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第二十六章 反比例函数
26.2 实际问题与反比例函数
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知识精讲
课程标准 课标解读
能用反比例函数解决简单实际问题。
能够掌握用反比例函数解决实际问题的一般步骤，从
而列出方程，解决实际问题
知识点 实际问题与反比例函数
用反比例函数解决实际问题的一般步骤：
①定：审题确定出问题中的两个变量，并用字母表示出来。
②求：用待定系数法或列方程法求出函数解析式，并求出自变量的取值范围。
③解：利用反比例函数的图象及其性质去分析问题、解决问题，得到数学结论。
④答：写出实际问题的答案。
k
y=
【微点拨】①待定系数法：若题目中已知是反比例函数，则设其解析式为
x
(
k≠0
)，然后将x，y的
值代入，求出k值即可。
②列方程法：若题目中不知是什么函数，通常列出关于两个变量x，y的方程，变形即可得到函数解析式。
【即学即练1】某电子产品的售价为8000元，购买该产品时可分期付款：前期付款3000元，后期每个月
分别付相同的数额，则每个月付款额y(元)与付款月数x(x为正整数)之间的函数关系式是( )A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用后期每个月付相同的数额，进而得到y与x的关系式．
【详解】由题意得： ，
即 ，
故选：D．
【即学即练2】已知近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)之间成反比例函数关系，如图所示，则眼镜度数
y与镜片焦距x之间的函数关系式是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由于近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)成反比例，可设 ，由于点 在此函数解析
式上，故可先求得k的值．
【详解】解：根据题意近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)成反比例，设 ，
由于点 在此函数解析式上，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
能力拓展
考法 实际问题与反比例函数【典例1】为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自2019年1月开始限产进
行治污改造，其月利润y(万元)与月份x之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治
污完成后是一次函数图象的一部分，下列选项错误的是( )
A．4月份的利润为50万元
B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元
C．治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元
D．9月份该厂利润达到200万元
【答案】C
【分析】直接利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式进而分别分析得出答案．
【详解】A、设反比例函数的解析式为 ，
把(1,200)代入得，k＝200，
∴反比例函数的解析式为： ，
当x＝4时，y＝50，
∴4月份的利润为50万元，正确意；
B、治污改造完成后，从4月到6月，利润从50万到110万，故每月利润比前一个月增加30万元，正确；
C、当y＝100时，则 ，
解得：x＝2，
则只有3月，4月，5月共3个月的利润低于100万元，不正确．
D、设一次函数解析式为：y＝kx＋b，
则 ，解得： ，故一次函数解析式为：y＝30x−70，
故y＝200时，200＝30x−70，
解得：x＝9，
则治污改造完成后的第5个月，即9月份该厂利润达到200万元，正确．
故选：C．
【典例2】学校的自动饮水机，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降．
此时水温 (℃)与通电时间 成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃
时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是( )
A．水温从20℃加热到100℃，需要
B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是
C．上午8点接通电源，可以保证当天9：30能喝到不超过40℃的水
D．水温不低于30℃的时间为
【答案】D
【分析】因为开机加热时，饮水机每分钟上升10℃，所以开机加热到100℃，所用时间为 ＝
8min，故A不合题意，利用点(8，100)，可以求出反比例函数解析式，故B不符合题意，令y＝20，则x＝
40，求出每40分钟，饮水机重新加热，故时间为9点30时，可以得到饮水机是第三次加热，并且第三次
加热了10 min，令x＝10，代入到反比例函数中，求出y，即可得到C不符合题意，先求出加热时间段时，
水温达到30℃所用的时间，再由反比例函数，可以得到冷却时间时，水温为30℃时所对应的时间，两个
时间相减，即为水温不低于30℃时的时间．
【详解】解：∵开机加热时每分钟上升10℃，
∴水温从20℃加热到100℃，所需时间为： ＝8min，
故A选项不合题意；由题可得，(8，100)在反比例函数图象上，
