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08B 正反比例函数综合
考情链接
1. 本次任务由两个部分构成
（1）待定系数法求函数解析式
（2）数形结合解决函数问题
2. 考情分析
（1）正反比例函数是函数的部分，属于函数板块，占中考考分值约20%。
（2）主要考察正反比例函数的解析式、正反比例函数的几何综合考察形式以填空题、解答
题为主。
（3）对应教材：八年级上册第十八章正反比例函数第三节。
（4）正、反比例函数是八年级数学上学期第十八章内容，主要对正、反比例函数的图像及
性质综合题型进行讲解，重点是正、反比例函数性质的灵活运用，难点是数形结合思想的应
用的归纳总结．通过这节课的学习为我们后期学习一次函数的应用提供依据。
1知识加油站 1——待定系数法求函数解析式
考点一：待定系数法求解析式
知识笔记1
1. 正比例函数
（1）一般地，正比例函数___________________的图象经过（0，0），（1，k）这两点的一
条直线，我们把正比例函数y=kx的图象叫做直线y=kx．
（2）正比例函数图像的性质：
①____________________________________；自变量x的值逐渐增大时，y值也随着逐渐增
大．
②____________________________________；自变量x的值逐渐增大时，y值也随着逐渐减
小．
2. 反比例函数
（1）反比例函数的解析式：解析式形如__________________的函数叫做反比例函数，其中
k
k也叫做比例系数．反比例函数y= 的定义域是不等于零的一切实数．
x
（2）反比例函数图像的性质：
①_______________________________________________________
_________________________________________________________
②_______________________________________________________
_________________________________________________________
③图像的两支都无限接近于x轴和y轴，但不会与x轴和y轴相交．
2例题1:
1
（1）已知y与2z成反比例，比例系数为k ，z与 x成正比例，比例系数为k ，k 和k 是
1 2 2 1 2
已知数，且k k 0，则y关于x成________比例．（填“正”或“反”)
1 2
1
（2）已知y与−3x成反比例，x与 成正比例，则y与z成________比例．（“正”或“反”)
z
（3）（2022•青浦区东方中学期中）已知：y= y − y ，并且y 与x成正比例，y 与(x−2)成
1 2 1 2
反比例，且当x=−2时，y=−7，当x=3时，y=13，求：
①求y与x之间的函数解析式；
②求当x= 2时的函数值．
（4）已知y=3y −2y ，且y 与x成正比例，y 与x−2成反比例，且x=1时，y=−1；x=3
1 2 1 2
时，y=13，求y与x的关系式．
练习1:
1 1
（1）（2022•虹口区期中（））已知x和 成正比例，y和 成反比例，则x和z成______比
y z
例．
1 1
（2）若y与 成正比例，x与 成反比例，求证：y与z成反比例．
x z
3（3）（2022•徐汇区期末）已知y= y + y ，y 与x成正比例，y 与x成反比例，且当x=−1
1 2 1 2
时，y=−4；当x=3时，y=4．
①求y关于x的函数解析式；
②当x=−2时，求y的值．
（4）已知y= y + y ，y 与x2成正比例，y 与x−2成正比例．
1 2 1 2
①当x=1时，y=5；当x=−1时，y=11，求y与x之间的函数表达式
②并求当x=2时y的值．
考点二：正反比例函数交点
例题2:
3
（1）函数y=2x与y= 的图像的交点坐标是_______________.
