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第 9 讲 一次函数的应用
知识点1 一次函数的解析式
用待定系数法求一次函数解析式的步骤如下：
①设一次函数解析y=kx+b(k≠0)；
②代入两个已知点的坐标，得到关于k、b的方程组；
③解方程组得到k、b的值；
④写出一次函数的解析式.
若一次函数为正比例函数，则b=0，只需代入一个点的坐标，求出系数k即可.
【典例】
1.已知一次函数y=kx+b经过点（1，1），（2，﹣4），则一次函数的解析式为__________.
【答案】y=﹣5x+6
【解析】解：把（1，1），（2，﹣4）代入y=kx+b，
{&k+b=1
得 ，
&2k+b=-4
解得k=﹣5，b=6
∴函数的解析式为y=﹣5x+6，
故答案为y=﹣5x+6.
2.下列表格列出了一项实验的统计数据，它表示皮球从一定高度落下时，下落高度y与弹
跳高度x的关系，求y与x之间的函数解析式.
【答案】
【解析】解：观察表格可知y与x是一次函数关系，设函数关系式为y=kx+b（k、b是常数，
k≠0），
{&30k+b=50
则 ，
&45k+b=80
{&k=2
解得 ，
&b=-10
所以y与x的函数关系式为y=2x﹣10．3.八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这八个正
方形分成面积相等的两部分，求该直线l的解析式.
【答案】
【解析】解：设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作AB⊥OB于B，过A作
AC⊥OC于C，
∵正方形的边长为1，
∴OB=3.
∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，
∴S =4+1=5，
AOB
△
1
∴ OB•AB=5，
2
10
∴AB= ，
3
10
∴OC= ，
3
10
由此可知直线l经过（﹣ ，3），
3
设直线方程为y=kx（k≠0），
10
则3=﹣ k，
3
9
k=﹣ ，
10
9
∴直线l解析式为y=﹣ x，
10
【方法总结】
典例1直接将两点坐标代入解析式，联立组成方程组，解方程组即可；典例2需要先设出解析式，再代入两点坐标；典例3中的l过原点，为正比例函数，先由图形的面积关系求
出直线l上一点的坐标，再代入即可求出解析式.
待定系数法是求一次函数解析式的主要方法，解题关键是找到或求出直线上的两点（正比
例函数为一个点）的坐标.
【随堂练习】
1．（奉化区期末）如图，一次函数 的图象分别与 轴、 轴交于点
、 ，以线段 为边在第一象限内作等腰 ， ．
（1）求点 、 的坐标；
（2）求过 、 两点的直线的解析式．
【解答】解：（1） 一次函数 中，
令 得： ；
令 ，解得 ，
的坐标是 ， 的坐标是 ；
（2）如图，作 轴于点 ．
，
，
又 ，
．在 与 中，
，
，
， ， ，
则 的坐标是 ，
设直线 的解析式是 ，
根据题意得： ，
解得： ， ，
直线 的解析式是 ．
2．（淮安区期末）已知 是 的一次函数，表中给出了部分对应值．
2 4
5
（1）求该一次函数的表达式；
（2）求 、 的值．
【解答】解：
（1）设一次函数的解析式为 ，
由题意可得 ，解得 ，一次函数解析式为 ；
（2）当 时，代入可得 ，
当 时，代入可得 ，解得 ，
， ．
3．（滦州市期末）直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ．
（1）求直线 的表达式．
（2）若直线 上有一动点 ，且 ，求点 的坐标．
【解答】解：（1）设直线解析式为 ，可得： ，
解得： ，
直线解析式为： ；
（2）设 点坐标为 ，
，
，解得 ，
点 的坐标为 或 ．
4．（莆田期末）已知 与 成正比例，且 时， ．
（1）求 与 的函数关系式；
（2）当 时，求 的值；
（3）将所得函数图象平移，使它过点 ．求平移后直线的解析式．
【解答】解：（1） 与 成正比例，
成正比例，把 时， 代入，得 ， ；
与 的函数关系式为： ，
（2）把 代入得： ；
（3）设平移后直线的解析式为 ，
把点 代入得： ，
解得： ，
故平移后直线的解析式为： ．
5．（凉州区期末）如图，点 的坐标为 ， ，点 的坐标为 ．
（1）求过 ， 两点直线的函数表达式；
（2）过 点作直线 与 轴交于点 ，且使 ，求 的面积．
【解答】解：（1）设过 ， 两点的直线解析式为 ，则根据题意，得
，
解得， ，
则过 ， 两点的直线解析式为 ；
（2）设 点坐标为 ，依题意得 ，所以 点坐标分别为 ， ．，
，
所以， 的面积为 或 ．
6．（新蔡县期末）如图，直线 经过点 ，和点 ．
（1）求直线 的解析式；
（2）求直线与坐标轴的交点坐标；
（3）求 ．
【解答】解：（1）设直线 的解析式为 ，
直线 经过点 ，和点 ，
，
解得 ，
直线 的解析式为 ；
（2）令 ，得 ；
令 得 ，
直线与坐标轴的交点坐标 ， ， ；
（3）设直线 与 轴交于点 ，
．7．（莘县期末）已知 与 成正比例．
（1） 是关于 的一次函数吗？请说明理由；
（2）如果当 时， ，求 关于 的函数表达式．
【解答】解：（1）设 ，
，
是关于 的一次函数；
（2）把 ， 代入得 ，解得 ，
关于 的函数表达式为 ．
8．（寿县期末）如图，一次函数 的图象经过 、 两点，与 轴相交于点
．求：
（1）此一次函数的解析式；
（2） 的面积．
【解答】解：（1） 由图可知 、 ，
，
解得 ，故此一次函数的解析式为： ；
（2） 由图可知， ， ，
， ，
．
答： 的面积是4．
知识点2 一次函数的图形变换
图形变换的三种方式：平移、对称、旋转.