设反比例函数解析式为 ，
代入点(8，100)可得，k＝800，
∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是 ，
故B选项不合题意；
令y＝20，则 ，
∴x＝40，
即饮水机每经过40 min，要重新从20℃开始加热一次，
从8点到9：30，所用时间为90 min，
而水温加热到100℃，仅需要8 min，
故当时间是9：30时，饮水机第三次加热，从20℃加热了10 min，
令x＝10，则 ℃＞40℃，
故C选项不符合题意；
水温从20℃加热到30℃所需要时间为： min，
令y＝30，则 ，
∴ ，
∴水温不低于30℃的时间为 min，
故D选项符合题意；
故选：D．
分层提分
题组A 基础过关练
1．两个物体A，B所受的压强分别为 ， (都为常数)．它们所受压力F与受力面积S的函数关系图象分别是射线 、 ，已知压强 ，则( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】观察图象得：当受力面积S相同时，射线 位于 的上方，即 ，即可求解．
【详解】解∶观察图象得：当受力面积S相同时，射线 位于 的上方，即 ，
∵ ，
∴ ．
故选：B
2．在压力不变的情况下，某物体所受到的压强P(Pa)与它的受力面积S( )之间成反比例函数关系，且当
S＝0.1时，P＝1000．下列说法中，错误的是( )
A．P与S之间的函数表达式为
B．当S＝0.4时，P＝250
C．当受力面积小于 时，压强大于500Pa
D．该物体所受到的压强随着它的受力面积的增大而增大
【答案】D
【分析】依据题意，先设出P与S的函数表达式，得到P与S之间的函数表达式为： ，然后代入求
值及利用反比例函数的性质即可求解．
【详解】解：设 ，
当 时， ，即 ，
∴
∴P与S之间的函数表达式为： ，
∴故A说法正确，不符合题意；
当 时， ，故B说法正确，不符合题意；
当 时， ，所以受力面积小于0.2 时，压强大于500Pa，
故C说法正确，不符合题意；
∵当 时，P随S的增大而减小，故D说法错误，符合题意．
故选：D．
3．某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强 是气球体积
的反比例函数，其图像经过点A(如图)．当气球内的气压大于144kPa时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，
该气球的体积应( )
A．不大于 B．不小于 C．不大于 D．不小于
【答案】B
【分析】根据题意可知温度不变时，气球内气体的气压P(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，且过点(1，
96)故P•V=96；故当P≤144，可判断V≥ ．
【详解】解：设球内气体的气压P(kPa)和气体体积V(m3)的关系式为P=
∵图象过点(1，96)
∴k=96，即P=
在第一象限内，P随V的增大而减小，
∴当P≤144时，V≥ ．
故选：B．
4．在对物体做功一定的情况下，力F(N)与此物体在力的方向上移动的距离s(m)成反比例函数关系，其图
象如图所示，点 在其图象上，则当力达到10N时，物体在力的方向上移动的距离是( )
A．2.4m B．1.2m C．1m D．0.5m
【答案】B
【分析】利用点P的坐标求出F= ，当F=10时，即F= =10，求出s，即可求解．
【详解】解：设函数的表达式F= ，
将点P的坐标代入上式得：3= ，解得k=12，
则反比例函数表达式为F= ，
当F=10时，即F= =10，
解得s=1.2(m)，
故选：B．
5．根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强 是它的受力面积 的反比例函数，
其函数图象如图所示，当 时，该物体承受的压强p的值为_________ Pa．【答案】400
【分析】先根据待定系数法求出反比例函数解析式，再把S=0.25代入，问题得解．
【详解】解：设反比例函数的解析式为 ，
由图象得反比例函数经过点(0.1,1000)，
∴ ，
∴反比例函数的解析式为 ，
当S=0.25时， ．
故答案为：400
6．研究发现，近视镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)成反比例函数关系，小明佩戴的400度近视镜片的焦距
为0.25米，经过一段时间的矫正治疗加之注意用眼和健康，现在镜片焦距为0.5米，则小明的近视镜度数
可以调整为__________度．
【答案】200
【分析】设函数的解析式为 ，由x= 400时，y= 0.25可求k，进而可求函数关系式，然后把
x = 0.5代入解析式，即可求得答案．
【详解】解：设函数的解析式为 ，
∵400度近视镜片的焦距为0.25米，
∴ ，
解得k=100，
∴函数的解析式为 ，
∴当x = 0.5时， ，∴小明的近视镜度数可以调整为200度．
故答案为：200．
7．一辆汽车从甲地开往乙地，随着汽车平均速度 的变化，到达时所用的时间 的变化情况如图
所示，那么行驶过程中 与 的函数表达式为________．
【答案】
【分析】观察图象可知 与 成反比例函数关系，可设 与 的关系式为： ，将点 代入求得 ，
进而得到 与 的关系式．
【详解】解：由图象可知 与 成反比例函数关系，
设 与 的关系式为： ，
将点 代入得： ，
∴ ，
∴ 与 的关系式为： ．
故答案为： ．
8．如图，一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间 与行驶速度 的图像为双曲线的一段，若这段
