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专题 26.2 反比例函数的实际应用
1.结合具体情景体会反比例函数的意义；
2.能用反比例函数解决简单实际问题
实际问题与反比例函数
1.待定系数法：若题目提供的信息中明确此函数为反比例函数，则可设反比例函数解析式为 ，
然后求出k的值即可．
2.列方程法：若题目信息中变量之间的函数关系不明确，在这种情况下，通常是列出关于因变量（y）和自
变量（x）的方程，进而解出函数，得到函数解析式．
考点01行程问题与反比例函数
例1．安乡子龙汽车站与常德市柳叶湖汽车站相距约 ，则汽车由子龙汽车站行驶到柳叶湖汽车站所
用时间y（小时）与行驶速度x（千米/时）之间的函数图象大致是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先得出函数关系式，然后根据反比例函数的性质解答即可．
【详解】解：解：∵子龙汽车站与柳叶湖汽车站相距约 ，
∴ 且 ，
∴得双曲线为第一象限的一支．
故选B．
【点睛】本题考查列函数关系式以及反比例函数的图象，解题关键是注意函数自变量的范围．
变式1-1．某公司将A地生产的农副产品运往B地市场进行销售，记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v
千米/小时(汽车行驶速度不超过100千米/小时且不低于60千米/小时)．根据经验，v，t的一组对应值如下
表：
v（千米/小时） 75 80 85 90 95
t（小时） 4.00 3.75 3.53 3.33 3.16
(1)请你根据表中的数据建立适当的平面直角坐标系并描出对应的点，由此判断v与t之间成什么函数关系；
(2)求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式并写出自变量t的取值范围
(3)若汽车到达B市场的行驶时间t满足 ，求平均速度v的取值范围．
【答案】(1)根据图象判断为反比例函数，画图见解析
(2)
(3)【分析】（1）根据表格建立直角坐标系，描点，画出图象，根据图象进行判断即可；
（2）待定系数法求函数解析式，根据汽车行驶速度不超过100千米/小时且不低于60千米/小时，求出自变
量t的取值范围；
（3）根据反比例函数的性质，进行求解即可．
【详解】（1）解：如图所示：
由图可知：v与t之间成反比例函数；
（2）设 ，将 代入，得： ，
∴ ；
∵ ，
∴ ；
（3）由图象可知， 时， 随着 的增大而减小；
∴当 时， 取最大值为： ；当 时， 取最小值为： ；
∴ ．
【点睛】本题考查反比例函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，正确的求出函数解析式．
变式1-2．嘉琪驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地，行驶里程为600千米，设小汽车的行驶时间为t（单
位：小时），行驶速度为v（单位：千米/小时），且全程速度限定为不超过120千米/小时．
(1)用含t的代数式表示v；
(2)嘉琪上午8点驾驶小汽车从A地出发，她能否在当天12点前到达B地？说明理由．
【答案】(1) 关于 的函数表达式为：
(2)嘉琪不能在当天12点前到达 地，理由见解析【分析】（1）根据 ，且全程速度限定为不超过120千米/小时解答；
（2） 代入 ，计算出 千米/小时，超速了，据此解答．
【详解】（1）解：∵ ，且全程速度限定为不超过120千米/小时，
∴ 关于 的函数表达式为： ；
（2）嘉琪不能在当天12点前到达 地．
理由如下：
8点至12点时间长为4小时，
将 代入 ，
得 千米/小时，超速了．
故嘉琪不能在当天12点前到达 地．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
变式1-3．国庆期间，小李自驾小汽车从家到银屏山旅游．查询导航得知，当他的小汽车保持80km/h的速
度行驶3h可以到达银屏山．若该小汽车匀速行驶的速度为vkm/h，行驶的时间为th．
(1)求v关于t的函数表达式；
(2)若返回时，该小汽车匀速行驶的速度为60km/h，假设他返回与去时的路况和其他因素一致，求他从银屏
山回到家需要几小时．
【答案】(1)关于t的函数表达式为
(2)他从银屏山回到家需要4小时
【分析】本题主要考查反比例函数的应用，解题的关键是理解题意；
（1）由题意易得从家到银屏山旅游的路程为240km，然后可根据路程=速度×时间可进行求解；
（2）根据（1）可进行求解．
【详解】（1）解：由题意，得小李从家到银屏山旅游的路程为
∴关于t的函数表达式为 ；
（2）解：当 时，
解得 ；
答：他从银屏山回到家需要4h．考点02工程问题与反比例函数
例2．某市粮库要把晾晒场上的600吨大米入库封存．
(1)求入库所需的时间t（单位：天）与入库速度v（单位：吨/天）的函数关系式；
(2)粮库有职工 40 名，每人每天最多可将 吨大米入库，预计将全部大米入库最快可在多少天内完成？
(3)粮库的职工连续工作了 25 天后，上级主管部门决定临时把剩下的大米全部入库，以便尽早调出出售，
则至少需要增加多少名人员帮忙才能完成任务？
【答案】(1)
(2)30
(3)160人
【分析】（1）根据工作时间 工作总量 工作效率可得函数关系式；
（2）直接把 代入解析式求解即可；
