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第 8 讲 一次函数
知识点1 一次函数的定义
一般地，形如y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）的函数叫做一次函数.
正比例函数也是一次函数，是一次函数的特殊形式.
【典例】
5
1.下列函数：① y=πx；② y=2x﹣1；③ y= ；④ y=3x-3（x-5）；⑤ y=x2﹣1；⑥ y=
x
（x+1）（x-1）-x2﹣2x；⑦y= 中，是一次函数的有________________.
【答案】①②⑥
【解析】解：①y=πx是一次函数；
②y=2x﹣1是一次函数；
5
③y= ，未知数出现在分母的位置，不是一次函数；
x
④原式可化简为y=15，不是一次函数；
⑤y=x2﹣1，为指数的系数不为1，不是二次函数，
⑥原式可化简为y=-2x-1，是一次函数.
⑦y= ，未知数出现在分母位置，不是一次函数.
故事一次函数的有①②⑥
故答案为①②⑥.
【方法总结】
本题主要考查了一次函数的定义，一个函数为一次函数的条件是：
①能化成形如y=kx+b 的形式；②k、b为常数，k≠0.
注意：①未知数的次数为1，且不能出现在分母的位置；②正比例函数是特殊的一次函数，一次函数不一定是正比例函数.
2.已知y=（m﹣3）x|m|﹣2+1是一次函数，则m的值是__________.
【解析】解：由y=（m﹣3）x|m|﹣2+1是一次函数，得
{&|m|-2=1
，
&m-3≠0
解得m=﹣3，m=3（不符合题意的要舍去）．
故答案为-3.
【方法总结】
一次函数y=kx+b满足：①k、b为常数；②k≠0；③自变量次数为1，由此可得答案．
牢记一次函数的定义，掌握判定一个函数是一次函数需要满足的条件是解题的关键.
【随堂练习】
1．（福清市模拟）下列函数的解析式中是一次函数的是（ ）
A．y= B．y= x+1C．y=x2+1 D．y=
【解答】解：A、是反比例函数，故此选项错误；
B、是一次函数，故此选项正确；
C、是二次函数，故此选项错误；
D、不是一次函数，故此选项错误；
故选：B．
2．（昭阳区模拟）要使函数y=（m﹣2）xn﹣1+n是一次函数，应满足（ ）
A．m≠2，n≠2 B．m=2，n=2 C．m≠2，n=2 D．m=2，n=0
【解答】解：∵y=（m﹣2）xn﹣1+n是一次函数，
∴m﹣2≠0，n﹣1=1，
∴m≠2，n=2，
故选：C．
3．（奉贤区期末）下列函数中，一次函数是（ ）
A．y=xB．y=kx C．y= +1 D．y=x2﹣2
【解答】解：A、y=x属于一次函数，故此选项正确；
B、y=kx（k≠0），故此选项错误；
C、y= +1，不符合一次函数的定义，故此选项错误；
D、y=x2﹣2，不符合一次函数的定义，故此选项错误；故选：A．
4．（广元期末）若函数 y=2xk﹣2+（k+1）是关于 y 是 x 的一次函数，则
k=_____．
【解答】解：根据一次函数的定义可知：k﹣2=1，
解得：k=3．
故答案为：3．
知识点2 一次函数的图像
b
一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条经过点（0，b）、（- ，0）的直线，一次函数y
k
＝kx＋b的图象也称为直线y＝kx＋b.
画一次函数图像的步骤：①列表：任意找函数图像上两个点的坐标，一般为与x轴和与y
轴的交点；②描点：在直角坐标系中描出两个点；③连线：过两个点作直线.所作的直线即
为一次函数的图像.
【典例】
1.通过列表、描点、连线作出一次函数y=x﹣2的图象.
【答案】
【解析】解：（1）根据y=x﹣2可得：
（2）描点：函数图形过两点（0，-2），（2，0）.
（3）连线：过两点画直线，如图所示．
【方法总结】
本题考查了一次函数的图象作法，熟练掌握作一次函数图象的步骤：①列表；②描点；③
连线，是解题的关键．做一次函数图像的理论依据：两点确定一条直线.