x
k−1
（2）已知直线y=2mx与双曲线y= 的一个交点A的坐标为(−1，−2)，
x
则m+k=________；它们的另一个交点坐标是___________．
（3）若正比例函数和反比例函数的图像经过点A（-2，1）和点B(3a−1，b+2)，则b2a的值
为
___________．
4m−1
（4）已知正比例函数y =(k+1)x与反比例函数y = 交于A、B两点，且点A的横坐标
1 2 x
是-1，点B的纵坐标是2，求这两个函数的解析式．
（5）给出下列命题；
1
命题1：直线y=x与双曲线y= 有一个交点是(1,1)
x
2
命题2：直线y=2x与双曲线y= 有一个交点是(1,2)；
x
3
命题3：直线y=3x与双曲线y= 有一个交点是(1,3)；
x
4
命题4：直线y=4x与双曲线y= 有一个交点是(1,4)；
x
①请你阅读、观察上面命题，猜想出命题n(n为正整数）；
②请验证你猜想的命题n是正确的．
练习2:
2
（1）（2022•宝山区行知中学期中）如图，正比例函数y=kx(k 0)与反比例函数y=− 的
x
图象交于点A(−1,m)和点B，求k的值和点B的坐标．
53 k
（2）（2022•宝山区期末）如图，正比例函数y= x的图象与反比例函数y= (k 0)的图象
2 x
都经过点A(a,3)，求点A的坐标和反比例函数的解析式；
k
（3）已知反比例函数y = 1 和正比例函数y =k x的图像交于点（2，3），
1 x 2 2
①求这两个函数解析式；
②判断点（1，6）是否在反比例函数的图像上；
③求两个函数图像的另一个交点．
（4）给出下列命题：
−1
命题1：点(1,−1)是直线y=−x与双曲线y= 的一个交点；
x
−2
命题2：点(1,−2)是直线y=−2x与双曲线y= 的一个交点；
x
−3
命题3：点(1,−3)是直线y=−3x与双曲线y= 的一个交点；
x
−4
命题4：点(1,−4)是直线y=−4x与双曲线y= 的一个交点；
x
①请观察上面命题，写出命题5．
②试写出命题n．
6考点三：正反比例函数图像综合
例题3:
（1）已知正比例函数y＝kx（k≠0），y的值随x的值的增大而减小，那么它和
反比例函数y＝﹣ （k≠0）在同一直角坐标平面内的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
k
（2）已知正比例函数y=kx和反比例函数y=− 在同一坐标系内的大致图象是( )
x
A．（1）或（3） B．（1）或（4） C．（2）或（3） D．（3）或（4）．
7练习3:
（1）已知正比例函数 y＝ 中，y的值随x的值的增大而增大，那么它和反比例函数 y＝
在同一平面直角坐标系内的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
（2）（2022•嘉定区期中）函数 y=k x 和 k 且 k k ) 图象大致是( )
1 y= 2 (kk 0 1 2
x 1 2
A． B．
C． D．
8知识加油站 2——数形结合解决函数问题
考点四：数形结合解决函数问题
知识笔记2
1.与平行、面积结合
正反比例函数数作为综合题时，多与几何问题结合去考察的题型，常见问题有：距离问题、
面积问题（已知面积求点坐标或解析式、已知点坐标求面积）等.
2.与实际问题结合
将实际问题反映到正反比例函数图像上，关键是要读懂函数图像的含义。
例题4:
（1）（2022•长宁区第三女子中学期中）如图，已知正比例函数图象经过点A(2,3)、B(m,6)．
①求正比例函数的解析式及m的值；
②分别过点A与点B作y轴的平行线，与反比例函数在第一象限内的分支分别交于点C 、
D（点C 、D均在点A、B下方），若BD=5AC，求反比例函数的解析式；
③求OCD的面积．
9k
（2）（2022•嘉定区期中）如图，已知正比例函数y=k x的图象与反比例函数y= 2 的图象
1 x
都经过点P(2,3)，点D是正比例函数图象上的一点，过点D作y轴的垂线，垂足为Q，DQ
交反比例函数的图象于点A，过点A作x轴的垂线，垂足为B，AB交正比例函数的图象于
点E．
①求正比例函数解析式、反比例函数解析式．
②当点D的纵坐标为9时，求AEP的面积．
③在②的条件下，若直线OD上存在一点M，点M的横坐标为m，AEM的面积为S ，直
接写出S 关于m的解析式，并写出定义域．
10练习4:
4
（1）已知反比例函数 y = 与正比例函数相交于点A，点A的坐标是(1,m)．①求此正比
x
例函数解析式；
1 4
②若正比例函数y = x与反比例函数y = 的图象在第一象限内相交于点B，过点A和点
4 x
B分别作 x轴的垂线，分别交 x轴于点C 和点D，AC 和OB相交于点P，求梯形PCDB的
面积；
③连接AB，求AOB的面积．
4 k
（2）已知直线y = x与双曲线y= 交于A、B两点，且点A的纵坐标为4，第一象限的
3 x
双曲线上有一点P，过点P作PQ//x轴交直线AB于点Q，点A到PQ的距离为2．
①直接写出k 的值及点B的坐标；
②求线段PQ的长；
k
③如果在双曲线y= 上一点M，且满足PQM 的面积为9，求点M的坐标．
x
11考点五：函数的实际应用
例题5:
为了预防流行性感冒，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒．已知药物燃烧时室内每立方
米空气中的含药量y毫克）与时间x（分钟）成正比例；药物燃烧后，y与x成反比例（如
图所示）．请根据图中提供的信息，常规讲解下列问题：
（1）药物燃烧后y与x的函数关系式为________________________.
