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第 8 讲 反比例函数的综合运用
知识点1反比例函数实际应用
1.分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要
科学合理，又符合实际。
2.函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后
根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数
3.概括整合
（1）简单的反比例函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。
【典例】
1.某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 p（kPa）是气体体积
V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）求这一函数的解析式；
（2）当气体体积为1m3时，气压是多少？
（3）当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于
多少？（精确到0.01m3）【解析】解：（1）设 ，
由题意知 ，
所以k=96，
故 ；
（2）当v=1m3时， ；
（3）当p=140kPa时， ．
所以为了安全起见，气体的体积应不少于0.69m3．
3.某公司生产一种成本为20元/件的新产品，在年1月1日投放市场，前3个月只在本地销
售，同时每月投入500万元开拓外地市场，3个月后，外地市场开拓成功进行正常销售．
（1）只在本地销售时，该产品的销售价格不低于 20元/件，且不能超过80元/件，销售价
格x（元/件）与月销售量y（万件）满足函数关系式y= ，前3个月每件产品的定价多
少元时，每月可获得最大利润？最大利润为多少？（不考虑每月对开拓外地市场的投入）
（2）3个月后正常销售，该种产品销售价格统一为（80﹣m）元/件，公司每月可销售
（10+0.2m）万件．从第4个月开始，每月可获得的最大利润是多少万元？
（3）若该产品的销售情况一年内不发生变化（含只在本地销售的 3个月），请从该年的最
大总利润的角度分析，开拓外地市场能使公司增加多少利润？
【解析】解：（1）∵每件产品的利润为（x﹣20）元，销售量y= （万件），
∴每月利润= ×（x﹣20）=200﹣ ，
∵20≤x≤80，
又∵每月利润随着x的增大而减小，
∴当x=80时，
y取到最大值，即每月利润最大，把x=80代入得：每月利润=150万元
即最大利润为150万元；
答：前3个月每件产品的定价80元时，每月可获得最大利润，最大利润为多少150万元，
（2）∵每件产品的利润为（80﹣m﹣20）元，即（60﹣m）元，销售量为（10+0.2m）万
件，
∴每月利润=（60﹣m）×（10+0.2m），
整理后得：每月利润=﹣0.2m2+2m+600=﹣0.2（m﹣5）2+605，
∵每件产品的利润（60﹣m）≥0，
∴m≤60，
把m=5代入每月利润=﹣0.2（m﹣5）2+605得：每月利润为605万元，
即每月可获得的最大利润是605万元，
答：从第4个月开始，每月可获得的最大利润是605万元；
（3）前三个月本地销售的利润为150×3=450万元，
后九个月正常销售的利润为605×9=5445万元，
开拓开外地市场增加的利润为450+5445﹣3×500=4395万元，
答：从该年的最大总利润的角度分析，开拓外地市场能使公司增加4395万元利润．
【方法总结】
应用反比例函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
（1）有图象的，注意坐标轴表示的实际意义及单位；
（2）注意自变量的取值范围。
【随堂练习】
1．（西陵区期中）某沼泽地能承受的压强为 ，一位同学的体重为 ，为了让
他不陷入沼泽地，他与沼泽地的接触面积至少为 平方米．
A．0.01 B．3 C．0.1 D．0.03
【解答】解：此同学对沼泽地的压力 ，
他对沼泽地的压强： ，
，
故选： ．
2．（淮安）当矩形面积一定时，下列图象中能表示它的长 和宽 之间函数关系的是A． B．
C． D．