一次函数平移的方法：左加右减，上加下减.
一次函数图象的常见对称变换：
对于直线y=kx+b（k≠0，且k，b为常数），
①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y=kx+b，即y=﹣kx﹣b（关于x轴对称，横
坐标不变，纵坐标是原来的相反数）；
②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y=k（﹣x）+b，即y=﹣kx+b（关于y轴对称，
纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）；
③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y=k（﹣x）+b，即y=kx﹣b（关于原点对
称，横、纵坐标都变为原来的相反数）．
【典例】
1.将一次函数y=﹣2x﹣2的图象先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的函数图
象的表达式为________________.
【答案】y=﹣2x﹣10
【解析】解：把函数y=﹣2x﹣2的图象向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，
可得到的图象的函数解析式是：y=﹣2（x+3）﹣2﹣2=﹣2x﹣10．
故选答案为y=﹣2x﹣10.
2.在平面直角坐标系中，将直线y=5x+6先关于x轴作轴对称变换，再将所得直线关于y轴
作轴对称变换，则经两次变换后所得直线的表达式是_______________.
【答案】y=5x﹣4【解析】解：∵关于x轴对称的点的坐标横坐标不变，纵坐标互为相反数，
∴将直线y=5x+6关于x轴作轴对称变换所得直线的解析式为：﹣y=5x+6；
∵关于y轴对称的点的坐标纵坐标不变，横坐标互为相反数，
∴将直线﹣y=5x+6关于y轴作轴对称变换所得直线的解析式为：﹣y=-5x+4，即y=5x﹣4．
故答案为y=5x﹣4.
3.把一次函数y=x+1的图象绕点（1，0）旋转180°，求所得直线的函数解析式.
【答案】
【解析】解：令x=0，则y=1，即直线y=x+1与y轴交点为（0，1）；
令y=0，则x=﹣1，即直线y=x+1与x轴交点为（﹣1，0）．
点（0，1）绕点（1，0）旋转180°变为（2，﹣1）；点（﹣1，0）绕点（1，0）旋转180°
变为（3，0）．
设旋转后所得直线的表达式为y=kx+b（k、b是常数，k≠0），
{&-1=2k+b
则有 ，
&0=3k+b
{&k=1
解得： ．
&b=-3
故旋转后所得直线的表达式为y=x﹣3．
【方法总结】
求平移和特殊对称后一次函数的解析式比较简单，按照法则将解析式做变换即可.求关于某
点旋转后的一次函数的解析式，一般需要找到原来函数图像上的两点，求出这两点关于某
点旋转后的坐标，再用待定系数法确定旋转后的一次函数的解析式.
