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第 7 讲 反比例函数的图象及其性质
知识点1反比例函数的概念
1．反比例函数的概念
k
y=
x
一般地，函数 （k是常数，k¿0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可
y=kx−1
以写成 的形式。自变量x的取值范围是x¿0的一切实数，函数的取值范围也是一
切非零实数。
2．反比例函数解析式的确定
k
y=
x
由于在反比例函数 中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的
一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。
【典例】
1.下列函数中，表示y是x的反比例函数的是（ ）
A. y= B. y= C. y=2x D. y=
【答案】B.
【解析】解：根据反比例函数的定义，可判断出只有y= 表示y是x的反比例函数．
故选：B．
2.已知反比例函数的图象过点M（﹣1，2），则此反比例函数的表达式为（ ）
A. y= B. y=﹣ C. y= D. y=﹣
【答案】B.【解析】解：设反比例函数的解析式为 （k≠0）．
∵该函数的图象过点M（﹣1，2），
∴2= ，
得k=﹣2．
∴反比例函数解析式为y=﹣ ．
故选：B．
3.函数y=（m+1）x 是y关于x的反比例函数，则m= ．
【答案】3
【解析】解：∵函数y=（m+1）x 是y关于x的反比例函数，
∴m2﹣2m﹣4=﹣1且m+1≠0，
解得m=3．
故答案是：3
4.如图，在平面直角坐标系中，▱ABCO的顶点A、C的坐标分别为A（2，0）、C（﹣
1，2），反比例函数y= （k≠0）（k≠0）的图象经过点B，则求反比例函数的表达式为
．
【答案】y=
【解析】解：设BC与y轴的交点为F，过点B作BE⊥x轴于E，如图．
∵▱ABCO的顶点A、C的坐标分别为A（2，0）、C（﹣1，2），
∴CF=1，OF=2，OA=2，OC=BA，∠C=∠EAB，∠CFO=∠AEB=90°．
在△CFO和△AEB中，
，
∴△CFO≌△AEB（AAS），
∴CF=AE=1，OF=BE=1，∴OE=OA﹣AE=2﹣1=1，
∴点B的坐标为（1，2）．
∵反比例函数y= （k≠0）的图象经过点B，
∴k=1×2=2，
∴反比例函数的表达式为y= ．
故答案是：y= ．
【方法总结】
y=kx−1
反比例函数解析式注意 ，x的次数为-1，求解析式时可用k=xy.
【随堂练习】
1．（雅安期末）若函数 是反比例函数，则 的值是
A． 或1 B．小于 的任意实数
C． D．1
【解答】解：依题意得： 且 ，
解得 ．
故选： ．
2．（东台市期中）已知反比例函数 ，那么 的值是 ．
【解答】解：依题意得： 且 ．
解得 ．
故答案是： ．
3．（永定区期末）函数 是 关于 的反比例函数，则 2 ．
【解答】解： 函数 是 关于 的反比例函数，
，
解得： ．
故答案为：2．4．（兰州期末）若函数 是反比例函数，则 3 ．
【解答】解：根据题意得： ，
解得： ．
故答案是：3．
5．（龙湖区期末）已知： 是反比例函数，则 ．
【解答】解：因为 是反比例函数，
所以 的指数 ，
即 ，解得： 或 ；
又 ，
所以 ，即 ．
故答案为： ．
知识点2反比例函数的图象及其性质
（1）反比例函数的图象
反比例函数的图象是双曲线，有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第
二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量 x¿0，函数y¿0，所以，它
的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐
标轴。
（2）反比例函数的性质【典例】
1.对于反比例函数y=﹣ ，下列说法不正确的是（ ）
A. 图象分布在第二、四象限 B. 当x＞0时，y随x的增大而增大
C. 图象经过点（1，﹣2）
D. 若点A（x，y），B（x，y）都在图象上，且x＜x，则y＜y
1 1 2 2 1 2 1 2
【答案】D.