【解答】解： 根据题意 矩形面积（定值），
是 的反比例函数， ．
故选： ．
3．（诸城市一模）某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压
是气球体积 的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于 时，
气球将爆炸，为了安全，气球的体积应该
A．不小于 B．小于 C．不大于 D．小于
【解答】解：设球内气体的气压 和气体体积 的关系式为 ，
图象过点即 ，在第一象限内， 随 的增大而减小，
当 时， ．
故选： ．
4．（双峰县期末）小明乘车从蔡和森纪念馆到富厚堂，行车的速度 和行车时间
之间的函数图象是
A． B．
C． D．
【解答】解：设从蔡和森纪念馆到富厚堂的距离为 ，
则 ，
故选： ．
5．（朝阳区期末）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流 （单位： 与电阻
（单位： 是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电
器的限制电流不能超过 ，那么用电器的可变电阻 应控制在
A． B． C． D．
【解答】解：设反比例函数关系式为： ，把 代入得： ，
反比例函数关系式为： ，
当 时，则 ，
，
故选： ．
6．（兴庆区校级二模）在大棚中栽培新品种的蘑菇，在 的条件下生长最快，因此用
装有恒温系统的大棚栽培，如图是某天恒温系统从开启升温到保持恒温及关闭．大棚内
温度
随时间 （时 变化的函数图象，其中 段是函数 图象的一部分．若该
蘑菇适宜生长的温度不低于 ，则这天该种蘑菇适宜生长的时间为
A．18小时 B．17.5小时 C．12小时 D．10小时
【解答】解：把 代入 中得：
；
设一次函数的解析式为：
把 、 代入 中，
得： ，
解得 ，
的解析式为：当 时， ， ，
，
解得： ，
，
故选： ．
二．填空题（共2小题）
7．（诸暨市期末）为预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”，已知药物燃烧阶段，
室内每立方米空气中的含药量 与燃烧时间 （分钟）成正比例；燃烧后， 与 成
反比例（如图所示）．现测得药物 10分钟燃烧完，此时教室内每立方米空气含药量为
．研究表明当每立方米空气中含药量低于 时，对人体方能无毒害作用，那么从
消毒开始，至少需要经过 5 0 分钟后，学生才能回到教室．
【解答】解：设药物燃烧后 与 之间的解析式 ，把点 代入得 ，解得
，
关于 的函数式为： ；
当 时，由 ；得 ，所以50分钟后学生才可进入教室；
故答案为：50．
8．（滨州模拟）小刚同学家里要用 的空调，已知家里保险丝通过的最大电流是
，额定电压为 ，那么他家最多还可以有 2 4 只 的灯泡与空调同时使用．
【解答】解：通过空调的电流为 ，
设：需要 个 的灯泡，则： ，解得： ，
故：答案为24．
知识点2反比例函数与一次函数
1.求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组
有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点。
2.如果图中直接给出交点坐标，比较函数大小, 根据图象，确定大小关系，要注意分支讨论。
【典例】
1.如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣ x与反比例函数y= （k≠0）在第二象限内的图
象相交于点A（m，1）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将直线y=﹣ x向上平移后与反比例函数图象在第二象限内交于点B，与y轴交于点
C，且△ABO的面积为 ，求直线BC的解析式．
【解析】解：（1）∵直线y=﹣ x过点A（m，1），
∴﹣ m=1，解得m=﹣2，
∴A（﹣2，1）．
∵反比例函数y= （k≠0）的图象过点A（﹣2，1），
∴k=﹣2×1=﹣2，
∴反比例函数的解析式为y=﹣ ；
（2）设直线BC的解析式为y=﹣ x+b，
∵三角形ACO与三角形ABO面积相等，且△ABO的面积为 ，∴△ACO的面积= OC•2= ，
∴OC= ，