公路行驶速度不得超过 ，则该汽车通过这段公路最少需要_____h．【答案】 或0.5
【分析】先求出反比例函数解析式为 ，再求出当v=80时， ，根据反比例图象与性质即可求解．
【详解】解：如图，设抛物线解析式为 ，
∵反比例函数图象经过点(40,1)，
∴ ，
∴反比例函数解析式为 ，
∴当v=80时，
∴当v≤80时，t≥ ．
故答案为： 或0.5
9．近视镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例函数关系，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m．
(1)求y与x之间的函数关系式．
(2)当近视眼镜的度数 时，求近视眼镜镜片焦距x的值．【答案】(1)
(2)
【分析】(1)设出反比例函数解析式，把 代入即可求解；
(2)直接利用 代入求出答案．
【详解】(1)解：由已知设y与x的函数关系式为 ，
把 代入，得 ，
解得： ，
故y与x之间的函数关系式为： ；
(2)解：由(1)知 ，
则当 时，有 ，
解得： ，
故当近视眼镜的度数 时，近视眼镜镜片焦距x的值为 m．
10．某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 是气体体积 的反比例
函数，其图像如图所示．
(1)求这个函数的解析式；
(2)当气体体积为 时，气压是多少？(3)当气球内的气压大于 时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？
【答案】(1)
(2)气压是
(3)为了安全起见，气体的体积应不少于
【分析】(1)设 ，将点 代入，得 ，进行计算即可得；
(2)当 时， ，即可得；
(3)当 时， ，即可得．
【详解】(1)解：设 ，
将点 代入，得 ，
，
即这个函数的解析式为 ；
(2)解：当 时， ，
即当气体体积为 时，气压是 ；
(3)解：当 时， ，
所以为了安全起见，气体的体积应不少于 ．
题组B 能力提升练
1．某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．现测得不同时刻的 与 的数据如表：
时间 分钟
含药量 毫克
则下列图象中，能表示 与 的函数关系的图象可能是( )A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】直接利用表格中数据分别得出函数解析式，进而得出答案．
【详解】解：由表格中数据可得： ，数据成比例增长，是正比例函数关系，设解析式为： ，
则将
代入得： ，
解得： ，
故函数解析式为： ，
由表格中数据可得： ，数据成反比例递减，是反比例函数关系，设解析式为： ，
则将 代入得： ，
故函数解析式为： ．
故函数图象D正确．
故选： ．
2．为做好疫情防控工作，学校对教室进行喷雾消毒，已知喷雾阶段教室内每立方米空气中含药量
与时间 成正比例，喷雾完成后y与x成反比例(如图所示)．当每立方米空气中含药量低于 时，
对人体方能无毒害作用，则下列说法中正确的是( )A．每立方米空气中含药量从 上升到 需要
B．每立方米空气中含药量下降过程中，y与x的函数关系式是
C．为了确保对人体无毒害作用，喷雾完成 后学生才能进入教室
D．每立方米空气中含药量不低于 的持续时间为
【答案】C
【分析】首先根据题意，喷雾阶段，室内每立方米空气中的含药量y与喷雾时间x成正比例；喷雾后，y与
x成反比例，且其图象都过点 将数据代入用待定系数法可求得在比例和反比例函数的函数解析式，再
分别计算即可得出结果．
【详解】解：设喷雾阶段函数解析式为 由题意得：
∴此阶段函数解析式为
设喷雾结束后函数解析式为 由题意得：
∴此阶段函数解析式为
A.在喷雾阶段，当 时， 当 时， 共需要 ，故此选项不符合题意．
B.每立方米空气中含药量下降过程中，y与x的函数关系式是 故此选项不符合题意．
C.喷雾结束后，当 时， 为了确保对人体无毒害作用，喷雾完成 后学生才能进入教室，故此选项符合题意．
D.在喷雾阶段，当 时， 在喷雾结束后，当 时， 所以每立方米空气中含药量不低于
的持续时间为 故此选项不符合题意．
故选：C．
3．当今，各种造型的气球深受小朋友喜爱．如图1是“冰墩墩”造型的气球，气球内充满了一定质量的气
体，当温度不变时，气球内气体的气压p(kPa)是气球体积V(m3)的反比例函数，其图象如图2所示，当气球
内的气压大于200kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积V的范围为( )
A．V＞0.48m3 B．V＜0.48m3 C．V≥0.48m3 D．V≤0.48m3
【答案】C
【分析】先求出反比例函数解析式，再依题意得P≤200，即 ，解不等式即可．
【详解】设P与V的函数关系式为P= ，
则 ，
解得k=96，
∴函数关系式为P= ；
当P＞200KPa时，气球将爆炸，
∴P≤200，即 ，
解得V≥0.48(m3)．
故选C．4．如图，二次函数y＝ax2+bx+c与反比例函数y＝ 的图象相交于点A(﹣1，y)、B(1，y)、C(3，y)三个
1 2 3
点，则不等式ax2+bx+c＞ 的解集是( )
A．﹣1＜x＜0或1＜x＜3 B．x＜﹣1或1＜x＜3
C．﹣1＜x＜0或x＞3 D．﹣1＜x＜0或0＜x＜1
【答案】A
【分析】利用函数图象，写出抛物线在双曲线上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：当 或 时，抛物线在双曲线上方，
所以不等式 的解集为 或 ．
