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第 8 讲 反比例函数的综合运用
知识点1反比例函数实际应用
1.分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要
科学合理，又符合实际。
2.函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后
根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数
3.概括整合
（1）简单的反比例函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。
【典例】
1.某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 p（kPa）是气体体积
V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）求这一函数的解析式；
（2）当气体体积为1m3时，气压是多少？
（3）当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于
多少？（精确到0.01m3）【解析】解：（1）设 ，
由题意知 ，
所以k=96，
故 ；
（2）当v=1m3时， ；
（3）当p=140kPa时， ．
所以为了安全起见，气体的体积应不少于0.69m3．
3.某公司生产一种成本为20元/件的新产品，在年1月1日投放市场，前3个月只在本地销
售，同时每月投入500万元开拓外地市场，3个月后，外地市场开拓成功进行正常销售．
（1）只在本地销售时，该产品的销售价格不低于 20元/件，且不能超过80元/件，销售价
格x（元/件）与月销售量y（万件）满足函数关系式y= ，前3个月每件产品的定价多
少元时，每月可获得最大利润？最大利润为多少？（不考虑每月对开拓外地市场的投入）
（2）3个月后正常销售，该种产品销售价格统一为（80﹣m）元/件，公司每月可销售
（10+0.2m）万件．从第4个月开始，每月可获得的最大利润是多少万元？
（3）若该产品的销售情况一年内不发生变化（含只在本地销售的 3个月），请从该年的最
大总利润的角度分析，开拓外地市场能使公司增加多少利润？
【解析】解：（1）∵每件产品的利润为（x﹣20）元，销售量y= （万件），
∴每月利润= ×（x﹣20）=200﹣ ，
∵20≤x≤80，
又∵每月利润随着x的增大而减小，
∴当x=80时，
y取到最大值，即每月利润最大，把x=80代入得：每月利润=150万元
即最大利润为150万元；
答：前3个月每件产品的定价80元时，每月可获得最大利润，最大利润为多少150万元，
（2）∵每件产品的利润为（80﹣m﹣20）元，即（60﹣m）元，销售量为（10+0.2m）万
件，
∴每月利润=（60﹣m）×（10+0.2m），
整理后得：每月利润=﹣0.2m2+2m+600=﹣0.2（m﹣5）2+605，
∵每件产品的利润（60﹣m）≥0，
∴m≤60，
把m=5代入每月利润=﹣0.2（m﹣5）2+605得：每月利润为605万元，
即每月可获得的最大利润是605万元，
答：从第4个月开始，每月可获得的最大利润是605万元；
（3）前三个月本地销售的利润为150×3=450万元，
后九个月正常销售的利润为605×9=5445万元，
开拓开外地市场增加的利润为450+5445﹣3×500=4395万元，
答：从该年的最大总利润的角度分析，开拓外地市场能使公司增加4395万元利润．
【方法总结】
应用反比例函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
（1）有图象的，注意坐标轴表示的实际意义及单位；
（2）注意自变量的取值范围。
【随堂练习】
1．（文登区期末）为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自
