FY25暑假初二B08正反比例函数综合教师版_初中资料合集_2025年秋初中《789年级暑假数学讲义》含6升7衔接（学生+教师版）上海专版_初二_志高_教师版PDF

08B 正反比例函数综合 考情链接 1. 本次任务由两个部分构成 （1）待定系数法求函数解析式 （2）数形结合解决函数问题 2. 考情分析 （1）正反比例函数是函数的部分，属于函数板块，占中考考分值约20%。 （2）主要考察正反比例函数的解析式、正反比例函数的几何综合考察形式以填空题、解答 题为主。 （3）对应教材：八年级上册第十八章正反比例函数第三节。 （4）正、反比例函数是八年级数学上学期第十八章内容，主要对正、反比例函数的图像及 性质综合题型进行讲解，重点是正、反比例函数性质的灵活运用，难点是数形结合思想的应 用的归纳总结．通过这节课的学习为我们后期学习一次函数的应用提供依据。 环节 需要时间 自主任务讲解 10分钟 切片1：待定系数法求函数解析式 40分钟 切片2：数形结合解决函数问题 50分钟 出门测 10分钟 错题整理 10分钟 1知识加油站 1——待定系数法求函数解析式【建议时长：40分钟】 考点一：待定系数法求解析式 知识笔记1 1. 正比例函数 （1）一般地，正比例函数___________________的图象经过（0，0），（1，k）这两点的一 条直线，我们把正比例函数y=kx的图象叫做直线y=kx． （2）正比例函数图像的性质： ①____________________________________；自变量x的值逐渐增大时，y值也随着逐渐增 大． ②____________________________________；自变量x的值逐渐增大时，y值也随着逐渐减 小． 2. 反比例函数 （1）反比例函数的解析式：解析式形如__________________的函数叫做反比例函数，其中 k k也叫做比例系数．反比例函数y= 的定义域是不等于零的一切实数． x （2）反比例函数图像的性质： ①_______________________________________________________ _________________________________________________________ ②_______________________________________________________ _________________________________________________________ ③图像的两支都无限接近于x轴和y轴，但不会与x轴和y轴相交． 【填空答案】 （1）y=kx（k是常数，k≠0）； ①当k>0时，正比例函数的图像经过第一、三象限； ②当k<0时，正比例函数的图像经过第二、四象限； k （2）y= （k是常数，k 0） x 2①当k>0时，函数图像的两支分别在第一、三象限；在每个象限内，当自变量x的值逐渐增 大时，y的值随着逐渐减小； ②当k<0时，函数图像的两支分别在第二、四象限；在每个象限内，当自变量x的值逐渐增 大时，y的值随着逐渐增大； 例题1: 1 （1）（★★★☆☆）已知y与2z成反比例，比例系数为k ，z与 x成正比例，比例系数为k ， 1 2 2 k 和k 是已知数，且k k 0，则y关于x成________比例．（填“正”或“反”) 1 2 1 2 1 （2）（★★★☆☆）已知y与−3x成反比例，x与 成正比例，则y与z成________比例．（填 z “正”或“反”) （3）（★★★☆☆）（2022•青浦区东方中学期中）已知：y= y − y ，并且y 与x成正比例， 1 2 1 y 与(x−2)成反比例，且当x=−2时，y=−7，当x=3时，y=13，求： 2 ①求y与x之间的函数解析式； ②求当x= 2时的函数值． （4）（★★★☆☆）已知y=3y −2y ，且y 与x成正比例，y 与x−2成反比例，且x=1时， 1 2 1 2 y=−1；x=3时，y=13，求y与x的关系式． 【常规讲解】 （1）解： y与2z成反比例，比例系数为k ， 1 k y= 1 ， 2z 1 z与 x成正比例，比例系数为k ， 2 2 1 1 z=k  x= k x， 2 2 2 2 k 1 k k k y= 1 = 1 = 2 ， 2z 1 x 2 k x 2 2 k 和k 是已知数，且k k 0， 1 2 1 2 y关于x成反比例， 故答案为：反． 