【随堂练习】
1．（德阳期末）在平面直角坐标系中，函数 的大致图象是
A． B．
C． D．
【解答】解：函数 中 ， ，
所以一次函数的图象经过一、二、四象限，
故选： ．
2．（成武县期末）函数 的图象大致是
A． B．
C． D．
【解答】解： 函数 ， ， ，
该函数图象经过第一、三、四象限，
故选： ．
3．（綦江区期末）如图所示，函数 的图象可能是下列图象中的A． B．
C． D．
【解答】解：当 时， ，此时函数图象经过一、三、四象限， 选项符合；
当 时， ，此时函数图象经过一、二、四象限，无此选项．
故选： ．
4．（高密市期末）若式子 有意义，则一次函数 的图象可能是
A． B．
C． D．
【解答】解： 式子 有意义，
，解得 ，
， ，
一次函数 的图象过一、二、四象限．
故选： ．
5．（凉州区期末）一次函数 的图象大致是A． B．
C． D．
【解答】解：在 中，
， ，
此函数的图象经过二、三、四象限，
故选： ．
6．（巍山县期末）正比例函数 的函数值 随 的增大而增大，则一次函数
的图象大致是
A． B．
C． D．
【解答】解： 正比例函数 的函数值 随 的增大而增大，
，
，
一次函数 的图象经过一、二、三象限，
故选： ．
7．（唐河县期末）直线 与直线 在同一坐标系中的大致位置是A． B．
C． D．
【解答】解：根据一次函数的系数与图象的关系依次分析选项可得：
、由图可得， 中， ， ， 中， ， ， 、 的取值
矛盾，故本选项错误；
、由图可得， 中， ， ， 中， ， ， 的取值相
矛盾，故本选项错误；
、由图可得， 中， ， ， 中， ， ， 的取值相
一致，故本选项正确；
、由图可得， 中， ， ， 中， ， ， 的取值相
矛盾，故本选项错误；
故选： ．
8．（即墨区期末）如图所示，表示一次函数 与正比例函数 ， 是常数，
且 的图象是
A． B．C． D．
【解答】解：①当 ，正比例函数 过第一、三象限； 与 同号，同正时
过第一、二、三象限，故 错误；同负时过第二、三、四象限，故 错误；
②当 时，正比例函数 过第二、四象限； 与 异号， ， 时
过第一、三、四象限，故 错误； ， 时过第一、二、四象限．
故选： ．
知识点3 一次函数的性质
一次函数y＝kx＋b的性质
1．增减性
2．图象所过象限
3．倾斜度
【典例】
1.直线y=kx+k（k≠0）一定经过第__________象限.
【答案】二、三
【解析】解：当k＞0时，直线y=kx+k（k≠0）经过一、二、三象限；
当k＜0时，直线y=kx+k（k≠0）经过二、三、四象限，
故答案为二、三.
【方法总结】
题目中没有给出k值的正负，所以要分情况讨论.分别求出k>0和k<0时直线所经过的象限，
然后找出公共的象限，即所求答案.
本题考查了一次函数 y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的图象与k，b的关系，注意：k＞0，函数
图象经过第一、三象限；k<0，函数图象经过二、四象限．
2.两条直线 y=ax+b 与 y=bx+a（a≠0，b≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是
1 2
（ ）A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：A、由y=ax+b的图像知：a＞0，b＜0，所以y=bx+a过二、四象限，交y轴
1 2
正半轴，符合y=bx+a的图象，故此选项正确；
2
B、由y=ax+b的图像知：a＞0，b＞0，所以y=bx+a过一、三象限，交y轴正半轴，不符
1 2
合y=bx+a的图象，故此选项错误；
2
C、由y=ax+b的图像知：a＞0，b＜0，所以y=bx+a过二、四象限，交y轴正半轴，不符
1 2
合y=bx+a的图象，故此选项错误；
2
D、由y=ax+b知：a＞0，b＞0，所以y=bx+a过一、三象限，交 y轴正半轴，不符合
1 2
y=bx+a的图象，故此选项错误；
2
故选A.