故选：A．
5．密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V(单位： )变化时，气体的密度 (单位： )
随之变化．已知密度 与体积V是反比例函数关系，它的图像如图所示．则当 时，二氧化碳的密
度 为___________ ．
【答案】1.1【分析】观察函数图像，根据函数图像上点的坐标，利用待定系数法可求出反比例函数的解析式，再利用
反比例函数图像上点的坐标特征，即可求出当V＝9时的 值．
【详解】解：设反比例函数的解析式为 ，
将(5，1.98)代入表达式中得 ，
∴反比例函数的解析式为 ，
当V＝9时， ，
∴当V＝9m3时，气体的密度是1.1kg/m3，
故答案为：1.1．
6．如图是函数 和函数 在第一象限部分的图象，则 时，使 成立的x的取值范
围是_____．
【答案】x＞3
【分析】先将 两边同乘以2得2x> ，然后根据函数图像的位置即可做出判断．
【详解】解：将 两边同乘以2得2x> ，
则原题可转换为当x>0时，使2x> 成立的x的取值范围，
观察图像可知，
当x＞3时，y=2x 的图像始终在 的图像的上方，
当0 恒成立，∴ 当x＞3时，x> 恒成立，
故当x＞0时，使x> 成立的x的取值范围为x＞3．
7．某品牌饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热(此过程中，水温y℃与开机
时间x分满足一次函数关系)，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降(此过程中水温y℃与开
机时间x分成反比例关系)，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热，……，重复上述程序(如图所示)，
那么开机后50分钟时，水的温度是______℃．
【答案】80
【分析】根据一次函数图象上两点的坐标，利用待定系数法即可求出当0≤x≤8时，水温y与开机时间x的
函数关系式；由点(8，100)，利用待定系数法即可求出当8≤x≤t时，水温y与开机时间x的函数关系式，再
将y=20代入该函数关系式中求出x值即可，由50－40=10>8，将x=10代入反比例函数关系式中求出y值即
可得出结论．
【详解】解：当0≤x≤8时，设水温y与开机时间x的函数关系为：y=kx+b，
依据题意，得 ，
解得： ，
故此函数解析式为：y=10x＋20；
在水温下降过程中，设水温y与开机时间x的函数关系式为： ，
依据题意，得： ，
解得：m=800，
∴ ，当y=20时， ，
解得：t=x=40，
∵50－40=10＞8，
∴当x=10时， ．
故答案为：80．
8．如图是4个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作 ( 为1~4
的整数)，函数 ( )的图象为曲线 ．若曲线 使得 ，这些点分布在它的两侧，每侧各2个点，
则 的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据每个台阶的高和宽分别是1和2，求得T(8，1)，T(6，2)，T(4，3)，T(2，4)，若L过点
1 2 3 4
T(8，1)，T(2，4)，得到 k=8×1=8，若曲线L过点T(6，2)，T(4，3)时，k=6×2=12，于是得到结论．
1 4 2 3
【详解】解：∵每个台阶的高和宽分别是1和2，
∴T(8，1)，T(6，2)，T(4，3)，T(2，4)，
1 2 3 4
∴若L过点T(8，1)，T(2，4)时，k=8×1=8，
1 4
若曲线L过点T(6，2)，T(4，3)时，k=6×2=12，
2 3
∵曲线L使得T～T 这些点分布在它的两侧，每侧各2个点，
1 4
∴8＜k＜12，
故答案为：8＜k＜12．
9．某科技有限公司成功研制出一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售，已知生产这种
电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量y(万件)与销售价格x(元/件)的关系如图，
其中 段为反比例函数图象的一部分，设公司销售这种电子产品的年利润为w(万元)．(1)请求出y(万件)与x(元/件)之间的函数关系式；
(2)求出这种电子产品的年利润w(万元)与x(元/件)之间的函数关系式；并求出年利润的最大值．
【答案】(1)
(2)当 时， ，当 时， ；年利润的最大值为144万元
【分析】(1)分两种情况： 和 求出y(万件)与x(元/件)之间的函数关系式即可；
(2)分两种情况： 和 求出年利润w(万元)与x(元/件)之间的函数关系式，并求出最大值即可．
【详解】(1)解：当 时，设 ，
将点 代入，得 ，
∴ ；
当 时，设 ，分别将点 ， 代入 ，得：
，
解得： ，
∴ ；
综上分析可知： ．(2)解：当 时， ，
当 时，
当 时，
∵ ，
∴w随x增大而增大，
∴当 时，w有最大值为 (万元)，
当 时，
∵ ，
∴当 时，w有最大值为144万元．
∵ ，
∴年利润的最大值为144万元．
10．商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品日销售单价x(元)与日销售量y(张)之间有
如下关系：
x/元 3 4 5 6
y/张 20 15 12 10
(1)写出y关于x的函数解析式 ______；
(2)设经营此贺卡的日销售利润为W(元)，试求出W关于x的函数解析式，若物价局规定此贺卡的日销售单