年1月开始限产进行治污改造，其月利润 （万元）与月份 之间的变化如图所示，治污
完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列选项错误
的是
A．4月份的利润为50万元
B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元
C．治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元D．9月份该厂利润达到200万元
【解答】解： 、设反比例函数的解析式为 ，
把 代入得， ，
反比例函数的解析式为： ，
当 时， ，
月份的利润为50万元，故此选选项正确，不合题意；
、治污改造完成后，从4月到6月，利润从50万到110万，故每月利润比前一个月增加
30万元，故此选选项正确，不合题意；
、当 时，则 ，
解得： ，
则只有3月，4月，5月共3个月的利润低于100万元，故此选项不正确，符合题意．
、设一次函数解析式为： ，
则 ，
解得： ，
故一次函数解析式为： ，
故 时， ，
解得： ，
则治污改造完成后的第5个月，即9月份该厂利润达到200万元，故此选项正确，不合题
意．
故选： ．
二．填空题（共1小题）2．（江岸区校级模拟）如图，一块砖的 、 、 三个面的面积比是 ，如果 面
向下放在地上，地面所受压强为 ，那么 面向下放在地上时，地面所受压强为
．
【解答】解：设该砖的质量为 ，则
面向下放在地上时地面所受压强为 帕， ， ， 三个面的面积之比是
把砖的 面向下放在地下上， ．
故答案为： ．
三．解答题（共4小题）
3．（泰州期末）小明家饮水机中原有水的温度为 ，通电开机后，饮水机自动开始加
热（此过程中水温 与开机时间 （分 满足一次函数关系），当加热到 时自动
停止加热，随后水温开始下降（此过程中水温 与开机时间 （分 成反比例关系），
当水温降至 时，饮水机又自动开始加热，重复上述程序（如图所示），根据图中提供
的信息，解答下列问题：
（1）当 时，求水温 与开机时间 （分 的函数关系式；
（2）求图中 的值；
（3）若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步 57分钟回到家时，饮水机内的
温度约为多少 ？【解答】解：（1）当 时，设水温 与开机时间 （分 的函数关系为：
，
依据题意，得 ，
解得： ，
故此函数解析式为： ；
（2）在水温下降过程中，设水温 与开机时间 （分 的函数关系式为： ，
依据题意，得： ，
即 ，
故 ，
当 时， ，
解得： ；
（3） ，
当 时， ，
答：小明散步57分钟回到家时，饮水机内的温度约为 ．
4．（西湖区期末）某游泳池有900立方米水，每次换水前后水的体积保持不变．设放水的
平均速度为 立方米 小时，将池内的水放完需 小时，
（1）求 关于 的函数表达式，并写出自变量 的取值范围；
（2）若要求在2.5小时至3小时内（包括2.5小时与3小时）把游泳池内的水放完，求放
水速度的范围．
【解答】解：（1）由题意得： ，
即： ，答： 关于 的函数表达式为 ，自变量的取值范围为 ．
（2）当 时， ，
当 时， ，
所以放水速度的范围为 立方米 小时，
答：所以放水速度的范围为 立方米 小时．
5．（余杭区期末）为预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，
室内每立方米空气中的含药量 与药物在空气中的持续时间 成正比例；燃烧后，
与 成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量
为 ．根据以上信息解答下列问题：
（1）分别求出药物燃烧时及燃烧后 关于 的函数表达式
（2）当每立方米空气中的含药量低于 时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，
