文档内容
26.2 实际问题与反比例函数 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级下册（以下统称“教材”）第二十六章“反比例函
数”26.2 实际问题与反比例函数，内容包括：利用反比例函数解决实际生活问题.
2.内容解析
反比例函数是描述现实世界变量之间关系的重要数学模型，将实际问题中的变量关系转化为反比例函
数后，就可以利用反比例函数的图象和性质加以解决，其关键是从实际问题中抽象出数学模型．本节课是
在学生学习反比例函数的图象和性质的基础上，利用反比例函数解决实际生活问题.
基于以上分析，确定本节课的教学重点：利用反比例函数解决实际生活问题．
二、目标和目标解析
1.目标
1）运用反比例函数的知识解决实际问题.
2）经历“实际问题－建立模型－拓展应用”的过程，发展学生分析、解决问题的能力.
3）经历运用反比例函数解决实际问题的过程，体会数学建模的思想.
2.目标解析
达成目标1）的标志是：利用反比例函数解决实际生活问题．
达成目标2）3）的标志是：经历运用反比例函数解决实际问题的过程，体会数学建模的思想，并发展
学生分析、解决问题的能力.
三、教学问题诊断分析
学生已经学习了反比例函数的图象和性质，这为本节课的学习奠定了基础．但运用反比例函数的知识
解决实际问题关键在于建立反比例函数模型，对学生来说，要完成这一过程难度较大．
基于以上分析，本节课的教学难点是：将实际问题抽象出数学模型，并利用反比例函数解决实际问题．
四、教学过程设计
（一）复习巩固
【提问一】回顾反比例函数的图象与性质？
【提问二】k的正负决定了什么？
师生活动：教师提出问题，学生通过之前所学知识尝试回答问题.
【设计意图】通过回顾之前所学内容，为接下来探究利用反比例函数解决实际生活问题打好基础．
（二）探究新知【问题一】市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m3的圆柱形煤气储存室．
1）储存室的底面积 S（单位：m2）与其深度 d（单位：m）有怎样的函数关系？
2）公司决定把储存室的底面积S定为500 m2，施工队施工时应该向地下掘进多深？
3）当施工队按（2）中的计划掘进到地下15m时，公司临时改变计划，把储存室的深度改为15m．相
应地，储存室的底面积应改为多少（结果保留小数点后两位）？
【问题二】码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间．
1）轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v（单位：吨/天）与卸货天数t之间有怎样的函数关系？
2）由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过 5 天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨
师生活动：先由学生回答问题一、二，教师巡视，根据情况参与讨论，帮助学生获得正确认知.
【设计意图】通过提问，让学生在解决实际问题的过程中体会与二次函数之间的联系.
【问题三】公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆定律”：若两物体与支点的距
离与其重量成反比，则杠杆平衡。通俗一点可以描述为：阻力×阻力臂 = 动力×动力臂
【提问】在我们使用撬棍时，如何操作可以比较省力撬动 物体呢？为什么？
师生活动：学生思考、交流，得出：若阻力×阻力臂的乘积为定值，则动力臂越长，动力越小.所以动
力臂越长越省力.
【问题四】小伟想用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m
1)动力F与动力臂L有怎样的函数关系？当动力臂为1.5米时，撬动石头至少需要多大的力？
2)若想使动力F不超过题(2)中所用力的一半， 则动力臂至少要加长多少米？
【问题五】一个用电器的电阻是可调节的，其范围为110～220欧姆.已知电压为220伏，这个用电器
的电路图如图所示.
1)输出功率P与电阻R有怎样的关系？
2)用电器输出功率的范围多大？
师生活动：先由学生回答问题四、五，教师巡视，根据情况参与讨论，帮助学生获得正确认知.从而得
出利用反比例函数解决实际问题的关键：建立反比例函数模型 .
【设计意图】通过提问，让学生理解利用反比例函数解决实际问题的关键：建立反比例函数模型.
（三）典例分析与针对训练例1 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（单位：千帕）随气体体
积V（单位：立方米）的变化而变化，P随V的变化情况如下表所示．
1）写出符合表格数据的P关于V的函数表达式___________；
2）当气球的体积为20立方米时，气球内气体的气压P为多少千帕？
3）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，依照（1）中的函数表达式，基于安全考虑，气球
的体积至少为多少立方米？
【针对训练】
1. 密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：
kg/m3）随之变化，已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示.
1）求密度ρ关于体积V的函数解析式；
2）当密度ρ不低于4kg/m3时，求二氧化碳体积的取值范围。
2. 一列货车从北京开往乌鲁木齐，以58km/h的平均速度行驶需要65h．为了实施西部大开发，京乌线
决定全线提速．
1）如果提速后平均速度为vkm/h，全程运营时间为t小时，试写出t与v之间的函数表达式；
2）如果提速后平均速度为78km/h，求提速后全程运营时间；
3）如果全程运营的时间控制在40h内，那么提速后，平均速度至少应为多少？
3.强哥驾驶小汽车（出租）匀速地从如皋火车站送客到南京绿口机场，全程为 280km，设小汽车的行
驶时间为t（单位：h），行驶速度为v（单位：km/h），且全程速度限定为不超120km/h．
1）求v关于t的函数解析式.
2）强哥上午8点驾驶小汽车从如皋火车站出发．
①乘客需在当天10点48分至11点30分（含10点48分和11点30分）间到达南京禄口机场，求小汽
车行驶速度v的范围；
②强哥能否在当天10点前到达绿口机场？说明理由．
（四）能力提升1.我市某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长温度为15﹣20℃的新品种，如图是某
天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚里温度y（℃）随时间x（h）变化的函数图象，其中AB段是恒
k
温阶段，BC段是双曲线y= 的一部分，请根据图中信息解答下列问题：
x
1）求k的值；
2）恒温系统在一天内保持大棚里温度在15℃及15℃以上的时间有多少小时？
2. 我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为 18℃的
条件下生长最快的新品种．图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度 y（℃）随时间x（小
k
时）变化的函数图象，其中BC段是双曲线y = 的一部分．请根据图中信息解答下列问题：
x
1）恒温系统在这天保持大棚内温度18℃的时间有多少小时？
2）求k的值； 3）当x=16时，大棚内的温度约为多少度？
（五）直击中考
1．（2023·宁夏·统考中考真题）给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压P
（KPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．
(1)当气球内的气压超过150KPa时，气球会爆炸．若将气球近似看成一个球体，试估计气球的半径至
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少为多少时气球不会爆炸（球体的体积公式V = πr3，π取3）；
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(2)请你利用P与V的关系试解释为什么超载的车辆容易爆胎．2．（2021·四川乐山·统考中考真题）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时
间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．
学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当0≤x<10和10≤x<20时，图象是线段；
当20≤x≤45时，图象是反比例函数的一部分．
（1）求点A对应的指标值；
（2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道
综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．
（六）归纳小结
1.通过本节课的学习，你学会了哪些知识？
2.利用反比例函数解决实际问题的关键是什么？
（七）布置作业
P15：练习
P16：26.2第9题
