1,0)代入 y = a x 2 + b x + c ， a−b+c=0  得9a+3b+c=0，解得  c=3  a b c = = = − 2 3 1 ，  该抛物线的函数表达式为 y = − x 2 + 2 x + 3 ； （2）① y = − x 2 + 2 x + 3 = − ( x − 1 ) 2 + 4 ， 设新抛物线L的函数表达式为 y = − ( x − 1 − m ) 2 + 4 − n ， P(m+1,4−n)， 新抛物线L的顶点在线段 A B : y = − x + 3 上点P处， −(m+1)+3=4−n， n=m+2，抛物线L经过点A(3,0)， 8  − ( 3 − 1 − m ) 2 + 4 − ( m + 2 ) = 0 ， 解得 m = 1 或 m = 2 （此时，点 P 与点 A 重合，抛物线 L 与 x 轴只有一个交点，舍去），  n = m + 2 = 3 ，  新抛物线 L 的函数表达式为 y = − ( x − 2 ) 2 + 1 ，对称轴为直线 x = 2 ， A ( 3 , 0 ) ，  D (1 , 0 ) ， 点 C 的坐标为 ( − 1 , 0 ) ． CD=2； ②CPQ的面积不随点P在线段AB上的位置变化而变化， y = − x 2 + 2 x + 3 = − ( x − 1 ) 2 + 4 ， 设抛物线 y = − x 2 + 2 x + 3 顶点为 P  ，  P (1 , 4 ) ， 过P作直线 y = − x + 3 的平行线交抛物线于点 Q  ， 由平移得当点 P  平移到P点时 Q  平移到 Q 点，则PQ=PQ， P Q 为定值，   C P Q 的面积不随点 P 在线段 A B 上的位置变化而变化， 根据①得点 P ( 2 ,1 ) 、 Q ( 3 , 0 ) ， 1 S = (3+1)1=2． CPQ 2练习2:【学习框10】 （★★★☆☆）（2022•徐汇区期末）如图，抛物线 9 y = a x 2 + b x + 3 与x轴相交于A、 B 两点， 与 y 轴相交于点 C ，已知 B 点的坐标为 ( 6 , 0 ) ，抛物线的对称轴为直线 x = 2 ，点 D 是 B C 上 方抛物线上的一个动点． （1）求这个抛物线的解析式； （2）当  B C D 的面积为 1 5 4 时，求点 D 的坐标 【常规讲解】 解：（1） B 点的坐标为(6,0)，抛物线 y = a x 2 + b x + 3 的对称轴为直线 x = 2 ，   3 − 6 a b 2 a + = 6 b 2 + 3 = 0  1 a=− ，解得： 4，  b=1 所以抛物线的解析式为 y = − 1 4 x 2 + x + 3 ； （2）连接OD，过点 D 作DE⊥OB于点 E ，如图， 1 设D(x,− x2 +x+3)， 4 点 D 是 B C 上方抛物线上的一个动点，  0  x  6 ． 1 DE=− x2 +x+3，OE=x， 4 令x=0，则 y = 3 ，  C ( 0 , 3 ) ，  O C = 3 ． B ( 6 , 0 ) ，  O B = 6 ． 15 S =S +S −S ，BCD的面积为 ， BCD DCO DOB OBC 410  1 2  O C  O E + 1 2  O B  D E − 1 2  O B  O C = 1 5 4 ，  1 1 1 1 15 3x+ 6(− x2 +x+3)− 63= ， 2 2 4 2 4 整理得： x 2 − 6 x + 5 = 0 ． 解得： x = 1 或 x = 5 ，  D (1 , 1 5 4 ) 或 ( 5 , 7 4 ) ； 考点二：二次函数面积的最值问题 例题3: （★★★★☆）（2021•浦东新区校级自主招生）抛物线 y = ( x + 1 ) 2 − 4 与 x 轴交于点 A 、 B ( A 在B左侧），与 y 轴交于点 C ， M 为第三象限抛物线上一点，问：四边形 A M C B 的面积最大 时， M 的坐标是？ 【配题说明】求二次函数背景下的面类问题，求面积最值，通常会先用字母表示面积，然后 配方求出最值 【常规讲解】解：过点M作 M N ⊥ x 轴于点 N ，如图， 令y=0，则(x+1)2 −4=0， 解得： x 1 = − 3 ， x 2 = 1 ． 抛物线 y = ( x + 1 ) 2 − 4 与 x 轴交于点 A 、 B （A在 B 左侧），  A ( − 3 , 0 ) ，B(1,0)．  O A = 3 ，OB=1． 令x=0，则y=−3．  C ( 0 , − 3 ) ．  