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第 7 讲 反比例函数的图象及其性质
知识点1反比例函数的概念
1．反比例函数的概念
k
y=
x
一般地，函数 （k是常数，k¿0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可
y=kx−1
以写成 的形式。自变量x的取值范围是x¿0的一切实数，函数的取值范围也是一
切非零实数。
2．反比例函数解析式的确定
k
y=
x
由于在反比例函数 中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的
一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。
【典例】
1.下列函数中，表示y是x的反比例函数的是（ ）
A. y= B. y= C. y=2x D. y=
【答案】B.
【解析】解：根据反比例函数的定义，可判断出只有y= 表示y是x的反比例函数．
故选：B．
2.已知反比例函数的图象过点M（﹣1，2），则此反比例函数的表达式为（ ）
A. y= B. y=﹣ C. y= D. y=﹣
【答案】B.【解析】解：设反比例函数的解析式为 （k≠0）．
∵该函数的图象过点M（﹣1，2），
∴2= ，
得k=﹣2．
∴反比例函数解析式为y=﹣ ．
故选：B．
3.函数y=（m+1）x 是y关于x的反比例函数，则m= ．
【答案】3
【解析】解：∵函数y=（m+1）x 是y关于x的反比例函数，
∴m2﹣2m﹣4=﹣1且m+1≠0，
解得m=3．
故答案是：3
4.如图，在平面直角坐标系中，▱ABCO的顶点A、C的坐标分别为A（2，0）、C（﹣
1，2），反比例函数y= （k≠0）（k≠0）的图象经过点B，则求反比例函数的表达式为
．
【答案】y=
【解析】解：设BC与y轴的交点为F，过点B作BE⊥x轴于E，如图．
∵▱ABCO的顶点A、C的坐标分别为A（2，0）、C（﹣1，2），
∴CF=1，OF=2，OA=2，OC=BA，∠C=∠EAB，∠CFO=∠AEB=90°．
在△CFO和△AEB中，
，
∴△CFO≌△AEB（AAS），
∴CF=AE=1，OF=BE=1，∴OE=OA﹣AE=2﹣1=1，
∴点B的坐标为（1，2）．
∵反比例函数y= （k≠0）的图象经过点B，
∴k=1×2=2，
∴反比例函数的表达式为y= ．
故答案是：y= ．
【方法总结】
y=kx−1
反比例函数解析式注意 ，x的次数为-1，求解析式时可用k=xy.
【随堂练习】
1．（嘉兴期末）下列 关于 的函数中，属于反比例函数的是
A． B． C． D．
【解答】解： 、该函数属于正比例函数，故本选项错误．
、该函数属于正比例函数，故本选项错误．
、该函数是 关于 的函数，故本选项错误．
、该函数属于反比例函数，故本选项正确．
故选： ．
2．（依兰县模拟）下列函数中，经过一，三象限的反比例函数是
A． B． C． D．
【解答】解： 反比例函数的图象在一、三象限，
，
只要是大于0的所有实数都可以．
观察选项，只有选项 符合题意．
故选： ．
3．（阜宁县期中）下列函数：① ，② ，③ ，④ ， 是 的
反比例函数的个数有
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解答】解：① ， 是 的一次函数，故错误；② ， 是 的正比例函数，故错误；
③ ， 是 的反比例函数，故正确；
④ ， 是 的反比例函数，故错误．
综上所述，正确的结论只有1个．
故选： ．
4．（太仓市期中）在下列函数中表示 关于 的反比例函数的是
A． B． C． D．
【解答】解：根据反比例函数的定义，可判断出只有 表示 是 的反比例函数．
故选： ．
5．（道里区期末）下列选项中，两种量既不是成正比例的量，也不是成反比例的量的是
A．时间一定，路程与速度
B．圆的周长与它的半径
C．被减数一定，减数与差
D．圆锥的体积一定，它的底面积与高
【解答】解： 、时间一定，路程与速度成正比例；
、圆的周长与它的半径成正比例；
、被减数一定，减数与差既不是成正比例的量，也不是成反比例；