∴b= ，
∴直线BC的解析式为y=﹣ x+ ．
2.如图，直线y=﹣2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，与反比例函数y= 的图象有唯一的
公共点C
（1）求k的值及C点坐标；
（2）直线l与直线y=﹣2x+4关于x轴对称，且与y轴交于点B'，与双曲线y= 交于D、E
两点，求△CDE的面积．
【答案】
【解析】解：（1）令﹣2x+4= ，则2x2﹣4x+k=0，
∵直线y=﹣2x+4与反比例函数y= 的图象有唯一的公共点C，
∴△=16﹣8k=0，
解得k=2，
∴2x2﹣4x+2=0，
解得x=1，
∴y=2，
即C（1，2）；
（2）∵直线l与直线y=﹣2x+4关于x轴对称，
∴A（2，0），B'（0，﹣4），
∴直线l为y=2x﹣4，令 =2x﹣4，则x2﹣2x﹣3=0，
解得x=3，x=﹣1，
1 2
∴E（﹣1，﹣6），D（3，2），
又∵C（1，2），
∴CD=3﹣1=2，
∴△CDE的面积= ×2×（6+2）=8．
【方法总结】
一次函数，反比例两函数比大小：
此类问题首先要先找到交点，如果交点为2 个X ,X 且X ＜0＜X 那么把这个图像分为了
1 2 1 2
4份，分别为Ⅰ:X＜X ，Ⅱ:X ＜X＜0，Ⅲ:0＜X＜X ，Ⅳ:X＞X ，树形结合，自变量相同，
1 1 2 2
谁高谁大。（考虑反比例函数时一定要分支考虑，分为0左边，0右边，所以两个交点把
图像分为了4部分）
【随堂练习】
1．（衡阳）如图，一次函数 的图象与反比例函数 为常数且
的图象都经过 ， ，结合图象，则不等式 的解集是
A． B． C． 或 D． 或【解答】解：由函数图象可知，当一次函数 的图象在反比例函数
为常数且 的图象上方时， 的取值范围是： 或 ，
不等式 的解集是 或
故选： ．
2．（洪泽区一模）如图，正比例函数 的图象与反比例函数 的图象交于 、
两点，点 在 轴负半轴上， ， 的面积为6．则 的值为
A．3 B． C． D．6
【解答】解：设 ，
，
是等腰三角形，
，
，
，
，
，
故选： ．
3．（新宾县模拟）如图，若反比例函数 的图象与直线 相交于点 ， ，
结合图象求不等式 的解集A． B． C． 或 D． 或
【解答】解：由图象可知，直线 在反比例函数 的图象上方时， 或
，
不等式 的解集为：， 或 ．
故选： ．
4．（姜堰区期中）一次函数 的图象与反比例函数 图象的交点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第一、三象限
【解答】解：联立方程组 ，
解得， ， ，
一次函数 的图象与反比例函数 图象的交点为 和 ，
和 分别位于第三象限和第一象限，
故选： ．
5．（路桥区一模）已知正比例函数 与反比例函数 的图象交于
， 两点，若点 的坐标是 ，则点 的坐标是
A． B． C． D．
【解答】解： 正比例函数 与反比例函数 的图象交于 ，
两点，， 两点关于原点对称，
点 的坐标是 ，
点 的坐标是 ．
故选： ．
6．（丹江口市期末）如图，直线 与双曲线 交于点 ，将直线 向
右平移3个单位后，与双曲线 交于点 ，与 轴交于点 ，若 点到 轴的距
离是 点到 轴的距离的2倍，那么 的值为
A．6 B．4 C．3 D．2
【解答】解：直线 向右平移 3 个单位后所得直线解析式为 ，即
，
设 ， ，则 ， ，
把 ， 代入 得 ，即 ，
把 ， 代入 得 ，则 ，
所以 ，解得 （舍去）， ，
所以 ．
故选： ．
7．（榆林期末）已知函数 与 的图象的交点坐标是 ，则 的值为A． B． C． D．6
【解答】解： 函数 与 的图象的交点坐标是 ，
将 ， 代入反比例解析式得： ，即 ，
代入一次函数解析式得： ，即 ，
，
故选： ．
8．（滦南县一模）如图，正比例函数 与反比例函数 的图象交于 、 两点，
其中 ，当 的函数值大于 的函数值时， 的取值范围
A． B．
C． 或 D． 或
【解答】解： 正比例函数 与反比例函数 的图象交于 、 两点，其中 ，
点 坐标为
当 或
故选： ．
知识点3反比例函数与几何综合应用
反比例函数的基本性质在几何中的应用，适当设双曲线上的点的坐标，用坐标转化题中的
几何条件及几何结论，利用双曲线上的点的代数、几何性质，建立方程进行求解及利用坐