（3）根据题意求出剩余的玉米一天内全部入库需职工人数为200人，所以需增加的人数即可求出．
【详解】（1）解：根据关系式：工作时间 工作总量 工作效率可得：
入库所需的时间 t 与入库速度 v 的函数关系式为 ；
（2）根据题意得： ，
∴预计将全部大米入库最快可在30天内完成；
（3）粮库的职工连续工作了25天的入库量为 ，
由题可知：剩下的粮食需要再一天内完成入库，
则所需人数为 （人），
（人）．
【点睛】本题主要考查了函数的实际应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找
到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．
变式2-1．市政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为 立方米，某运输公司承担了运
送土石方的任务．设该公司平均每天运送土石方总量为 立方米，完成运送任务所需时间为 天．
(1)求 与 之间的函数关系式；
(2)若工期要求在100天内完成，公司每天至少要运送多少立方米土石方？
【答案】(1)(2)公司每天至少要运送 立方米土石方
【分析】（1）根据题意可知，运输公司平均每天的工作量y与完成运送任务所需的时间t(天) 之间的函数
关系，得出函数关系式；
（2）根据题意结合反比例函数增减性，求解即可；
【详解】（1）由题意得： ，
与 之间的函数关系式为 ．
（2）当 时， ，
在 中， ，
随 的增大而减小，
公司每天至少要运送 立方米土石方．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，关键是根据题意列出反比例函数解析式．
变式2-2．在伊通河治理工程实验过程中，某工程队接受一项开挖水架的工程，所需天数 （单位：天）与
每天完成的工程量 （单位：m/天）之间的函数关系图象是如图所示的双曲线的一部分．
(1)请根据题意，求 关于 的函数解析式；
(2)若该工程队有 台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠 ，则该工程队需用多少天才能完成此项任
务？
【答案】(1)
(2) 天
【分析】（1）将点 代入反比例函数的解析式，即可求得反比例函数的解析式；（2）用工作效率乘以工作时间即可得到工作量，然后除以工作效率即可得到工作时间．
【详解】（1）解：设解析式为 ，
∵点 在其图象上，
将 代入反比例函数的解析式，得 ,
解得： ，
∴所求函数关系式为 ．
（2）解：由题意知， 台挖掘机每天能够开挖水渠 （米），
当 时， ，
故该工程队需要用 天才能完成此项任务．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从中整理出解决实际问题的函数模型．
变式2-3．被称为“世纪工程”的广西平陆运河正在建设中，运河的某标段工程需要运送的土石方总量为
300000立方米，某运输公司承担了该项工程运送土石方的任务．
(1)设该运输公司平均的运送速度为y（单位：立方米/天），完成运送任务所需的时间为x（单位：天）．
①请直接写出y与x的函数关系式；
②若该运输公司每天可运送土石方6000立方米，则该公司完成全部运输任务需要多长时间？
(2)由于工程进度的需要，该公司实际平均每天运送土石方比原计划多2500立方米，结果工期比原计划减
少了10天，该公司原计划每天运送土石方多少立方米．【答案】(1)① ；②50天
(2)7500 m
【分析】（1）①根据题意可知，运输公司平均的运送速度为y（单位：立方米/天），完成运送任务所需的
时间为x（单位：天）之间的函数关系即可函数关系；②令 求得x即可；
（2）该公司原计划每天运送土石方x立方米，则实际每天运送 立方米，再根据“工期比原计划
减少了10天”列分式方程求解即可．
【详解】（1）解：根据“运送土方总量=平均的运送速度×完成运送任务所需的时间”可得：
，即 ；
②令 时，则 （天）．
答：该公司完成全部运输任务需要50天．
（2）解：该公司原计划每天运送土石方x立方米，则实际每天运送 立方米，
由题意得，
解得 ， （不合题意，舍去）
检验：当 时，
所以， 是原分式方程的解．
答：该公司原计划每天运送土石方为 ．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用、分式方程的应用等知识点，根据题意列出反比例函数解析式
和分式方程是关键．
考点03物理问题与反比例函数
例3．某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所
示的是该台灯的电流 与电阻 的关系图象，该图象经过点 ．根据图象可知，下列说
法正确的是（ ）A．当 时，
B． 与 的函数关系式是
C．当 时， 的取值范围是
D．当 时，
【答案】C
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，由待定系数法求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的
性质逐项分析即可得到结论．由待定系数法求出反比例函数的解析式是解决问题的关键．
【详解】解：设I与R的函数关系式是 ，
∵该图象经过点 ，
∴ ，
∴ ，
∴I与R的函数关系式是 ，故选项B不符合题意；
当 时， ，当 时， ，