3k k （2）解：由题意可列解析式y= 1 ，x= 2 −3x z k y=− 1 z 3k 2 y是z的正比例函数． 故答案为：正． m （3）解：①设y =kx，y = ， 1 2 x−2 m 则y=kx− ， x−2  m −2k+ =−7 k =3 根据题意得： 4 ，解得： ，  3k−m=13 m=−4 4 则函数解析式是：y=3x+ ； x−2 4 ②当x= 2时，y=3 2+ = 2−4． 2−2 b （4）解：根据题意，设y =ax，y = ； 1 2 x−2 2b 又y=3y −2y ，则y=3ax− ； 1 2 x−2 3a+2b=−1 又x=1时，y=−1，x=3时，y=13，得 ， 9a−2b=13 a=1 解得 ． b=−2 4 y关于x的函数解析式为：y=3x+ ． x−2 练习1: 【学习框8】 1 1 （1）（★★★☆☆）（2022•虹口区期中（））已知x和 成正比例，y和 成反比例，则x和 y z z成______比例． 1 1 （2）（★★★☆☆）若y与 成正比例，x与 成反比例，求证：y与z成反比例． x z （3）（★★★☆☆）（2022•徐汇区期末）已知y= y + y ，y 与x成正比例，y 与x成反比例， 1 2 1 2 4且当x=−1时，y=−4；当x=3时，y=4． ①求y关于x的函数解析式； ②当x=−2时，求y的值． （4）（★★★☆☆）已知y= y + y ，y 与x2成正比例，y 与x−2成正比例． 1 2 1 2 ①当x=1时，y=5；当x=−1时，y=11，求y与x之间的函数表达式 ②并求当x=2时y的值． 【常规讲解】 k k k （1）解：由题意可列解析式y= 1 ，x= 2 x= 2 1 y k z 1 z x是z的反比例函数． 故答案是：反． 1 1 （2）证明： y与 成正比例，x与 成反比例， x z 1 a 设y=k (k为常数，k 0)，x= (a为常数，a0)， x 1 z k y= ，x=az， x k y= ， az k a 即y= ， z k 为常数，k 0，a为常数，a0， k k  为常数且 0， a a y与z成反比例． n （3）解：①设y =mx，y = ， 1 2 x n 则y=mx+ ， x −m−n=−4  m=1 根据题意得 n ，解得 ．  3m+ =4 n=3  3 53 所以y与x的函数表达式为y= x+ ． x 3 7 ②把x=−2代入得，y=−2+ =− ． −2 2 （4）解：①设y =kx2，y =a(x−2)， 1 2 则y=kx2 +a(x−2)， k−a=5 把x=1，y=5和x=−1，y=11代入得： ， k−3a=11 解得k =2，a=−3， y与x之间的函数表达式是y=2x2 −3(x−2)， ②把x=2代入得：y=222 −3(2−2)=8． 考点二：正反比例函数交点 例题2: 3 （1）（★★★☆☆）函数y=2x与y= 的图像的交点坐标是_______________. x k−1 （2）（★★★☆☆）已知直线y=2mx与双曲线y= 的一个交点A的坐标为(−1，−2)， x 则m+k=________；它们的另一个交点坐标是___________． （3）（★★★☆☆）若正比例函数和反比例函数的图像经过点A（-2，1）和点B(3a−1，b+2)， 则b2a的值为 ___________． m−1 （4）（★★★☆☆）已知正比例函数y =(k+1)x与反比例函数y = 交于A、B两点，且 1 2 x 点A的横坐标是-1，点B的纵坐标是2，求这两个函数的解析式． （5）（★★★☆☆）给出下列命题； 1 命题1：直线y=x与双曲线y= 有一个交点是(1,1) x 2 命题2：直线y=2x与双曲线y= 有一个交点是(1,2)； x 63 命题3：直线y=3x与双曲线y= 有一个交点是(1,3)； x 4 命题4：直线y=4x与双曲线y= 有一个交点是(1,4)； x  ①请你阅读、观察上面命题，猜想出命题n(n为正整数）； ②请验证你猜想的命题n是正确的． 