标系解决不规则三角形面积计算问题。注意勾股定理、完全平方式、整体代入、图形变换
等结合及点坐标的应用。
【典例】
1.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B在x轴正半轴上，顶点D在反比例函数 的第一象限的图象上，CA的延长线与y轴负半轴交于点E．若△ABE的面
积为1.5，则k的值为 ．
【答案】3
【解析】解：设正方形ABCD的边长为a，A（x，0），则D（x，a），
∵点D在反比例函数y= 的图象上，
∴k=xa，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAB=45°，
∴∠OAE=∠CAB=45°，
∴△OAE是等腰直角三角形， ∴E（0，﹣x），
∴S ABE= AB•OE= ax=1.5，
∴ax△=3，即k=3．
故答案为：3．
2.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y= （x＞0）的图象与y= （x＞0）的图
1 2
象关于x轴对称，Rt AOB的顶点A，B分别在y= （x＞0）和y= （x＞0）的图象
1 2
△
上．若OB=AB，点B的纵坐标为﹣2，则点A的坐标为 ．
【答案】（3+ ，﹣1+ ）【解析】解：如图，
作正方形ABOC，过点C作CD⊥y轴于D，过点E作BE⊥y轴于E，
∴∠ODC=∠BEO=90°，OB=OC，∠COD+∠BOE=90°，
∵∠COD+∠OCD=90°，
∴∠OCD=∠BOE，
∴△COD≌△OBE，
∴CD=OE=2，OD=BE，S =S ，
COD OBE
△ △
∵反比例函数y= （x＞0）的图象与y= （x＞0）的图象关于x轴对称，
1 2
∴k1+k=0，
2
∴点C在双曲线y= 上，
1
设B（m，﹣2）（m＞0），
∴C（2，m），
∴k=2m
1
连接BC交OA于H，
则CH=BH，OH=AH，
∴H（ ， ），
∴A（m+2，m﹣2），
∴k=（m+2）（m﹣2）
1
∴（m+2）（m﹣2）=2m，
∴m=1+ 或m=1﹣ （舍），
∴m+2=3+ ，m﹣2=﹣1+ ，
∴A（3+ ，﹣1+ ），故答案为：（3+ ，﹣1+ ）．
3.如图，反比例函数y= （x＞0）过点A（3，4），直线AC与x轴交于点C（6，0），过
点C作x轴的垂线BC交反比例函数图象于点B。
（1）求k的值与B点的坐标；
（2）在平面内有点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形，试写出
符合条件的所有D点的坐标．
【解析】解：（1）把点A（3，4）代入y= （x＞0），得
k=xy=3×4=12，
故该反比例函数解析式为：y= ．
∵点C（6，0），BC⊥x轴，
∴把x=6代入反比例函数y= ，得
y= =6．
则B（6，2）．
综上所述，k的值是12，B点的坐标是（6，2）．
（2）①如图，当四边形ABCD为平行四边形时，AD∥BC且AD=BC
∵A（3，4）、B（6，2）、C（6，0），
∴点D的横坐标为3，y ﹣y =y ﹣y 即4﹣y =2﹣0，故y =2．
A D B C D D
所以D（3，2）．
②如图，当四边形ACBD′为平行四边形时，AD′∥CB且AD′=CB
∵A（3，4）、B（6，2）、C（6，0），
∴点D的横坐标为3，y ′﹣y =y ﹣y 即y ﹣4=2﹣0，故y =6．
D A B C D D′
所以D′（3，6）．
③如图，当四边形ACD″B为平行四边形时，AC=BD″且AC=BD″．
∵A（3，4）、B（6，2）、C（6，0），
∴x ﹣x =x ﹣x 即x ﹣6=6﹣3，故x =9．
D″ B C A D″ D″y ﹣y =y ﹣y 即y ﹣2=0﹣4，故y =﹣2．
D″ B C A D″ D″
所以D″（9，﹣2）．
综上所述，符合条件的点D的坐标是：（3，2）或（3，6）或（9，﹣2）．
4.如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y= 与y= （x＞0，0＜m＜n）的图
象上，对角线BD∥y轴，且BD⊥AC于点P．已知点B的横坐标为4．
（1）当m=4，n=20时．
①若点P的纵坐标为2，求直线AB的函数表达式．