、圆锥的体积一定，它的底面积与高成反比例；
故选： ．
6．（海安县期末）下列关系式中， 是 的反比例函数的是
A． B． C． D．
【解答】解： 、 是正比例函数；
、 ，可以化为 ，是正比例函数；
、 是反比例函数；
、 是二次函数；故选： ．
7．（姑苏区期中）下列函数中是反比例函数的是
A． B． C． D．
【解答】解： 、 是一次函数，故选项错误；
、 是反比例函数，故选项正确；
、 是正比例函数，故选项错误；
、 ，是二次函数函数，故选项错误．
故选： ．
8．（永登县期末）下列函数中是反比例函数的是
A． B． C． D．
【解答】解： 、该函数属于一次函数，故本选项错误；
、该函数不属于反比例函数，故本选项错误；
、符合反比例函数的定义，故本选项正确；
、该函数不属于反比例函数，故本选项错误．
故选： ．
9．（绥化模拟）当路程 一定时 ，速度 是时间 的
A．正比例函数 B．反比例函数 C．一次函数 D．无法确定
【解答】解： ，
当 一定时， 是时间 的反比例函数，
故选： ．
10．（靖远县期末）已知函数 ， 与 成正比例， 与 成反比例，且当
时， ；当 时， ． 与 之间的函数关系式 ，当 时，
求 ．
【解答】解： 与 成正比例，则可以设 ，与 成反比例则可以设 ，
因而 与 的函数关系式是 ，
当 时， ；
当 时， ．
就可以得到方程组： ，
解得： ，
因而 与 之间的函数关系式 ，
当 时，代入得到 ．
知识点2反比例函数的图象及其性质
（1）反比例函数的图象
反比例函数的图象是双曲线，有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第
二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量 x¿0，函数y¿0，所以，它
的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐
标轴。
（2）反比例函数的性质【典例】
1.对于反比例函数y=﹣ ，下列说法不正确的是（ ）
A. 图象分布在第二、四象限 B. 当x＞0时，y随x的增大而增大
C. 图象经过点（1，﹣2）
D. 若点A（x，y），B（x，y）都在图象上，且x＜x，则y＜y
1 1 2 2 1 2 1 2
【答案】D.
【解析】解：A、k=﹣2＜0，∴它的图象在第二、四象限，故本选项正确；
B、k=﹣2＜0，当x＞0时，y随x的增大而增大，故本选项正确；
C、∵﹣ =﹣2，∴点（1，﹣2）在它的图象上，故本选项正确；
D、点A（x ，y ）、B（x 、y ）都在反比例函数y=﹣ 的图象上，若x ＜x ＜0，则y ＜
1 1 2 2 1 2 1
y，故本选项错误．
2
故选：D．
2.已知a＞﹣ ，若当1≤x≤2时，函数y= （a≠0）的最大值与最小值之差是1，则a的值为
（ ）
A. ﹣1 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C.
【解析】解：当 ＜a＜0时，
函数y= （a≠0）中在每个象限内，y随x的增大而增大，∵当1≤x≤2时，函数y= （a≠0）的最大值与最小值之差是1，
∴ =1，得a=﹣2（舍去），
当a＞0时，
函数y= （a≠0）中在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵当1≤x≤2时，函数y= （a≠0）的最大值与最小值之差是1，
∴ =1，得a=2，
故选：C．
3.已知关于x的方程（k﹣2）2x2+（2k+1）x+1=0有实数解，且反比例函数y= 的图象
经过第二、四象限，若k是整数，则k的值为______
【答案】1
【解析】解：∵关于x的方程（k﹣2）2x2+（2k+1）x+1=0有实数解，
∴△≥0，即（2k+1）2﹣4（k﹣2）2≥0，解得k≥ ；
∵反比例函数y= 的图象经过第二、四象限，
∴2k﹣3＜0，即k＜ ，
∴ ≤k＜ ，
∴整数K为1
【方法总结】
1.双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不
能一概而论.