在哪个时段消毒人员不能停留在教室里？
（3）当室内空气中的含药量每立方米不低于 的持续时间超过20分钟，才能有效杀
灭某种传染病毒．试判断此次消毒是否有效，并说明理由．
【解答】解：（1）在 时，
；
，函数为反比例函数，
故 ，故函数表达式为： ；
故函数表达式为： ；
（2） 时， ，解得： ；
时， ，解得： ；
根据图象，当 时， ，
即从消毒开始第2分钟到第50分钟消毒人员不能停留在教室里；
（3） 时， ，解得： ；
时， ，解得： ；
，
本次消毒有效．
6．（鼓楼区期末）小明要把一篇社会调查报告录入电脑当他以 100字 分的速度录入文字
时，经240分钟能完成录入．设他录入文字的速度为 字 分时，完成录入的时间为 分
（1）求 与 之间的函数表达式；
（2）要在 内完成录入任务，小明每分钟至少应录入多少个字？
【解答】解：（1）由题意得： ，则 ；
（2） ，
当 时， ，解得： ，
由反比例函数的性质知：当 时， ，
是整数， ，
故小明每分钟至少录入134个字．
知识点2反比例函数与一次函数
1.求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组
有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点。
2.如果图中直接给出交点坐标，比较函数大小, 根据图象，确定大小关系，要注意分支讨论。
【典例】1.如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣ x与反比例函数y= （k≠0）在第二象限内的图
象相交于点A（m，1）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将直线y=﹣ x向上平移后与反比例函数图象在第二象限内交于点B，与y轴交于点
C，且△ABO的面积为 ，求直线BC的解析式．
【解析】解：（1）∵直线y=﹣ x过点A（m，1），
∴﹣ m=1，解得m=﹣2，
∴A（﹣2，1）．
∵反比例函数y= （k≠0）的图象过点A（﹣2，1），
∴k=﹣2×1=﹣2，
∴反比例函数的解析式为y=﹣ ；
（2）设直线BC的解析式为y=﹣ x+b，
∵三角形ACO与三角形ABO面积相等，且△ABO的面积为 ，
∴△ACO的面积= OC•2= ，
∴OC= ，
∴b= ，
∴直线BC的解析式为y=﹣ x+ ．
2.如图，直线y=﹣2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，与反比例函数y= 的图象有唯一的
公共点C（1）求k的值及C点坐标；
（2）直线l与直线y=﹣2x+4关于x轴对称，且与y轴交于点B'，与双曲线y= 交于D、E
两点，求△CDE的面积．
【答案】
【解析】解：（1）令﹣2x+4= ，则2x2﹣4x+k=0，
∵直线y=﹣2x+4与反比例函数y= 的图象有唯一的公共点C，
∴△=16﹣8k=0，
解得k=2，
∴2x2﹣4x+2=0，
解得x=1，
∴y=2，
即C（1，2）；
（2）∵直线l与直线y=﹣2x+4关于x轴对称，
∴A（2，0），B'（0，﹣4），
∴直线l为y=2x﹣4，
令 =2x﹣4，则x2﹣2x﹣3=0，
解得x=3，x=﹣1，
1 2
∴E（﹣1，﹣6），D（3，2），
又∵C（1，2），
∴CD=3﹣1=2，
∴△CDE的面积= ×2×（6+2）=8．【方法总结】
一次函数，反比例两函数比大小：
此类问题首先要先找到交点，如果交点为2 个X ,X 且X ＜0＜X 那么把这个图像分为了
1 2 1 2
4份，分别为Ⅰ:X＜X ，Ⅱ:X ＜X＜0，Ⅲ:0＜X＜X ，Ⅳ:X＞X ，树形结合，自变量相同，
1 1 2 2
谁高谁大。（考虑反比例函数时一定要分支考虑，分为0左边，0右边，所以两个交点把
图像分为了4部分）
【随堂练习】
1．（梁溪区期末）在平面直角坐标系中，分别过点 ， 作垂直于 轴的