②若点P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由．
（2）四边形ABCD能否成为正方形？若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，试说
明理由．
【解析】解：（1）①如图1，∵m=4，
∴反比例函数为y= ，
当x=4时，y=1，
∴B（4，1），
当y=2时，
∴2= ，
∴x=2，
∴A（2，2），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∴ ，∴ ，
∴直线AB的解析式为y=﹣ x+3；
②四边形ABCD是菱形，
理由如下：如图2，由①知，B（4，1），
∵BD∥y轴，
∴D（4，5），
∵点P是线段BD的中点，
∴P（4，3），
当y=3时，由y= 得，x= ，
由y= 得，x= ，
∴PA=4﹣ = ，PC= ﹣4= ，
∴PA=PC，
∵PB=PD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵BD⊥AC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）四边形ABCD能是正方形，
理由：当四边形ABCD是正方形，记AC，BD的交点为P，
∴PA=PB=PC=PD，（设为t，t≠0），
当x=4时，y= = ，
∴B（4， ），
∴A（4﹣t， +t），C（4+t， +t），
∴（4﹣t）（ +t）=m，
∴t=4﹣ ，
∴C（8﹣ ，4），
∴（8﹣ ）×4=n，∴m+n=32，
∵点D的纵坐标为 +2t= +2（4﹣ ）=8﹣ ，
∴D（4，8﹣ ），
∴4（8﹣ ）=n，
∴m+n=32．
【方法总结】
反比例函数与几何的综合主要与全等，勾股、相似及反比例函数图象上点的坐标特征、解
方程等知识结合；熟练掌握这些知识点是解决问题的关键．
求出多解时要注意看象限，判断是否需要舍值。
【随堂练习】
1．（瑞安市期末）如图，在 中， ， ， 轴，垂足为 ．反
比例函数 的图象经过点 ，交 于点 ．
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求点 的坐标．【解答】解：（1）过 作 ， 轴，垂足为 、 ，
， ，
，
在 中， ，
， ，
代入 得： ，
答： 的值为12．
（2） ，
，
设 ，则 ， ，
点 、 在反比例函数的图象上，
，
解得： ，
答：点 的坐标为
2．（大庆二模）如图，正比例函数 与反比例函数 交于点 ，轴于点 ，平移直线 使其经过点 ，得到直线 ， 与 轴交于点 ，与
交于点 ．
（1）求正比例函数 及反比例函数 的解析式；
（2）求点 的坐标；
（3）求 的面积．
【解答】解：（1）将点 分别代入 、 得 、 ，
解得 ， ，
正比例函数及反比例函数的解析式分别为 、 ；
（2） 由 平移得到，所以设 ，
轴， ，将其代入 得 ，
，
由题意得： 解得： ， （舍去），
点 坐标为 ， ；
（3）连接 ，过点 作 轴，垂足为 ，则 ，
把 代入 得， ，直线 ，
．
答： 的面积为 ．
3．（卧龙区期末）如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于点
和 ，与 轴交于点 ．
（1） ， ；
（2）根据函数图象可知，当 时， 的取值范围是 ；
（3）过点 作 轴于点 ，点 是反比例函数在第一象限的图象上一点．设直线
与线段 交于点 ，当 时，求直线 的解析式．
【解答】解：（1）把 代入 得 ，解得 ，
一次函数解析式为 ；
把 代入 得 ，反比例函数解析式为 ，
故答案为： ，16；
（2） 当 时即直线在反比例函数图象的上方时对应的 的取值范围，
或 ；
故答案为： 或 ；
（3）把 代入 得 ，解得 ，
点 的坐标是 ，而点 的坐标是 ，
， ．
，
，
，
，
，
点 的坐标为 ．
设直线 的解析式为 ，把 代入得 ，解得 ，
直线 的解析式为 ．
4．（泗水县二模）如图，反比例函数 过点 ，直线 与 轴交于点
，过点 作 轴的垂线 交反比例函数图象于点 ．
（1）求 的值与 点的坐标；
（2）在平面内有点 ，使得以 ， ， ， 四点为顶点的四边形为平行四边形，试直