∵反比例函数 I随R的增大而减小，
当 时， ，当 时， ，故选项A，D不符合题意；
∵ 时， ，当 时， ，
∴当 时，I的取值范围是 ，故C符合题意．
故选：C．
变式3-1．王芳同学在一次做电学实验时，记录下电流 与电阻 的一些对应值，通过描写连线，
画出了 关于 的函数图象如图，求 与 之间的函数关系式，并求当电阻为 时，电流的值是多少．【答案】 ，当电阻为 时，电流的值
【分析】此题考查了反比例函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，已知自变量求函数的值，设
，利用待定系数法求解析式即可；将 代入计算即可．
【详解】解：设 ，
∵当电阻 时，电流 ，
∴ ，
∴ ，
当电阻 时，电流 ，
∴当电阻为 时，电流的值 ．
变式3-2．近视眼镜的镜片是凹透镜．研究发现，近视眼镜的度数 （度）与镜片焦距 成反比例．初
一入校小明佩戴的200度近视镜片的焦距为 米，由于小明有长时间使用电子产品等不规范用眼的行为，
初三测视力发现近视度数增长为500度，那么此时需要重配的眼镜镜片焦距应为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】C
【分析】本题考查待定系数法求解析式及函数值．设反比例函数解析式为 ，将200度近视镜片的焦
距为 米代入求出k，再将 代入求解，即可得到答案．
【详解】解：设反比例函数解析式为 ，
将200度近视镜片的焦距为 米代入得： ，
解得： ，∴反比例函数解析式为 ，
将 代入得： ，
解得： ，
即此时需要重配的眼镜镜片焦距应为 米．
故选：C
变式3-3．根据物理学相关知识，在简单电路中，闭合开关，当导体两端电压 （单位： ）一定时，通
过导体的电流 （单位： ）与导体的电阻 （单位： ）满足反比例函数关系，它们的图象如图所示．
当 时， ．
(1)求电流 关于电阻 的函数关系式；
(2)当 时，求电阻 的值．
【答案】(1) ；
(2)电阻R的值为3Ω．
【分析】本题考查反比例函数的应用．
（1）利用待定系数法即可求出电流I关于电阻R的函数关系式；
（2）将 代入函数关系式解出即可．
【详解】（1）解：∵通过导体的电流I（单位：A）与导体的电阻R（单位：Ω）满足反比例函数关系，
∴可设 ，
∵当 时， ．
∴ ，
∴电流I关于电阻R的函数关系式为： ；
（2）解：当 时， ，
解得 Ω，答：电阻R的值为3Ω．
考点04利润问题与反比例函数
例4．某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，已知每只玩具熊猫的成本为 元，若该厂每月生产 只（ 取正整
数），这个月的总成本为 元，则 与 之间满足的关系为 ．
【答案】
【分析】根据等量关系“每只玩具熊猫的成本＝总成本÷数量”列出关系式即可．
【详解】解：由题意得： 与 之间满足的关系为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查反比例函数在实际生活中的运用，解题的关键是找出题中的等量关系．
变式4-1．柚子含有极为丰富的维生素，胡萝卜素，钙、钾、铁等微量元素，可以预防血栓、糖尿病．某
超市从果农处进购柚子的成本价为3元千克，在销售过程中发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x
（元千克）之间的关系如图所示，其中 为反比例函数图象的一部分， 为一次函数图象的一部分．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)当销售单价为多少元时，该超市每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)当销售单价为10元时，该超市每天的销售利润最大，最大利润是980元
【分析】（1）利用待定系数法分段求出反比例函数和一次函数解析式合起来即可求出整个函数解析式；
（2）设利润为w元，分段表示出利润的表达式，求出各段的利润最大值进行比较即可．
【详解】（1）解：当 时，设y与x的函数关系式为 ，
把 带入 中得： ，∴ ；
当 时，设y与x的函数关系式为 ，
把 代入 中得 ，
∴ ，
∴ ，
综上所述， ；
（2）解：设利润为w元，
当 时， ，
∵函数 中，当 时，y随x增大而减小，
∴当 最大时， 最小，即 最大，
∴当 时， ；
当 时，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 ，w有最大值980；∵ ，
∴当销售单价为10元时，该超市每天的销售利润最大，最大利润是980元．
【点睛】本题考查了分段函数的实际应用，是反比例和一次函数的综合题，求出分段函数解析式是做出本
题的关键．
变式4-2．某经销商出售一种进价为4元/升的液体原料，在市场营销中发现此商品日销售价x元/升与日销
售量y（升）满足反比例函数，部分数据如下表：
x（元/升） 3 4 5 6
15
y（升） 200 120 100
0
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)已知如图所示的长方体容器中装满了液体原料，记日销售后长方体中剩余液体的高度为
①求h关于x的函数关系式；
②物价局规定此液体原料的日销售价最高不能超过8元/升，若该液体原料按最大日销售利润销售20天，
则长方体容器中剩余液体原料多少升？
【答案】(1)