直线 和 ，探究直线 、 与函数 的图象（双曲线）之间的关系，下列结论错误的
是
A．两条直线中总有一条与双曲线相交
B．当 时，两条直线与双曲线的交点到原点的距离相等
C．当 时，两条直线与双曲线的交点都在 轴左侧
D．当 时，两条直线与双曲线的交点都在 轴右侧
【解答】解：反比例函数 的图象位于第一、三象限，过点 ， 垂直
于 轴的直线 和
无论 为何值，直线 和 至少由一条与双曲线相交，因此 正确；
当 时，直线 和 与双曲线的交点为 ， ， 它们到原点的距离为 ，因此
是正确的；
当 时，但 的值不能确定，因此两条直线与双曲线的交点不一定都在 轴的左侧，因此 选项是不正确的；
当 时， ，两条直线与双曲线的交点都在 轴右侧，是正确的，
故选： ．
2．（泉港区期末）如图，直线 与反比例函数 的图象交于 ，
两点．若点 的坐标是 ，则点 的坐标是
A． B． C． ． D．
【解答】解：把点 代入直线 和反比例函数 得： ， ，
直线 ，与反比例函数 ，
，解得： ， ，
故选： ．
3．（定远县一模）已知反比例函数 与一次函数 的图象相交于点 ，
两点，一次函数的图象与 轴交于点 ，点 在 轴上，其坐标为 ，则
的面积为A．12 B．9 C．6 D．5
【解答】解： 点 在反比例函数 上，
，
．
把 代入 得
，
，
．
把 ， 代入
，解得 ，
一次函数的解析式为 ，
点 在直线 上，
当 时， ，
过 作 轴于 ．．
故选： ．
4．（安庆一模）如图，在平面直角坐标系中，直线 交 轴于 点，交 轴于
点，以 为边在第一象限作正方形 ，其中顶点 恰好落在双曲线 上，现将
正方形 向下平移 个单位，可以使得顶点 落在双曲线上，则 的值为
A．2 B． C． D．3
【解答】解：作 轴于点 ，作 轴于点 ，作 轴于点 ，交双曲线
于点
在 中，令 ，解得： ，即 的坐标是 ．
令 ，解得： ，即 的坐标是 ．
则 ， ．
，
，
又 直角 中， ，
，在 和 中，
，
，
同理， ，
， ，
故 的坐标是 ， 的坐标是 ．代入 得： ，则函数的解析式是： ．
，
则 的纵坐标是4，把 代入 得： ．即 的坐标是 ，
，
．
故选： ．
5．（包头二模）如图，在平面直角坐标系中，函数 与 的图象交于 ， 两
点，过 作 轴的垂线，交函数 的图象于点 ，连接 ，则 的面积为
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：如图，连接 设 交 轴于 ．轴于 ，
， ，
，
， 关于原点对称，
，
，
故选： ．
6．（南岸区校级月考）如图所示，菱形 的顶点 在 轴上，顶点 在反比例函数
的图象上，边 ， 分别交反比例函数 的图象于点 ，点 ，边 交 轴
于点 ，连接 ．已知四边形 的面积为12， ，则 的值为
A． B． C． D．
【解答】解：如图，连接 ，作 于 ， 于 ．
在 中， ，可以假设 ， ，则 ，
，
或 （舍弃），
， ，
，
，
，
，
，
，
， ，
点 在 上，
，
故选： ．
知识点3反比例函数与几何综合应用
反比例函数的基本性质在几何中的应用，适当设双曲线上的点的坐标，用坐标转化题中的
几何条件及几何结论，利用双曲线上的点的代数、几何性质，建立方程进行求解及利用坐
标系解决不规则三角形面积计算问题。注意勾股定理、完全平方式、整体代入、图形变换
等结合及点坐标的应用。
【典例】
1.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B在x轴正半轴上，顶点D在反比例函数 的第一象限的图象上，CA的延长线与y轴负半轴交于点E．若△ABE的面
积为1.5，则k的值为 ．
【答案】3
【解析】解：设正方形ABCD的边长为a，A（x，0），则D（x，a），
∵点D在反比例函数y= 的图象上，
∴k=xa，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAB=45°，