【常规讲解】 3 6 6 （1）令2x= ，解得x = ，x =− ，对应函数值分别为y = 6，y =− 6 ， 即 x 1 2 2 2 1 2  6   6  两函数图像交点坐标为 ，6和− ，− 6；     2 2     k−1 （2）y=2mx和y= 过点A(−1，−2)，则有−2m=−2，1−k =−2，解得：m=1，k =3， x 则m+k =4，正比例函数和反比例函数两交点坐标关于原点对称， 可知另一交点坐标为(1，2)． （3）正比例函数和反比例函数两交点坐标关于原点中心对称，即B(2，−1)， 3a−1=2 a=1 即得： ，解得： ，则b2a =(−3)2 =9． b+2=−1 b=−3 （4）正反比例函数两交点关于原点中心对称，由此可知A(−1，−2)，B(1，2)，两函数 k+1=2 2 过点B(1，2)，则有 ，即两函数解析式分别为y=2x和y= ． m−1=2 x （5）解：①通过观察可得， n 命题n：直线y=nx与双曲线y= 有一个交点是(1,n)； x ②把点x=1分别代入两个函数解析式得 n n y=nx=n1=n，y= = =n， x 1 n 可得点(1,n)都在直线y=nx上与双曲线y= 上， x n 即直线y=nx与双曲线y= 有一个交点是(1,n)是真命题． x 7练习2: 【学习框10】 （1）（★★★☆☆）（2022•宝山区行知中学期中）如图，正比例函数y=kx(k 0)与反比例函 2 数y=− 的图象交于点A(−1,m)和点B，求k的值和点B的坐标． x 3 （2）（★★★☆☆）（2022•宝山区期末）如图，正比例函数 y= x 的图象与反比例函数 2 k y= (k 0)的图象都经过点A(a,3)，求点A的坐标和反比例函数的解析式； x k （3）（★★★☆☆）已知反比例函数y = 1 和正比例函数y =k x的图像交于点（2，3）， 1 x 2 2 ①求这两个函数解析式； ②判断点（1，6）是否在反比例函数的图像上； ③求两个函数图像的另一个交点． （4）（★★★☆☆）给出下列命题： −1 命题1：点(1,−1)是直线y=−x与双曲线y= 的一个交点； x −2 命题2：点(1,−2)是直线y=−2x与双曲线y= 的一个交点； x −3 命题3：点(1,−3)是直线y=−3x与双曲线y= 的一个交点； x −4 命题4：点(1,−4)是直线y=−4x与双曲线y= 的一个交点； x  ①请观察上面命题，写出命题5． ②试写出命题n． 【常规讲解】 82 （1）解：由题意，得m=− =2， −1 A(−1,2)； 又 2=−k ， k =−2， y=−2x； y=−2x   2 ， y=−   x x =1 x =−1 解得 1 ， 2 ， y =−2 y =2 1 2 B(1,−2)． 3 3 （2）解：①把A(a,3)的坐标代入y= x，即3= a， 2 2 解得a=2， A(2,3)， k 又 点A(2,3)是反比例函数y= 的图象上， x k =32−6， 6 反比例函数的关系式为y= ； x k 3 （3）①因为正、反比例函数交于点（2，3），则有 1 =3，2k =3，解得：k =6，k = ， 2 2 1 2 2 6 3 即得两个函数解析式分别为y= 和y= x； x 2 ②由16=6，可知点（1，6）在反比例函数图像上； ③正反比例函数图像两交点坐标关于原点中心对称，可知另一交点坐标为(−2，−3)． −5 （4）解：①命题5：点(1,−5)是直线y=−5x与双曲线y= 的一个交点． x −n ②解：命题n：点(1,−n)是直线y=−nx与y= 的一个交点． x 考点三：正反比例函数图像综合 9例题3: （1）（★★★☆☆）已知正比例函数y＝kx（k≠0），y的值随x的值的增大而减小，那么它和 反比例函数y＝﹣ （k≠0）在同一直角坐标平面内的大致图象是（ ） A． B． C． D． k （2）（★★★☆☆）已知正比例函数y=kx和反比例函数y=− 在同一坐标系内的大致图象 x 是( ) A．（1）或（3） B．（1）或（4） C．（2）或（3） D．（3）或（4）． 【常规讲解】 （1）解：∵函数y＝kx（k≠0）中y随x的增大而减小， ∴k＜0，该函数图象经过第二，四象限； ∴函数y＝﹣ 的图象经过第一、三象限； 故选：C． （2） k 解：（1）、函数y=kx中，k 0，函数y=− 中，k 0；正确； x 10k （2）、函数y=kx中，k 0，函数y=− ，k 0；错误； x k （3）、函数y=kx中，k 0，函数y=− 中，k 0；错误； x k （4）、函数y=kx中，k 0，函数y=− 中，k 0；正确． x 故选：B． 