价最高不能超过10元/张，请你求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润，并求出最
大日销售利润．
【答案】(1)
(2)W＝60﹣ ，当日销售单价x定为10元时，才能获得最大日销售利润，最大日销售利润为48元 ．
【分析】(1)通过观察，发现x与y之间存在反比例关系，然后根据待定系数法可以得到解答；
(2)由(1)和已知可以得到W关于x的函数解析式，然后根据函数的增减性可以得到最终解答．【详解】(1)解：设 ，
把x＝3，y＝20代入 得 ，
解得k＝60，
∴ ．
(2)解：W＝(x﹣2)y＝(x﹣2)• ＝60﹣ ，
∵W随x增大而增大，x≤10，
∴x＝10时，W＝60﹣12＝48(元)为最大值，
∴当日销售价为10元时，最大日销售利润为48元．
题组C 培优拔尖练
1．如图，点A的坐标是(-2,0)，点B的坐标是(0,6)，C为OB的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后
得到 ．若反比例函数 的图象恰好经过 的中点D，则k的值是( )
A．9 B．12 C．15 D．18
【答案】C
【分析】作 轴于 证明 ≌ ，推出 ， ，求出点 坐标，再
利用中点坐标公式求出点D坐标即可解决问题．
【详解】解：作 轴于 ．∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵点 的坐标是 ，点 的坐标是 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵反比例函数 的图象经过点 ，
∴ ．
故选C．
2．已知：如图，在平面直角坐标系中，有菱形OABC，点A的坐标为(10，0)，对角线OB、AC相交于点
D，双曲线 (x>0)经过点D，交BC的延长线于点E，且OB·AC＝160，有下列四个结论：①双曲线的
解析式为y＝ (x>0)；②点E的坐标是(4，8)；③sin∠COA＝ ；④AC＋OB＝12 ．其中正确的结论
有( )A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】A
【分析】①过点C作CM⊥x轴于点M，根据菱形的性质结合三角形的面积公式可求出线段CM的长度，利
用勾股定理可得出线段OM的长度，由此可得出点B的坐标，再由点D为菱形对角线的交点可得出点D的
坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，从而得知①不成立；②根据双曲线的解析式结
合点E的纵坐标即可求出点E的坐标，从而得出②成立；③由线段CM、OC的长度结合角的正弦的定义即
可得出③成立；④在Rt△CMA中，利用勾股定理即可得出线段AC的长度，再由OB•AC=160可得出线段
OB的长度，从而得出④成立．综上即可得出结论．
【详解】① 过点C
作CM⊥x轴于点M，如图1所示．
∵OB•AC=160，四边形OABC为菱形，
∴S△ = OA•CM= OB•AC=40，
OCA
∵A点的坐标为(10，0)，
∴OA=10
∴CM=8，
∴OM= =6，
∴点C(6，8)，
∴点B(16，8)．
∵点D为线段OB的中点，
∴点D(8，4)，
∵双曲线经过D点，
∴k=8×4=32，∴双曲线的解析式为y=
∴①不正确；
②∵点E在双曲线y= 的图象上，且E点的纵坐标为8，
∴32÷8=4，
∴点E(4，8)，
∴②正确；
③∵sin∠COA= = ,
∴③正确；
④在Rt△CMA中，CM=8，AM=OA-OM=10-6=4，
∴AC= = =4 ,
∵OB•AC=160，
∴OB=8
∴AC+OB=12
∴④成立．
综上可知：②③④成立．
故答案为A
3．如图，∠AOB=90°，且OA、OB分别与反比例函数y= (x＞0)、y=﹣ (x＜0)的图象交于A、B两点，
则tan∠OAB的值是( )
A． B． C．1 D．
【答案】A【分析】过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，根据已知条件易证△OBD∽△AOC，根据相似
三角形的性质可得 ，又因点A在反比例函数y= 的图象上，点B在反比例函数y=﹣ 的图
象上，根据反比例函数k的几何意义可得S = ，S =2，所以 ，即可得tan∠OAB=
△OBD △AOC
．
【详解】过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，
∴∠ACO=∠ODB=90°，
∴∠OBD+∠BOD=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠BOD+∠AOC=90°，
∴∠OBD=∠AOC，
∴△OBD∽△AOC，
∴ ，
∵点A在反比例函数y= 的图象上，点B在反比例函数y=﹣ 的图象上，
∴S = ，S =2，
△OBD △AOC
∴ ，
∴tan∠OAB= ．故选A．
4．如图，曲线C 是双曲线C ：y= (x＞0)绕原点O逆时针旋转45°得到的图形，P是曲线C 上任意一点，
2 1 2
点A在直线l：y=x上，且PA=PO，则△POA的面积等于( )
A． B．6 C．3 D．12
【答案】B
【分析】将双曲线逆时针旋转使得l与y轴重合，等腰三角形△PAO的底边在y轴上，应用反比例函数比
例系数k的性质解答问题．
【详解】如图，将C 及直线y=x绕点O逆时针旋转45°，则得到双曲线C ，直线l与y轴重合．
2 3
双曲线C ，的解析式为y=- ，
3
过点P作PB⊥y轴于点B，
∵PA=PO，
∴B为OA中点．
∴S△
PAB
=S△
POB，
由反比例函数比例系数k的性质，S△ =3，
POB
∴△POA的面积是6.
