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专题 6.14 反比例函数与几何综合（基础篇）（专项练习）
一、单选题
1．如图，点A、B分别在反比例函数 （ ）和反比例函数 （ ）的
图象上， 轴，则△OAB的面积等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，一次函数 、 为常数， 与反比例函数 的图象交于A
（1，m），B（n，2）两点，与坐标轴分别交于 ， 两点．则 AOB的面积为( )
△
A．3 B．6 C．8 D．12
3．如图，平行四边形OABC的对角线AC、OB交于点P，点P的坐标为（ ，1），
AC∥x轴，若函数y （x＜0）的图像经过平行四边形OABC的顶点C，则点A的坐标为
（ ）A．（3，1） B．（4，1） C．（4.5，1） D．（3.5，1）
4．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边BC在x轴正半轴上，点A，D在
第一象限内．反比例函数 在第一象限内的图象经过点A交DC边于点E，且CE=
AB．若点B的坐标为（1，0），则k的值为（ ）
A．2 B． C． D．3
5．如图，菱形OABC的边OC在x轴上，点B的坐标为 ，反比例函数 经过
点A，则k的值为（ ）
A．12 B．15 C．16 D．20
6．如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且
直线l分别与反比例函数 和 的图象交于P、Q两点．若S POQ＝15，则k的值
△
为（ ）A．38 B．22 C．﹣7 D．﹣22
7．如图，在平面直角坐标系中， 的顶点C在x轴的正半轴上，边 轴于
点C，对角线 ．函数 的图象经过点A、点D．若 ，则 的长为
（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
8．如图，已知点A、B分别在反比例函数 ， 的图像上，且
，则 的值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 （x＞0）的图象与边长是4的正方
形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N两点，△OMN的面积为6．则k的值是
（ ）A．4 B．6 C．8 D．10
10．如图，A、B两点在反比例函数 （ ）的图象上，AB的延长线交x轴于
点C，且AB=2BC，则△AOC的面积是（ ）
A．12 B．6 C．8 D．10
二、填空题
11．在平面直角坐标系中，OA＝AB，∠OAB＝90°，反比例函数 （x＞0）的图像
经过A和B 两点其中A（2，m），且点B的纵坐标为n，则n＝______．
12．反比例函数 和 在第一象限的图象如图所示，点A在函数 的图象上，
点B在函数 的图象上，点C是y轴上一个动点，若 轴，则 的面积是
______．13．矩形 中，点 的坐标是 ，动点 从点 出发，沿着 方向向点 运
动，动点 从点 出发，沿着 方向向点 运动， 、 两点同时运动且速度相同，连接
与 相交于点 ，有一双曲线 （ ）经过点 ，则 ______．
14．如图，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，且点B(5，4)，
反比例函数 的图象与BC交于点D(1，4)，与AB交于点E，则E点的坐标是_______．
15．如图， 、 两点在反比例函数 的图像上，它们的横坐标分别为 ，
，过点 作 轴于点 ，若 的面积为1，则 _________16．如图，在平面直角坐标中，点O为坐标原点，直线y＝kx﹣2 k（k＜0）交x轴
的正半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，若BC平分∠ABO交OA于点C，AC＝2OC，则
k的值为____．
17．如图，菱形OABC在第一象限内，∠AOC＝60°，反比例函数y＝ （k＞0）的图
象经过点A，交BC边于点D，若 AOD的面积为 ，则k的值为______．
△
18．如图，点B为反比例函数y= (k<0，x<0)上的一点，点A为x轴负半轴上一点，
连接AB，将线段AB绕点A逆时针旋转90°，点B的对应点为点C，若点C恰好也在反比
例y= 的图象上，已知B、C纵坐标分别为3，1，则k=______________．三、解答题
19．如图，已知平行四边形ABCD的顶点A、C在反比例函数 的图象上，顶点
B、D在 轴上． 已知点 、 ．
(1) 直接写出点C、D的坐标；
(2) 求反比例函数的解析式；
(3) 求平行四边形ABCD的对角线AC、BD的长；
(4) 求平行四边形ABCD的面积S．
20．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B在函数 的图象上
