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专题 6.15 反比例函数与几何综合（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
1．如图，矩形的中心为直角坐标系的原点O，各边分别与坐标轴平行，其中一边
交x轴于点C，交反比例函数图象于点P．当点P是 的中点时，求得图中阴影部分的面
积为8，则该反比例函数的表达式是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，菱形ABCD的边AD与x轴平行，A点的横坐标为1，∠BAD＝45°，反比例
函数y 的图像经过A，B两点，则菱形ABCD的面积是（ ）
A． B． C．2 D．4
3．如图，在平面直角坐标系中，O是 斜边AB的中点，点A、E均在反比例
函数 上，AE延长线交x轴于点D， ， ．则
的面积为（ ）A．18 B．12 C．9 D．24
4．如图，点 是反比例函数 的图象上任意一点， 轴交反比例函数
的图象于点 ，以 为边作 ，其中C，D在x轴上，则 为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
5．如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴、 轴分别相交于点 、 ． ，
，将 沿直线 翻折，点 的对应点 恰好落双曲线 （ 是常数，
）的图像上，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图， 是射线 上一点，过 作 轴于点 ，以 为边在其右
侧作正方形 ，过 的双曲线 交 边于点 ，则 的值为（ ）A． B． C． D．
7．如图，点 为反比例函数 上的一点，点 为 轴负半轴上
一点，连接 ，将线段 绕点A逆时针旋转 ；点 的对应点为点 ．若点 恰好也
在反比例函数 的图像上，且 点的横坐标是A点横坐标的两倍，则 （ ）
A． B． C． D．
8．如图，菱形 的四个顶点均在坐标轴上，对角线 交于原点O，
交 于点G，反比例函数 的图象经过线段 的中点E，若
，则 的长为( )A． B． C． D．
9．如图，点 为坐标原点，菱形 的边 在 轴的正半轴上，对角线 、
交于点 ，反比例函数 的图象经过点 和点 ，若菱形 的面积为 ，
则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．如图， 中，点 在第一象限，且 ， ，反比例函数
图像经过点 ，反比例函数 图像经过点 ，且点 的纵坐标为2，则 的值为
（ ）
A．1 B． C． D．2二、填空题
11．如图，平行于y轴的直尺（部分）与反比例函数 的图像交于A，C两
点与x轴交于B，D两点，连接AC，点A，B对应直尺上的刻度分别为5，2，直尺的宽度
， ，则点C的坐标是______．
12．如图．在平面直角坐标系中， 的面积为 ，BA垂直x轴于点A，OB与双
曲线 相交于点C，且 ．则k的值为_________．
13．如图，平行四边形ABCD的BC边过原点O，顶点D在x轴上，反比例函数
的图象过AD边上的A，E两点，已知平行四边形ABCD的面积为8，
，则k的值为______．
14．如图，在平面直角坐标系中，矩形 的对角线 的中点与坐标原点重合，点 是 轴上一点，连接 、 ，若 平分 ，反比例函数 的
图象经过 上的点 、 ，且 ， 的面积为12，则 的值为_________．
15．如图，直线 与双曲线 的图象交于 点，点 是该双曲线第一象
限上的一点，且∠AOP=∠1+∠2，则点 的坐标为______．
16．平面直角坐标系 中，已知点 是函数
图象上的三点.若 ，则k的值为___________．
17．如图，点 是 内一点， 轴， 轴， ， ，
，若反比例函数 的图像经过 、 两点，则 的值是______．18．如图，已知 ， ， ，…， 是x轴正半轴上的点，且
，分别过点 ， ， ，…， 作x轴的垂线交反比例
函数 的图像于点 ， ， ，…， ，作 于点 ，作
于点 ，…，依次连接 ， ，…，记 的面积为 ， 的面积为 ，…，
的面积为 ．
（1） ______；
（2） ______．
三、解答题
19．如图，矩形 的边 、 分别在 轴、 轴的正半轴上，点 在反比例函