2.选择题考对称性时酌情考虑用特殊点排除不正确的答案.
【随堂练习】
1．（徐州期末）在同一平面直角坐标系中，函数 与 为常数， 的
图象大致是A． B．
C． D．
【解答】解： 一次函数解析式为 ，这里比例系数为 ，
图象经过一三象限． 排除 ， 选项．
对于 、一次函数的 ，反比例函数 ，错误．
对于 、一次函数的 ，反比例函数 ，正确．
故选： ．
2．（沙坪坝区校级期末）函数 与 在同一坐标系中的图象可能是
A． B．
C． D．
【解答】解：在函数 与 中，
当 时，图象都应过一、三象限；
当 时，图象都应过二、四象限．
故选： ．
3．（文登区期末）如图，在同一平面直角坐标系中，函数 与函数 的图象大
致是A． B．
C． D．
【解答】解：当 时，
函数 的图象位于一、三、四象限， 的图象位于一、三象限， 符合；
当 时，
函数 的图象位于二、三、四象限， 的图象位于二、四象限，
故选： ．
4．（天宁区校级二模）方程 的正根的个数是
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解答】解：在同一坐标系中分别画出函数 ， 的图象，如下图所示：
由图可知，两个函数的图象只有一个交点，且横坐标为负
即方程 无正根，
故选： ．
5．（娄底）将 的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得图象如
图，则所得图象的解析式为A． B． C． D．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，
的图象向右平移1个单位所得函数图象的关系式是： ；
由“上加下减”的原则可知，
函数 的图象向上平移1个单位长度所得函数图象的关系式是： ．
故选： ．
6．（宁夏）函数 和 在同一直角坐标系中的大致图象是
A． B．
C． D．
【解答】解：在函数 和 中，
当 时，函数 的图象在第一、三象限，函数 的图象在第一、二、三象限
故选项 、 错误，选项 正确，
当 时，函数 的图象在第二、四象限，函数 的图象在第一、二、四象限
故选项 错误，
故选： ．7．（常州期末）对于反比例函数 的图象，下列说法不正确的是
A．经过点 B．在第二、四象限
C． 随 的增大而增大 D．成中心对称
【解答】解： 、把点 代入反比例函数 得 ，故 选项正确；
、 ， 图象在第二、四象限，故 选项正确；
、在第一象限内， 随 的增大而增大，故 选项不正确；
、反比例函数 的图象关于点 成中心对称，故 选项正确．
故选： ．
8．（工业园区期末）下列关于反比例函数 的说法中，错误的是
A．图象经过点
B．当 时，
C．两支图象分别在第二、四象限
D．两支图象关于原点对称
【解答】解： 、由于 ，所以图象经过点 ，故本选项不符合题意．
、当 时， ，故本选项不符合题意．
、两支图象分别在第一、三象限，故本选项符合题意．
、反比例函数 的图象是双曲线，且关于原点对称，故本选项不符合题意．
故选： ．
9．（徐州期末）已知反比例函数 ，当 时， 随 的增大而增大，则 的取值
范围是
A． B． C． D．
【解答】解： 反比例函数 中，当 时， 随 的增大而增大，
，
解得 ．
故选： ．10．（文登区期末）已知函数 是反比例函数，则此反比例函数的图象在
A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、四象限 D．第二、三象限
【解答】解： 函数 是反比例函数，
，且 ，
，
，
反比例函数的图象在第一、三象限，
故选： ．
11．（富阳区期末）已知反比例函数 ，则下列结论正确的是
A．其图象分别位于第一、三象限
B．当 时， 随 的增大而减小
C．若点 在它的图象上，则点 也在它的图象上
D．若点 ， ， ， 都在该函数图象上，且 ，则