（点A的纵坐标大于点B的纵坐标），点A的坐标为（2，4），过点A作AD⊥x轴于点
D，过点B作BC⊥x轴于点C，连结OA，AB．
(1) 求k的值．
(2) 若CD＝2OD，求四边形OABC的面积．21．如图，一次函数 的图象与反比例函数 在第一象限内的图象交
于 和 两点．
(1) 求反比例函数的表达式．
(2) 在第一象限内，当一次函数 的值大于反比例函数 的值时，写
出自变量x的取值范围
(3) 求 AOB面积．
△
22．如图，A，B是双曲线y= (x>0)上任意两点，点P在 OAB内，且PB∥y轴，
△
PA∥x，若 BOP的面积为4．
(1) 求△ AOP的面积；
(2) 求△ABP的面积．
△23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 与反比例函数
交于A， 两点，其中点A的横坐标为1．
(1) 求一次函数和反比例函数的解析式；
(2) 将一次函数向下平移8个单位长度后，与x轴交于点C，连接CA，CB，求△ABC
的面积；
(3) 请结合图象，直接写出不等式 的解集．
24．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y 的图象交于点A（m，2），B
1
（﹣1，4），与y轴交于点C，连接OA，OB．
(1) 求反比例函数和一次函数的解析式；
(2) 求 OAB的面积；
△
(3) 若点P在y轴上，且BP OA，请直接写出点P的坐标．参考答案
1．A
【分析】延长BA交y轴于点M，根据反比例函数的k的意义得出 ， ，
结合图形求解即可．
解：延长BA交y轴于点M，∵ 轴，点A在 上，点B在 上，
∴ ， ，
∴ ，
故选：A．
【点拨】题目主要考查反比例函数与三角形的面积关系，熟练掌握反比例函数的性质
是解题关键．
2．A
【分析】把A（1，m），B（n，2）分别代入y= 即可求出m，n，即可得到A、B的
坐标，把A，B的坐标代入y=kx+b求得一次函数的解析式，进一步M点的坐标，利用
S BOM-S AOM求得 AOB的面积．
△ △ △
解：把A（1，m），B（n，2）分别代入y= ，
得m=4，n=2，
∴A（1，4），B（2，2），
将点A（1，4）和B（2，2）代入一次函数y=kx+b，
得 ，解得 ．
∴一次函数的表达式y=-2x+6，
令x=0，则y=-2x+6=6，
∴M（0，6），
∴S AOB=S BOM-S AOM= ×6×2- ×6×1=3，
△ △ △
故选：A．【点拨】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标图象，待定系数法求一次函数的
解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
3．A
【分析】点C纵坐标与点P纵坐标相等，将y＝1代入解析式可得点C坐标，再根据中
点坐标公式求解．
解：∵AC∥x轴，点P的坐标为（ ，1），
∴点C纵坐标与点P纵坐标相等为1，
将y＝1代入y 中得：
x＝﹣2，
即点C坐标为（﹣2，1），
∵平行四边形OABC的对角线AC、OB交于点P，
∴点P为AC中点，
∴ ,
∴ ,
点A坐标为（3，1）．
故选：A．
【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、、平行四边形的性质，熟练掌
握平行四边形的性质是解题的关键．
4．A
【分析】设正方形 的边长为 ，则 ，从而可得点 的坐标，再将
它们代入反比例函数的解析式即可得．
解：由题意，设正方形 的边长为 ，则 ，
， ，
，将点 代入反比例函数 得： ，
解得 或 （不符题意，舍去），
则 ，
故选：A．
【点拨】本题考查了反比例函数的几何应用、正方形的性质，熟练掌握反比例函数的
性质是解题关键．
5．A
【分析】延长BA交y轴于点D，设 ，则 ，利用勾股定理可知
，由此可求得点A的坐标是 ，可知 ．
解：延长BA交y轴于点D，
设 ，则 ，
∴在 中，由勾股定理得 ，
解得 ，
故点A的坐标是 ，
得 ，
故选：A ．
【点拨】本题主要考查反比例函数与菱形的综合，结合勾股定理求得A点坐标是解题
的关键．
6．D
【分析】设点P（a，b），Q（a， ），则OM＝a，PM＝b，MQ＝ ，则PQ＝
PM+MQ＝ ，再根据ab＝8，S POQ＝15，列出式子求解即可．
△解：设点P（a，b），Q（a， ），则OM＝a，PM＝b，MQ＝ ，
∴PQ＝PM+MQ＝ ．
∵点P在反比例函数y＝ 的图象上，
∴ab＝8．
∵S POQ＝15，
△
∴ PQ•OM＝15，
∴ a（b﹣ ）＝15．
∴ab﹣k＝30．
∴8﹣k＝30，
解得：k＝﹣22．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了反比例函数与几何综合，熟练掌握反比例函数的相关知识是
解题的关键．
7．B