数 的图象上，且 ．将矩形 以点 为旋转中心，顺时针旋转 后
得到矩形 ，函数 的图象刚好经过 的中点 ，交 于点 ．(1) 求该反比例函数关系式；
(2) 求 的面积．
20．如图1，在平面直角坐标系中， ， 是反比例函数 图
象上的两点，连接 ，线段 分别与坐标轴交于点 、点 ．
(1) 求证： ；
(2) 请仅用无刻度的直尺在图2中画出一条与 相等的线段 （保留作图痕迹）．
21．如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C在x轴上，
ABC的面积为2．OB=BA，点P（m，1）在反比例函数的图象上，点Q是x轴上一动点，
△若QA+QP最小，求点Q的坐标．22．如图，菱形ABCD的顶点A、B分别在y轴与x轴正半轴上，C、D在第一象限，
轴，反比例函数 的图象经过顶点D．
(1) 若 ，
① 求反比例函数的解析式；
② 证明：点C落在反比例函数 的图象上；
(2) 若 ， ，求菱形ABCD的边长．
23．对于平面直角坐标系 中的图形 和点 ，给出如下定义：将图形 绕点 顺
时针旋转 得到图形 ，图形 称为图形 关于点 的“直 图形”．例如，图中点
为点 关于点 的“直V图形”．(1) 的图像关于原点 的“直 图形”的表达式为__________；
(2) 为 的图像上一点，其横坐标为 ，点 的坐标为 ．点 关于
点 的“直 图形”为点 ．
①若 ，试说明：不论 为何值，点 始终在直线 上；
②若 ，试判断点 能否在直线 上？若能，请求出 的值；若不能，请
说明理由．
24．如图1，反比例函数 的图象过点 ．
(1)求反比例函数 的表达式，判断点 在不在该函数图象上，并说明理由；
(2)反比例函数 的图象向左平移2个单位长度，平移过程中图象所扫过
的面积是______；
(3)如图2，直线 与x轴、y轴分别交于点A、点B，点P是直线l下方反比
例函数 图象上一个动点，过点P分别作 轴交直线l于点C，作 轴交直
线l于点D，请判断 的值是否发生变化，并说明理由，如果不变化，求出这个值．参考答案
1．B
【分析】根据反比例函数的对称性以及已知条件，可得矩形 的面积是8，设
，则 ，根据 ，可得 ，再根据反比例函数系数 的几何意义
即可求出该反比例函数的表达式．
解：如下图所示，设矩形与y轴交于点D，
∵矩形的中心为直角坐标系的原点O，反比例函数的图象是关于原点对称的中心对称
图形，且图中阴影部分的面积为8，
∴矩形 的面积是8，
设 ，则 ，
∵点P是AC的中点，
∴ ，
设反比例函数的解析式为 ，
∵反比例函数图象于点P，
∴ ，
∴反比例函数的解析式为 ．故选：B．
【点拨】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数系数 的几何意义，
得出矩形 的面积是8是解题的关键．
2．A
【分析】作AH⊥BC交CB的延长线于H，先根据反比例函数解析式求出A的坐标，设
菱形的边长为a，易证∠BAD＝∠ABH＝45°，即AH＝BH a，则点B（1 a，2
a），再求出AH，最后根据菱形的面积公式计算即可．
解：作AH⊥BC交CB的延长线于H，
∵反比例函数y 的图像经过A，B两点，A点的横坐标为1，
∴A（1，2），
设菱形的边长为a，
∵AD BC，
∴∠BAD＝∠ABH＝45°，
∴AH＝BH a，
∴B（1 a，2 a），
∴（1 a）•（2 a）＝2，
∴a ，a＝0（舍去），
1 2
∴AH 1，
∴菱形ABCD的面积＝BC×AH ．故选：A．
【点拨】本题主要考查了反比例函数与几何的综合，掌握反比例函数的性质和菱形的
性质是解答本题的关键．
3．A
【分析】连接OE、OC，过点E作EF⊥OD于点F，过点A作AG⊥OD于点G，根据
．可得 ， ，再根据反比函数比例系数的几何意义可
得 ，从而得到OF=2OG，进而得到 ，可得到
，再证明OC∥AD，即可求解．
解：如图，连接OE、OC，过点E作EF⊥OD于点F，过点A作AG⊥OD于点G，
∵ ．
∴点E的横纵坐标等于点A、D的横纵坐标之和的一半，
∴ ， ，
∵点A、E均在反比例函数 上，
∴ ，即 ，
∴OF=2OG，
∴OD=3OG，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵O是 斜边AB的中点，
∴OC=OB，
∴∠ABC=∠OCB，
∴∠AOC=2∠ABC，
∵∠BAD=2∠ABC，