【解答】解： 时 图象在二、四象限，所以 错误；
，图象在二、四象限，当 时， 随 的增大而增大，所以 错误；
， ，
点 在它的图象上， ，
又 点 的横纵坐标值的乘积 ，
点 也在函数图象上，故 正确
时，反比例函数图象在各象限内 随 的增大而增大，而 选项中的点 ，
， ， 并不确定是否在同一象限内，所以 、 的大小不能粗糙的决定．
故选： ．
知识点3系数K的几何意义
k
y= |k|
x
①过双曲线 (k≠0) 上任意一点作x轴、y轴的垂线段，所得矩形(如图)面积为 。k
y=
x
②过双曲线 (k≠0) 上任意一点作任一坐标轴的垂线段，连接该点和原点，所得三角形
|k|
2
（如图）的面积为 ．
k
y=
P P
x
③双曲线 (k≠0) 同一支上任意两点 1、 2与原点组成的 三角形（如图）的面积=直
P P Q Q
角梯形 1 2 2 1的面积．
【典例】
1.函数y= 和y= 在第一象限内的图象如图，点P是y= 的图象上一动点，PC⊥x轴于点
C，交y= 的图象于点B．给出如下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②PA与PB始
终相等；③四边形PAOB的面积大小不会发生变化；④CA= AP．其中所有正确结论的序
号是（ ）
A. ①②③
B. ②③④
C. ①③④
D. ①②④【答案】C.
【解析】解：∵A、B是反比函数y= 上的点，
∴S =S = ，故①正确；
OBD OAC
△ △
当P的横纵坐标相等时PA=PB，故②错误；
∵P是y= 的图象上一动点，
∴S =4，
矩形PDOC
∴S =S ﹣S ﹣﹣S =4﹣ ﹣ =3，故③正确；
四边形PAOB 矩形PDOC ODB OAC
△ △
连接OP，
= = =4，
∴AC= PC，PA= PC，
∴ =3，
∴AC= AP；故④正确；
综上所述，正确的结论有①③④．
故选：C．
2.如图，点A与点B分别在函数y= 与y= 的图象上，线段AB的
中点M在y轴上．若△AOB的面积为2，则k﹣k 的值是________
1 2【答案】4
【解析】解：作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，
∴AC∥BD∥y轴，
∵M是AB的中点，
∴OC=OD，
设A（a，b），B（﹣a，d），
代入得：k=ab，k=﹣ad，
1 2
∵S =2，
AOB
△
∴ （b+d）•2a﹣ ab﹣ ad=2，
∴ab+ad=4，
∴k﹣k=4，
1 2
3.如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的
正半轴上，反比例函数 （x＞0）与 AB 相交于点 D，与 BC 相交于点 E，若
BD=3AD，且△ODE的面积是12，则k=______
【答案】【解析】解：∵四边形OCBA是矩形，
∴AB=OC，OA=BC，
设B点的坐标为（a，b），
∵BD=3AD，
∴D（ ，b）
∵D、E在反比例函数的图象上，
∴ =k，
设E的坐标为（a，y），
∴ay=k
∴E（a， ），
∵S =S ﹣S ﹣S ﹣S =ab﹣ k﹣ k﹣ • •（b﹣ ）=12，
ODE 矩形OCBA AOD OCE BDE
△ △ △ △
∴4k﹣k﹣ + =12
k=
【方法总结】
反比例函数的比例系数k具有一定的几何意义，|k|等于反比例函数图象上任意一点向两坐
标轴所作垂线段与两坐标轴所围成的矩形的面积．在反比例函数的图象中，涉及三角形或
矩形的面积时，常用比例系数k的几何意义解决问题．
【随堂练习】
1．（娄底）如图， 的半径为2，双曲线的解析式分别为 ，则阴影部分
的面积是
A． B． C． D．【解答】解：双曲线 的图象关于 轴对称，
根据图形的对称性，把第二象限和第四象限的阴影部分的面积拼到第一和第三象限中的阴