【分析】延长AB交x轴于点E，根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AB=CD=1，再
根据四边形CDBE是矩形，可得BE=CD=1，从而得到AE=2，进而得到点A（4，2），D
（8，1），即可求解．
解：如图，延长AB交x轴于点E，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD=1，
∵ 轴，
∴AB⊥x轴，
∵ ，∴∠BEC=∠DCE=∠BDC=90°，
∴四边形CDBE是矩形，
∴BE=CD=1，
∴AE=2，
∵函数 的图象经过点A、点D．
∴当y=2时，x=4，；当y=1时，x=8，
∴点A（4，2），D（8，1），
∴点B（4，1），
∴BD=8-4=4．
故选：B
【点拨】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，平行四边形的性质，矩形的判定
和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质，平行四边形的性质，矩形的判定和性质是解
题的关键．
8．A
【分析】过点A作AC⊥y轴，作BD⊥y轴，设点 ， ，再分别表示出
AC，CO，BD，DO，然后证明 ，可得关于a，b的关系式，可得答案．
解：过点A作AC⊥y轴，作BD⊥y轴，设点 ， ，
∴AC=a， ，BD=b， ．
∵∠AOC+∠CAO=90°，∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠CAO=∠BOD．
∵∠ACO=∠BDO，
∴ ，
∴ ，
即 ，
解得ab=2，∴ ．
故选：A．
【点拨】这是一道关于反比例函数和几何图形的综合问题，构造直角三角形是解题的
关键．
9．C
【分析】由正方形OABC的边长是4，得到点M的横坐标和点N的纵坐标为4，求得
M（4， ），N（ ，4），根据三角形的面积列方程得到M、N的坐标，然后利用待定
系数法确定函数解析式．
解：∵正方形OABC的边长是4，
∴点M的横坐标和点N的纵坐标为4，
∴M（4， ），N（ ，4），
∴BN＝4﹣ ，BM＝4﹣ ，
∵△OMN的面积为6，
∴4×4﹣ ×4× ﹣ ×4× ﹣ ×（4﹣ ）2＝6，
∴k＝8，（负根舍去）
故选：C．
【点拨】本题考查了反比例函数的系数k的几何意义，正方形的性质，由三角形的面
积公式列出方程并解答是解题的关键．
10．A
【分析】过点A作AH⊥OC于点H，过点B作BG⊥OC于点G，设 ，根据△BCG∽△ACH，可得 ，从而得到点B的坐标为 ，从而
得到 ，即可求解．
解：如图，过点A作AH⊥OC于点H，过点B作BG⊥OC于点G，
∵A、B两点在反比例函数 （ ）的图象上，
∴设 ，
∵AH⊥OC，BG⊥OC，
∴△BCG∽△ACH，
∴ ，
∵AB=2BC，
∴ ，
∴点B的纵坐标为 ，
∴点B的坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：A.
【点拨】本题主要考查反比例函数的几何意义和相似三角形的判定和性质，熟练的将
解析式，点坐标、线段长进行灵活转换才是解题的关键．
11． -2##-2+
【分析】过A作AC⊥y轴，垂足为C，作BD⊥AC，垂足为D，通过证△AOC≌△ABD可得：OC＝AD＝m，AC＝BD＝2，即可求得B点的纵坐标．
解：如图：过A作AC⊥y轴，垂足为C，作BD⊥AC，垂足为D，
∵∠BAO＝90°，
∴∠OAC+∠BAD＝90°，
∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAO，
∵∠D＝∠ACO＝90°，AO＝AB，
∴△ACO≌△DAB（AAS），
∴AD＝CO，BD＝AC，
∵A（2，m），
∴OC＝AD＝m，AC＝BD＝2．
∴点B坐标为
∴
∴解得 （舍去）
∴n＝m﹣2＝ -2，
故答案为： -2．
【点拨】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，关键
是求得BD的长．
12． ##0.5
【分析】设A(m， )，B(m， )，则AB= - ，△ABC的高为m，根据三角形面积
公式计算即可得答案．解：∵A、B分别为 、 图象上的点，AB//y轴，
∴设A(m， )，B(m， )，
∴S ABC= （ - ）m= ，
△
故答案为：
【点拨】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上点的坐标
都满足反比例函数的解析式是解题关键．
13．2
【分析】证得四边形OPBQ是平行四边形，根据平行四边形的性质得到OD=BD，即
可求得D的坐标，代入 （k≠0）即可求得k的值．
解：连接OQ、PB，
由题意可知OP=BQ，
∵OA BC，
∴四边形OPBQ是平行四边形，
∴OD=BD，
∵点B的坐标是（4，2），