∴∠OAE=∠CAB=45°，
∴△OAE是等腰直角三角形， ∴E（0，﹣x），
∴S ABE= AB•OE= ax=1.5，
∴ax△=3，即k=3．
故答案为：3．
2.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y= （x＞0）的图象与y= （x＞0）的图
1 2
象关于x轴对称，Rt AOB的顶点A，B分别在y= （x＞0）和y= （x＞0）的图象
1 2
△
上．若OB=AB，点B的纵坐标为﹣2，则点A的坐标为 ．
【答案】（3+ ，﹣1+ ）【解析】解：如图，
作正方形ABOC，过点C作CD⊥y轴于D，过点E作BE⊥y轴于E，
∴∠ODC=∠BEO=90°，OB=OC，∠COD+∠BOE=90°，
∵∠COD+∠OCD=90°，
∴∠OCD=∠BOE，
∴△COD≌△OBE，
∴CD=OE=2，OD=BE，S =S ，
COD OBE
△ △
∵反比例函数y= （x＞0）的图象与y= （x＞0）的图象关于x轴对称，
1 2
∴k1+k=0，
2
∴点C在双曲线y= 上，
1
设B（m，﹣2）（m＞0），
∴C（2，m），
∴k=2m
1
连接BC交OA于H，
则CH=BH，OH=AH，
∴H（ ， ），
∴A（m+2，m﹣2），
∴k=（m+2）（m﹣2）
1
∴（m+2）（m﹣2）=2m，
∴m=1+ 或m=1﹣ （舍），
∴m+2=3+ ，m﹣2=﹣1+ ，
∴A（3+ ，﹣1+ ），故答案为：（3+ ，﹣1+ ）．
3.如图，反比例函数y= （x＞0）过点A（3，4），直线AC与x轴交于点C（6，0），过
点C作x轴的垂线BC交反比例函数图象于点B。
（1）求k的值与B点的坐标；
（2）在平面内有点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形，试写出
符合条件的所有D点的坐标．
【解析】解：（1）把点A（3，4）代入y= （x＞0），得
k=xy=3×4=12，
故该反比例函数解析式为：y= ．
∵点C（6，0），BC⊥x轴，
∴把x=6代入反比例函数y= ，得
y= =6．
则B（6，2）．
综上所述，k的值是12，B点的坐标是（6，2）．
（2）①如图，当四边形ABCD为平行四边形时，AD∥BC且AD=BC
∵A（3，4）、B（6，2）、C（6，0），
∴点D的横坐标为3，y ﹣y =y ﹣y 即4﹣y =2﹣0，故y =2．
A D B C D D
所以D（3，2）．
②如图，当四边形ACBD′为平行四边形时，AD′∥CB且AD′=CB
∵A（3，4）、B（6，2）、C（6，0），
∴点D的横坐标为3，y ′﹣y =y ﹣y 即y ﹣4=2﹣0，故y =6．
D A B C D D′
所以D′（3，6）．
③如图，当四边形ACD″B为平行四边形时，AC=BD″且AC=BD″．
∵A（3，4）、B（6，2）、C（6，0），
∴x ﹣x =x ﹣x 即x ﹣6=6﹣3，故x =9．
D″ B C A D″ D″y ﹣y =y ﹣y 即y ﹣2=0﹣4，故y =﹣2．
D″ B C A D″ D″
所以D″（9，﹣2）．
综上所述，符合条件的点D的坐标是：（3，2）或（3，6）或（9，﹣2）．
4.如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y= 与y= （x＞0，0＜m＜n）的图
象上，对角线BD∥y轴，且BD⊥AC于点P．已知点B的横坐标为4．
（1）当m=4，n=20时．
①若点P的纵坐标为2，求直线AB的函数表达式．
②若点P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由．
（2）四边形ABCD能否成为正方形？若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，试说
明理由．
【解析】解：（1）①如图1，∵m=4，