(2)① ；②500升
【分析】（1）要确定y与x之间的函数关系式，通过观察表中数据，可以发现x与y的乘积是相同的，都
是600，所以可知y与x成反比例，用待定系数法求解即可；
（2）①用两种方式表示日销售量即可列方程求解；
②根据题意先求出日销售利润，再求出最大销售量，进一步可得出结论．
【详解】（1）反比例函数能表示其变化规律．设y关于x的函数关系式为 （ 0）
将 ， 代入得 ，
∴ ；
（2）①液体原料的日销售量为 升，
∴ ，
∴ ，
②设此液体原料的日销售利润为W（元），由题意可得
，
∵ ，
∴当 时，W有最大值，此时最大日销售量为 ，
∵该液体原料按最大日销售利润销售20天，
∴长方体容器中剩余液体原料为 （升）
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，两个变量的积是定值，也考查了根据实际问题和反比例函数的关
系式求最大值，解答此类题目的关键是仔细理解题意．
变式4-3．某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现，此种贺卡的销售单价x（单位：元）与
日销售量y（单位：张）之间有如下关系：
销售单价x（元） 3 4 5 6
2
日销售量y（张） 15 12 10
0
(1)根据表中数据在平面直角坐标系中描出实数对 的对应点；
(2)确定y与x之间的函数关系式，并画出图象；
(3)设此种贺卡的日销售利润为w元，试求出w与x之间的函数关系式．若物价局规定此种贺卡的售价最高
不超过10元/张，请你求出销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润？并求出最大日销售利润．
【答案】(1)见解析
(2)y与x之间的函数关系式为 ．画出图象见解析(3)销售单价x定为10元时，才能获得最大日销售利润，最大日销售利润为 48元
【分析】（1）建立坐标系直接描点即可；
（2）要确定y与x之间的函数关系式，通过观察表中数据，可以发现y与x的乘积是相同的，都是60，所
以可知y与x成反比例，用待定系数法求解后再验证即可；
（3）先确定 与 的函数关系式，然后根据售价最高不超过10元/张，利用函数的增减性即可得出答案．
【详解】（1）解：建立平面直角坐标系描点，如图所示：
（2）解：由题意设y与x之间的函数关系式为 （ 且k为常数），把 代入 ，得
，
将 ， ， 分别代入，均成立，
所以y与x之间的函数关系式为 ，
画出的图象如上图所示；
（3）解： ，
当 时，w随x的增大而增大，
又因为 ，
所以当 时， ，
所以，销售单价x定为10元时，才能获得最大日销售利润，最大日销售利润为 48元．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的定义，待定系数法以及利用反比例关系式求最大值的问题，解题的
关键是知道两个变量的乘法是定值时是反比例关系．
考点05分段函数问题与反比例函数例5．为确保身体健康，自来水最好烧开（加热到 ）后再饮用．某款家用饮水机，具有加热、保温等
功能．现将 的自来水加入到饮水机中，先加热到 ．此后停止加热，水温开始下降，达到设置的
饮用温度后开始保温．比如事先设置饮用温度为 ，则水温下降到 后不再改变，此时可以正常饮用．
整个过程中，水温 与通电时间 之间的函数关系如图所示．
(1)水温从 加热到 ，需要______ ；请直接写出加热过程中水温 与通电时间 之间的函数关
系式：______；
(2)观察判断：在水温下降过程中， 与 的函数关系是______函数，并尝试求该函数的解析式；
(3)已知冲泡奶粉的最佳温度在 左右，某家庭为了给婴儿冲泡奶粉，将饮用温度设置为 ．现将
的自来水加入到饮水机中，此后开始正常加热．则从加入自来水开始，需要等待多长时间才可以接水
冲泡奶粉？
【答案】(1)4； ；
(2)反，
(3)14分钟．
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、反比例函数解析式，反比例函数的应用，理解题意，
正确求出解析式是解此题的关键．
（1）由图可得水温从 加热到 ，需要 ，设加热过程中水温 与通电时间 之间的函数关系式
为： ，将 ， 代入解析式得： ，求出 的值即可；
（2）观察判断：在水温下降过程中， 与 的函数关系是反函数，设在水温下降过程中， 与 的函数关系为 ，将 代入解析式得： ，求出 的值即可；
（3）在 中，当 时， ，解得： ，再由题意列式计算即可．
【详解】（1）解：由图可得：水温从 加热到 ，需要 ，
设加热过程中水温 与通电时间 之间的函数关系式为： ，
将 ， 代入解析式得： ，
解得： ，
加热过程中水温 与通电时间 之间的函数关系式为： ，
故答案为：4， ；
（2）解：观察判断：在水温下降过程中， 与 的函数关系是反函数，
设在水温下降过程中， 与 的函数关系为 ，
将 代入解析式得： ，
解得： ，
在水温下降过程中， 与 的函数关系为： ，
故答案为：反；
（3）解：由题意得：在 中，当 时， ，
解得： ，
从加入自来水开始，需要等待的时间为： ，
则从加入自来水开始，需要等待14分钟时间才可以接水冲泡奶粉．
变式5-1．为预防新冠病毒，零陵区某中学定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立
方米空气中的含药量 与时间 之间成一次函数关系；燃烧完后 与时间 之间成反