∴∠AOC=∠BAD，
∴OC∥AD，
∴ ．
故选：A
【点拨】本题考查反比例函数的性质，反比例函数系数k的几何意义，平行线的判断
和性质，直角三角形斜边中线的性质，等高模型等知识，解题的关键是证明OC∥AD，利用
等高模型解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
4．B
【分析】设A的纵坐标是b，则B的纵坐标也是b，即可求得A、B的横坐标，则AB
的长度即可求得，然后利用平行四边形的面积公式即可求解．
解：设A的纵坐标是b，则B的纵坐标也是b．
把y=b代入y= 得，b= ，则x= ，即A的横坐标是 ；
把y=b代入y=- 得，b=- ，则x= ，B的横坐标是：- ．
则AB= -（- ）= ．
则S▱ABCD= ×b=5．
故选：B．【点拨】本题考查了是反比例函数与平行四边形的综合题，理解A、B的纵坐标是同
一个值，表示出AB的长度是关键．
5．B
【分析】过点C作CD⊥x轴，根据折叠的性质可得∠CAB=∠OAB=30°，AC=AO=4，
∠ACB=AOB=90°，用含30°直角三角形的性质和勾股定理求出AD和CD的长，进而得到
OD的长，即可得到点C的坐标，即可得出k的值．
解：如图，过点C作CD⊥x轴，
∵将 ABO沿直线AB翻折，
∴∠C△AB=∠OAB=30°，AC=AO=4，∠ACB=AOB=90°，
∴∠CAD＝60°，
∴AD＝ ，
∴CD＝ ，OD＝2，
∴C（－2， ），
∵点C恰好落在双曲线 (k≠0)上，
∴ ．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了翻折的性质，含30°直角三角形的性质，勾股定理，反比例
函数的解析式的求法，理解翻折的性质，求出点C的坐标是解答本题的关键．
6．A
【分析】设点B的坐标为（m，0），则点A的坐标为（m， ），把点A的坐标代入反比例函数 ，得到反比例函数的解析式为y＝ ，结合正方形的性质，得到点
C，点D和点E的横坐标，把点E的横坐标代入反比例函数的解析式，得到点E的纵坐标，
求出线段DE和线段EC的长度，即可得到答案．
解：设点B的坐标为（m，0），则点A的坐标为（m， ），
∴线段AB的长度为 ，点D的纵坐标为 ，
∵点A在反比例函数 上，
∴k＝ ，即反比例函数的解析式为：y＝ ，
∵四边形ABCD为正方形，
∴正方形ABCD的边长为 ，
点C，点D和点E的横坐标为m＋ ，
把x＝ 代入y＝ 得：y＝ ，即点E的纵坐标为 ，
∴EC＝ ，DE＝ ，
∴ ，
故选：A．
【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征
和正方形的性质，正确掌握待定系数法和正方形的性质是解题的关键．
7．D
【分析】首先可证得△ABF≌△CAE(AAS)，得出AF=CE，BF=AE，再得出点C的横坐
标，进而得出点C的纵坐标，再利用BF=AE，求出点B的纵坐标，进而得出点B的横坐标，
最后根据AF=CE，建立方程求解即可得出结论．
解：如图，过点C作CE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，∴∠AEC=∠BFA=90°，
∴∠BAF+∠ABF=90°，
由旋转知，AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠CAE+∠BAF=90°，
∴∠ABF=∠CAE，
∴△ABF≌△CAE(AAS)，
∴AF=CE，BF=AE，
∵C点的横坐标是A点横坐标的两倍，且点A(2k,0)，
∴点E(4k,0)，
∵点C在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∴ ，
∵A(2k,0)，E(4k,0)，
∴AE=|2k−4k|=−2k，
∴BF=−2k，
∵点B在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵AF=CE，
∴ ，∴ ，
故选：D．
【点拨】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，旋转的性质，全等三角形
的判定和性质，构造出△ABF≌△CAE是解本题的关键．
8．B
【分析】过E作y轴和x的垂线EM，EN，证明四边形MENO是矩形，设E（b，