故选B．
5．如图，点A是射线y═ (x≥0)上一点，过点A作AB⊥x轴于点B，以AB为边在其右侧作正方形ABCD，过点A的双曲线y＝ 交CD边于点E，则 的值为_____．
【答案】
【分析】设点A的横坐标为m(m＞0)，则点B的坐标为(m，0)，把x＝m代入y＝ x得到点A的坐标，结
合正方形的性质，得到点C，点D和点E的横坐标，把点A的坐标代入反比例函数y＝ ，得到关于m的k
的值，把点E的横坐标代入反比例函数的解析式，得到点E的纵坐标，求出线段DE和线段EC的长度，
即可得到答案．
【详解】解：设点A的横坐标为m(m＞0)，则点B的坐标为(m，0)，
把x＝m代入y＝ x得：y＝ m，
则点A的坐标为：(m， m)，线段AB的长度为 m，点D的纵坐标为 m，
∵点A在反比例函数y＝ 上，
∴k＝ m2，
即反比例函数的解析式为：y＝ ，
∵四边形ABCD为正方形，
∴四边形的边长为 m，
点C，点D和点E的横坐标为m+ m＝ m，把x＝ m代入y＝ 得：
y＝ m，
即点E的纵坐标为 m，
则EC＝ m，DE＝ m﹣ m＝ m，
∴
故答案为
6．以矩形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，以平行于两边的方向为坐标轴，建立如图所示的平面
直角坐标系，BE⊥AC，垂足为E．若双曲线y= (x＞0)经过点D，则OB•BE的值为___．
【答案】3
【分析】由双曲线y= (x＞0)经过点D知S△ = k= ，由矩形性质知S△ =2S△ = ，据此可得
ODF AOB ODF
OA•BE=3，根据OA=OB可得答案．
【详解】如图，∵双曲线y= (x＞0)经过点D，
∴S△ = k= ，
ODF
则S△ =2S△ = ，即 OA•BE= ，
AOB ODF
∴OA•BE=3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB，
∴OB•BE=3，
故答案为3．
7．如图，在平面直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，P(2a，a)是反
比例函数y＝ 的图象与正方形的边的一个交点，则图中阴影部分的面积是________．
【答案】4
【分析】先利用反比例函数解析式y＝ 确定P点坐标为(2，1)，由于正方形的中心在原点O，则正方形的
面积为16，然后根据反比例函数图象关于原点中心对称得到阴影部分的面积为正方形面积的 .
【详解】解：把P(2a，a)代入y＝ 得:
2a•a=2，解得a=1或-1，
∵点P在第一象限，∴a=1，
∴P点坐标为(2，1)，
∴正方形的面积=4×4=16，
∴图中阴影部分的面积= ×正方形的面积=4．
故答案为4．
8．如图是某种电子理疗设备工作原理的示意图，其开始工作时的温度是20℃，然后按照一次函数关系一直增加到70℃，这样有利于打通病灶部位的血液循环，在此温度下再沿反比例函数关系缓慢下降至
35℃，然后在此基础上又沿着一次函数关系一直将温度升至70℃，再在此温度下沿着反比例函数关系缓慢
下降至35℃，如此循环下去．
(1) 的值为________；
(2)如果在 分钟内温度大于或等于50℃时，治疗效果最好，则维持这个温度范围的持续时间为
________分钟．
【答案】50； 20.
【分析】先利用待定系数法求得第一次循环中反比例函数的解析式，令 时即可求解；再利用待定系
数法求得第一次循环中一次函数的解析式，分别求得 时对应的 的值求差即可．
【详解】解：设第一次循环过程中反比例函数的解析式为 ，过点(25，70)，
∴ ，
∴ ，
当 时，则 ，解得 ，
设第一次循环过程中一次函数的解析式为 ，
由题意得 ，解得 ，
∴一次函数的解析式为 ，
∴当 ℃时，则 ，解得 ；
当 ℃时，则 ，解得 ，∴ 分钟内温度大于或等于50℃时，治疗效果最好，则维持这个温度范围的持续时间为
(分钟)，
故答案为：(1)50；(2)20.