【方法总结】
先假设选项中的一条直线的图像准确，则由图像经过的象限可得 a与b的符号，从而可判
断出另一条直线的图像所经过的象限，再与选项所给图形作对比即可判断该选项的正误.
根据k，b的正负，判定一次函数y＝kx＋b图象所过象限：
①k＞0，b＞0，一次函数y＝kx＋b图象过第一、二、三象限；
②k＞0，b＜0，一次函数y＝kx＋b图象过第一、三、四象限；
③k＜0，b＞0，一次函数y＝kx＋b图象过第一、二、四象限；
④k＜0，b＞0，一次函数y＝kx＋b图象过第二、三、四象限；
3.一次函数 y=（m﹣2）x+（m﹣1）的图象如图所示，则 m 的取值范围是
________________________.
【答案】1＜m＜2
【解析】解：∵一次函数y=（m﹣2）x+（m﹣1）的图象在第二、三、四象限，
{&m-2＜0
∴ ，
&m-1＞0
解得1＜m＜2．
故答案为1＜m＜2.【方法总结】
根据一次函数的图象经过第二、三、四象限判断出函数k及b的符号，得到关于m的不等
式组，解不等式组即可．本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与 k、b的关系．
直线经过一、三象限时，k＞0时；直线经过二、四象限时，k＜0.直线与y轴正半轴相交时，
b＞0；直线过原点时，b=0；直线与y轴负半轴相交时，b＜0.
【随堂练习】
1．（新华区期末）已知函数 如果 随 的增大而减小，则它的图象可能是
A． B．
C． D．
【解答】解： 函数 如果 随 的增大而减小，
，
该函数的图象经过第一、二、四象限，
故选： ．
2．（珠海期末）一次函数 的图象经过
A．一、二、三象限 B．一、二、四象限 C．二、三、四象限 D．一、三、四象限
【解答】解： 一次函数 中， ， ，
函数图象经过第一、三、四象限．
故选： ．3．（海宁市二模）已知：实数 满足 ， ， ，对于
每一个 ， 都取 ， 中的较大值．若 的最小值是 ，则 的值是
A．0或 B．2或 C．1或2 D．2或
【解答】解：解方程 ，解得 ，当 时， ，
所以直线 ， 的交点坐标为 ，
所以对任意一个 ，若 都取 ， 中的最大值，则 的最小值是 ．
所以
所以 ．
所以 或 ．
故选： ．
4．（巴南区期末）如果关于 的分式方程 有非负整数解，且一次函数
不经过四象限，则所有符合条件的 的和是
A．0 B．2 C．3 D．5
【解答】解： 一次函数 不经过第四象限，
，
，
关于 的分式方程 有非负整数解
为非负整数且 ，
又 ，
， ，0，2，3，
所有符合条件的 的和是2，
故选： ．
5．（万州区期末）要使关于 的分式方程 有整数解，且使关于 的一次函
数 不经过第四象限，则满足条件的所有整数 的和是
A． B． C．2 D．1【解答】解： 关于 的一次函数 不经过第四象限，
，
，
分式方程 有整数解，
为整数且 ，
，0， ，2， ，
又 ，
，2，
满足条件的所有整数 的和是2，
故选： ．
6．（渝北区期末）若关于 的分式方程 有正数解，且关于 的一次函数
， 随 的增大而减小，则满足条件的所有整数 的和为
A． B． C． D．
【解答】解：解分式方程 可得： ，
分式方程 有正数解，
，
解得：
一次函数 ， 随 的增大而减小
，
解得 ，
，
能取的整数为 ， ， ， ，0，1，2，3；
满足条件的所有整数 的和为 ．
故选： ．
7．（封开县期末）若直线 经过第一、二、四象限，则直线 的图象大致
是A． B．
C． D．
【解答】解： 直线 经过第一、二、四象限，
， ，
线 的图象经过第一、三、四象限，
故选： ．
8．（官渡区期末）关于直线 的说法正确的是
A．图象经过第二、三、四象限 B．与 轴交于
C．与 轴交于 D． 随 增大而增大
【解答】解： 、 ， ， 图象经过第一、二、四象限，故本选项错误．