O C = 3 ． y = ( x + 1 ) 2 − 4 = x 2 + 2 x − 3 ． M 为第三象限抛物线上一点，  设M(m,m2 +2m−3)，则 O N = − m ，MN =−(m2 +2m−3)=−m2 −2m+3． AN =OA−ON =3+m． S =S +S +S 四边形AMCB AMN 梯形MNOC OBC11 = 1 2  A N  M N + 1 2 ( M N + O C )  O N + 1 2  O B  O C = 1 2  ( m + 3 ) ( − m 2 − 2 m + 3 ) + 1 2  ( − m 2 − 2 m + 3 + 3 )  ( − m ) + 1 2  1  3 = − 3 2 m 2 − 9 2 m + 6 = − 3 2 ( m + 3 2 ) 2 + 7 5 8 ．  3 当m=− 时，四边形 2 A M C B 的面积最大． 3 15 当m=− 时，m2 +2m−3=− ， 2 4  M ( − 3 2 , − 1 5 4 ) ．  四边形AMCB的面积最大时， M 的坐标是 ( − 3 2 , − 1 5 4 ) ． 练习3:【学习框12】 （★★★★☆）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y = a x 2 + b x + c 的图象与x轴交于A(3,0)， B ( − 1 , 0 ) 两点，与 y 轴交于点 C ( 0 , 3 ) ． （1）求这个二次函数的解析式； （2）已知点D是直线AC上方的抛物线上一动点．当点 D 运动到什么位置时，四边形 A B C D 的面积最大？求此时 D 点的坐标和四边形 A B C D 的最大面积 【常规讲解】 解：（1）将点 A ( 3 , 0 ) ， B ( − 1 , 0 ) ， C ( 0 , 3 ) 代入函数解析式，得，  9 a a − + b 3 b + + 3 3 = = 0 0 a=−1 ，解得 ， b=2 二次函数的解析式为y=−x2 +2x+3； （2）如图，过点D作DF ⊥x轴于点F ，交AC于点Q，12 D 在抛物线上，设 D ( m , − m 2 + 2 m + 3 ) ， 设直线AC的解析式为 y = k x + b 1 ， 将点A(3,0)和点C(0,3)的坐标代入函数解析式，得 3k+b =0  1 ， b =3 1 解得  k b 1 = = − 3 1 ． 直线 A C 的解析为 y = − x + 3 ， 设点 Q 的坐标为 ( m , − m + 3 ) ， D Q = − m 2 + 2 m + 3 − ( − m + 3 ) = − m 2 + 3 m ． 当y=0时， − x 2 + 2 x + 3 = 0 ， 解得 x 1 = − 1 ， x 2 = 3 ， O B = 1 ， A B = 3 − ( − 1 ) = 4 ， S 四 边 形 A B C D = S  A B C + S  D C A 1 1 = ABOC+ DQ(x −x ) 2 2 A C 1 1 = 43+ (−m2 +3m)3 2 2 3 3 75 =− (m− )2 + ， 2 2 8 当 m = 3 2 时，四边形ABCD的面积最大． 当 m = 3 2 时， − m 2 + 2 m + 3 = 1 5 4 3 15 ，即D点的坐标为( , )． 2 4 当点 D 3 15 75 的坐标为( , )时，四边形ABCD的最大面积值为 2 4 8知识加油站 2——二次函数背景下的三角比求解【建议时长：40 分钟】 考点三：直角三角形求解二次函数背景下的三角比 知识笔记2 求锐角三角比的步骤： （1）若原三角形是 13 R T  ，则可以利用勾股定理逆定理证明并直接求三角比； （2）题目中若有与所求三角比相等的角，可以通过求相等角的三角比得到所求的三角比。 例题4: （★★☆☆☆）（2023•浦东新区校级模拟）在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y = − x 2 + b x + c 经过点 A ( 3 , 0 ) 和点 B ( 0 , 3 ) ，其顶点为C． （1）求抛物线的解析式和顶点 C 的坐标； （2）求  A C B 的正切值 【常规讲解】 解：（1）将点 A ( 3 , 0 ) 和点B(0,3)代入 y = − x 2 + b x + c 中，得  − c 9 = + 3 3 b + c = 0 b=2 ，解得 ， c=3 抛物线的解析式为y=−x2 +2x+3， 又 y=−x2 +2x+3=−(x−1)2 +4， 顶点C的坐标为(1,4)；（2） A(3,0)、B(0,3)、C(1,4)， 14  A B = 3 2 + 3 2 = 3 2 ， A C = ( 3 − 1 ) 2 + ( 0 − 4 ) 2 = 2 5 ， B C = (1 − 0 ) 2 + ( 4 − 3 ) 2 = 2 ，  A B 2 + B C 2 = A C 2 ， ABC是直角三角形，且ABC=90，  ta n  A C B = A B B C = 3 练习4:【学习框14】 （★★☆☆☆）（2022•虹口区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x−3分别 交 x 轴、 y 轴于 A 、 B 两点，抛物线 y = x 2 + b x + c 经过点 A 和点B，且其顶点为 D ，点 C 为抛物线与 x 轴的另一个交点． （1）求抛物线的表达式； （2）求  B A D 的正切值 【常规讲解】 解：（1）在y=x−3中，令x=0得 y = − 3 ，令y=0得x=3，  A ( 3 , 0 ) ，B(0,−3)， 把A(3,0)，B(0,−3)代入y=x2 +bx+c得： 9+3b+c=0 b=−2  ，解得 ， c=−3 c=−3抛物线的表达式为 15 y = x 2 − 2 x − 3 ； （2） y = x 2 − 2 x − 3 = ( x − 1 ) 2 − 4 ，  D (1 , − 4 ) ， 又 A(3,0)， B ( 0 , − 3 ) ， AD= (3−1)2 +(0+4)2 =2 5， B D = ( 0 − 1 ) 2 + ( − 3 + 4 ) 2 = 2 ， A B = ( 3 − 0 ) 2 + ( 0 + 3 ) 2 = 3 2 ，  A B 2 + B D 2 = ( 3 2 ) 2 + ( 2 ) 2 = 2 0 ， A D 2 = ( 2 5 ) 2 = 2 0 ，  A B 2 + B D 2 = A D 2 ，   A B D 是直角三角形，且  A B D = 9 0  ，  ta n  B A D = B A D B = 3 2 2 = 1 3 考点三：作垂线求解二次函数背景下的三角比 知识笔记3 求锐角三角比的具体步骤： （1）确定角所在的三角形，并且三角形的三个顶点的坐标已知，若有坐标未知，那么先求 顶点的坐标； （2）在确定的三角形中做垂直，构造直角三角形； （3）用割补等方法求出此三角形的面积，再用等积法求出所作的高； （4）用两点间距离公式求出三角形的边长，再用勾股定理求出角所在直角三角形的边长； （5）在构造的直角三角形中，求出角的锐角三角比例题5: （★★★☆☆）（2022•黄浦区校级期中）已知顶点为 16 M ( − 2 , − 1 ) 的抛物线经过点 C ( 0 , 3 ) ，与 x 轴交于 A 、 B 两点（点 A 在点 B 的左侧）． （1）求这条抛物线的表达式； （2）连接 A C 、 M C ，求  A C M 的正切值 【配题说明】借用题目中隐藏的等腰直角三角形计算垂线段的长度 【常规讲解】 解：（1）因为顶点为 M ( − 2 , − 1 ) 的抛物线经过点 C ( 0 , 3 ) ， 设抛物线解析式为y=a(x+2)2 −1， 把C(0,3)代入解析式， 得3=4a−1， 解得 a = 1 ， 所以抛物线的解析式为 y = ( x + 2 ) 2 − 1 即 y = x 2 + 4 x + 3 ． （2）设直线 M C 与x轴的交点为点 F ，且设直线 M C 的解析式为 y = k x + b ，把 C ( 0 , 3 ) ， M ( − 2 , − 1 ) −2k+b=−1 代入解析式，得 ， b=3 解得  k b = = 2 3 ， 所以直线解析式为y=2x+3， 3 所以F 的坐标为(− ,0)， 2 因为y=x2 +4x+3，所以 17 0 = x 2 + 4 x + 3 ， 解得 x 1 = − 1 ， x 2 = − 3 ， 所以点 A ( − 3 , 0 ) ，B(−1,0)， 所以 O A = O C ， 所以  O A C =  O C A = 4 5  ， 过点F 作 F G ⊥ A C 于点 G ，如图1， 所以等腰直角三角形 A G F ，且 A F = − 3 2 − ( − 3 ) = 3 2 ， 所以 A G = G F = 2 2 A F = 2 2  3 2 = 3 4 2 ， 根据勾股定理，得 A C = 3 2 + 3 2 = 3 2 ， 所以 C G = A C − A G = 3 2 − 3 4 2 = 9 4 2 ． 