接写出符合条件的所有 点的坐标．【解答】解：（1）把 代入 得： ，
当 时， ，
点 ，
答： 的值为12，点 的坐标为 ．
（2） ， 、 ， ，
①过 作 的平行线，在这条平行线上截取 ， ，
此时 ， ，
②过点 作 的平行线与过 作 的平行线相交于 ，
过点 作 ，垂足为 ，过 作 ，垂足为 ，
是平行四边形，
， ，
△
， ，
的横坐标为 ，
答：符合条件的所有 点的坐标为 ， ， ．5．（侯马市期末）如图，直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，与反比例函
数 的图象交于 ， ，连接 ， ．
（1）求 的值；
（2）求 的面积．
（3）根据图象直接写出 时， 的取值范围．
（4）点 是反比例函数 上一点，是否存在点 ，使点 、 、 为顶点的三角
形是直角三角形，且 为直角边，若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明
理由．
【解答】解：（1）把 代入 得： ，
即一次函数的表达式为 ，
把 ， 代入得： ， ，解得 ， ，
即 ， ，
把 的坐标代入 得： ，
解得： ；
（2）由 可知： ，
的面积为 ；
（3）由图象可知： 时， 的取值范围是 或 ；
（4）当 在第一象限，根据题意 ，
直线 ，
设直线 的解析式为 ，
代入 得，
解得 ，
直线 为 ，
解 得 ， ，
；
当 在第三象限，根据题意 ，
直线 ，
设直线 的解析式为 ，
代入 得，
解得 ，直线 为 ，
解 得 或 ，
，
综上，点 的坐标为 或 ．
6．（万州区期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 ， 、 为常
数）的图象与反比例函数 的图象交于第二、四象限内的 、 两点，与 轴交
于点 ，过点 作 轴，垂足为 ， ， ，点 的纵坐标为 ．
（1）求一次函数的解析式；
（2）连接 、 ，求 的面积．
【解答】解：（1） 轴于 ， ， ，
，
把 代入反比例函数 ，可得
，
，
令 ，则 ，
，
把 ， 代入一次函数 ，可得，解得 ，
一次函数的解析式为 ；
（2） ，令 ，则 ，
，
，
又 ， ，
的面积 ．
7．（长春期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形 的顶点 与原点 重合，点
在 轴的正半轴上，点 在函数 ． 的图象上，点 的坐标为 ．
（1）求 的值．
（2）将点 沿 轴正方向平移得到点 ，当点 在函数 的图象上时，
求 的长．【解答】解：（1）延长 交 轴于 ，
点 的坐标为 ，
， ，
在 中，由勾股定理得： ，
四边形 是菱形，
， ，
点的坐标是 ，
代入 得： ；
（2）反比例函数的解析式是 ，
，将点 沿 轴正方向平移得到点 ，
点的纵坐标是3，
把 代入 得： ，
．
8．（宽城区期末）如图，在平面直角坐标系中正比例函数 与函数 的图
象相交点 ， 轴于点 ．平移直线 ，使其经过点 ，得到直线 求直线
所对应的函数表达式．【解答】解： 函数 的图象过点 ，
代入得： ，
即 ，
轴于点 ，
，
把 代入 得： ，
解得： ，
即 ，
平移直线 ，使其经过点 ，
设直线 所对应的函数表达式是 ，
把 代入得： ，
解得： ，
所以直线 所对应的函数表达式是 ．
9．（沙坪坝区校级期末）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式
利用函数图象研究其性质一运用函数解决问题“的学习过程．在画函数图象时，我们通过
描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义
．
结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：在函数 中，当 时，
，当 时， ．
（1）求这个函数的表达式；
（2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象；
（3）已知函数 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集．
【解答】解：（1） 在函数 中，当 时， ；当 时， ，
，得 ，
这个函数的表达式是 ；