比例函数关系．根据图象解答下列问题：(1)求药物燃烧完后 与时间 的函数表达式；
(2)当每立方米空气中的含药量低于4 时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，在哪个时段消毒
人员不能停留在教室里？
【答案】(1)
(2)从消毒开始，第2分钟到第 分钟消毒人员不能停留在教室里
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的实际应用，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．
（1）利用待定系数法先求药物燃烧时 与时间 的函数表达式，再用待定系数法求药物燃烧完
后 与时间 的函数表达式即可；
（2）分别求出药物燃烧时和药物燃烧后， 时，x的值即可得到答案．
【详解】（1）解：设药物燃烧时y关于x的函数表达式为 ，
把 和 代入，得：
，
解得： ，
∴药物燃烧时y关于x的函数表达式为 ，
当 时， ，
设药物燃烧后y关于x的函数表达式为 ，把 代入，
∴ ，
∴ ，
∴药物燃烧后y关于x的函数表达式为 ；
（2）解：对于 ，当 时，
解得： ；
对于 ，当 时，
解得： ，
∴从消毒开始，第2分钟到第 分钟学生不能停留在教室里．
变式5-2．一种实验用轨道弹珠，在轨道上行驶5分钟后离开轨道，前2分钟其速度v（米/分）与时间t
（分）满足二次函数 ，后三分钟其速度v（米/分）与时间t（分）满足反比例函数关系，如图，轨道
旁边的测速仪测得弹珠1分钟末的速度为2米/分，求：
(1)二次函数和反比例函数的关系式；
(2)求弹珠离开轨道时的速度．
【答案】(1) ；
(2) （米/分）
【分析】本题考查了反比例函数和二次函数的应用．
（1）由图象可知前半分钟过点 ，后三分钟时过点 ，分别利用待定系数法可求得函数解析式；（2）把 代入（1）中反比例函数解析式即可．
【详解】（1）解： 的图象经过点 ， ．
二次函数的解析式为： ；
当 时，
设反比例函数的解析式为 ，图象经过点 ，
，
反比例函数的解析式为
（2）解：弹珠在第5秒末离开轨道，其速度为 （米/分）
变式5-3．为应对全球爆发的新冠疫情，某疫苗生产企业于2021年1月份开始了技术改造，其月生产数量
（万支）与月份x之间的变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后
是一次函数图象的一部分，请根据图中数据解答下列问题：
(1)该疫苗生产企业4月份的生产数量为多少万支？
(2)该疫苗生产企业有 个月的月生产数量不超过60万支．
【答案】(1)45万支
(2)6
【分析】（1）根据题意和图象中的数据，可以计算出技术改造完成前对应的函数解析式，然后将 代
入求出相应的y的值即可；
（2）根据题意和图象中的数据，可以技术改造完成后y与x的函数解析式，然后即可列出相应的不等式组，
求解即可，注意x为正整数．
【详解】（1）解：当 时，设y与x的函数关系式为 ，∵点 在该函数图象上，
∴ ，得 ，
∴ ，
当 时， ，
即该疫苗生产企业4月份的生产数量为45万支；
（2）解：设技术改造完成后对应的函数解析式为 ，
∵点 ， 在该函数图象上，
∴ ，
解得 ，
∴技术改造完成后对应的函数解析式为 ，
，
解得
∵x为正整数，
∴ ，3，4，5，6，7，
答：该疫苗生产企业有6个月的月生产数量不超过90万支．
故答案为：6．
【点睛】本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，利用数形结合的思想
解答是解答本题的关键．
考点06几何问题与反比例函数
例6．如图，在平面直角坐标系 中，点A在正比例函数 的第一象限的上，过点 作 轴于
点 ，点 在点 右侧的 轴上，且 ，过点 作 轴的垂直线，交过点A的反比例函数
的图象于点 ，连接 ， ，若 的面积为 ，那么 的值为 ．【答案】
【分析】设点A的坐标是 ，则 ，把 代入 得到 ，求出 ，
，求出 ，得到 ，证明 ，则 ，求出k即可．
此题考查了反比例函数系数k的几何意义，数形结合是解题的关键．
【详解】解：设点A的坐标是 ，则 ，
把 代入 得到 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
当 时， ，即 ，
∵ 轴， 轴，
∴ ，
∵ ，
∵ ，
即 ，
∴ ，∴ ，
解得 ，
故答案为：
变式6-1．如图，反比例函 的图象经过菱形 的顶点 ，点 在 轴上，过点 作 轴的垂线
与反比例函数的图象相交于点 ．若 ，则点 的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了菱形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，根据题意得出 是等边三角形，
从而表示点 的坐标为 ，再根据反比例函数图象上点的坐标特征代入函数解析式进行计算即可
求得菱形边长 ，把 代入解析式即可求得点 的横坐标．
【详解】解：设菱形 的边长为 ，
，
是等边三角形，
点 的坐标为 ，
反比例函数 的图象经过菱形 的顶点 ，
，
（负数舍去），菱形 的边长为2，
点的纵坐标为2，
把 代入 得， ，
解得 ，
点 的坐标是 ．
故答案为： ．
变式6-2．如图，在矩形 中， ， ，F是 上的一个动点（F不与A，B重合），过点
F的反比例函数 的图象与 边交于点E．