【随堂练习】
1．（内黄县期末）如图，直线 与 轴， 轴分别交于点 ， ，以 为底边
在 轴右侧作等腰 ，将 沿 轴折叠，使点 恰好落在直线 上，则点 的
坐标为
A． B． C． D．
【解答】解： 直线 与 轴交于点 ，，
，
又 是以 为底的等腰三角形，
点 的纵坐标为2，
沿 轴折叠，使点 恰好落在直线 上，
当 时， ，
解得 ，
点 的横坐标为1，
点 的坐标为 ，
故选： ．
2．（岐山县一模）直线 关于 轴对称的直线是
A． B． C． D．
【解答】解： 直线 与直线 关于 轴对称，
直线 的解析式为
即 ．
故选： ．
二．填空题（共3小题）
3．（盐城）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象分别交 、 轴于点
、 ，将直线 绕点 按顺时针方向旋转 ，交 轴于点 ，则直线 的函数表达
式是 ．
【解答】解： 一次函数 的图象分别交 、 轴于点 、 ，
令 ，得 ，令 ，则 ，， ， ，
， ，
过 作 交 于 ，过 作 轴于 ，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
， ，
， ，
设直线 的函数表达式为： ，
，
，
直线 的函数表达式为： ，
故答案为： ．
4．（淄川区一模）直线 与直线
的图象关于 轴对称，若直线
的表达式为 ，则直线
的表达式为 ．【解答】解：与直线 关于 轴对称的点的坐标为横坐标互为相反数，纵坐标不变，
则
，即 ．
所以直线 的解析式为： ．
故答案为 ．
5．（高邮市一模）若把一次函数 的图象先绕着原点旋转 ，再向左平移2个
单位长度后，恰好经过点 和点 ，则原一次函数的表达式是 ．
【解答】解：设直线 的解析式为 ．
和点 ，
，
解得 ，
直线 的解析式为 ．
将直线 向右平移2个单位长度后得到的解析式为 ，即 ，
再将 绕着原点旋转 后得到的解析式为 ，即 ，
所以直线 的表达式是 ．
故答案是： ．
三．解答题（共4小题）
6．（莆田一模）规定：在平面直角坐标系内，某直线 绕原点 顺时针旋转 ，得到的
直线 称为 的“旋转垂线”．
求出直线 的“旋转垂线”的解析式；若直线 的“旋转垂线”为直线 ．求证： ．
【解答】解： 直线 经过点 和 ，
则这两点绕原点 顺时针旋转 ，得到的对应点为 和 ，
设直线 的“旋转垂线”的解析式为 ，
把 和 ，代入 ，可得
，解得 ，
直线 的“旋转垂线”的解析式为 ；
证明：直线 经过点 ， 和 ，
则这两点绕原点 顺时针旋转 ，得到的对应点为 和 ，
把 和 ，代入 ，可得
，
，
．7．（高淳区期末）已知平移一次函数 的图象过点 后的图象为 ．
（1）求图象 对应的函数表达式，并画出图象 ；
（2）求一次函数 的图象 与 及 轴所围成的三角形的面积．
【解答】解：（1）由已知可设 对应的函数表达式为 ，
把 ， 代入表达式解得： ，
对应的函数表达式为 ，
画图如下： ，
（2）设 与 的交点为 ，过点 作 轴于 点，
由题意得 ，解得
即 ， ，则 ，
设 、 分别交 轴的于点 、 ，由 ，解 ，即
由 解得 ，即 ，
，
即 与 及 轴所围成的三角形的面积为 ．
8．（山亭区期中）已知一次函数 ，当 时， ．
（1）求一次函数的解析式；
（2）将该函数的图象向上平移6个单位，求平移后的图象与坐标轴围成的三角
形面积．
（3）观察图象回答，当 时， ．
【解答】解：（1）把 ， 代入一次函数 ，得
解得 ．
则该函数解析式为： ；
（2）将直线 向上平移6个单位后得到的直线是：
当 时， ．
当 时， ，
平移后的图象与 轴交点的坐标是 ，与 轴的交点坐标是 ，
则平移后的图象与两坐标轴围成的三角形面积是： ；（3）观察图象知，当 时， ，
故答案为： ．
9．（洪山区期末）（1）将直线 向右平移3个单位长度的解析式为
；
（2）直线 关于直线 对称的直线解析式为 ．
【解答】解：（1）将直线 向右平移 3 个单位长度后的解析式为
；
（2） 直线 过点 ， ，
又 ， 关于直线 的对称点分别为 ， ，
设所求直线的解析式为 ，
把 ， 代入得 ，
解得 ．
所以 关于直线 对称的直线的函数解析式为 ．故答案为： ； ．
知识点3 简单的实际问题
常见的关于一次函数的实际问题的模型有：
①单个一次函数，包括简单的行程问题、销售问题、弹簧伸长问题等；
②分段函数，包括阶梯电价、阶梯水费等；
③两个一次函数，包括追及问题、相遇问题等.