根据正切的定义 ta n  A C M = G C F G = 3 4 2  9 4 2 = 1 3练习5:【学习框16】 （★★★☆☆）（2022•徐汇区校级月考）如图，在平面直角坐标系 18 x O y 中，抛物线 y = a x 2 − 4 a x + 3 与 x 轴交于 A 、 B 两点（点 A 在点 B 的左侧），且 A B = 2 ，抛物线与 y 轴交 于点 C ． （1）求抛物线的解析式； （2）求  A C B 的正切值 【常规讲解】解：（1） y = a x 2 − 4 a x + 3 ，  抛物线的对称轴为直线 x = − − 4 a 2 a = 2 ， 又 A B = 2 ，  点 A 的坐标为 (1 , 0 ) ，点 B 的坐标为 ( 3 , 0 ) ， 将点 A (1 , 0 ) 代入 y = a x 2 − 4 a x + 3 得： a − 4 a + 3 = 0 ， 解得： a = 1 ，  抛物线的解析式为 y = x 2 − 4 x + 3 ． （2）过点 A 作 A H ⊥ B C 于点 H ，则  A H C =  A H B = 9 0  ， 对y=x2 −4x+3，当 x = 0 时， y = 3 ，  C ( 0 , 3 ) ， 又 O(0,0)，A(1,0)，B(3,0)， BO=CO=3， B C = 3 2 ，  C O B = 9 0  ，   O B C 是等腰直角三角形，   O B C = 4 5  ， ABH是等腰直角三角形， AB=2，19  A H = B H = 2 ， CH =BC−BH =2 2，  ta n  A C B = A C H H = 2 2 2 = 1 2 例题6: （★★★☆☆）（2018•长宁区一模）在直角坐标平面内，直线 y = 1 2 x + 2 分别与x轴、 y 轴交 于点 A 、C．抛物线 y = − 1 2 x 2 + b x + c 经过点 A 与点C，且与 x 轴的另一个交点为点 B ．点 D 在该抛物线上，且位于直线 A C 的上方． （1）求上述抛物线的表达式； （2）联结 B C 、BD，且BD交 A C 于点 E ，如果ABE的面积与  A B C 的面积之比为 4 : 5 ， 求DBA的余切值； 【配题说明】求二次函数的三角比，利用面积法、相似、三角比求解线段求三角比 【常规讲解】 解：（1）当y=0时， 1 2 x + 2 = 0 ，解得x=−4，则A(−4,0)； 当 x = 0 1 时，y= x+2=2，则C(0,2)， 2  3 1 −8−4b+c=0 b=− 把A(−4,0)，C(0,2)代入y=− x2 +bx+c得 ，解得 2， 2 c=2  c=220  抛物线的解析式为 y = − 1 2 x 2 − 3 2 x + 2 ； （2）过点 E 作 E H ⊥ A B 于点 H ，如图1， 当y=0时， − 1 2 x 2 − 3 2 x + 2 = 0 ，解得 x 1 = − 4 ， x 2 = 1 ，则 B (1 , 0 ) 1 设E(x, x+2)， 2 S  A B C = 1 2  (1 + 4 )  2 = 5 ， 而  A B E 的面积与  A B C 的面积之比为 4 : 5 ，  S  A E B = 4 ，  1 2  (1 + 4 )  ( 1 2 x + 2 ) = 4 ，解得 x = − 4 5 ， 4 E(− ， 5 8 5 ) ，  B H = 1 + 4 5 = 9 5 ， 在 R t B H E 中， c o t  E B H = B E H H = 9 58 5 = 9 8 ， 9 即DBA的余切值为 8练习6:【学习框18】 （★★★☆☆）（2019•青浦区一模）在平面直角坐标系xOy中，将抛物线 21 y = − x 2 平移后经过 点A(−1,0)、 B ( 4 , 0 ) ，且平移后的抛物线与 y 轴交于点C（如图）． （1）求平移后的抛物线的表达式； （2）如果点 D 在线段 C B 上，且 C D = 2 ，求CAD的正弦值； 【常规讲解】 解：（1）设平移后的抛物线的解析式为 y = − x 2 + b x + c ． 将A(−1,0)、 B ( 4 , 0 ) ，代入得  − − 1 1 − 6 b + + 4 b c + = c 0 = 0 . b=3 解得： c=4. 所以， y = − x 2 + 3 x + 4 ． （2）如图1 y=−x2 +3x+4，点C的坐标为(0,4)． 