练习3: 【学习框12】 （1）（★★★☆☆）已知正比例函数 y＝ 中，y 的值随 x 的值的增大而增大，那么它和反比 例函数y＝ 在同一平面直角坐标系内的大致图象可能是（ ） A． B． C． D． k （2）（★★★☆☆）（2022•嘉定区期中）函数y=k x和y= 2 (kk 0且k k )图象大致是( 1 x 1 2 1 2 ) A． B． C． D． 【常规讲解】 11（1）解：∵正比例函数y＝ 中，y的值随x的值的增大而增大， ∴ ＞0，即k＞0，图象过一三象限； ∴反比例函数y＝ 在一三象限， 故选：B． （2）解： kk 0且k k ， 1 2 1 2 k 0，k 0， 1 2 正比例函数y=k x的图象在第二四象限， 1 k 反比例函数y= 2 的图象在第一三象限， x 故选：C ． 12知识加油站 2——数形结合解决函数问题【建议时长：50 分钟】 考点四：数形结合解决函数问题 知识笔记2 1.与平行、面积结合 正反比例函数数作为综合题时，多与几何问题结合去考察的题型，常见问题有：距离问题、 面积问题（已知面积求点坐标或解析式、已知点坐标求面积）等. 2.与实际问题结合 将实际问题反映到正反比例函数图像上，关键是要读懂函数图像的含义。 例题4: （1）（★★★☆☆）（2022•长宁区第三女子中学期中）如图，已知正比例函数图象经过点A(2,3)、 B(m,6)． ①求正比例函数的解析式及m的值； ②分别过点A与点B作y轴的平行线，与反比例函数在第一象限内的分支分别交于点C 、 D（点C 、D均在点A、B下方），若BD=5AC，求反比例函数的解析式； ③求OCD的面积． （2）（★★★★☆）（2022•嘉定区期中）如图，已知正比例函数 y=k x的图象与反比例函数 1 k y= 2 的图象都经过点P(2,3)，点D是正比例函数图象上的一点，过点D作y轴的垂线， x 13垂足为Q，DQ交反比例函数的图象于点A，过点A作x轴的垂线，垂足为B，AB交正比 例函数的图象于点E． ①求正比例函数解析式、反比例函数解析式． ②当点D的纵坐标为9时，求AEP的面积． ③在②的条件下，若直线OD上存在一点M，点M 的横坐标为m，AEM的面积为S ，直 接写出S 关于m的解析式，并写出定义域． 【常规讲解】 （1）解：①设正比例函数的解析式为 y=kx ， 正比例函数图象经过点 A(2,3) ， 3=2k， 3 k = ， 2 3 比例函数的解析式为y = x； 2 3 把 B(m,6) 代入解析式得，6= m， 2 解得m=4； ② AC//BD//y 轴， C点的横坐标为2，D点的横坐标为4， k k k 设反比例函数的解析式为y= ，分别代入得y = ，y = ， x C 2 D 4 k k AC=3− ，BD=6− ， 2 4 BD=5AC，， k k 6− =5(3− )， 4 2 解得k=4， 144 反比例函数的解析式为 y = ； x 4 ③ 反比例函数的解析式为 y = ， x C(2,2) ， D(4,1) ， 延长AC ，交 x轴于M ，延长BD，交 x轴于N ， AC//BD//y 轴， 1 S =S = 4=2， COM DON 2 1 S =S +S −S =S = (2+1)(4−2)=3． COD COM 梯形CMND DON 梯形CMND 2 3 （2）解：①把 P(2,3) 代入y =k x得3=2k ，解得k = ， 1 1 1 2 3 正比例函数解析式为y = x， 2 k k 把 P(2,3) 代入y= 2 得，3= 2 ，解得k =6， x 2 2 6 反比例函数解析式为 y = ； x 6 6 2 ②把 y=9 代入 y = ，得9= ，解得x= ， x x 3 2 A( ， 9) ， 3 2 3 3 2 把x= 代入y = x，得y=  =1， 3 2 2 3 2 E( ， 1) ， 3 1 2 1 4 16 AEP的面积= (2− )AE=  (9−1)= ； 2 3 2 3 3 2 2 ③由②知：A( ，9)，E( ， 1) ， 3 3 AE=9−1=8， 分两种情况： 152 i：当m 时，如图1， 3 1 2 8 2 8 S = AE(m− )= (m− )=4m− ； 2 3 2 3 3 2 ii：当m 时，如图2， 3 1 2 8 2 8 S = AE( −m)= ( −m)= −4m； 2 3 2 3 3  8 2 4m− (m )   3 3 综上，S 关于m的解析式为：S = ． 