a），根据反比例函数图象上点的坐标特点可得 ，进而可计算出CO长，利用等边
三角形的性质可得 ，然后利用勾股定理计算出DG长，进而可得AG长．
解：过E作y轴和x的垂线EM，EN，垂足分别为M，N， 设E（b，a），
∵反比例函数 （x＞0）经过点E，
∴ ，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，DO= BD=4，
∵EN⊥x，EM⊥y，
∴四边形MENO是矩形，
∴ ， ，
∵E为CD的中点， 轴， 连接OE，
∴ ，∴ ，
∵四边形ABCD是菱形，
为等边三角形，而
∴
∴DG=AG， 设DG=r，则AG=r，
在Rt△DOG中，DG2=GO2+DO2，
∴ ，
解得： ，
∴AG= ．
故选：B．
【点拨】此题主要考查了反比例函数和菱形的综合运用，勾股定理的应用，等边三角
形的判定与性质，二次根式的运算，关键是掌握菱形的性质：菱形对角线互相垂直平分，
且平分每一组对角，反比例函数图象上的点横纵坐标之积=k．
9．A
【分析】过点A和点D作x轴的垂线，与x轴分别相交于点E和点F，设点A（m，
n），根据题意将点D的坐标表示出来，即可求出AD所在直线的函数表达式，再求出点C
的坐标；根据菱形的性质可得AO=CO，结合勾股定理即可表示出AE，最后根据菱形的面
积求出m即可．
解：
过点A和点D作x轴的垂线，与x轴分别相交于点E和点F，设点A（m，n），
∵AE⊥x轴，DF⊥x轴，
∴ ，
∵四边形OABC为菱形，则点D为AC中点，
∴DF= ，即点D的纵坐标为 ，
∵反比例函数 的图象经过点 和点 ，
∴D（2m， ），
设AD所在的直线函数表达式为：y=kx+b，
将A（m，n），D（2m， ）代入得： ，
解得： ，
∴AD所在的直线函数表达式为： ，
当y=0时，解得x=3m，
∴C（3m，0），
∴OA=OC=3m，
在Rt△OAE中，AE= ，
∵菱形 的面积为 ，
∴OC×AE= ，解得：m= ，
∴AE= ，
∴A（ ，2），故选：A
【点拨】本题主要考查了菱形的性质以及反比例函数的图象和性质，熟练地掌握相关
性质内容，结合图形表示出点C的坐标是解题的关键．
10．A
【分析】如图:作 轴于 ， 轴于 ，则直线 与直线 交于点 ,在确
定点B的坐标，进而确定BE、OE的长，再证明 得到 、
，则可确定A点坐标，然后将A点坐标代入 求出k，最后再根据函数
图像所在的象限解答即可．
解：如图，作 轴于 ， 轴于 ，则直线 与直线 交于点 ，
反比例函数 图像经过点 ，点 的纵坐标为2，
点 ，
， ，
，
，
，
，
在 和 中
，
， ，
，
，
反比例函数 图像经过点 ，，
解得 ，
反比例函数 图像在第一象限，
，
．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了反比例函数与几何的综合，掌握反比例函数图像的性质是解
答本题的关键．
11．(6，2)
【分析】首先根据点 、 对应直尺上的刻度分别为5、2， ． ，即可求
得 的坐标 ， ， 的坐标 ， ，关键是根据面积列出关于 的方程，求出
，即可求得 的坐标．
解： 直尺平行于 轴， 、 对应直尺的刻度为5、2，且 ，
则 的坐标为 ， ，则 的坐标为 ，
， ，
，
又 ，
，
，
，
的坐标为故答案为： ．
【点拨】本题考查了反比例函数的综合题，解题的关键是掌握反比例函数图像上点的
坐标特征、比例系数的几何意义；熟练运用几何图形的面积的和差计算不规则的图形的面
积．
12．-3
【分析】设 ，根据 ，可得 ，利用 的面积为 ，
列出方程即可求解．
解： 与双曲线 相交于点C，设 ，
，
，即 ，
的面积为 ，
，
解得 ，
故答案为：-3．
【点拨】本题考查求反比例函数表达式，对于反比例函数问题，抓住反比例函数图象
上的点的坐标是解决问题的关键．
13．2
【分析】根据反比例函数图象上点的特征，利用平行线分线段成比例，及三角形的面
积列出方程求解．
解：过点A作AF⊥x轴于点F，过点E作EH⊥x轴于点H，则AF EH，
则： ，△DEH∽△DAF，
∴ ，
设A（x，y），则E（3x， y），
则AF＝y，OF＝x，OH＝3x，EH＝ y，
∴FH＝2x，DH＝x，OD＝4x，
∵平行四边形ABCD的面积为8m，则△AOD的面积是4，
则△ODE的面积是 ，
∴ × y×4x＝ ，
∴xy＝2，
∴k＝xy＝2．
故答案为：2．