设直线BC的解析式为y=kx+4，将B(4,0)，代入得4k+4=0，解得k =−1，22  y = − x + 4 ． 设点 D 的坐标为 ( m , 4 − m ) ． C D = 2 ，  2 = 2 m 2 ，解得 m = 1 或 m = − 1 （舍去），  点 D 的坐标为 (1 , 3 ) ． 过点 D 作 D M ⊥ A C ，过点 B 作 B N ⊥ A C ，垂足分别为点 M 、 N ． 1 1 AC BN = AB OC， 2 2  1 7 B N = 5  4 ， 20 20 17 BN = = ． 17 17 D M / / B N ，  DM CD = ， BN CB  DM 2 = ， BN 4 2  D M = 5 1 1 7 7 ．  DM 5 17 1 5 221 sinCAD= =  = ． AD 17 13 221全真战场 关卡一 练习1: （★★☆☆☆）（2023•松江区期末）二次函数 23 y = a x 2 + b x + c ( a  0 ) 的图象上部分点的横坐标 x 、纵坐标 y 的对应值如下表． x  0 1 2 3 4  y  3 0 − 1 3 ？  （1）由表格信息，求出该二次函数解析式，并写出该二次函数图象的顶点D的坐标； （2）如果该二次函数图象与 y 轴交于点 A ，点 P ( 5 , t ) 是图象上一点，求  P A D 的面积． 【常规讲解】解：（1） 抛物线经过点(0,3)，(4,3)，  抛物线的对称轴为直线 x = 2 ，  抛物线的顶点 D 的坐标为(2,−1)， 设抛物线解析式为y=a(x−2)2 −1， 把 ( 0 , 3 ) 代入得3=a(0−2)2 −1， 解得 a = 1 ，  抛物线解析式为y=(x−2)2 −1； （2）把P(5,t)代入y=(x−2)2 −1得 t = 9 − 1 = 8 ， P(5,8)， A(0,3)， 1 1 1 PAD的面积=59− 39− 24− 55=15． 2 2 2练习2: （★★★☆☆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 24 y = x 2 + b x + c 经过点 ( − 1 , 8 ) 并与 x 轴交于 A ， B 两点，且点 A 的坐标为 (1 , 0 ) ． （1）求抛物线的解析式； （2）若抛物线与 y 轴交于点 C ，顶点为点 P ，求  C P B 的面积． 【常规讲解】 解：（1）把 ( − 1 , 8 ) 与 A 坐标为 (1 , 0 ) 代入 y = x 2 + b x + c 得：  1 9 − + b 3 + b c + = c 8 = 0 ， 解得：  b c = = − 3 4 ，  y = x 2 − 4 x + 3 ． （2） y = x 2 − 4 x + 3 = ( x − 2 ) 2 − 1 ，  P ( 2 , − 1 ) 由题意得： B ( 3 , 0 ) ，C(0,3)， P ( 2 , − 1 ) ， 过点 P 作PH ⊥ y轴于点H， 过点 B 作BM //y轴交直线 P H 于点 M ， 过点 C 作CN ⊥ y轴交直线BM 于点 N ，如图， 1 1 1 S =S −S −S −S =34− 24− 11− 33=3． CPB 矩形CHMN CHP PMB CNB 2 2 2练习3: （★★☆☆☆）（2018 普陀区一模）如图，已知在平面直角坐标系中，已知抛物线 25 y = a x 2 + 2 a x + c （其中 a 、 c 为常数，且 a  0 ) 与 x 轴交于点A，它的坐标是 ( − 3 , 0 ) ，与 y 轴交于点 B ，此抛物线顶点 C 到x轴的距离为4 （1）求抛物线的表达式； （2）求  C A B 的正切值； 【常规讲解】 解：（1）抛物线的对称轴为 x = − 2 2 a a = − 1 ． a0，  抛物线开口向下． 又 抛物线与 x 轴有交点，  C 在 x 轴的上方，  抛物线的顶点坐标为(−1,4)． 