影中，可以得到阴影部分就是一个扇形，
并且扇形的圆心角为 ，半径为2，
所以： ．
故选： ．
2．（东西湖区模拟）对于反比例函数 ，下列说法错误的是
A．函数图象位于第一、三象限
B．函数值 随 的增大而减小
C．若 、 、 是图象上三个点，则
D． 为图象上任意一点，过 作 轴于 ，则 的面积是定值
【解答】解： 、 ， 它的图象分布在第一、三象限，故本选项正确；
、 它的图象分布在第一、三象限， 在每一象限内 随 的增大而减小，故本选项错
误；
、 它的图象分布在第一、三象限，在每一象限内 随 的增大而减小， ，
， ， ，
，
故本选项正确；
、 为图象上任意一点，过 作 轴于 ， 的面积 是定值，
故本选项正确．
故选： ．
3．（渝中区二模）如图，平行于 轴的直线与函数 ， ．
的图象分别相交于 、 两点，且点 在点 的右侧，在 轴上取一点 ，使得的面积为3，则 的值为
A．6 B． C．3 D．
【解答】解：设 ， ， ， ，
则： 的面积 ，
则 ．
故选： ．
4．（河北区期末）对于反比例函数 ，下列所给的四个结论中，正确的是
A．若点 在其图象上，则 也在其图象上
B．当 时， 随 的增大而减小
C．过图象上任一点 作 轴、 轴的垂线，垂足分别 、 ，则矩形 的面积为
D．反比例函数的图象关于直线 和 成轴对称
【解答】解： 、若点 在其图象上，则 不在其图象上，故本选项不符合题意；
、当 时， 随 的增大而减小，错误，应该是当 时，在每个象限， 随 的增
大而减小；故本选项不符合题意；
、错误，应该是过图象上任一点 作 轴、 轴的线，垂足分别 、 ，则矩形
的面积为 ；故本选项不符合题意；
、正确，本选项符合题意，
故选： ．
5．（青县期末）如图，两个反比例函数 和 在第一象限内的图象分别是 和 ，
设点 在 上， 轴于点 ，交 于点 ，则 的面积为A．1 B．2 C．4 D．无法计算
【解答】解： 轴于点 ，交 于点 ，
， ，
．
故选： ．
6．（河东区一模）对于反比例函数 ，下列所给的四个结论中，正确的是
A．若点 在其图象上，则 也在其图象上
B．当 时， 随 的增大而减小
C．过图象上任一点 作 轴、 轴的线，垂足分别 、 ，则矩形 的面积为
D．反比例函数的图象关于直线 成轴对称
【解答】解： 、若点 在其图象上，则 不在其图象上，故本选项不符合题意；
、当 时， 随 的增大而减小，错误，应该是当 时，在每个象限， 随 的增
大而减小；故本选项不符合题意；
、错误，应该是过图象上任一点 作 轴、 轴的线，垂足分别 、 ，则矩形
的面积为 ；故本选项不符合题意；
、正确，本选项符合题意，
故选： ．
综合运用：反比例函数图象及其性质
1.m为何值时，下列函数是反比例函数？（1）y=（m﹣1） ；
（2）y= ．
【解析】解：（1）由题意得：m2﹣2=﹣1，且m﹣1≠0，
解得：m=﹣1；
（2）由题意得：m+2≠0，|m|﹣1=1，
解得：m=2．
2.【探究函数y=x+ 的图象与性质】
（1）函数y=x+ 的自变量x的取值范围是 ；
（2）下列四个函数图象中，函数y=x+ 的图象大致是 ；
（3）对于函数y=x+ ，求当x＞0时，y的取值范围．请将下列的求解过程补充完整．
解：∵x＞0，∴y=x+ =（ ）2+（ ）2=（ ﹣ ）2+ ．
∵（ ﹣ ）2≥0，∴y≥ ．
【拓展说明】
（4）若函数y= （x＞0），求y的取值范围．
【解析】解：（1）∵y=x+ ，
∴x的取值范围是x≠0，
故答案为：x≠0；
（2）∵函数y=x+ ，
∴当x＞0时，y＞0，当x＜0时，y＜0，
故选：C；
（3）∵x＞0，∴y=x+ =（ ）2+（ ）2=（ ﹣ ）2+2．
∵（ ﹣ ）2≥0，
∴y≥2，
故答案为：2、2；
（4）∵x＞0，