【解析】解：A、k=﹣2＜0，∴它的图象在第二、四象限，故本选项正确；
B、k=﹣2＜0，当x＞0时，y随x的增大而增大，故本选项正确；C、∵﹣ =﹣2，∴点（1，﹣2）在它的图象上，故本选项正确；
D、点A（x ，y ）、B（x 、y ）都在反比例函数y=﹣ 的图象上，若x ＜x ＜0，则y ＜
1 1 2 2 1 2 1
y，故本选项错误．
2
故选：D．
2.已知a＞﹣ ，若当1≤x≤2时，函数y= （a≠0）的最大值与最小值之差是1，则a的值为
（ ）
A. ﹣1 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C.
【解析】解：当 ＜a＜0时，
函数y= （a≠0）中在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵当1≤x≤2时，函数y= （a≠0）的最大值与最小值之差是1，
∴ =1，得a=﹣2（舍去），
当a＞0时，
函数y= （a≠0）中在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵当1≤x≤2时，函数y= （a≠0）的最大值与最小值之差是1，
∴ =1，得a=2，
故选：C．
3.已知关于x的方程（k﹣2）2x2+（2k+1）x+1=0有实数解，且反比例函数y= 的图象
经过第二、四象限，若k是整数，则k的值为______
【答案】1
【解析】解：∵关于x的方程（k﹣2）2x2+（2k+1）x+1=0有实数解，
∴△≥0，即（2k+1）2﹣4（k﹣2）2≥0，解得k≥ ；
∵反比例函数y= 的图象经过第二、四象限，
∴2k﹣3＜0，即k＜ ，∴ ≤k＜ ，
∴整数K为1
【方法总结】
1.双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不
能一概而论.
2.选择题考对称性时酌情考虑用特殊点排除不正确的答案.
【随堂练习】
1．（兴庆区校级一模）已知二次函数 的图象如下，则一次函数
与反比例函数 在同一平面直角坐标系中的图象大致是
A． B．
C． D．
【解答】解：对称轴位于 轴左侧， 、 同号，即 ．图象经过 轴正半可知 ，
根据对称轴和一个交点坐标用 表示出 ， ， ， ，
确定一次函数和反比例函数有2个交点，
由 可知，直线 经过一、二、三象限，
由 可知，反比例函数 的图象经过第一、三象限，
故选： ．2．（青岛）已知反比例函数 的图象如图所示，则二次函数 和一次函数
在同一平面直角坐标系中的图象可能是
A． B．
C． D．
【解答】解： 当 时， ，即抛物线 经过原点，故 错误；
反比例函数 的图象在第一、三象限，
，即 、 同号，
当 时，抛物线 的对称轴 ，对称轴在 轴左边，故 错误；
当 时， ，直线 经过第一、二、三象限，故 错误， 正确．
故选： ．
二．解答题（共2小题）
3．（乌鲁木齐）小明根据学习函数的经验，对函数 的图象与性质进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）函数 的自变量 的取值范围是 ．
（2）下表列出了 与 的几组对应值，请写出 ， 的值： ， ；
1 2 3 4
2（3）如图，在平面直角坐标系 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出
的点，画出该函数的图象；
（4）结合函数的图象，请完成：
①当 时， ．
②写出该函数的一条性质 ．
③若方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是 ．
【解答】解：（1） 在分母上，
．
故答案为： ．
（2）当 时， ；
当 时， ．
故答案为： ； ．
（3）连点成线，画出函数图象．
（4）①当 时，有 ，
解得： ， ．
故答案为： 或 ．
②观察函数图象，可知：函数图象在第一、三象限且关于原点对称．
故答案为：函数图象在第一、三象限且关于原点对称．
③ 有两个不相等的实数根，
或 ．
故答案为： 或 ．4．（杭州）设一次函数 ， 是常数， 的图象过 ， 两点．
（1）求该一次函数的表达式；
（2）若点 在该一次函数图象上，求 的值．
（3）已知点 ， 和点 ， 在该一次函数图象上，设 ，判
断反比例函数 的图象所在的象限，说明理由．
【解答】解：（1） 一次函数 ， 是常数， 的图象过 ，
两点，
，得 ，
即该一次函数的表达式是 ；
（2）点 在该一次函数 的图象上，
，
解得， 或 ，
即 的值是 或5；
（3）反比例函数 的图象在第一、三象限，
理 由 ： 点 ， 和 点 ， 在 该 一 次 函 数 的 图 象 上 ，
，
，，
反比例函数 的图象在第一、三象限．
知识点3系数K的几何意义
k
y= |k|
x
①过双曲线 (k≠0) 上任意一点作x轴、y轴的垂线段，所得矩形(如图)面积为 。
k
y=
x
②过双曲线 (k≠0) 上任意一点作任一坐标轴的垂线段，连接该点和原点，所得三角形
|k|
2
（如图）的面积为 ．
k
y=
P P
x
③双曲线 (k≠0) 同一支上任意两点 1、 2与原点组成的 三角形（如图）的面积=直
P P Q Q
角梯形 1 2 2 1的面积．
【典例】
1.函数y= 和y= 在第一象限内的图象如图，点P是y= 的图象上一动点，PC⊥x轴于点
C，交y= 的图象于点B．给出如下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②PA与PB始
终相等；③四边形PAOB的面积大小不会发生变化；④CA= AP．其中所有正确结论的序
号是（ ）A. ①②③
B. ②③④
C. ①③④
D. ①②④
【答案】C.