∴反比例函数为y= ，
当x=4时，y=1，
∴B（4，1），
当y=2时，
∴2= ，
∴x=2，
∴A（2，2），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∴ ，∴ ，
∴直线AB的解析式为y=﹣ x+3；
②四边形ABCD是菱形，
理由如下：如图2，由①知，B（4，1），
∵BD∥y轴，
∴D（4，5），
∵点P是线段BD的中点，
∴P（4，3），
当y=3时，由y= 得，x= ，
由y= 得，x= ，
∴PA=4﹣ = ，PC= ﹣4= ，
∴PA=PC，
∵PB=PD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵BD⊥AC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）四边形ABCD能是正方形，
理由：当四边形ABCD是正方形，记AC，BD的交点为P，
∴PA=PB=PC=PD，（设为t，t≠0），
当x=4时，y= = ，
∴B（4， ），
∴A（4﹣t， +t），C（4+t， +t），
∴（4﹣t）（ +t）=m，
∴t=4﹣ ，
∴C（8﹣ ，4），
∴（8﹣ ）×4=n，∴m+n=32，
∵点D的纵坐标为 +2t= +2（4﹣ ）=8﹣ ，
∴D（4，8﹣ ），
∴4（8﹣ ）=n，
∴m+n=32．
【方法总结】
反比例函数与几何的综合主要与全等，勾股、相似及反比例函数图象上点的坐标特征、解
方程等知识结合；熟练掌握这些知识点是解决问题的关键．
求出多解时要注意看象限，判断是否需要舍值。
【随堂练习】
1．（南关区校级期末）学习完反比例函数的图象及性质后，老师给冋学们留了这样一道作
业题：“已知点 和点 都在反比例函数 的图象上，试比较 和 的
大小？”以下是彬彬同学的解题过程：（1）彬彬的解答过程在第 ② 步开始出错，出错的原因是 ．请你帮助彬彬写出正确
的解答过程．
（2）若点 、点 和点 也在反比例函数 的图象上，直接比较 、
、 的大小 （结果用“ ”连结）
【解答】解：（1）答案为：②，在每个象限内， 随 的增大而增大，解得过程如下：
在反比例函数 中，
图象在二、四象限，在每个象限内， 随 的增大而增大
点 在第二象限的图象上，点 在第四象限的图象上，
， ，
．
（2）由（1）得 点 再第二象限图象上的点， 、
点 和点 在第四象限图象上的点， ， ，
因此 ，
故答案为： ，
2．（永康市期末）如图，平行四边形 的顶点 在原点上，顶点 ， 分别在反比
例函数 ， 的图象上，对角线 轴于 ，已知点
的坐标为
（1）求点 的坐标；
（2）若平行四边形 的面积是55，求 的值．【解答】解：（1）当 时，代入 得， ，
，
（2） 是平行四边形，
， ，
，
，
，
即： ，
，
，
又 ，
，
代入 得：
答： 的值为 ．
3．（恩施市二模）如图，在平面直角坐标系中，边长为4的等边 的边 在 轴的
负半轴上，反比例函数 的图象经过 边的中点 ，且与 边交于点 ．
（1）求 的值；
（2）连接 ， ，求 的面积；
（3）若直线 与直线 平行，且与 的边有交点，直接写出 的取值范围．【解答】解：（1） 等边 ，
， ，
点 是 的中点，
，
过点 作 ，垂足为 ，
在 中， ， ，
， ，
，
点 的坐标为 ，代入 得：
答： 的值为 ．
（2）过点 作 ，垂足为 ，
由题意得： ， ，
， ，
设直线 的关系式为 ，将 的坐标代入得： ，
直线 的关系式为： ，
由题意得： ，解得： 舍去， ，
，
过 作 ，垂足为 ，
，
答： 的面积为3．（3）①当与直线 平行的直线 过点 时，此时 的 ，
②当与直线 平行的直线 经过点 时，
设直线 的关系式为 ，把 、 坐标代入得：
，解得： ，
直线 的关系式为 ，
过与直线 平行，
，
把 ， 代入 得：
因此： ．
答： 的取值范围为： ．
4．（常州期末）在平面直角坐标系中，已知点 、 的坐标分别为 ， 、 ，