∴y= =x﹣5+ =（x﹣4+ ）﹣1=（ ）2﹣1≥﹣1，
即y的取值范围是y≥﹣1．
3.小张同学尝试运用课堂上学到的方法，自主研究函数 y= 的图象与性质．下面是小张
同学在研究过程中遇到的几个问题，现由你来完成：
（1）函数y= 的定义域是 ；
（2）下表列出了y与x的几组对应值：
表中m的值是 ；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出以表中各组对应值为坐标的点，试由描出的
点画出该函数的图象；
（4）结合函数y= 的图象，写出这个函数的性质： ．（只需写一个）【解析】解：（1）函数y= 的定义域是x≠0，
故答案为：x≠0；
（2）当y=1时， =1，
解得：x=1或x=﹣1，
∴m=﹣1，
故答案为：﹣1；
（3）如图所示：
（4）图象关于y轴对称，
故答案为：图象关于y轴对称．
4.如图，已知反比例函数 的图象的一支位于第一象限．
（1）该函数图象的另一分支位于第 象限，m的取值范围是 ；
（2）已知点A在反比例函数图象上，AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为3，求m的值．
【解析】解：（1）根据反比例函数的图象关于原点对称知，该函数图象的另一支在第三象
限，且m﹣7＞0，则m＞7；
故答案是：三，m＞7；
（2）∵点A在第一象限，
∴AB⊥x轴，
∴S = ，
OAB
△
∴m﹣7=6，解得m=13．
5.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．已知反比例函数y= （k＞0）的图象经过
点A（2，m），过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为5．
（1）求k和m的值；
（2）当x≥8时，求函数值y的取值范围．
【解析】解：（1）∵A（2，m），
∴OB=2，AB=m，
∴S = •OB•AB= ×2×m=5，
AOB
△
∴m=5，
∴点A的坐标为（2，5），
把A（2，5）代入y= ，得k=10；
（2）∵当x=8时，y= ，
又∵反比例函数y= 在x＞0时，y随x的增大而减小，
∴当x≥8时，y的取值范围为0＜y≤ ．
6.（1）点（3，6）关于y轴对称的点的坐标是 ．
（2）反比例函数 关于y轴对称的函数的解析式为 ．
（3）求反比例函数 （k≠0）关于x轴对称的函数的解析式．
【解析】解：（1）由于两点关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数；
则点（3，6）关于y轴对称的点的坐标是（﹣3，6）；
（2）由于两反比例函数关于y轴对称，比例系数k互为相反数；
则k=﹣3，
即反比例函数 关于y轴对称的函数的解析式为y=﹣ ；
（3）由于两反比例函数关于x轴对称，比例系数k互为相反数；则反比例函数 （k≠0）关于x轴对称的函数的解析式为：y=﹣ ．
故答案为：（﹣3，6）、y=﹣ ．
7.如图，某反比例函数图象的一支经过点A（2，3）和点B（点B在点A的右侧），作
BC⊥y轴，垂足为点C，连结AB，AC．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若△ABC的面积为6，求直线AB的表达式．
【解析】解：（1）由题意得，k=xy=2×3=6
∴反比例函数的解析式为y= ．
（2）设B点坐标为（a，b），如图，
作AD⊥BC于D，则D（2，b）
∵反比例函数y= 的图象经过点B（a，b）
∴b=
∴AD=3﹣ ．
∴S = BC•AD
ABC
△
= a（3﹣ ）=6
解得a=6∴b= =1
∴B（6，1）．
设AB的解析式为y=kx+b，
将A（2，3），B（6，1）代入函数解析式，得
，
解得 ，
直线AB的解析式为y=﹣ x+4．