【解析】解：∵A、B是反比函数y= 上的点，
∴S =S = ，故①正确；
OBD OAC
△ △
当P的横纵坐标相等时PA=PB，故②错误；
∵P是y= 的图象上一动点，
∴S =4，
矩形PDOC
∴S =S ﹣S ﹣﹣S =4﹣ ﹣ =3，故③正确；
四边形PAOB 矩形PDOC ODB OAC
△ △
连接OP，
= = =4，
∴AC= PC，PA= PC，
∴ =3，
∴AC= AP；故④正确；
综上所述，正确的结论有①③④．
故选：C．2.如图，点A与点B分别在函数y= 与y= 的图象上，线段AB的
中点M在y轴上．若△AOB的面积为2，则k﹣k 的值是________
1 2
【答案】4
【解析】解：作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，
∴AC∥BD∥y轴，
∵M是AB的中点，
∴OC=OD，
设A（a，b），B（﹣a，d），
代入得：k=ab，k=﹣ad，
1 2
∵S =2，
AOB
△
∴ （b+d）•2a﹣ ab﹣ ad=2，
∴ab+ad=4，
∴k﹣k=4，
1 2
3.如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数 （x＞0）与 AB 相交于点 D，与 BC 相交于点 E，若
BD=3AD，且△ODE的面积是12，则k=______
【答案】
【解析】解：∵四边形OCBA是矩形，
∴AB=OC，OA=BC，
设B点的坐标为（a，b），
∵BD=3AD，
∴D（ ，b）
∵D、E在反比例函数的图象上，
∴ =k，
设E的坐标为（a，y），
∴ay=k
∴E（a， ），
∵S =S ﹣S ﹣S ﹣S =ab﹣ k﹣ k﹣ • •（b﹣ ）=12，
ODE 矩形OCBA AOD OCE BDE
△ △ △ △
∴4k﹣k﹣ + =12
k=
【方法总结】
反比例函数的比例系数k具有一定的几何意义，|k|等于反比例函数图象上任意一点向两坐
标轴所作垂线段与两坐标轴所围成的矩形的面积．在反比例函数的图象中，涉及三角形或
矩形的面积时，常用比例系数k的几何意义解决问题．
【随堂练习】
1．（临沂）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象与边长是6的正方形 的两边 ， 分别相交于 ， 两点． 的面积为10．若动点
在 轴上，则 的最小值是
A． B．10 C． D．
【解答】解： 正方形 的边长是6，
点 的横坐标和点 的纵坐标为6，
， ， ，
， ，
的面积为10，
，
，
， ，
作 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于 ，则 的长 的最小值，
，
， ，
，
故选： ．
二．填空题（共1小题）2．（合浦县二模）如图，在反比例函数 的图象上有一点 向 轴垂线交 轴于点 ，
为线段 的中点，又 点在 轴上，且 ，则 的面积为 3 ．
【解答】解：设 、 ，由反比例函数 可知 ，
， ，
．
故答案为：3．
综合运用：反比例函数图象及其性质
1.m为何值时，下列函数是反比例函数？
（1）y=（m﹣1） ；
（2）y= ．
【解析】解：（1）由题意得：m2﹣2=﹣1，且m﹣1≠0，
解得：m=﹣1；
（2）由题意得：m+2≠0，|m|﹣1=1，
解得：m=2．
2.【探究函数y=x+ 的图象与性质】
（1）函数y=x+ 的自变量x的取值范围是 ；
（2）下列四个函数图象中，函数y=x+ 的图象大致是 ；（3）对于函数y=x+ ，求当x＞0时，y的取值范围．请将下列的求解过程补充完整．
解：∵x＞0，∴y=x+ =（ ）2+（ ）2=（ ﹣ ）2+ ．
∵（ ﹣ ）2≥0，∴y≥ ．
【拓展说明】
（4）若函数y= （x＞0），求y的取值范围．
【解析】解：（1）∵y=x+ ，
∴x的取值范围是x≠0，
故答案为：x≠0；
（2）∵函数y=x+ ，
∴当x＞0时，y＞0，当x＜0时，y＜0，