【典例】
1.甲、乙两名大学生骑一辆电动车从学校出发到某乡镇进行社会调查，出发行驶20分钟时
发现忘带相机，甲下车继续步行前往乡镇，乙骑电动车按出发时速度的 2倍按原路返回，
乙到学校用了5分钟取到相机，然后按出发时的速度在距乡镇 22.5千米处追上甲后同车前
往乡镇．如图是甲、乙距学校的距离为y（千米）与出发的时间为x（分）的函数关系式．
（1）求线段CD对应函数关系式；
（2）求甲步行的速度．
【答案】
【解析】解：（1）设线段OA所在直线的函数关系式为y=kx（k≠0），
∵点A（20，18）在直线OA上，
∴18=20k，
9
∴k= ．
10
∵乙骑电动车按出发时速度2倍的按原路返回，乙到学校用了5分钟取到相机，
∴点B的坐标为（30，0），点C的坐标为（35，0）．
9
设线段CD所在直线对应函数关系式为y= x+b，
10
∵点C（35，0）在线段CD上，
9
∴0= ×35+b，
10
63
∴b=﹣ ，
29 63
∴线段CD所在直线对应的函数关系式为y= x﹣ ．
10 2
9 63
当y=45时，有 x﹣ =45，
10 2
解得：x=85，
9 63
∴线段CD对应函数关系式为y= x﹣ （35≤x≤85）．
10 2
（2）45﹣22.5=22.5（千米），
9 63
当y=22.5时，有 x﹣ =22.5，
10 2
解得：x=60．
甲步行的速度为（22.5﹣18）÷（60﹣20）=0.1125（千米/分）．
答：甲步行的速度为0.1125千米/钟．
2.某城市电业局为鼓励居民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，居民应交电费 y
（元）与用电量x（度）的函数关系如图所示．
（1）分别求出当0≤x＜50和x≥50时，y与x的函数解析式；
（2）若某居民该月用电65度，则应交电费多少元？
【答案】
【解析】解：（1）当0≤x≤50时．图象经过（0，0），（50，26）．
可设函数解析式为y=kx（k≠0）．
代入（50,26），得50k=26，
13
解得k= ，
25
13
∴y= x（0≤x≤50）．
25
当x≥50时．图象经过（50，26），（80，48），
可设函数解析式为y=kx+b（k、b是常数，k≠0）．
11
{&k=
{&50k+b=26 15
则有 ，解得 ，
&80k+b=48 32
&b=-
311 32
∴y= x﹣ ．
15 3
11 32
（2）当x=65时，65＞50，y= ×65﹣ =37．
15 3
答：该用户应交电费37元.
【方法总结】
解题时运用一次函数的性质，把实际问题与函数图象结合进行分析，从函数图象中获取实
际问题中的数据，把实际问题中的数据转化为函数图象中的点的坐标，并且运用一次函数
图象描述实际问题．解题的关键在于读懂题意，并用待定系数法求函数的解析式．
【随堂练习】
1．（绍兴）一辆汽车行驶时的耗油量为 0.1升/千米，如图是油箱剩余油量 y
（升）关于加满油后已行驶的路程x（千米）的函数图象．
（1）根据图象，直接写出汽车行驶400千米时，油箱内的剩余油量，并计算加
满油时油箱的油量；
（2）求y关于x的函数关系式，并计算该汽车在剩余油量 5升时，已行驶的路
程．
【解答】解：（1）由图象可知：汽车行驶400千米，剩余油量30升，
∵行驶时的耗油量为 0.1 升/千米，则汽车行驶 400 千米，耗油 400×0.1=40
（升）
∴加满油时油箱的油量是40+30=70升．
（2）设y=kx+b（k≠0），
把（0，70），（400，300）坐标代入可得：k=﹣0.1，b=70
∴y=﹣0.1x+70，
当y=5 时，x=650
即已行驶的路程的为650千米．
2．（长春）某种水泥储存罐的容量为25立方米，它有一个输入口和一个输出
口．从某时刻开始，只打开输入口，匀速向储存罐内注入水泥，3分钟后，再
打开输出口，匀速向运输车输出水泥，又经过2.5分钟储存罐注满，关闭输入口，保持原来的输出速度继续向运输车输出水泥，当输出的水泥总量达到8立
方米时，关闭输出口．储存罐内的水泥量y（立方米）与时间x（分）之间的部
分函数图象如图所示．
（1）求每分钟向储存罐内注入的水泥量．
（2）当3≤x≤5.5时，求y与x之间的函数关系式．
（3）储存罐每分钟向运输车输出的水泥量是____立方米，从打开输入口到关闭
输出口共用的时间为___分钟．
【解答】解：（1）每分钟向储存罐内注入的水泥量为15÷3=5立方米；
（2）设y=kx+b（k≠0）
把（3，15）（5.5，25）代入
解得
∴当3≤x≤5.5时，y与x之间的函数关系式为y=4x+3
（3）由（2）可知，输入输出同时打开时，水泥储存罐的水泥增加速度为4立
方米/分，则每分钟输出量为5﹣4=1立方米；
只打开输出口前，水泥输出量为5.5﹣3=2.5立方米，之后达到总量8立方米需
需输出8﹣2.5=5.5立方米，用时5.5分钟