(1)当F为 的中点时，求该反比例函数的解析式和点E的坐标．
(2)当k为何值时， 的面积最大，最大面积是多少？
【答案】(1) ，
(2)当 时，
【分析】此题考查了反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定反比例解析式，
以及二次函数的性质．
（1）当 为 的中点时，点 的坐标为 ，由此代入求得函数解析式，把 代入解析式即可求得
坐标；
（2）根据图中的点的坐标表示出三角形的面积，得到关于 的二次函数，利用二次函数求出最值即可．
熟练掌握待定系数法求函数解析式及反比例函数、二次函数的性质是解本题的关键．【详解】（1）解：在矩形 中， ， ，
∴ ，
∵F为 的中点，
∴ ，
∵点F在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∴该函数的解析式为 ，
把 代入 ，
得 ，
∴ ；
（2）由题意知E，F两点坐标分别为 ， ，
∴ ，
，
在边 上，不与A，B重合，即 ，
解得 ，
∴当 时， 有最大值， ．
变式6-3．如图，直线 ： 与坐标轴交于A、D两点，以 为边在 右侧作正方形 ，
过C作 轴于G点．过点C的反比例函数 与直线 交于E、F两点．(1)求证： ；
(2)求E、F两点坐标；
(3)填空：不等式 的取值范围是______．
【答案】(1)见解析
(2) ，
(3) 或
【分析】（1）根据正方形的性质，得 ， ，结合 轴，得 ，
则 ，证明 ；
（2）根据直线 ： 与坐标轴交于A、D两点，易得 ， ，结合
，得 ， ，所以 ，即可作答；
（3）结合（2）中的 ， ，由图象知，不等式 的取值范围是 或 ．
【详解】（1）证明：∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ ，
∴ ，在 和 中，
，
∴
（2）解：依题意，直线 ： ，
令 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
令 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由（1）知， ，
∴ ， ，
∴ ，
故将点C代入反比例函数 中，
得 ，
∴反比例函数的解析式为 ，
∵直线 的解析式为 ，
联立①②得 ，
解得 或 ，
∴ ，（3）解：由图象知，结合（2）中的 ， ，
不等式 的取值范围是 或 ．
【点睛】本题考查了一次函数与几何图形的应用，一次函数与反比例函数的交点问题，涉及正方形的性质
以及全等三角形的判定与性质，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
基础过关练
1．面积为30的一个三角形，它的底边y随着这边上的高x的变化而变化．则y与x之间的关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，解题的关键是熟练掌握三角形面积公式．
【详解】解：由题意可得， ，
∴y＝ ，
故选：A．
2．在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强
与汽缸内气体的体积 成反比例， 关于 的函数图象如图所示，若压强由 加压到
，则气体体积压缩了（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由图象可得 关于 的函数解析式为 ，然后问题可求解．【详解】解：设 关于 的函数解析式为 ，由图象可把点 代入得： ，
关于 的函数解析式为 ，
当 时，则 ，
当 时，则 ，
压强由 加压到 ，则气体体积压缩了 ；
故选：C．
【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的应用是解题的关键．
3．某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验（微克/毫升）与服药时间
小时之间函数关系如图所示．则血液中药物浓度不低于 微克/毫升的持续时间为（ ）
A． 小时 B． 小时 C． 小时 D． 小时
【答案】B
【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，根据题意得出函数解析式是解题关键．先分别设出正比例函
数以及反比例函数的解析式，代入点坐标，求出解析式；再令 分别得出 的值，进而得出答案．
【详解】解：当 时，设直线解析式为： ，
将 代入得： ，
解得： ，
故直线解析式为： ，
当 时，设反比例函数解析式为： ，
将 代入得： ，
解得： ，反比例函数解析式为： ；
当 时，令 ，则 ；
当 时，令 ， ；
∴ （小时）．
故选：B．
4．已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流 （单位： ）与电阻 （单位： ）是反比例函数
关系，它的图象如图所示，则当电阻为 时，电流为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，求出反比例函数解析式是解题关键．设该反比函数解析式
为 ，根据当 时， ，可得该反比函数解析式为 ，再把 代入，即可求
出电流.
【详解】解：设该反比函数解析式为 ，由题意得：
，
解得： ，
∴该反比函数解析式为 ，
当 时， .
故答案为： .