∴D（2，1），
∵双曲线 （k≠0）经过点D，
∴k=2×1=2，
故答案为：2．
【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，平行四边形的判
断和性质，求得D的坐标是解题的关键．14．
【分析】由点D(1，4)，在反比例函数 的图象上，可得 ，则根据 的坐标求
得 ．
解：∵矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，且点B(5，4)，
∴ 的横坐标为5，
由点D(1，4)，在反比例函数 的图象上，可得 ，
反比例函数 ，
在反比例函数 图象上
．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了反比例函数与几何图形，掌握矩形的性质，反比例函数的性质是
解题的关键．
15．
【分析】过点B作BD垂直于x轴于点D，由已知可知 根据三角形的
面积，即 可得 解出即可得出结果．
解：如图所示：过点B作BD垂直于x轴于点D，∵点A，B的横坐标分别为a，b，都在反比例函数 的图像上，
故答案为：
【点拨】本题主要考查了点在反比例函数图象上与坐标轴围成的图形面积，熟练掌握
点在函数图象上的关系是解此题的关键．
16．
【分析】过点C作CD⊥AB于点D，则OC=CD，利用面积法结合AB=2OC，可得出
AB=2OA，利用勾股定理可得出 ，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出
OA，OB的长，结合 可求出k值．
解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，∵BC平分∠ABO，
∴OC=CD，
∵ ， ，
∴ ，
∴AB=2OB，
∴ ，
当x=0时，y=2 k，当y=0时， ，
∴ ， ，
∴ ，解得： ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了角平分线的性质、三角形的面积、勾股定理以及一次函数图象上
点的坐标特征，利用面积法找出 是解题的关键．
17．
【分析】连接AC，过点A作AE⊥OC于E，根据S AOE= S AOC= S AOD，再根
△ △ △
据反比例函数k的几何意义得出k值即可．
解：连接AC，过点A作AE⊥OC于E，∵四边形ABCO是菱形，
∴AO∥CB，OA＝OC，且∠AOC=60°，
∴△AOC是等边三角形，且AE⊥OC，
∴S AOE= S AOC，
△ △
∵OA∥BC，
∴S OAD=S OAC= ，
△ △
∴S AOE= S AOC= = ，
△ △
∴k= ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了反比例函数与菱形性质的综合应用，运用平行线的性质和反比例
函数k的几何意义是解决本题的关键．
18．-6
【分析】如图过点C作CE⊥x轴于E，过点B作BF⊥x轴于F，求得
∠BAF+∠ABF=90°，根据旋转的性质得到AB=AC，∠BAC=90°，根据全等三角形的性质得
到AF=CE，BF=AE，设B（x，3）则C（x-4，1），根据点B、点C在反比例函数y= 的
图象上，得到3x=x-4，于是得到结论．
解：如图，过点C作CE⊥x轴于E，过点B作BF⊥x轴于F，∴∠AEC=∠BFA=90°，
∴∠BAF+∠ABF=90°，
由旋转知，AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠CAE+∠BAF=90°，
∴∠ABF=∠CAE，
∴△ABF≌△CAE（AAS），
∴AF=CE，BF=AE，
∵B、C的纵坐标分别为3、1，
∴CE=1，BF=3，
∴AF=1，AE=3，
设B（x，3）则C（x-4，1），
∵点B、点C在反比例函数y= 的图象上，
∴3x=x-4，
∴x=-2，
∴B（-2，3），
∴k=-6，
故答案为：-6．
【点拨】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，
构造出△ABF≌△CAE是解本题的关键．
19．(1)C(3，-2)；D（5，0）(2) (3) ； (4)
【分析】（1）由题意，点A、C，点B、D关于原点对称，即可得出答案；
（2）直接将点 代入反比例函数 ，即可求出解析式；
（3）直接根据B、D的坐标得到BD的长，过点A作AE⊥x轴于E，有勾股定理可求出
OA的长，即可得出AC的长；（4）由 ，即可求解．
（1）解：由题意点A、C，点B、D关于原点对称，且 、 ，
∴C(3，-2)；D（5，0）．
（2）∵反比例函数图象经过点（-3，2），
∴
反比例函数的解析式为 ．
（3） ；
过点A作AE⊥x轴于E，在Rt AEO中，
△
，
∴ ．
（4） ．
【点拨】本题考查反比例函数，平行四边形，熟练运用反比例函数的对称性是解题的
关键．
20．(1)8(2)