【点拨】本题考查看反比例函数的k的意义，结合平行线分线段成比例列方程是解题
的关键．
14．-8
【分析】连接BD，先由AD平分∠EAO得∠DAE=∠OAD，由矩形ABCD的性质得到
∠OAD=∠ODA，从而得到∠EAD=∠ADO，故而AE∥BD，再由平行线的性质得到 ABE和
AOE的面积相等，然后设点A的坐标，结合AF=EF得到点F和点E的坐标，最△后结合
△AOE的面积求出k的取值．
△ 解：连接BD，则OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，
∵AD平分∠EAO，
∴∠EAD=∠OAD，
∴∠EAD=∠ADO，
∴AE∥BD，
∴S AEB=S AEO=12，
△ △
设A（a， ），
∵AF=EF，
∴F（2a， ），E（3a，0），
∴S AEO= ×（-3a）× =12，
△
∴k=-8，
故答案为：-8．
【点拨】本题考查了矩形的性质、平行线的性质和判定、反比例函数图象上点的坐标
特征，解题的关键是通过平行线的判定和性质得到△ABE和△AEO的面积相等．
15．( ， )
【分析】将点A绕原点O顺时针旋转90°到B，作AE⊥y轴与E，BF⊥x轴于F，通过证
得 AOE≌△BOF（SAS），求得B的坐标，利用待定系数法求得直线AB的斜率k=-5，即可
△
得出直线OP为y= x，与反比例函数解析式联立，解方程组即可求得P点的坐标．
解：将点A绕原点O顺时针旋转90°到B，作AE⊥y轴与E，BF⊥x轴于F，
∵∠AOP=∠1+∠2，
∴∠AOP=∠+∠2=45°，∴∠BOP=45°，
∴∠2+∠BOF=45°，
∴∠1=∠BOF，
∵∠AEO=∠BFO=90°，OA=OB，
∴△AOE≌△BOF（SAS），
∴OE=OF，AE=BF，
解 得： 或 ，
∴点A的坐标为（2，3）．
∴BF=AE=2，OF=OE=3，
∴B（3，-2），
设直线AB的解析式为y=kx+b，则 ，
解得k=-5，
∵OA=OB，∠AOP=∠BOP=45°，
∴OP⊥AB，
∴直线OP为y= x，
由 得： ， ，
∴ ( ， )，
故答案为：( ， )．
【点拨】此题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法，全等三
角形的判定和性质，方程组的解法，构造出全等三角形是解本题的关键．
16． ##0.75【分析】由点A、B、C的坐标可知 ，m＝n，点B、C关于原点对称，求出
直线BC的解析式，不妨设m＞0，如图，过点A作x轴的垂线交BC于D，根据
列式求出 ，进而可得k的值．
解：∵点 是函数 图象上的三点，
∴ ， ，
∴m＝n，
∴ ， ，
∴点B、C关于原点对称，
∴设直线BC的解析式为 ，
代入 得： ，
解得： ，
∴直线BC的解析式为 ，
不妨设m＞0，如图，过点A作x轴的垂线交BC于D，
把x＝m代入 得： ，
∴D（m， ），
∴AD＝ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
而当m＜0时，同样可得 ，故答案为： ．
【点拨】本题考查了反比例函数与几何综合，中心对称的性质，待定系数法求函数解
析式，熟练掌握反比例函数的图象和性质，学会利用数形结合的数学思想解答是解题的关
键．
17．
【分析】根据三角形面积公式求得 ，易证得 ≌ ，得出
，根据题意得出 是等腰直角三角形，得出 ，设 ，
则有D 根据反比例函数的定义得出关于 的方程，解方程求得 ，即
可求得 ．
解：作 轴于 ，延长 ，交 于 ，设 与 轴的交点为 ，
四边形 是平行四边形，
， ，
，
轴，，
，
与 轴平行， 与 轴平行，
， ，
，
≌ （AAS），
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
的纵坐标为 ，
设 ，则，
反比例函数 的图像经过 、 两点，
，
解得： ，
．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，平行四边形的性质，等腰直角
三角形的判定和性质，三角形的面积等，表示出 、 的坐标是解题的关键．
18． ##0.25
【分析】由已知可知，设 由于点都在反比例函数 的图像上，可以得到
即可得出得到 和
即可求出．
解：∵
设
又∵点 都在反比例函数 的图像上，
∴
∴
∴
，
故答案为: ； .