把点 绕坐标原点 顺时针旋转 得点 ，若点 在反比例函数 的图象上．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若点 在 轴上，点 在反比例函数 的图象上，且以点 、 、 、 为顶
点的四边形是平行四边形．请画出满足题意的示意图并在示意图的下方直接写出相应的点
、 的坐标．【解答】解：（1）由旋转得： ， ，
过点 作 轴，垂足为 ，则 ，
在 中， ， ，
，
点 ，代入 得： ，
反比例函数的关系式为： ，
答：反比例函数的关系式为：
（2）①当点 在第三象限反比例函数的图象上，如图1，图2，
点 在 轴上， 是平行四边形，
， ， ，
当 时， ，
，
， ，
当点 在 的下方时，
当点 在 的上方时，
，
②当点 在第一象限反比例函数的图象上时，如图3，
过点 作 轴，垂足为 ，是平行四边形，
， ，
，
，
， ，
当 时，代入 得： ，
， ，
， ，5．（工业园区期末）如图， 的直角边 在 轴的正半轴上，反比例函数
的图象经过斜边 的中点 ，与直角边 相交于点
（1）若点 ，求点 的坐标：
（2）若 △ ，求 的值．
【解答】解：（1）点 ，
， ，
过点 作 ，垂足为 ，
是 的中点，
，
，代入 得： ，
反比例函数的关系式为： ，
当 时， ，
；
（2）设 ，则 ，
，
答： 的值为12．
6．（泉州期末）如图，直线 与 轴、 轴分别相交于点 和 ．以线段 为
一边在第一象限内作 ，其顶点 在双曲线 上．
①求证：四边形 是正方形；（提示：作 垂直 轴，垂足为
②探索：将正方形 沿 轴向左平移多少个单位长度时，点 恰好落在双曲线
上．（提示：作 垂直 轴于 ，交双曲线于点
【解答】证明：（1）作 垂直 轴，垂足为 ，作 垂直 轴于 ，交双曲线于点 ，
直线 ，当 时， ，当 时， ，， ，即 ， ，
，
， ，反比例函数关系式为 ，
，
，
，
， ，
，
，
，
又 是平行四边形，
是正方形，
（2） 是正方形，
， ，
，
又
， ，
，
当 时，即： ，
因此点 沿着 轴方向向左平移 单位到点 ，
将正方形 沿 轴向左平移1个单位长度时，点 恰好落在双曲线上．7．（沙坪坝区校级期末）在平面直角坐标系中，直线 与反比例函数
图象交于点 ；另一条直线 与 轴交于点 ，与 轴
交于点 ，与反比例函数 图象交于点 和点 ， ，连接 、 ．
（1）求反比例函数解析式和点 的坐标；
（2）求 的面积．
【解答】解：（1） 点 在直线 的图象上，
，
点 代入 得，
，
反比例函数 ，
当 时， ，
点 ， 代入直线 得，
，直线 ，
由题意得： 解得： ， ，
点
答：反比例函数解析式 ，点 的坐标为 ．
（2）直线 ，与 轴的交点 ， 与 轴的交点
，
答： 的面积为 ．
8．（北碚区校级期末）如图，反比例函数 与一次函数 相交于 ，
两点， 轴于点 ，则：
（1）求反比例函数与一次函数的解析式：
（2）若 则直接写出 的取值范围：
（3）若 为反比例函数上第四象限内的一个动点，若满足 ，则求点 的坐
标．
【解答】解：（1）把 代入反比例函数 得，
反比例函数的关系式为 ，
把 代入 得， ，把 ， 代入一次函数 得，
，解得： ， ，
一次函数的关系式为：
答：反比例函数与一次函数的解析式为： ， ．
（2）若 ，自变量 的取值范围为： 或 ．
（3） 与 轴的交点坐标为 ，如图：
将 向下平移 个单位过 点，关系式为： ，
，解得： ， ，
在第四象限，
，
将 向上平移 个单位后直线的关系式为： ，
，解得： ，
在第四象限，
， ，
答：点 的坐标 或 ， ．9．（九龙坡区校级期末）如图，一次函数 的图象与反比例函数
的图象交于第二、四象限的 、 两点，与 、 轴分别交于 、 两点，过点
作 轴于点 ，连接 ，且 的面积为3，作点 关于 轴对称点 ．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）连接 、 ，求 的面积．