5．学校科技兴趣小组为探索如图所示的电路中电压 、电流 、电阻 三者之间的关系，测得
数据如下，根据数据猜想得到三者之间为： ．由此可得，当电阻 时，电流 A．【答案】
【分析】根据题意和表格中的数据，可以得到 的值是一个定值，然后将 代入函数解析式，求出
的值即可．
【详解】解：由题意可得，
，由表格可知：当 时， ，
，
解得 ，
，
当 时， ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出U的值．
6．某标准游泳池的尺寸为长 米，宽 米，深度为3米，游泳池蓄水能游泳时，水深不低于 米．
（1）游泳池的排水管每小时排水 立方米，那么将游泳池最低蓄水量排完用了 小时．
①写出 与 的函数关系式为 ；
②当 时， 的值为 ；
（2）在（1）的情况下，如果最低蓄水量排完不超过5小时，每小时排水量最少增加 立方米．
【答案】
【分析】（1）①∵游泳池的尺寸为长 米，宽 米，深度为3米，游泳池蓄水能游泳时，水深不低于
米，即可得游泳池最低蓄水量 立方米，则 与 的函数关系式为： ；②当 时，，即可得；
（2）根据在（1）的情况下，如果最低蓄水量排完不超过5小时得 ，计算得 ，即每小时的
排水量至少 立方米，即可得．
【详解】解：（1）①∵游泳池的尺寸为长 米，宽 米，深度为3米，游泳池蓄水能游泳时，水深不低
于 米，
∴游泳池最低蓄水量： 立方米，
∴ 与 的函数关系式为： ；
②当 时， ，
故答案为： ； ；
（2）∵在（1）的情况下，如果最低蓄水量排完不超过5小时，
∴ ，
，
即每小时的排水量至少 立方米，
∴ （立方米），
∴小时排水量最少增加 立方米，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是理解题意，掌握反比例函数．
7．一个水池内原有水 升，现在以 升 分钟的速度向水池内注水， 分钟可注满水池．
(1)水池的容积是多少？
(2)若水池为空的，设注水的速度为 升 分钟，注满水池需要 分钟，写出 与 之间的函数关系式；
(3)若水池为空的， 分钟注满水池，则注水的速度应达到多少？
【答案】(1) 升；
(2) 与 之间的函数关系式为： ；
(3)注水的速度应达到 升 分钟．
【分析】（ ）根据水池的容积 池内原有水的体积 注入水的体积，注入水的体积 注水速度 时间，直
接计算；（ ）根据题意注满水池的体积 注水速度 时间可知 ，可求 与 之间的关系式；
（ ）把 代入（ ）中的函数关系式可求 ；
本题考查了反比例函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握建立函数关系式，灵活运用函数关系式解决实
际问题．
【详解】（1）依题意得：水池的容积 （升）；
（2）依题意得， ，
∴ ；
则 与 之间的函数关系式为： ；
（3）由（ ）得： 与 之间的函数关系式为 ，
当 代入 ，
，得 ，
∴注水的速度应达到 升 分钟．
8．十·一期间，学校团委组织全体团员进行社会实践活动，活动结束后，李明要把社会实践调查报告录入
电脑，当他以120字/分钟的速度录入文字时，经过100分钟能完成录入．设他录入文字的速度为v字/分钟
完成录入的时间为t分钟．求t与v之间的函数关系式(不必写出自变量的取值范围)．
【答案】 ．
【分析】此题考查了是反比例函数的应，用现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题
的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．设 ，把
代入求解即可．
【详解】解：根据题意得： ，把 代入得
∴t与v之间的函数关系式为 ．
9．某饮水机开始加热时，水温每分钟上升 ，加热到 时，停止加热，水温开始下降．此时水温是通电时间 的反比例函数．若在水温为 时开始加热，水温 与通电时间 之间
的函数关系如图所示．
(1)在水温下降的过程中，求水温 关于通电时间 的函数表达式；
(2)若水温从 开始加热至 ，然后下降至 ，在这一过程中，水温不低于 的时间有多长？
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查反比例函数和一次函数的应用、用待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是：
（1）设水温下降过程中， 与 的函数关系式为 ，根据待定系数法即可求解；
（2）分别求出在加热过程和降温过程中水温为40摄氏度时的时间，再相减即可判断．
【详解】（1）解：设水温下降过程中， 与 的函数关系式为 ，
由题意得，点 在反比例函数 的图象上，
，
解得： ，
水温下降过程中， 与 的函数关系式是 ；
（2）解：在加热过程中，水温为 时， ，
解得： ，
在降温过程中，水温为 时， ，
解得： ，
，
一个加热周期内水温不低于 的时间为 ．10．根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强 是它的受力面积 的反比例函
数，其函数图象如图所示.
(1)求P关于S的函数关系式.
(2)当 时，物体所受的压强是多少 .
【答案】(1)
(2)400
【详解】（1）解：设 ，
由图象可知：点 在函数图象上，
∴ ，
∴
∴
故答案为： ．
（2）解：把 代入 得： ；
答：当 时，物体所受的压强是 ．
【点睛】本题主要考查了求反比例函数解析式，已知自变量的值求函数值，从函数图象中获取信息，解题
的关键是数形结合，熟练掌握待定系数法．
11．用橡胶或聚脂薄膜材料制成气球，并充以比空气密度小的氢气或氦气，用以携带仪器升空，进行高空
气象观测．某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 与气体体积成反比例函数，其图象如图所示．
(1)求这个函数的表达式．
(2)当气体体积为 时，气压是多少？
(3)当气球内的气压大于 时，气球将煤炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设 ，将点 代入，得 ，进行计算即可得；
（2）将 代入计算即可得；
（3）将 代入计算即可得．
【详解】（1）解：设 ，将点 代入，
可得 ，
∴ ，故 ；
（2）当 时， ，
∴当气体体积为 时，气压是 ；
（3）当 时， ，
∴为了安全起见，气体的体积应不小于