∴从打开输入口到关闭输出口共用的时间为：5.5+5.5=11分钟
故答案为：1，11
3．（绥化）端午节期间，甲、乙两人沿同一路线行驶，各自开车同时去离家
560千米的景区游玩，甲先以每小时60千米的速度匀速行驶1小时，再以每小
时m千米的速度匀速行驶，途中体息了一段时间后，仍按照每小时 m千米的速
度匀速行驶，两人同时到达目的地，图中折线、线段分别表示甲、乙两人所走
的路程y （km），y （km）与时间x（h）之间的函数关系的图象．请根据图
甲 乙
象提供的信息，解决下列问题：（1）图中E点的坐标是_____，题中m=___km/h，甲在途中休息___h；
（2）求线段CD的解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）两人第二次相遇后，又经过多长时间两人相距20km？
【解答】
解：（1）由图形得D（7，560），
设OD的解析式为：y=kx，
把D（7，560）代入得：7k=560，k=80，
∴OD：y=80x，
当x=2时，y=2×80=160，
∴E（2，160），
由题意得：60×1+m=160，m=100，
7﹣2﹣（560﹣160）÷100=1，
故答案为：（2，160），100，1；
（2）∵A（1，60），E（2，160），
∴直线AE：y=100x﹣40，
当x=4时，y=400﹣40=360，
∴B（4，360）
∴C（5，360），
∵D（7，560），
∴设CD的解析式为：y=kx+b，
把C（5，360），D（7，560）代入得： ，解得： ，
∴直线CD的解析式为：y=100x﹣140（5≤x≤7）；
（3）∵OD的解析式为：y=80x（0≤x≤7），
当x=5时，y=5×80=400，
400﹣360=40，
∴出发5h时两个相距40km，
把y=360代入y=80x得：x=4.5，∴出发4.5h时两人第二次相遇，
①当4.5＜x＜5时，80x﹣360=20，
x=4.75，4.75﹣4.5=0.25（h），
②当x＞5时，80x﹣（100x﹣140）=20，
x=6，6﹣4.5=1.5（h），
答：两人第二次相遇后，又经过0.25时或1.5时两人相距20km．
知识点4 方案、决策问题
【典例】
1.某通讯公司推出了A，B两种上宽带网的收费方式（详情见下表）．
设月上网时间为x h（x为非负整数），请根据表中提供的信息回答下列问题：
（1）设方案A的收费金额为y 元，方案B的收费金额为y 元，分别写出y ，y 关于x的
1 2 1 2
函数解析式；
（2）当35＜x＜50时，选取哪种方式能节省上网费？请说明理由．
【答案】
【解析】解：（1）方案A的收费：
①当0≤x≤25时，y=30；
1
②当x＞25时，y=30+0.05×60×（x﹣25），即y=3x﹣45；
1 1
方案B的收费：
①当0≤x≤50时，y=50；
2
②当x＞50时，y=50+0.05×60×（x﹣50），即y=3x﹣100；
2 2
（2）当35＜x＜50时，选取方式B能节省上网费，理由如下：
∵当35＜x＜50时，y=3x﹣45，y=50，
1 2
∴y﹣y=3x﹣45﹣50=3x﹣95，即y=3x﹣95．
1 2
∵3＞0，
∴y随x的增大而增大，
又∵x=35时，y=10，
∴当35＜x＜50时，y＞10，
∴y＞y，
1 2
∴当35＜x＜50时，选取方式B能节省上网费．【方法总结】
第（1）问根据两种方式的收费标准，进行分类讨论即可求解；第（2）问当35＜x＜50时，
计算出y﹣y 的值，根据一次函数的性质即可得出答案．
1 2
此题考查了一次函数的应用，注意根据图表得出解题需要的信息，正确理解收费标准求出
函数解析式是解题的关键．
【随堂练习】
1．（合浦县二模）一家蔬菜公司收购到某种绿色蔬菜 140吨，准备加工后进行销售，销售
后获利情况如表所示：
销售方式 粗加工后销售 精加工后销售
1000 2000
每吨获利（元
已知该公司的加工能力是：每天能精加工5吨或粗加工15吨，但两种加工不能同时进行．
受季节等条件的限制，公司必须在一定时间内将这批蔬菜全部加工后销售完．
（1）如果要求12天刚好加工完140吨蔬菜，则公司应安排几天精加工，几天粗加工？
（2）如果先进行精加工，然后进行粗加工．
①试求出销售利润 元与精加工的蔬菜吨数 之间的函数关系式；
②若要求在不超过10天的时间内，将140吨蔬菜全部加工完后进行销售，则加工这批蔬菜
最多获得多少利润？此时如何分配加工时间？
【解答】解：（1）设应安排 天进行精加工， 天进行粗加工，
根据题意得 ，
解得 ，
答：应安排4天进行精加工，8天进行粗加工．
（2）①精加工 吨，则粗加工 吨，根据题意得：
；
② 要求在不超过10天的时间内将所有蔬菜加工完，
，
解得：
，
又 在一次函数 中， ，随 的增大而增大，
当 时， ．
精加工天数为 ，
粗加工天数为 ．