（2）当空气中每立方米的含药量低于 1.6 毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少
需要经过几分钟后，学生才能回到教室；
（3）当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭
空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？
练习5:
驾驶员血液中每毫升的酒精含量大于或等于200微克即为酒驾，某研究所经实验测得：成人
饮用某品牌38度白酒后血液中酒精浓度y（微克/毫升）与饮酒时间x（小时）之间函数关
系如图所示（当4 x 10时，y与x成反比例）．
（1）根据图象分别求出血液中酒精浓度上升和下降阶段y与x之间的函数表达式．
（2）问血液中酒精浓度不低于200微克/毫升的持续时间是多少小时？
12全真战场
关卡一
练习1:
2−m
函数y= 的图象与直线 y=x 没有交点，那么m的取值范围是_________．
x
练习2:
k+1
正比例函数y=(k−1)x和反比例函数y= 的图像都经过横坐标为2的点P，求这两个函
x
数的解析式和点P的坐标．
练习3:
4
已知反比例函数y= 的图像过点A（2，n）．
x
（1）求过点A的正比例函数的解析式；
（2）画出正比例函数图像；
（3）求过点A关于y轴对称的点B的反比例函数的解析式．
13练习4:
k
（2022•普陀区期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y= (k 0)的图象与正
x
比例函数y=2x的图象的交点A在第一象限，点A的纵坐标比横坐标大1．
（1）求点A的坐标和反比例函数的解析式；
（2）点P在射线OA上，过点P作x轴的垂线交双曲线于点B．如果点B的纵坐标为 1，
求PAB的面积．
关卡二
练习5:
k
如图，正比例函数y=3x的图象与反比例函数y= (k 0)的图象交于点A，若k取 1，2，
x
320，对应的RtAOB的面积分别为S ，S ，，S ，则S +S ++S =_____．
1 2 20 1 2 20
14练习6:
在平面直角坐标系xOy中，直线y=−x绕点O顺时针旋转90得到直线l，直线l与反比例函
k
数y= 的图象的一个交点为A(a,3)，试确定反比例函数的解析式．
x
练习7:
6 3
已知在直角坐标平面内有双曲线y= ，另有ABC ，其中点A、B、C 的坐标分别是
x
3 6 3 6
A(−2 2， )，B(−2 2，0)，C(0, )．
2 2
（1）如果将ABC 沿x轴翻折后得到对应的△ABC （其中点A、B、C 的对应点分别是
1 1 1
6 3
点A 、B 、C )，问：△ABC 的三个顶点中，有无在双曲线y= 上的点？若有，写出
1 1 1 1 1 1
x
这个点的坐标．
6 3
（2）如果将ABC 沿x轴正方向平移a个单位后，使ABC 的一个顶点落在双曲线y=
x
上，请直接写出a的值．
（3）如果ABC 关于原点O的对称的三角形△A B C （其中点A、B、C 的对应点分别是
2 2 2
点A 、B 、C )，请写出经过点A、A 的直线所表示的函数解析式．
2 2 2 2
15