8 2  −4m(m ) 3 3 练习4: 【学习框14】 4 （1）（★★★★☆）已知反比例函数 y = 与正比例函数相交于点A，点A的坐标是 (1,m) ． x ①求此正比例函数解析式； 161 4 ②若正比例函数y = x与反比例函数 y = 的图象在第一象限内相交于点B，过点A和点 4 x B分别作 x轴的垂线，分别交 x轴于点C 和点D，AC 和OB相交于点P，求梯形PCDB 的面积； ③连接AB，求AOB的面积． 4 k （2）（★★★★☆）已知直线y = x与双曲线y= 交于A、B两点，且点A的纵坐标为4， 3 x 第一象限的双曲线上有一点P，过点P作 PQ//x 轴交直线AB于点 Q ，点A到 PQ 的距离 为2． ①直接写出k 的值及点B的坐标； ②求线段 PQ 的长； k ③如果在双曲线y= 上一点M ，且满足 PQM 的面积为9，求点M 的坐标． x 【常规讲解】 4 （1）①解： 反比例函数 y = 过点 A(1,m) ， x m=4，即 A(1,4) ， 把 A(1,4) 代入正比例函数 y=kx 得：k =4， 即正比例函数解析式为 y=4x ； ②解：如图， 171 4 联立得： x= ，解得：x=4， 4 x 点B在一象限， B(4,1) ， 过点A和点B分别做 x轴的垂线，分别交 x轴于点C 和点D， C(1,0) ， D(4,0) ， 1 1 对于y = x，当x=1时， y = ， 4 4 1 点P(1, )， 4 1 PC = ，BD=1，CD =3， 4 1 1 1  15 S = (PC+BD)CD=  +13= ， 梯形PCDB 2 2 4  8 4 ③解： 点A和点B在反比例函数 y = 图象上， x S =S ， AOC OBD S =S +S −S ， AOB AOC 梯形ACDB OBD 1 1 15 S =S = (AC+BD)CD= (1+4)3= ． AOB 梯形ACBD 2 2 2 4 （2）解：① A在直线y = x上，且A的纵坐标为4， 3 A坐标为 (3,4) ， k 代入y= ，可得k =34=12， x 18又 A、B关于原点对称， 点B的坐标为 (−3,−4) ． ② 点A到PQ的距离为2， P的纵坐标为2或6， 12 点P在双曲线y= 上， x 代入 y = 2 ，可得点P的坐标为 (6,2) ，代入 y =6 ，可得点P的坐标为 (2,6) ， PQ//x轴，且点 Q 在直线AB上， 4 3 把 y = 2 代入y = x，得点 Q 的坐标为( ， 2) ， 3 2 4 9 把 y =6 代入y = x，得点 Q 的坐标为( ， 6) ， 3 2 9 5 PQ= 或 ． 2 2 9 ③i：当PQ= 时， 2 PQM 的面积为9， M 到 PQ 的距离为4， M 的纵坐标为6或−2， 12 把y=6代入y= 得x=2， x 12 把y=−2代入y= 得x=−6， x M 的坐标为(2,6)或(−6,−2)； 5 ii：当PQ= 时， 2 PQM 的面积为9， 36 M 到PQ的距离为 ， 5 66 6 M 的纵坐标为 或− ， 5 5 66 12 10 把y= 代入y= 得x= ， 5 x 11 6 12 把y=− 代入y= 得x=−10， 5 x 1910 66 6 M 的坐标为( ， )或(−10,− )； 11 5 5 10 66 6 综上所述：点M 的坐标为(2,6)或(−6,−2)或( ， )或(−10,− )． 11 5 5 考点五：函数的实际应用 例题5: （★★★☆☆）为了预防流行性感冒，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒．已知药物燃烧 时室内每立方米空气中的含药量y毫克）与时间x（分钟）成正比例；药物燃烧后，y与x 成反比例（如图所示）．