9．1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这
就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就
是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y/米是其两腿迈出的步长之差x/厘
米( )的反比例函数，其图象如下图所示所示．请根据图象中的信息解决下列问题：
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为多少米？
(3)若某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米，则其两腿迈出的步长之差最多是多少厘米？
【答案】(1)y= ；
(2)半径为28米；
(3)最多是0.4厘米．
【分析】(1)设y与x之间的函数表达式为 ，解方程即可得到结论；
(2)把x=0.5代入反比例函数的解析式即可得到结论；
(3)根据题意列不等式即可得到结论．
【详解】(1)设y与x之间的函数表达式为 ，
∴7= ，
∴k=14，
∴y与x之间的函数表达式为y= ；(2)当x=0.5时，y= =28米，
∴当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为28米；
(3)当y≥35时，即 ≥35，
∴x≤0.4，
∴某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米，则其两腿迈出的步长之差最多是0.4厘米．
10．某电子科技公司研发出一套学习软件，并对这套学习软件在24周的销售时间内，做出了下面的预测：
设第x周该软件的周销售量为T(单位：千套)，当0＜x≤8时，T与x+4成反比；当8＜x≤24时．T﹣2与x成
正比，并预测得到了如表中对应的数据．设第x周销售该软件每千套的利润为K(单位：千元)，K与x满足
如图中的函数关系图象：
x/周 8 24
T/千套 10 26
(1)求T与x的函数关系式；
(2)观察图象，当12≤x≤24时，K与x的函数关系式为________．
(3)设第x周销售该学习软件所获的周利润总额为y(单位：千元)，则：
①在这24周的销售时间内，是否存在所获周利润总额不变的情况？若存在，求出这个不变的值；若不存在，
请说明理由．
②该公司销售部门通过大数据模拟分析后认为，最有利于该学习软件提供售后服务和销售的周利润总额的
范围是286≤y≤504，求在此范围内对应的周销售量T的最小值和最大值．
【答案】(1) ；(2) ；
(3)①存在，不变的值为240；②当周利润总额的范围是286≤y≤504时，对应的周销售量T的最小值是11千
套，最大值是18千套．
【解析】(1)解：当0＜x≤8时，设 ，
根据表格中的数据，当x＝8时，T＝10，
∴ ，
解得：m＝120，
∴ ，
当8＜x≤24时，设 ，
根据表格中的数据，当x＝24时，T＝26，
∴ ，
解得：n＝1，
∴ ，
即： ，
∴T与x的函数关系式为 ；
(2)解：当12≤x≤24时，设K与x的函数关系式为 ，
将x＝12，K＝32；x＝24，K＝20代入 ，
得： ，
解得： ，
∴当12≤x≤24时，设K与x的函数关系式为 ，
故答案为： ；
(3)①存在，不变的值为240，
由函数图像得：当0＜x≤12时，设K与x的函数关系式为 ，
将x＝0，K＝8；x＝12，K＝32代入 ，得： ，
解得： ，
∴当0＜x≤12时，设K与x的函数关系式为K＝2x＋8，
∴当0＜x≤8时，y＝KT＝(2x＋8)· ＝240；
当8＜x≤12时，y＝KT＝(2x＋8)(x＋2)＝2x2＋12x＋16；
当12＜x≤24时，y＝KT＝(－x＋44)(x＋2)＝－x2＋42x＋88，
综上所述，在这24周的销售时间内，存在所获周利润总额不变的情况，这个不变的值为240．
②(Ⅰ)当8＜x≤12时，y＝2x2＋12x＋16＝2(x＋3)2－2，抛物线的对称轴为直线x＝－3，
∴当8＜x≤12时，在对称轴右侧，y随着x的增大而增大，
当2(x＋3)2－2＝286时，
解得：x＝9，x＝－15(舍去)；
1 2
当x＝12时，y取得最大值，最大值为2×(12＋3)2－2＝448，满足286≤y≤504；
当x＝9时，周销售量T取得最小值11，当x＝12时，T取得最大值14；
(Ⅱ)当12＜x≤24时，y＝－x2＋42x＋88＝－(x－21)2＋529，抛物线的对称轴为直线x＝21，
当x＝12时，y取得最小值，最小值为－(12－21)2＋529＝448，满足286≤y≤504；
当－(x－21)2＋529＝504时，
解得：x＝16，x＝26(舍去)；
1 2
当x＝12时，周销售量T取得最小值14，当x＝16时，T取得最大值18，
综上所述，当周利润总额的范围是286≤y≤504时，对应的周销售量T的最小值是11千套，最大值是18千
套．
11．习总书记强调，实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平
的一个重要体现．为改善城市生态环境，某市决定从6月1日起，在全市实行生活垃圾分类处理，某街道
计划建造垃圾初级处理点20个，解决垃圾投放问题．有A、B两种类型垃圾处理点，其占地面积、可供使