设抛物线的解析式为 y = a ( x + 1 ) 2 + 4 ，将点(−3,0)代入得： 4 a + 4 = 0 ，解得： a = − 1 ，  抛物线的解析式为 y = − x 2 − 2 x + 3 ． （2）将 x = 0 代入抛物线的解析式得：y=3， B(0,3)． C ( − 1 , 4 ) 、B(0,3)、 A ( − 3 , 0 ) ，  B C = 2 ，AB=3 2， A C = 2 5 ，  B C 2 + A B 2 = A C 2 ， ABC=90． BC 1 tanCAB= = ． AB 3练习4: （★★☆☆☆）（2023•松江区期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线 26 y = a x 2 + b x + c ( a  0 ) 的图象经过原点 O ( 0 , 0 ) 、点 A (1 , 3 a ) ，此抛物线的对称轴与 x 轴交于点 C ，顶点为 B ． （1）求抛物线的对称轴； （2）如果该抛物线与 x 轴负半轴的交点为 D ，且  A D C 的正切值为2，求 a 的值； 【常规讲解】 解：（1）把 O ( 0 , 0 ) ， A (1 , 3 a ) 代入 y = a x 2 + b x + c ，解得 b = 2 a ， c = 0 ， 得抛物线的解析式为 y = a x 2 + 2 a x ， 则抛物线的对称轴为直线 x = − 1 ； （2）把 y = 0 代入 y = a x 2 + 2 a x ，解得 x = − 2 ， x = 0 （点 O 的横坐标，舍去），  点 D 的坐标为 ( − 2 , 0 ) ， 过点 A 作 A F ⊥ x 轴，垂足为 F ， D ( − 2 , 0 ) ，A(1,3a)，  D F = 3 ，AF =3a， ADC的正切值为2，  AF =2，即 DF 3 a 3 = 2 ， 解得a=2练习5: （★★★☆☆）（2023•青浦区校级月考）已知二次函数 27 y = a x 2 + b x + c 图象经过 A ( 2 , 3 ) ， B ( 3 , 6 ) 、 C ( − 1 , 6 ) 三点． （1）求该二次函数解析式； （2）将该二次函数 y = a x 2 + b x + c 图象平移使其经过点 D ( 5 , 0 ) ，且对称轴为直线 x = 4 ，求 平移后的二次函数的解析式； （3）在（2）的条件下，若平移后的二次函数图象与 x 轴的另一个交点为 E ，求  D A E 的正 切值． 【常规讲解】 解：（1） 二次函数 y = a x 2 + b x + c 图象经过 A ( 2 , 3 ) ，B(3,6)、C(−1,6)三点，代入得：  4 9 a a a − + + b 2 b 3 b + + + c c c = = = 6 3 6 ，解得：  a b c = = = 1 − 3 2 ，  抛物线解析式为 y = x 2 − 2 x + 3 ； （2） y=x2 −2x+3=(x−1)2 +2， 对称轴为直线x=1， 平移使其经过点 D ( 5 , 0 ) ，且对称轴为直线 x = 4 ，  抛物线向右平移3个单位， 设抛物线向下平移 m 个单位，则平移后的抛物线为 y = ( x − 4 ) 2 + 2 − m ， 经过点D(5,0)，  0 = ( 5 − 4 ) 2 + 2 − m ， 解得： m = 3 ， 平移后的解析式为 y = ( x − 4 ) 2 − 1 = x 2 − 8 x + 1 5 ，即 y = x 2 − 8 x + 1 5 ； （3）如图所示，过点 A 作AM ⊥x轴于点M，当y=0时， 28 y = x 2 − 8 x + 1 5 = 0 ， 即(x−5)(x−3)=0， 解得： x 1 = 3 ， x 2 = 5 ， E(3,0)， A ( 2 , 3 ) ， D ( 5 , 0 ) ，  M ( 2 , 0 ) ， A M = 3 ， D M = 3 ， D E = 2 ，   A D M 是直角三角形， A D = 2 A M = 3 2 ， 过点 E 作 E F ⊥ A D ， E D = 2 ，  2 EF =FD= ED= 2， 2  AF = AD−FD=3 2− 2=2 2， EF 2 1 在RtAEF中，tanEAD=tanEAF = = = ． AF 2 2 2关卡二 练习6: （★★★★☆）如图，抛物线 29 y = a x 2 + b x + 9 与 x 轴交于 A ( − 3 , 0 ) 、 B ( 6 , 0 ) y 两点，与 轴交于点 C ，连接 B C 、 A C ． （1）求抛物线的解析式； （2）点 D 是线段 A C 上一点（点 D 与点 A 、 C 不重合），过点 D 作BC的平行线，交 A B 于 点E．连接 C E ，求CDE面积的最大值． 