请根据图中提供的信息，常规讲解下列问题： （1）药物燃烧后y与x的函数关系式为________________________. （2）当空气中每立方米的含药量低于 1.6 毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少 需要经过几分钟后，学生才能回到教室； （3）当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭 空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？ 【常规讲解】 解：（1） 药物燃烧完毕后，y与x成反比例 k 设y= 1 ， x k (8,6)在y= 1 上， x k =68=48； 1 48 y= ； x 48 故答案为：y= ； x 48 （2）把y=1.6代入y= ， x 20得x=30 故学生至少经过30分钟才可以进课室； （3）设药物燃烧时y关于x的函数关系式为y=k x(k 0)代入(8,6)为6=8k 2 2 2 3 k = ， 2 4 3 药物燃烧时y关于x的函数关系式为y= x(0 x 8) 4 3 把y=3代入y= x，得：x=4 4 48 把y=3代入y= ，得：x=16 x 16−4=12 所以这次消毒是有效的． 练习5: 【学习框16】 （★★★☆☆）驾驶员血液中每毫升的酒精含量大于或等于 200 微克即为酒驾，某研究所经 实验测得：成人饮用某品牌38度白酒后血液中酒精浓度y（微克/毫升）与饮酒时间x（小 时）之间函数关系如图所示（当4 x 10时，y与x成反比例）． （1）根据图象分别求出血液中酒精浓度上升和下降阶段y与x之间的函数表达式． （2）问血液中酒精浓度不低于200微克/毫升的持续时间是多少小时？ 【常规讲解】 解：（1）当0 x 4时，设直线解析式为：y=kx，将(4,400)代入得：400=4k， 解得：k =100，故直线解析式为：y=100x， a a 当4 x 10时，设反比例函数解析式为：y= ，将(4,400)代入得：400= ， x 4 1600 解得：a=1600，故反比例函数解析式为：y= ； x 因此血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为y=100x(0 x 4)， 1600 下降阶段的函数关系式为y= (4 x 10)． x 21（2）当y=200，则200=100x， 解得：x=2， 1600 当y=200，则200= ， x 解得：x=8， 8−2=6（小时）， 血液中药物浓度不低于200微克/毫升的持续时间6小时． 22全真战场 教师可以根据课堂节奏将“全真战场”作为课堂补．充．练习或课后补．充．练习让学生的完成 关卡一 练习1: 2−m （★★☆☆☆）函数y= 的图象与直线 y=x 没有交点，那么m的取值范围是_________． x 【常规讲解】 2−m 解： 函数y= 的图象与直线 y=x 没有交点， x 2−m 方程 = x无解， x 方程整理得，x2 +m−2=0， △=0−4(m−2)0， 解得m2． 故答案为：m2． 练习2: k+1 （★★★☆☆）正比例函数y=(k−1)x和反比例函数y= 的图像都经过横坐标为 2 的点 x P，求这两个函数的解析式和点P的坐标． 【常规讲解】 k+1 正比例函数y=(k−1)x和反比例函数y= 都过点 P，即在 P 点两函数对应函数值相等， x k+1 5 2 则有2(k−1)= ，解得k = ，由此即可得正比例函数解析式为y= x，反比例函数解析 2 3 3 8 2 2 4  4 式为y= ，令x=2，则有y= x= 2= ，即P2， ． 3x 3 3 3  3 练习3: 4 （★★★☆☆）已知反比例函数y= 的图像过点A（2，n）． x （1）求过点A的正比例函数的解析式； （2）画出正比例函数图像； 23（3）求过点A关于y轴对称的点B的反比例函数的解析式． 【常规讲解】 4 4 （1）反比例函数y= 过点A（2，n），即有 =n，解得n=2，设过点 A 的正比例函数 x 2 解析式为y=kx，则有2k =2，解得k =1，即正比例函数解析式为 y=x ； （2）如图； a （3）A(2，2) ，点A关于y轴的对称点B坐标为B(−2，2) ，设该反比例函数解析式为y= ， x a 4 则有 =2，解得：a=−4，即对应反比例函数解析式为y=− ． −2 x 练习4: k （★★★☆☆）（2022•普陀区期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y= (k 0) x 的图象与正比例函数y=2x的图象的交点A在第一象限，点A的纵坐标比横坐标大1． （1）求点A的坐标和反比例函数的解析式； （2）点P在射线OA上，过点P作x轴的垂线交双曲线于点B．