用居民楼幢数及造价见表：
占地面
类型 可供使用幢数 造价(万元)
积
A 15 18 1.5
B 20 30 2.1(1)已知该街道可供建造垃圾初级处理点的占地面积不超过370m2，如何分配A、B两种类型垃圾处理点的
数量，才能够满足该街道490幢居民楼的垃圾投放需求，且使得建造方案最省钱？
(2)当建造方案最省钱时，经测算，该街道垃圾月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可以近似
的表示为： ，若每个B型处理点的垃圾月处理量是A型处理点的1.2倍，
该街道建造的每个A型处理点每月处理量为多少吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低？(精确到
0.1)
【答案】(1)当建造A型处理点9个，建造B型处理点11个时最省钱
(2)每个A型处理点每月处理量为5.4吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低
【分析】(1)首先依据题意得出不等关系即可供建造垃圾初级处理点占地面积＜等于370m2，居民楼的数量
大于等于490幢，由此列出不等式组；再根据题意求出总费用为y与A型处理点的个数x之间的函数关系，
进而求解；
(2)分0≤x＜144、144≤x＜300两种情况，分别利用二次函数和反比例函数的性质求出函数的最小值，进而
求解．
【详解】(1)解：设建造A型处理点x个，则建造B型处理点(20﹣x)个．
依题意得： ，
解得6≤x≤9.17，
∵x为整数，
∴x＝6，7，8，9有四种方案；
设建造A型处理点x个时，总费用为y万元．则：y＝1.5x+2.1(20﹣x)＝﹣0.6x+42，
∵﹣0.6＜0，
∴y随x增大而减小，当x＝9时，y的值最小，此时y＝36.6(万元)，
∴当建造A型处理点9个，建造B型处理点11个时最省钱；
(2)解：由题意得：每吨垃圾的处理成本为 (元/吨)，
当0≤x＜144时， ＝ ( x3﹣80x2+5040x)＝ x2﹣80x+5040，∵ >0，故 有最小值，
当x＝﹣ ＝﹣ ＝120(吨)时， 的最小值为240(元/吨)，
当144≤x＜300时， ＝ (10x+72000)＝10+ ，
当x＝300(吨)时， ＝250，即 ＞250(元/吨)，
∵240＜250，
故当x＝120吨时， 的最小值为240元/吨，
∵每个B型处理点的垃圾月处理量是A型处理点的1.2倍且A型处理点9个，建造B型处理点11个，
∴每个A型处理点每月处理量＝ ×120× ≈5.4(吨)，
故每个A型处理点每月处理量为5.4吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低．
12．为了探索函数 的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法，列表：
x … 1 2 3 4 5 …
y … 2 …
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，
如图1所示：
(1)如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象；(2)已知点 在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题：
若 ，则 _______ ；若 ，则 _____ ；(填“＞”，“＝”，“＜”)．
(3)某农户积极响应厕所改造工程，要建造一个图2所示的长方体形的化粪池，其底面积为1平方米，深为
1米．已知下底面造价为1千元/平方米，上盖的造价为1.5千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米，设
水池底面一边的长为x米，水池总造价为y千元．
①请写出y关于x的函数关系式；
②若该农户建造化粪池的预算不超过5千元，则池子底面一边的长x应控制在什么范围内？
【答案】(1)作图见详解
(2)>；<
(3)①y与x的函数关系式为：
②水池底面一边的长x应控制在 ≤x≤2．
【分析】(1)用光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象即可；
(2)利用图象法解决问题即可；
(3)①总造价=上盖的造价+底面的造价+侧面的造价，构建函数关系式即可；
②转化为一元二次不等式，结合第(1)小题的图象法，解决问题即可．
【详解】(1)如图，作出函数的图像；
(2)因为点(x，y)，(x，y)在函数图象上，根
1 1 2 2
据函数图象和表格容易得到：
若0 y
1 2 1 2
若1，<(3)①底面面积为1平方米，一边长为x米，
∴与之相邻的另一边长为 米，
∴水池侧面面积的和为： 平方米；
∵下底面造价为1千元/平方米，上盖的造价为1.5千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米；
∴y=1+1.5+
即：y与x的函数关系式为：
②∵该农户预算不超过5千元，即y≤5
∴
根据图象或表格可知，当2≤y≤2.5时，
≤x≤2，
因此，该农户预算不超过5千元，则水池底面一边的长x应控制在 ≤x≤2．