【常规讲解】将 A ( − 3 , 0 ) 、 B ( 6 , 0 ) 代入 y = a x 2 + b x + 9 得： 9 a − 3 b + 9 = 0 ， 3 6 a + 6 b + 9 = 0 ， 解得： a = − 1 / 2 ， b = 3 / 2 ，  抛物线的解析式为： y = − 1 2 x 2 + 3 2 x + 9 ． （2）对于抛物线 y = − 1 2 x 2 + 3 2 x + 9 ，当 x = 0 时， y = 6 ，  抛物线与 y 轴的交点 C 的坐标为 ( 0 , 9 ) ，  O C = 9 ， A ( − 3 , 0 ) 、B(6,0)， OA=3， O B = 6 ， AB=OA+OB=9，  O C = A B = 9 ， 过点 D 作 D F ⊥ x 轴，垂足为 F ， DE//OC， ADF∽ACO，AD:AC=DF:OC， 30 D E / / B C ，   A D E ∽  A C B ，  A D : A C = A E : A B ，  D F : O C = A E : A B ， O C = A B = 9 ，  D F = A E ， 设点 E 的坐标为 ( t , 0 ) ，  C D E 的面积为 S ， 则 A E = t − ( − 3 ) = t + 3 ， DF = AE=t+3， S = S  A C E − S  A D E = 1 2 A E  O C − 1 2 A E  D F ， 即： S = 1 2 ( t + 3 )  9 − 1 2 ( t + 3 ) ( t + 3 ) = − 1 2 t 2 + 3 2 t + 9 ，  当 t = − 2  3 2 ( − 1 2 ) = 3 2 时，S为最大， 此时 S = − 1 2  ( 3 2 ) 2 + 3 2  3 2 + 9 = 8 1 8 ．   C D E 81 面积的最大值为 ． 8练习7: （★★★★☆）如图，抛物线 31 y = a x 2 + b x + c ( a  0 ) 与x轴分别交于点 A ，点 B ，与 y 轴交于 点C，点D为抛物线的顶点，连接AD，BD．若点A(−1,0)，点 B ( 3 , 0 ) ，点 C ( 0 , 3 ) ．点P 为线段 A B 上一点，过点 P 作 P Q / / B D ，交 A D 于点 Q ． （1）求抛物线的表达式； （2）当  P Q D 的面积最大时，求点 P 的坐标． 【常规讲解】解：（1） 抛物线 y = a x 2 + b x + c ( a  0 ) 经过点 A ( − 1 , 0 ) ，点 B ( 3 , 0 ) ，点 C ( 0 , 3 ) ， 把点 A ( − 1 , 0 ) ，点 B ( 3 , 0 ) ，点 C ( 0 , 3 ) 代入 y = a x 2 + b x + c ( a  0 ) 得：  9 a a − + b 3 c + b = c + 3 = c = 0 0 ， 解得：  a b c = = = − 2 3 1 ，  抛物线的解析式为： y = − x 2 + 2 x + 3 ； （2） y = − x 2 + 2 x + 3 = − ( x − 1 ) 2 + 4 ，  点 D 的坐标为： (1 , 4 ) ， 设直线 B D 的解析式为： y = k x + b ( k  0 ) ， 直线 B D 经过点 B 、点 D ， 3k+b=0 把B(3,0)、D(1,4)代入y=kx+b(k0)得， ， k+b=4 k =−2 解得： ，  b=6  直线 B D 的解析式为：y=−2x+6， 设直线AD的解析式为：y=k x+b(k 0)， 1 1 1 直线AD经过点A、点D，32  把A(−1,0)、D(1,4)代入 y = k 1 x + b 1 ( k 1  0 ) 得，  − k k 1 1 + + b b = = 0 4 ， 解得：  k b 1 = = 2 2 ， 直线 A D 的解析式为： y = 2 x + 2 ， 设点 Q 的坐标为： ( a , 2 a + 2 ) ， P Q / / B D ，  直线 P Q 的解析式为： y = − 2 x + 4 a + 2 ， 当y=0时， − 2 x + 4 a + 2 = 0 ，即 x = 2 a + 1 ，  点P的坐标为： ( 2 a + 1 , 0 ) ，  A P = 1 + 2 a + 1 = 2 a + 2 ， S  P Q D = 1 2  ( 2 a + 2 )  4 − 1 2  ( 2 a + 2 )  ( 2 a + 2 ) = − 2 a 2 + 2 ， 点 P 为线段 A B 上一点，  − 1  2 a + 2  3 ，即−1a1，  当 a = 0 时，  P Q D 的面积最大，此时点 P 的坐标为： (1 , 0 ) ．