如果点B的纵坐标为 1， 求PAB的面积． 24【常规讲解】 解：（1）设点A的横坐标为m，则点A的纵坐标为m+1， 点 A在正比例函数y=2x上， 2m=m+1， 解得m=1． A(1,2)． k 点 A在反比例函数y= 上， x k =12=2． 2 反比例函数的解析式为：y= ． x 2 （2） 点B在反比例函数y= 的图象上，且点B的纵坐标为1 x B(2,1)， P(2,4)． PB=3． 1 3 S = 31= ． PAB 2 2 关卡二 练习5: k （★★★★☆）如图，正比例函数y=3x的图象与反比例函数y= (k 0)的图象交于点A， x 若k取1，2，320，对应的RtAOB的面积分别为S ，S ，，S ，则S +S ++S = 1 2 20 1 2 20 _____． 【常规讲解】 25k 解：根据正比例函数y=3x的图象与反比例函数y= (k 0)的图象交于点A， x k x2 = ， 3 1 K S = 3 ， K 2 3 1 1 1 2 1 20 1 S +S ++S = 3 + 3 ++ 3 = (1+2+3++20) 1 2 20 2 3 2 3 2 3 2 210 = =105， 2 故答案为：105． 练习6: （★★★★☆）在平面直角坐标系xOy中，直线y=−x绕点O顺时针旋转90得到直线l，直 k 线l与反比例函数y= 的图象的一个交点为A(a,3)，试确定反比例函数的解析式． x 【常规讲解】 解：依题意得，直线l的解析式为y=x． 因为A(a,3)在直线 y=x上， 则a =3． 即A(3,3)． k 又因为A(3,3)在y= 的图象上， x 可求得k =9， 9 所以反比例函数的解析式为y= ． x 练习7: 6 3 （★★★★☆）已知在直角坐标平面内有双曲线y = ，另有ABC，其中点 A、B 、C x 3 6 3 6 的坐标分别是A(−2 2， )，B(−2 2，0)，C(0, )． 2 2 （1）如果将ABC沿x轴翻折后得到对应的△ABC（其中点 A、B 、C 的对应点分别是 1 1 1 6 3 点 A 、B 、C)，问：△ABC 的三个顶点中，有无在双曲线y = 上的点？若有，写出 1 1 1 1 1 1 x 这个点的坐标． 266 3 （2）如果将ABC沿x轴正方向平移a个单位后，使ABC的一个顶点落在双曲线y = x 上，请直接写出a的值． （3）如果ABC关于原点O 的对称的三角形△A B C （其中点 A、B 、C 的对应点分别 2 2 2 是点A 、B 、C )，请写出经过点 A、A 的直线所表示的函数解析式． 2 2 2 2 【常规讲解】 3 6 解：（1）根据关于x轴对称的点的坐标特点，可得 A 的坐标为(−2 2 ，− )，B 的坐标 1 1 2 3 6 为(−2 2 ，0)，C 的坐标为(0,− )， 1 2 6 3 3 6 A 将三点代入双曲线 y = ，只有点 ，符合解析式，此时左边 =− ，右边 x 1 2 6 3 3 6 = =− ，左边= 右边． −2 2 2 3 6 故有在双曲线上的点，这个点是 A ，它的坐标为(−2 2 ，− )； 1 2 3 6 （2）①平移后点 A的对应点在双曲线上，此时点 A的对应点的坐标为(−2 2 +a， )， 2 3 6 6 3 代入解析式得： = ， 2 −2 2+a 解得：a=4 2； 3 6 ②平移后点C 的对应点在双曲线上，此时点 A的对应点的坐标为(a, )， 2 3 6 6 3 代入解析式得： = ， 2 a 解得：a=2 2； 综上可得a=2 2或a=4 2； 3 6 3 6 （3）点A(−2 2， )关于原点对称的点 A 的坐标为(2 2 ，− )， 2 2 2  3 6 −2 2k+b= 设过点 A、 A 的直线解析式为 y=kx+b ，则   2 ， 2  3 6 2 2k+b=−   2 27 3 3 a=− 解得： 4 ，  b=0 3 3 故直线 AA 的解析式是y=− x． 2 4 28