【点拨】本题主要考查的知识点是反比例函数的综合应用，同时也考查了学生对数字
规律问题的分析归纳的能力．解答此题的关键是先确定点 的坐标，计算出三
角形的面积，根据计算的面积找到数字之间的规律．19．(1) (2)
【分析】（1）根据题意得出点B的坐标为（2， ），进一步求得N（2+ ，2），代
入曲线方程中即可得出k的值，便可得出反比例函数的解析式；
（2）根据k的值可得出点M、点B的坐标，根据反比例函数系数k的几何意义得出
S OBM=S AOB+S ABMD-S DOM=S ABMD，故可得出 OBM的面积．
梯形 梯形
△ 解：（△1） 矩形 的边△ 、 分别在 轴、 轴的△正半轴上，点 在反比例函
数 的图象上，且 ，
点 的坐标为 ，
，
将矩形 以点 为旋转中心，顺时针旋转 后得到矩形 ，
， ，
，
函数 的图象刚好经过 的中点 ，
， ，
，
解得 ，
反比例函数的解析式为 ；
（2） ，
， ，
把 代入 得， ，
，，
．
【点拨】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，矩形的性质，坐标与图形的
变化-旋转，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，求得B、M
的坐标是解题的关键．
20．(1)见分析(2)见分析
【分析】（1）过点A作AM⊥y轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，利用待定系数法
求出直线AB的解析式，进而可得点C，D的坐标，即可得AM＝DN＝2，CM＝BN＝1，则
Rt ACM≌Rt DBN，从而可得AC＝BD．
△（2）作△直线AO交双曲线于点E，作直线OB交双曲线于点F，连接EF，则线段EF
即为所求．
（1）证明：过点A作AM⊥y轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，则∠AMC＝∠DNB
＝90°，
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
将点A（2，3），B（﹣6，﹣1）代入，
得 ，
解得 ，
∴直线AB的解析式为y x+2，
当x＝0时，y＝2，当y＝0时， x+2，解得x＝﹣4，
∴点C坐标为（0，2），点D坐标为（﹣4，0），
∴OC＝2，OD＝4，
∵点A（2，3），B（﹣6，﹣1），
∴AM＝2，DN＝ON－OD＝6－4＝2，CM＝OM－OC＝3－2＝1，BN＝1，,
∴AM＝DN，CM＝BN，
∴Rt△ACM≌Rt△DBN（SAS），
∴AC＝BD．
（2）解：如图2，EF即为所求．
理由如下：连接BE、AF，
∵反比例函数的图象双曲线关于原点成中心对称，
∴由作图过程可知，OB＝OF，OE＝OA，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∴EF＝AB．
∴EF即为所求．
【点拨】本题考查作图、反比例函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质、
平行四边形的判定和性质、中心对称的性质、待定系数法求一次函数的解析式等知识，熟
练掌握反比例函数的图象与性质是解答本题的关键．
21．点Q的坐标为
【分析】由于同底等高的两个三角形面积相等，所以 AOB的面积＝ ABC的面积＝
△ △
2，然后根据反比例函数 中k的几何意义，知 AOB的面积＝ |k|，从而确定k的值，
△
求出反比例函数的解析式，作点P关于x轴的对称点P′，连接AP′与x轴交于点Q，此时
QA＋QP最小，由点A、P′的坐标，利用待定系数法可求出直线AP′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点Q的坐标．
解：连接OA，
∵△AOB的面积＝△ABC的面积＝3，△AOB的面积＝ |k|，
∴ |k|＝2，
∴k＝±4；
又∵反比例函数的图象的一支位于第一象限，
∴k＞0．
∴k＝4．
∴这个反比例函数的解析式为 ，
∵OB＝BA，
∴设A（a，a），
∵反比例函数 经过点A，
∴a2＝4，
∴a＝2，
∴A（2，2），
把y＝1代入 得，x＝4，
∴P（4，1）．
作点P关于x轴的对称点P′（4，−1），连接AP′与x轴交于点Q，此时QA＋QP最小，设过A，P′的直线表达式为y＝mx＋n，
∴ ，解得 ，
∴过A，P′的直线表达式为 ．
由 ，得 ．
∴点Q的坐标为 ．
【点拨】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的解析式，一次函