、 当 时， ， 与 轴交点为 ，故本选项正确；
、 当 时， ， 与 轴交点为 ，故本选项错误；
、 ， ， 图象经过第一、二、四象限， 随 增大而矩形，故本选
项错误．
故选： ．
9 ． （ 新 乐 市 期 中 ） 函 数 中 ， 随 的 增 大 而 增 大 ， 则 直 线
经过
A．第一、三、四象限 B．第二、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第一、二、三象限
【解答】解： 函数 中， 随 的增大而增大，，则
，
直线 经过第二、三、四象限．
故选： ．
10．（新左旗期中）一次函数 的图象经过 象限．
A．一、二、三 B．一、三、四 C．二、三、四 D．一、二、四
【解答】解： ， ，
图象经过一、二、四象限．
故选： ．
11．（和县期末）若 ， ，则一次函数 的图象不经过下列个象限
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解： ， ，
当 时， ， ，当 时， ， ，
当 时， ， 时，一次函数 的图象经过第一、二、四象限，不经
过第三象限，
当 时， ， 时，一次函数 的图象经过第一、二、四象限，不经过
第三象限，
由上可得，一次函数 的图象不经过第三象限，
故选： ．
12．（黄冈期末）下列四个选项中，关于一次函数 的图象或性质说法错误的是
A． 随 的增大而增大 B．经过第一，三，四象限
C．与 轴交于 D．与 轴交于
【解答】解： ， ，
该函数 随 的增大而增大，故选项 正确，
该函数图象经过第一、三、四象限，故选项 正确，与 轴的交点为 ，故选项 错误，
与 轴的交点为 ，故选项 正确，
故选： ．
13．（思明区校级二模）关于 的一次函数 ，当 时，
的最大值是
A． B． C． D．
【解答】解： ，
，
，
该函数 随 的增大而增大，
当 时， 时 取得最大值，此时 ，
故选： ．
14．（姜堰区二模）已知过点 的直线 不经过第四象限，设 ，
则 的取值范围为
A． B． C． D．
【解答】解： 过点 的直线 不经过第四象限，
， ， ，
，
，
解得： ，
所以 ，
，
，
即 的取值范围为： ，故选： ．
15．（常州期末）已知一次函数 ，函数值 随自变量 的增大而减小，且 ，
则函数 的图象大致是
A． B．
C． D．
【解答】解： 一次函数 ， 随着 的增大而减小，
，
一次函数 的图象经过第二、四象限；
，
，
图象与 轴的交点在 轴下方，
一次函数 的图象经过第二、三、四象限．
故选： ．
知识点4 两直线的位置与k、b值的关系
同一直角坐标系内，两条直线l：y＝kx＋b 与l：y＝kx＋b 的位置关系：
1 1 1 1 2 2 2 2
平移前后的两条直线互相平行，他们的解析式k值相同， b值不同．
【典例】
1
1.已知直线l：y=﹣ x+1，请分别写出一条与直线l互相平行、互相垂直的直线的解析式：
2
______________，_______________.
1
【答案】y=﹣ x﹣4（答案不唯一），y=2x﹣1（答案不唯一）
21 1
【解析】解： 在直线l：y=﹣ x+1中，k=﹣ ，b=1，
2 2
1
若直线与l互相平行，则一次项系数=﹣ ，常数项≠1，
2
1
∴与l互相平行的直线的解析式可以为y=﹣ x﹣1（答案不唯一），
2
1
若直线与l互相垂直，则一次项系数=-1÷（﹣ ）=2，常数项为任意值，
2
∴与l互相垂直的直线的解析式可以为y=2x﹣1（答案不唯一），
1
故答案为y=﹣ x﹣4（答案不唯一），y=2x﹣1（答案不唯一）
2
【方法总结】
两直线平行，则k值相等，b值不相等；两直线垂直，则k值的乘积为-1.对于后者初中阶
段不做研究，但经常用到，方便解题，要求记住结论并能运用.