安排1天进行精加工，9天进行粗加工，可以获得最多利润为145000元．
2．（枣阳市模拟）受地震的影响，某超市鸡蛋供应紧张，需每天从外地调运鸡蛋 1200斤．
超市决定从甲、乙两大型养殖场调运鸡蛋，已知甲养殖场每天最多可调出800斤，乙养
殖场每天最多可调出900斤，从两养殖场调运鸡蛋到超市的路程和运费如表：
到超市的路 运费（元 斤
程（千 千米）
米）
甲养殖场 200 0.012
乙养殖场 140 0.015
（1）若某天调运鸡蛋的总运费为2670元，则从甲、乙两养殖场各调运了多少斤鸡蛋？
（2）设从甲养殖场调运鸡蛋 斤，总运费为 元，试写出 与 的函数关系式，怎样安
排调运方案才能使每天的总运费最省？
【解答】解：（1）设从甲养殖场调运鸡蛋 斤，从乙养殖场调运鸡蛋 斤，
根据题意得： ，
解得： ，
， ，
符合条件．
答：从甲、乙两养殖场各调运了500斤，700斤鸡蛋；
（2）从甲养殖场调运了 斤鸡蛋，从乙养殖场调运了 斤鸡蛋，
根据题意得： ，
解得： ，
总运费 ， ，
随 的增大而增大，当 时， 元，
每天从甲养殖场调运了300斤鸡蛋，从乙养殖场调运了900斤鸡蛋，每天的总运费最省．
3．（陆川县期末）我市某游乐场在暑假期间推出学生个人门票优惠活动，各类门票价格如
下表：
票价种类 （A）夜场票 （B）日通票 （C）节假日通票
80 120 150
单价（元
某慈善单位欲购买三种类型的门票共100张奖励品学兼优的留守学生，设购买 种票 张
种票张数是 种票的3倍还多7张， 种票 张，根据以上信息解答下列问题：
（1）直接写出 与 之间的函数关系式；
（2）设购票总费用为 元，求 （元 与 （张 之间的函数关系式；
（3）为方便学生游玩，计划购买学生的夜场票不低于20张，且节假日通票至少购买5张，
有哪几种购票方案？哪种方案费用最少？
【解答】解：（1）根据题意，
，
所以 ；
（2） ；
（3）依题意得
解得 ，
因为整数 为20、21、22，
所以共有3种购票方案 、20， 、67， 、13； 、21， 、70， 、9； 、22，
、73， 、 ；
而 ，
因为 ，
所以 随 的增大而减小，
所以当 时， ，
即当 种票为22张， 种票73张， 种票为5张时费用最少，最少费用为11270元．
4．（长沙模拟）某公司有 型产品40件， 型产品60件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中70件给甲店，30件给乙店，且都能卖完．两商店销售这两种产品每件的利润
（元 如下表：
型利润 型利润
甲店 200 170
乙店 160 150
（1）设分配给甲店 型产品 件，这家公司
卖出这100件产品的总利润为 （元 ，求 关于 的函数关系式，并求出 的取值范
围；
（2）若公司要求总利润不低于17560元，有多少种不同分配方案，哪种方案总利润最大，
并求出最大值．
【解答】解：（1） ，
又 ，
，
（2） ，
，
，
有3种不同方案．
，
当 时， ，
分配甲店 型产品40件， 型30件，分配乙店 型0件，
型30件时总利润最大．最大利润为17600元．
5．（恩施市期末）武汉市某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案．印刷厂有甲、乙
两种收费方式，除按印刷份数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要，
两种印刷方式的费用 （元 与印刷份数 （份 之间的关系如图所示：（1）求甲、乙两种收费方式的函数关系式；
（2）当印刷多少份学案时，两种印刷方式收费一样？
【解答】解：（1）设甲的函数解析式是 ，
根据题意得： ，
解得： ，
则甲的函数解析式是： ；
设乙的函数解析式是 ，
根据题意得： ，
解得： ，
则乙的函数解析式是： ；
（2）根据题意得： ，
解得： ，
故当印刷300份学案时，两种印刷方式收费一样．
6．（番禺区期末）某景点的门票销售分两类：一类为散客门票，价格40元 张，另一类为
团体门票（一次性购买门票10张及以上），每张门票价格在散客价格基础上打8折．
某班部分同学要去景点旅游，设参加旅游 人，购买门票需要 元．
（1）如果每人分别买票，求 与 之间的函数解析式．
（2）如果买团体票，求 与 之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
（3）请根据人数变化设计一种比较省钱的购票方案．
【解答】解：（1）散客门票： ；（2）团体票： ；
（3）因为 ，
所以当人数为8人， 时，两种购票方案相同；
当人数少于8人， 时，按散客门票购票比较省钱；
当人数多于8人， 时，按团体票购票比较省钱．
综合运用
1.下表是弹簧挂重后的总长度L（cm）与所挂物体重量x（kg）之间的几个对应值，则可以
推测L与x之间的关系式是________________.