练习8: （★★★★★）“距离”是数学研究的重要对象，如我们所熟悉的两点间的距离．现在我们定 义一种新的距离：已知 33 P ( a , b ) ， Q ( c , d ) 是平面直角坐标系内的两点，我们将 | a − c | + | b − d | 称作 P ， Q 间的“ L 型距离”，记作 L ( P , Q ) ，即 L ( P , Q ) = | a − c | + | b − d | ． 已知二次函数 y 1 的图象经过平面直角坐标系内的 A ， B ， C 三点，其中 A ， B 两点的坐标 为A(−1,0)， B ( 0 , 3 ) ，点 C 在直线 x = 2 上运动，且满足L(B,C) BC． （1）求 L ( A , B ) ； （2）求抛物线 y 1 的表达式； （3）已知 y 2 = 2 tx + 1 是该坐标系内的一个一次函数． ① 若 D ， E 是 y 2 = 2 tx + 1 图象上的两个动点，且DE=5，求CDE面积的最大值； ② 当 t x t + 3 时，若函数 y = y 1 + y 2 的最大值与最小值之和为8，求实数 t 的值． 【常规讲解】 解：（1） A ( − 1 , 0 ) ，B(0,3)，  L ( A , B ) = | − 1 − 0 | + | 0 − 3 |= 1 + 3 = 4 ； （2） 点 C 在直线 x = 2 上运动， 设点 C ( 2 , m ) ， B ( 0 , 3 ) ， 由平面上两点间距离，利用勾股定理得： BC2 =(2−0)2 +(3−m)2 =4+(3−m)2， L ( B , C ) = | 0 − 2 | + | 3 − m |= 2 + | 3 − m | ， L2(B， C ) = ( 2 + | 3 − m |) 2 = 2 2 + 4 | 3 − m | + ( 3 − m ) 2 ， 0 L(B,C) BC， L2(B,C) BC2， 即22 +4|3−m|+(3−m)2 4+(3−m)2，34  4 | 3 − m | 0 ， 又 | 3 − m | 0 ，  3 − m = 0 ，  m = 3 ，  C ( 2 , 3 ) ， 二次函数 y 1 的图象经过 A ( − 1 , 0 ) ， B ( 0 , 3 ) ，C(2,3)，  设 y 1 = a 1 x 2 + b 1 x + c 1 ，  a −b +c =0 1 1 1  代入解析式得：c =3 ， 1  4a +2b +c =3 1 1 1 解方程组得：  a b c 1 1 1 = = = − 2 3 1 ，  抛物线 y 1 的表达式为 y 1 = − x 2 + 2 x + 3 ； （3）① y 2 = 2 tx + 1 ， 令x=0时，y =1， 2  直线 y 2 恒过定点N(0,1)，  直线 y 2 的图象是绕点 N ( 0 ,1 ) 旋转的直线，  当CN ⊥直线 y 2 时，点 C 到 D E 的距离最大，  C D E 面积也最大， 过点 C 作 C M ⊥ D E 交直线y 于点 2 M ， 由点到直线的距离，垂线段最短知：CM CN ， 1 1 5 S = DECM DECN = CN， CDE 2 2 2 C(2,3)，N(0,1)， CN = (2−0)2 +(3−1)2 = 4+4 =2 2，35  5 2 C N = 5 2  2 2 = 5 2 ，   C D E 面积的最大值为 5 2 ； ② y = y 1 + y 2 = − x 2 + 2 x + 3 + 2 tx + 1 = − x 2 + 2 ( t + 1 ) x + 4 ， 二次函数 y 的对称轴为 x = − 2 2 (  t + ( − 1 1 ) ) = t + 1 ， a = − 1  0 ，  二 次 函 数 y 的 图 象 开 口 向 下 ， 当 x=t+1 时 ， 函 数 值 y 取 得 最 大 值 y = − ( t + 1 ) 2 + 2 ( t + 1 ) ( t + 1 ) + 4 ， 又 t + 3 − ( t + 1 )  ( t + 1 ) − t ， 当 x = t + 3 时，函数值 y 取得最小值y=−(t+3)2 +2(t+1)(t+3)+4， 函数 y = y 1 + y 2 的最大值与最小值之和为8，  − ( t + 1 ) 2 + 2 ( t + 1 ) 2 + 4 − ( t + 3 ) 2 + 2 ( t + 1 ) ( t + 3 ) + 4 = 8 ， 整理得： t 2 + 2 t − 1 = 0 ， 解得： t = − 1  2 ，  实数 t 的值为 − 1  2 ．