【随堂练习】
1．（内江期末）已知一次函数 的图象经过一、三、四象限，则 ，
的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解： 一次函数 的图象经过一、三、四象限
，
， ，
故选： ．
2．（鄂伦春自治旗期末）函数 的图象不经过第二象限，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：一次函数 的图象不经过第二象限，
则可能是经过一三象限或一三四象限，
经过一三象限时， ；
经过一三四象限时， ．
故 ．
故选： ．3．（北流市期末）已知正比例函数 且 随 的增大而减小，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：由题可知，正比例函数 随 的增而减小，则系数小于0．
故选： ．
4．（甘井子区期末）如图，一次函数 的图象与 轴， 轴分别交于点 ，
，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解： 一次函数 的图象经过第一、二、四象限，
，
．
故选： ．
5．（九龙坡区校级期末）已知一次函数 中，函数值 随自变量 的增大而
减小，那么 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解： 函数值 随自变量 的增大而减小，
，
．
故选： ．
6．（忻州期末）已知直线 经过第一、二、四象限，则 的取值范围是A． B． C． D．
【解答】解： 一次函数 的图象经过第一、二、四象限，
且 ；
，
故选： ．
7．（赛罕区期末）若一次函数 的图象经过第一，二，三象限，则 的取
值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意得： ，
解得：
故选： ．
综合运用
1.直线y=kx+3与y=3x+k在同一坐标系内，其位置可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：当k＞0时，两条直线都是从左到右上升的，而且两条直线交y中轴与正半轴，
四个选项都不符合题意；
∴k＜0，只有选项A正确，
故选A.
1
2.下列函数：①y=﹣2x，②y=﹣3x2+1，③y= x﹣2，④y=（x+3）（x+2）- x2，其中一次
3
函数的个数为_______.
【答案】2
【解析】解：①y=﹣2x是正比例函数，也是一次函数，
②y=﹣3x2+1,未知数的次数不是1，不是一次函数，1
③y= x﹣2是一次函数．
3
④y=（x+3）（x+2）- x2化简得y=5x+6，是一次函数
故答案为3.
3.若函数 是一次函数，则m的值为______________.
y=(m-2)xm2-3+4
【答案】-2
【解析】解：∵函数 是一次函数，
y=(m-2)xm2-3+4
∴m2﹣3=1，m﹣2≠0，
解得：m=±2，且m≠2，
又∵
∴m=-2.
故答案为-2.
1
4.已知直线l
1
：y=2x+1，l
2
：y＝− x+1,则两条直线的位置关系为___________；若一条直
2
线与l 平行，则该直线的未知数的系数为_____________.
1
【答案】相互垂直 2
1
【解析】解：∵2×（− ）=-1，
2
∴两直线互相垂直.
∵直线与l 平行，
1
∴该直线的未知数的系数与l 相同，为2.
1
故答案为互相垂直，2.
5. 已知一次函数y=kx﹣3中 y随x的增大而增大，那么它的图象不经过第_____象限.
【答案】二
【解析】解：∵一次函数y=kx﹣3中y随x的增大而增大，
∴k>0,
∴它的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，
故答案为二.
6.一次函数y=（m﹣2）x+3的图象如图所示，则m的取值范围是___________.
【答案】m＜2【解析】解：如图所示，一次函数y=（m﹣2）x+3的图象经过第一、二、四象限，
∴m﹣2＜0，
解得m＜2．
故答案为m＜2．
1
7.关于函数y= x-3，下列结论中正确的是_____________________.
2
①函数图象经过点（1，﹣2）；②函数图象经过一、三、四象限；③y随x的增大而增大．
【答案】②③
1 5
【解析】解：①∵当x=1时，y= ×1﹣3=﹣ ≠﹣2，
2 2
∴点（1，﹣2）不在一次函数的图象上，故结论错误；
1
②∵k= ＞0，b=﹣3＜0，
2
∴此函数的图象经过一、三、四象限，故结论正确；
1
③∵k= ＞0，
2
∴此函数的图象经过一、三象限，y随x的增大而增大，故结论正确．
故选答案为②③.
8. 画出一次函数y=2x﹣1的图象．
【答案】
【解析】解：函数y=2x﹣1，
①列表：
②描点：函数图形过两点（0，﹣1），（1，1），
③画线：过两点画直线，如图所示．