【解答】解：（1） 点 在反比例函数 图象上，且 的面积为3，
，
，
反比例函数的图象在二、四象限，
，
反比例函数的解析式为 ．
，
把 代入为： 得， ，
，把 ， ， 代入一次函数 得： ，解得： ， ，
一次函数的解析式为 ．
答：一次函数和反比例函数的解析式分别为： ， ．
（2）一次函数 与 轴的交点 ．
点 关于 轴对称点 ，
点 ，
，
一次函数和反比例函数的解析式联立得： ，解得： ， ，
点 ，
．
答： 的面积为16．
综合运用: 反比例函数的综合运用
1.如图，已知矩形OABC的一个顶点B的坐标是（4，2），反比例函数y= （x＞0）的图
象经过OB的中点E，且与边BC交于点【选项D】
（1）求反比例函数的解析式和点D的坐标；
（2）求三角形DOE的面积；
（3）若过点D的直线y=mx+n将矩形OABC的面积分成3：5的两部分，求此直线解析式．
【解析】解：（1）∵矩形OABC的顶点B的坐标是（4，2），E是矩形ABCD的对称中
心，∴点E的坐标为（2，1），
∵代入反比例函数解析式得 =1，解得k=2，
∴反比例函数解析式为y= ，
∵点D在边BC上，
∴点D的纵坐标为2，
∴y=2时， =2，
解得x=1，
∴点D的坐标为（1，2）；
（2）∵D的坐标为（1，2），B（4，2），
∴BD=3，OC=2．
∵点E是OB的中点，
∴S = S = × ×3×2= ；
DOE OBD
△ △
（3）如图，设直线与x轴的交点为F，
矩形OABC的面积=4×2=8，
∵矩形OABC的面积分成3：5的两部分，
∴梯形OFDC的面积为 ×8=3，
或 ×8=5，
∵点D的坐标为（1，2），
∴若 （1+OF）×2=3，
解得OF=2，
此时点F的坐标为（2，0），
若 （1+OF）×2=5，
解得OF=4，
此时点F的坐标为（4，0），与点A重合，
当D（1，2），F（2，0）时， ，
解得 ，
此时，直线解析式为y=﹣2x+4，当D（1，2），F（4，0）时， ，
解得 ．
此时，直线解析式为y=﹣ x+ ，
综上所述，直线的解析式为y=﹣2x+4或y=﹣ x+ ．
2.如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象分别与x轴，y轴相交于点A，B，与反比例函
1 1 1
数y= 的图象相交于点C（﹣4，﹣2），D（2，4）．
2
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）当x为何值时，y＞0；
1
（3）当x为何值时，y＜y，请直接写出x的取值范围．
1 2
【解析】解：（1）∵一次函数y=kx+b的图象经过点C（﹣4，﹣2），D（2，4），
1 1
∴ ，
解得 ．
∴一次函数的表达式为y=x+2．
1∵反比例函数 的图象经过点D（2，4），
∴ ．
∴k=8．
2
∴反比例函数的表达式为 ．
（2）由y＞0，得x+2＞0．
1
∴x＞﹣2．
∴当x＞﹣2时，y＞0．
1
（3）x＜﹣4或0＜x＜2．
3.实验数据显示：一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内（包括1.5小时）其血液中酒精
含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用二次函数y=﹣200x2+400x表示；
1.5小时后（包括1.5小时）y与x可近似地用反比例函数y= （k＞0）表示（如图所示）．
（1）求k的值．
（2）假设某驾驶员晚上在家喝完半斤低度白酒，求有多长时间其酒精含量不低于 72毫
克/百毫升？（用分钟表示）
【解析】解：（1）当x=1.5时，y=﹣200x2+400x=﹣200×2.25+400×1.5=150，
∴k=1.5×150=225；
（2）当y=72时，x=3.125小时=175.5分钟，
所以175.5分钟内其酒精含量不低于72毫克/百毫升．