故选：C；
（3）∵x＞0，
∴y=x+ =（ ）2+（ ）2=（ ﹣ ）2+2．
∵（ ﹣ ）2≥0，
∴y≥2，
故答案为：2、2；
（4）∵x＞0，
∴y= =x﹣5+ =（x﹣4+ ）﹣1=（ ）2﹣1≥﹣1，
即y的取值范围是y≥﹣1．
3.小张同学尝试运用课堂上学到的方法，自主研究函数 y= 的图象与性质．下面是小张
同学在研究过程中遇到的几个问题，现由你来完成：（1）函数y= 的定义域是 ；
（2）下表列出了y与x的几组对应值：
表中m的值是 ；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出以表中各组对应值为坐标的点，试由描出的
点画出该函数的图象；
（4）结合函数y= 的图象，写出这个函数的性质： ．（只需写一个）
【解析】解：（1）函数y= 的定义域是x≠0，
故答案为：x≠0；
（2）当y=1时， =1，
解得：x=1或x=﹣1，
∴m=﹣1，
故答案为：﹣1；
（3）如图所示：（4）图象关于y轴对称，
故答案为：图象关于y轴对称．
4.如图，已知反比例函数 的图象的一支位于第一象限．
（1）该函数图象的另一分支位于第 象限，m的取值范围是 ；
（2）已知点A在反比例函数图象上，AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为3，求m的值．
【解析】解：（1）根据反比例函数的图象关于原点对称知，该函数图象的另一支在第三象
限，且m﹣7＞0，则m＞7；
故答案是：三，m＞7；
（2）∵点A在第一象限，
∴AB⊥x轴，
∴S = ，
OAB
△
∴m﹣7=6，
解得m=13．
5.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．已知反比例函数y= （k＞0）的图象经过
点A（2，m），过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为5．
（1）求k和m的值；
（2）当x≥8时，求函数值y的取值范围．【解析】解：（1）∵A（2，m），
∴OB=2，AB=m，
∴S = •OB•AB= ×2×m=5，
AOB
△
∴m=5，
∴点A的坐标为（2，5），
把A（2，5）代入y= ，得k=10；
（2）∵当x=8时，y= ，
又∵反比例函数y= 在x＞0时，y随x的增大而减小，
∴当x≥8时，y的取值范围为0＜y≤ ．
6.（1）点（3，6）关于y轴对称的点的坐标是 ．
（2）反比例函数 关于y轴对称的函数的解析式为 ．
（3）求反比例函数 （k≠0）关于x轴对称的函数的解析式．
【解析】解：（1）由于两点关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数；
则点（3，6）关于y轴对称的点的坐标是（﹣3，6）；
（2）由于两反比例函数关于y轴对称，比例系数k互为相反数；
则k=﹣3，
即反比例函数 关于y轴对称的函数的解析式为y=﹣ ；
（3）由于两反比例函数关于x轴对称，比例系数k互为相反数；
则反比例函数 （k≠0）关于x轴对称的函数的解析式为：y=﹣ ．
故答案为：（﹣3，6）、y=﹣ ．
7.如图，某反比例函数图象的一支经过点A（2，3）和点B（点B在点A的右侧），作
BC⊥y轴，垂足为点C，连结AB，AC．
（1）求该反比例函数的解析式；（2）若△ABC的面积为6，求直线AB的表达式．
【解析】解：（1）由题意得，k=xy=2×3=6
∴反比例函数的解析式为y= ．
（2）设B点坐标为（a，b），如图，
作AD⊥BC于D，则D（2，b）
∵反比例函数y= 的图象经过点B（a，b）
∴b=
∴AD=3﹣ ．
∴S = BC•AD
ABC
△
= a（3﹣ ）=6
解得a=6
∴b= =1
∴B（6，1）．
设AB的解析式为y=kx+b，
将A（2，3），B（6，1）代入函数解析式，得
，解得 ，
直线AB的解析式为y=﹣ x+4．