（2） ，
，
函数 过点 和点 ；函数 过点 和点 ；
该函数的图象如图所示：
（3）由函数图象可得，
不等式 的解集是 ．10．（赣榆区期中）如图，在平面直角坐标系中，直线 与反比例函数 的图象
交于 ， 两点（点 在点 左侧）已知 点的纵坐标是2．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点 上方的双曲线上有一点 ．如果 的面积为30，直线 的函数表达式．
【解答】解：（1）直线 经过点 ，且 点的纵坐标是2，
令 ，则 ，
即 ，
反比例函数 的图象经过 点，
，
反比例函数的表达式为 ；
（2）作 轴于 ，交 于 ，
直线 和双曲线 是中心对称图象， ，
，
设 ，
把 代入 得 ，
， ，
，
，
整理得： ，解得 或 （舍去），
，
设直线 的解析式为 ，
，解得 ，
直线 的解析式为 ．
综合运用: 反比例函数的综合运用
1.如图，已知矩形OABC的一个顶点B的坐标是（4，2），反比例函数y= （x＞0）的图
象经过OB的中点E，且与边BC交于点【选项D】
（1）求反比例函数的解析式和点D的坐标；
（2）求三角形DOE的面积；
（3）若过点D的直线y=mx+n将矩形OABC的面积分成3：5的两部分，求此直线解析式．
【解析】解：（1）∵矩形OABC的顶点B的坐标是（4，2），E是矩形ABCD的对称中
心，
∴点E的坐标为（2，1），
∵代入反比例函数解析式得 =1，解得k=2，
∴反比例函数解析式为y= ，∵点D在边BC上，
∴点D的纵坐标为2，
∴y=2时， =2，
解得x=1，
∴点D的坐标为（1，2）；
（2）∵D的坐标为（1，2），B（4，2），
∴BD=3，OC=2．
∵点E是OB的中点，
∴S = S = × ×3×2= ；
DOE OBD
△ △
（3）如图，设直线与x轴的交点为F，
矩形OABC的面积=4×2=8，
∵矩形OABC的面积分成3：5的两部分，
∴梯形OFDC的面积为 ×8=3，
或 ×8=5，
∵点D的坐标为（1，2），
∴若 （1+OF）×2=3，
解得OF=2，
此时点F的坐标为（2，0），
若 （1+OF）×2=5，
解得OF=4，
此时点F的坐标为（4，0），与点A重合，
当D（1，2），F（2，0）时， ，
解得 ，
此时，直线解析式为y=﹣2x+4，
当D（1，2），F（4，0）时， ，
解得 ．此时，直线解析式为y=﹣ x+ ，
综上所述，直线的解析式为y=﹣2x+4或y=﹣ x+ ．
2.如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象分别与x轴，y轴相交于点A，B，与反比例函
1 1 1
数y= 的图象相交于点C（﹣4，﹣2），D（2，4）．
2
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）当x为何值时，y＞0；
1
（3）当x为何值时，y＜y，请直接写出x的取值范围．
1 2
【解析】解：（1）∵一次函数y=kx+b的图象经过点C（﹣4，﹣2），D（2，4），
1 1
∴ ，
解得 ．
∴一次函数的表达式为y=x+2．
1
∵反比例函数 的图象经过点D（2，4），
∴ ．∴k=8．
2
∴反比例函数的表达式为 ．
（2）由y＞0，得x+2＞0．
1
∴x＞﹣2．
∴当x＞﹣2时，y＞0．
1
（3）x＜﹣4或0＜x＜2．
3.实验数据显示：一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内（包括1.5小时）其血液中酒精
含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用二次函数y=﹣200x2+400x表示；
1.5小时后（包括1.5小时）y与x可近似地用反比例函数y= （k＞0）表示（如图所示）．
（1）求k的值．
（2）假设某驾驶员晚上在家喝完半斤低度白酒，求有多长时间其酒精含量不低于 72毫
克/百毫升？（用分钟表示）
【解析】解：（1）当x=1.5时，y=﹣200x2+400x=﹣200×2.25+400×1.5=150，
∴k=1.5×150=225；
（2）当y=72时，x=3.125小时=175.5分钟，
所以175.5分钟内其酒精含量不低于72毫克/百毫升．