数图象上点的坐标特征，注意利用两点之间线段最短，确定点Q的位置．
22．(1)① ；②见分析(2)
【分析】（1）①过点D做y轴垂线交于点F，由 为菱形得 ，
，进而求得 ，从而求得 即可求出反比例函数的解析式；
②过点C做x轴垂线交于点G，先求得 ，即可判断C落在反比例函数 的图象
上；
（2）设 ，则 ， ，从而求得BD=2BE=2 ，得
进而有 ，解得 ，即可求解．（1）①解：过点D做y轴垂线交于点F，
∵ 为菱形，
∴ ， ，
易证四边形AOBE、AEDF为矩形
∴ ，
∴ ，
∴
②证明：过点C做x轴垂线交于点G，
易证四边形AEBO、ACGO为矩形
∴ ，
∴ ，
∴C落在反比例函数 的图象上；
（2）解：∵ ， ，DB=2BE，AC=2AE，
∴设 ，则 ， ，
∴BD=2BE=2 ，
∴
∵D在反比例函数上，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴菱形ABCD的边长为6．
【点拨】本题主要考查了菱形的性质，坐标与图形，求反比例函数的解析式以及反比
例函数的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
23．(1) (2)①见分析；②不能，见分析
【分析】（1）如图所示，点A是函数 上的一点，点B是 的图像关于原
点 的“直 图形”上与点A对应的点，过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，
设点A的坐标为（a，b）则AC=b，OC=-a，证明△CAO≌△DOB得到OD=AC=b，BD=OC=-
a，则点B的坐标为（b，-a），由此即可得到答案；
（2）①分别过点 作 轴的垂线，垂足为 ， 由题意得点M的坐标为（-1，
3），同理可证 ，求出N 即可得到答案；②同①求解即可．
（1）解：如图所示，点A是函数 上的一点，点B是 的图像关于原点
的“直 图形”上与点A对应的点，过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，设点
A的坐标为（a，b）则AC=b，OC=-a
∴∠ACO=∠ODB=90°，
∴∠CAO+∠COA=90°，
由旋转的性质可得，AO=OB，∠AOB=90°，
∴∠COA+∠DOB=90°，
∴∠CAO=∠DOB，
∴△CAO≌△DOB（AAS），
∴OD=AC=b，BD=OC=-a，
∴点B的坐标为（b，-a），
∵点A在函数 上，
∴ ，
∴ ，即 ，∴点B在反比例函数 上，
故答案为： ；
（2）解：①分别过点 作 轴的垂线，垂足为 ， 由题意得点M的坐标为
（-1，3），
同理可证 ，
∴PE=NP，ME=PF，
∵点P的坐标为（a，0），
∴N ，
∵把 代入 ，得 ，
∴ 点 始终在直线 上；
②不能，
理由：分别过点 作 轴的垂线，垂足为 ，
同理可得 ，得点 ，
将点 代入 ，解得 ，
因为 ，故两解都不符合，所以点 不在直线【点拨】本题主要考查了反比例函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，求一次
函数的函数值，旋转的性质等等，熟知正确作出辅助线是解题的关键．
24．(1)不在，理由见分析(2)20(3)不变化，24
【分析】对于（1），利用待定系数法求出函数关系式，再代入判断即可；
对于（2），设点E的横坐标和点F的横坐标，再分别表示出点E，F，G，H的坐标，
进而得出线段的长度，再根据平行四边形面积公式得出答案；
对于（3），设点P的横坐标为t，分别表示点C，点D的坐标，再根据两点之间的距
离公式得出AC和BD的长，进而得出答案．
解：（1）将点 代入 ，
得 ， ，
∴ ；
当 时， ，
∵ ，
∴点 不在函数图象上；
（2）设点E的横坐标是1，点F的横坐标是6，点G，H分别对应点E，F，如图所示.
图形扫过的面积即为平行四边形EFHG的面积．
令 中， ，则 ，
所以 ， ．
令 中， ，则 ，
所以 ， ．因为 ，且 ，
所以四边形EGHF为平行四边形，
所以 ．
故答案为：20；
（3）不变化，理由如下：
因为直线l： 与x轴，y轴分别交于点A，点B，
所以点A（8，0），B（0，8）．
设点P的横坐标是t，
所以 ．
因为 轴交直线l于点C， 轴交直线l于点D，
所以 ， ，
所以 ， ，
即 ，
所以 为定值，为24.．
【点拨】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数关系式，
求平行四边形面积等，掌握数形结合思想是解题的关键．