【分析】（1）将点A的坐标（2，4）代入 ，可得结果；
（2）利用反比例函数的解析式可得点B的坐标，利用三角形的面积公式和梯形的面积
公式可得结果．(1)解：将点A的坐标（2，4）代入 ，
可得k＝xy＝2×4＝8，
∴k的值为8；
(2)∵k的值为8，
∴函数 的解析式为 ，
∵CD＝2OD，OD＝2，
∴CD＝4，
∴OC＝6，
∴点B的横坐标为6，
将x＝6代入 ，得 ，
∴点B的坐标为（6， ），
∴S OABC＝S AOD＋S ABCD＝ ×2×4＋ ×( ＋4)×4＝ ．
四边形 梯形
△
【点拨】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，运用数形结合思想是解答
此题的关键．
21．(1) ．(2)1﹤x﹤3．(3)4．
【分析】（1）把A点坐标代入一次函数解析式可求得n的值，再代入反比例函数解析
式可求得k，即可得出反比例函数的表达式；
（2）根据A，B点的横坐标，结合图象可直接得出满足条件的x的取值范围；
（3）设一次函数与x轴交于点C，可求得C点坐标，利用 可求
得 的面积．
（1）解：（1）∵点A在一次函数图象上，
∴n=-1+4=3，
∴A（1，3），
∵点A在反比例函数图象上，
∴k=3×1=3，
∴反比例函数的表达式为（2）结合图象可知当一次函数值大于反比例函数值时，x的取值范围为1＜x＜3．
（3）如图，设一次函数与x轴交于点C，
在y=-x+4中，令y=0可求得x=4，
∴C（4，0），即OC=4，
将B（3，m）代入y=-x+4，得m=1，∴点B的坐标为（3，1）．
故 AOB的面积为4．
【△点拨】本题是反比例函数与一次函数的综合题，主要考查函数图象的交点问题，掌
握两函数图象的交点坐标满足每个函数解析式是解题的关键．
22．(1)4(2)8
【分析】（1）设B (m， )， A (n， )，则P(m， )，由 BOP的面积为4推出
△
n=3m，利用三角形面积公式即可求解；
（2）同理，利用三角形面积公式即可求解．
(1)解：∵A，B是双曲线y= (x>0)上任意两点，
∴设B (m， )， A (n， )，则P(m， )，
∴AP=n-m，BP= - ，
∵ BOP的面积为4．
△
∴ BP•xP= ( - ) •m=4，
∴n=3m，
∴ AOP的面积= AP•yP= (n-m) • =4；
△(2)解：同（1） ABP的面积= AP•BP= (n-m)•( - )
△
= (3m-m)•( - )
= ．
【点拨】本题考查了反比例函数与几何的综合，解题的关键是灵活运用所学知识解决
问题．
23．(1)y＝2x＋4； (2)16(3)−3≤x＜0或x≥1
【分析】（1）把点B（−3，−2）代入 ，求得k，进而求得A的坐标，然
后根据待定系数法求得一次函数的解析式；
（2）根据平移的规律求得平移后的直线解析式，进而求得C的坐标，求得直线AB与
x轴的交点D的坐标，然后根据S ABC＝S ACD＋S BCD求得即可；
△ △ △
（3）根据图象即可求得．
解：（1）反比例函数 的图象经过点B（−3，−2），
∴k＝−3×（−2）＝6，
∴反比例函数的解析式为 ，
把x＝1代入得，y＝ ＝6，
∴A（1，6），
∵把A、B的坐标代入y＝mx＋n（m≠0）得 ，
解得 ，
∴一次函数的解析式为y＝2x＋4；
（2）把y＝0，代入y＝2x＋4得，2x＋4＝0，解得x＝−2，
∴D（−2，0），
将一次函数向下平移8个单位长度后，得到y＝2x−4，
令y＝0，则0＝2x−4，解得x＝2，
∴C（2，0），∴CD＝4，
∴S ABC＝S ACD＋S BCD＝ ×4×（6＋2）＝16；
△ △ △
（3）由图象可知不等式 的解集是−3≤x＜0或x≥1．
【点拨】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析
式，三角形面积以及函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．
24．(1) ， (2) OAB的面积为3(3)点P的坐标（0，3）或（0，5）
△
【分析】（1）把B（﹣1，4）代入y 求得 ，将点A（m，2），代入
，进而求得 的值，根据 的坐标待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）根据直线解析式求得点 的坐标，根据 求解即可；
（3）设 ，根据BP OA，列出方程解方程求解即可求解．
解：（1）把B（﹣1，4）代入y ，
，
反比例函数解析式为：
将点（m，2），代入 ，即 ，得
设直线 解析式为解得
一次函数的解析式为
（2）由 ，令 ，得
（3）设 ， ， ，
BP OA，
解得
点P的坐标（0，3）或（0，5）
【点拨】本题考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理求坐标系中两点距离，解
一元二次方程，掌握以上知识是解题的关键．