【答案】L=2x+20
【解析】解：设L与x之间的关系式是L=ax+b（a、b是常数，a≠0），
当x=0，L=20时，当x=1，L=22时，得
{&b=20 {&a=2
，解得 ，
&a+b=22 &b=20
L与x之间的关系式是L=2x+20，
故答案为L=2x+20，
2.在平面直角坐标系中，将直线 l ：y=﹣2x+4平移后得到直线l ，l 与x轴交于点（4，
1 2 2
0），则平移方式可以是_______________.
【答案】将l 沿y轴向上平移4个单位（或将l 沿x轴向右平移2个单位）
1 1
【解析】解：设直线l 的解析式为y=﹣2x+b，将（4，0）代入，
2
得0=﹣2×4+b，解得b=8，
则直线l 的解析式为y=﹣2x+8（l 沿y轴向上平移4个单位得到）．
2 1
∵l：y=﹣2x+4=﹣2（x﹣2），
1
l：y=﹣2x+8=﹣2（x﹣4），
2
∴l 沿x轴向右平移2个单位后得到直线l，
1 2
∴将l 沿y轴向上平移4个单位或将l 沿x轴向右平移2个单位后得到直线l．
1 1 2
故答案为：将l 沿y轴向上平移4个单位（或将l 沿x轴向右平移2个单位）
1 1
3.如图，在直角坐标系中，直线y=kx+4与x轴正半轴交于一点A，与y轴交于点B，已知
△OAB的面积为10，求这条直线的解析式．【答案】
4 4
【解析】解：当y=0时，kx+4=0，解得x=﹣ ，则A（﹣ ，0），
k k
当x=0时，y=kx+4=4，则B（0，4），
因为△OAB的面积为10，
1 4 4
所以 ·（﹣ ）·4=10，解得k=﹣ ，
2 k 5
4
所以直线解析式为y=﹣ x+4．
5
4.求下列一次函数的解析式：
（1）直线y=2x+1向右平移2个单位后的解析式；
（2）直线y=2x+1绕原点旋转180°后的直线解析式是_____________；
【答案】
【解析】解：（1）∵直线向右平移2个单位，
∴平移后的解析式为：y=2（x﹣2）+1=2x﹣3．
故答案为：y=2x﹣3；
（2）∵直线y=2x+1与y轴、x轴的交点为A、B，
1
∴A（0，1），B（﹣ ，0）．
2
1
∵点A, B绕原点旋转180°后的坐标为A′（0，﹣1），B′（ ，0），
2
∴设旋转后的直线解析式为y=kx+b（k≠0），
{
&b=-1
{&k=2
∴ 1 ，解得 ，
& k+b=0 &b=-1
2
∴直线解析式为y=2x﹣1．
故答案为：y=2x﹣1.
5.已知四条直线y=kx﹣3（k<0），y=﹣1，y=3和x=1所围成的四边形的面积是12，求k的
值.
【答案】【解析】解：在y=kx﹣3中，令y=﹣1，
2
解得x= ；
k
6
令y=3，x= ；
k
1 2 6
当k＜0时，四边形的面积是： [（1﹣ ）+（1﹣ ）]×4=12，
2 k k
解得k=﹣2；
即k的值为﹣2．
6.长春和吉林两地之间的铁路交通设有特快列车和普通快车两种车次，某天一辆普通快车
从长春出发匀速驶向吉林，同时另一辆特快列车从吉林出发匀速驶向长春，两车与长春的
距离s（千米）与行驶时间t（时）之间的函数关系如图所示．
（1）长春到吉林的距离为_________千米，普通快车到达吉林所用时间为_________小时;
（2）求特快列车与长春的距离s与t之间的函数解析式;
（3）在长春、吉林两地之间有一座铁路桥，特快列车到铁路桥后又行驶0.5小时与普通快
车相遇，求长春与铁路桥之间的距离．
【答案】
【解析】解：（1）由图象可得，
长春到吉林的距离为450千米，
普通快车到达吉林所用时间为：450÷（150÷2.5）=7.5（时），
故答案为：450，7.5；
（2）设特快列车与长春的距离s与t之间的函数关系式是s=kt+b（k、b是常数，k≠0），{&b=450
根据图像可得 ，
&2.5k+b=150
{&k=-120
解得 ，
&b=450
即特快列车与长春的距离s与t之间的函数解析式是s=﹣120t+450；
（3）设长春与铁路桥之间的距离是x千米，
x=﹣120×（2.5﹣0.5）+450=﹣240+450=210，
答：长春与铁路桥之间的距离是210千米．
7.如图，购买一种苹果，付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA
和射线AB组成，则一次购买5千克这种苹果比分五次每次购买1千克这种苹果可节省多
少元？
【答案】
【解析】解：由图象可知A（2，20），B（4，36），
设直线OA解析式为y=kx，则2k=20，解得k=10，
∴直线OA解析式为y=10x（0≤x≤2），
∴买1千克时，付款金额为y=10×1，
∴分五次购买1千克所需要费用为50元，
设直线AB解析式为y=tx+b，
{&2t+b=20 {&t=8
∴ ，解得 ，
&4t+b=36 &b=4
∴直线AB解析式为y=8x+4（x＞2），
∴当x=5时，y=44，即一次购买5千克所需费用为44元，
∵50﹣44=6，
∴一次购买5千克这种苹果比分五次每次购买1千克这种苹果可节省6元，
8.为了美化环境，建设宜居成都，我市准备在一个广场上种植甲、乙两种花卉，经市场调
查，甲种花卉的种植费用y（元）与种植面积x（m2）之间的函数关系如图所示，乙种花卉
的种植费用为每平方米100元．
（1）直接写出当0≤x≤300和x＞300时，y与x的函数关系式；
（2）广场上甲、乙两种花卉的种植面积共1200m2，若甲种花卉的种植面积不少于200m2，
且不超过乙种花卉种植面积的2倍，那么应该怎样分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植总费用最少？最少总费用为多少元？
【答案】
{ 130x(0≤x≤300)
【解析】解：（1）y= .
&80x+15000(x＞300)
（2）设甲种花卉种植为 a m2，则乙种花卉种植（12000﹣a）m2．
{&a≥200
∴ ，
&a≤2(1200-a)
∴200≤a≤800
当200≤a＜300时，W=130a+100（1200﹣a）=30a+120000．
1
当a=200 时．W =126000元；
min
当300≤a≤800时，W=80a+15000+100（1200﹣a）=135000﹣20a．
2
当a=800时，W =119000元.
min
∵119000＜126000
∴当a=800时，总费用最少，最少总费用为119000元．
此时乙种花卉种植面积为1200﹣800=400（m2）．
答：应该分配甲、乙两种花卉的种植面积分别是800m2 和400m2，才能使种植总费用最少，
最少总费用为119000元．
9.如图，四边形OABC是长方形，点D在OC边上，以AD为折痕，将△OAD向上翻折，
3 5
点O恰好落在BC边上的点E处，若OC= ，A点坐标为（ ，0），求线段AD所在直线
2 2
的解析式．
【答案】【解析】解：∵四边形OABC是长方形，
3
∴AB=OC= ，
2
5
∵A（ ，0），
2
5
∴OA=BC= ，
2
5
设OD=t，由折叠的性质可得DE=OD=t，OA=AE= ，
2
3
∴CD= ﹣t，
2
在Rt ABE中，由勾股定理可得BE2=AE2-AB2，
即BE
△
2=(
5
)
2-( 3
)
2=4，
2 2
∴BE=2.
5 1
∴CE=BC﹣BE= ﹣2= ，
2 2
在Rt CDE中，由勾股定理可得DE2=CD2+CE2，
△3 1 5
∴t2=（ ﹣t）2+（ ）2，解得t= ，
2 2 6
5
∴D（0， ），
6
设直线AD的解析式为y=kx+b（k、b是常数，k≠0），
5 1
{& k+b=0 {&k=-
2 3
∴ ，解得 ，
5 5
&b= &b=
6 6
1 5
∴直线AD的解析式为y=﹣ x+ ．
3 6