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是掌握反比函数的图象和性质．12．某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其销售量y（万件）与上市的天数x（天）之间的函数关系
式为 ．当广告停止后，销售量y（万件）与上市的天数x（天）之间成反比（如图），现已知上市30
天时，当日销售量为120万件．
(1)当 时，求该商品上市以后销售量y（万件）与上市的天数 （天）之间的函数关系式；
(2)广告合同约定，当销售量不低于 万件，并且持续天数不少于 天时，广告设计师就可以拿到“特殊
贡献奖”，那么本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”？请说明理由．
【答案】(1)
(2)设计师可以拿到特殊贡献奖，理由见解析
【分析】（1）将已知点的坐标分别代入到正比例函数和反比例函数中利用待定系数法确定其解析式即可；
（2）分别求得销量不低于 万件的天数，相加后大于等于 天即可拿到特殊贡献奖，否则不能．
【详解】（1）解：当 时，设 ，把 代入得 ，
∴
（2）当 时，由 得， ，
即 ，有 天；
当 时，由 ，解得： ，
即 ，有 天，
共有 天，
因此设计师可以拿到特殊贡献奖．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从实际问题中整理出反比例函数的模型．
能力提升练
1．随着科技的进步，我国的生物医药行业发展迅速，最近某药品研究所开发一种抗菌新药，首次用于临
床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系如图所示（当 时，y与x成反比例）．根据图中信息可知，血液中药物浓度不低于6微克/毫升的持续
时间为（ ）
A．4小时 B． 小时 C． 小时 D． 小时
【答案】C
【分析】先求出正比例函数解析式，反比例函数解析式，令 ，确定两个函数自变量的值，其差就是持
续的时间．
【详解】设正比例函数解析式为 ，反比例函数解析式为 ，
把 分别代入解析式，得 ，
解得 ，
故函数的解析式为 ，
当 时， ，
解得 ，
故持续时间为 （小时），
故选C．
【点睛】本题考查了正比例函数解析式，反比例函数解析式的确定，应用，熟练掌握解析式的确定和应用
是解题的关键．
2．如图，一个电子体重秤的电路图如图（2）所示，可变电阻 可随着人的质量 的变化而变化，电源电
压恒为8伏，定值电阻 的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为 （该读数可以换算为人的质量 ），则 关于 的函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】通过串联电路中电流处处相等和 可以列出等量关系，然后再化简为 关于 的函数解析式
【详解】由题意得：可变电阻两端的电压=电源电压-电表电压，
即：可变电阻电压 ，
∵ ，可变电阻和定值电阻的电流大小相等，
∴ ．
化简得： ，
∵ ，
∴ ．
故选：C
【点睛】本题以物理中的电路问题为背景，考查了学生对于反比例函数关系式的掌握情况，解题的关键是
先要求找出两个要求量之间的等量关系，然后化简为要求的表达式，转化过程中需要注意无关量的消去，
一般情况下都是用代入法消元来解决这一问题的．
3．如图是4个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作 （ 为
的整数），函数 的图象为曲线 ．若曲线 使得 这些点分布在它的两侧，每侧各2个点，则 的坐标是 ， 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】分别求出函数 过点时 的值，可得结果．
【详解】解：∵每个台阶的高和宽分别是1和2，
∴ ，
∴当函数 过点 时， ，
当函数 过点 时， ，
∴若曲线 使得 这些点分布在它的两侧，每侧各2个点时， 的取值范围是： ．
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，根据题意求出各点的坐标是本题解题关键．
4．小瑞利用杠杆原理称药品质量（杠杆平衡时，动力×动力臂=阻力×阻力臂）：如图，当左盘药品为m克
时，右盘砝码重20克；当左盘砝码重5克时，右盘药品为n克．则m与n满足的关系式为 ．
【答案】
【分析】根据动力×动力臂=阻力×阻力臂，分别利用两幅图分别列式为 ，则 ，，则 ，即可得到答案．
【详解】解：如图，
由图1可得 ，则 ，
由图2可得 ，则 ，
∴ ，
故答案为：
【点睛】此题考查了反比例函数的应用，准确列出等式是解题的关键．
5．智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升 ，加热到 时，饮水机自动停止加热，
水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温 与通电时间 成反比例关系．当水温降至室温时，
饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为 ，接通电源后，水温 与通电时间
之间的关系如图所示．
(1)求当 时， 与 之间的函数关系式；
(2)加热一次，水温不低于 的时间有多长？【答案】(1)函数的表达式为
(2)一个加热周期内水温不低于 的时间为
【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的应用，解题的关键是看懂图像，灵活运用所学知识解决
问题．
（1）当 时，设 与 之间的函数关系式为： ，将点（ ）代入反比例函数的表达式中即
可求解；
（2）先求 时的函数解析式，再令 代入解析式中，解得 ；在降温过程中，水温为
时， ，最后把两个时间值相减即可．
【详解】（1）设反比例函数的表达式为： ，
将点（ ）代入反比例函数表达式得： ，
故函数的表达式为： ，
当 时， ，
则 ，
即函数的表达式为： ；
（2）设 时，函数的表达式为： ，
将点（ ）代入上式得： ，
解得： ，
即一次函数的表达式为： ，
令 ，将其代入 中，
解得： ，
在降温过程中，水温为 时， ，
解得： ，
，
一个加热周期内水温不低于 的时间为 ．
6．反比例函数广泛应用于科学课中．比如在电学的某一电路中，电压不变时，电流I（单位：安培）与电
阻R（单位；欧姆）成反比例关系．当电阻 欧姆时，电流 安培．(1)求出函数解析式．
(2)当 安培时，求出R的值．
(3)如果电路中用电器的电流不得超过10安培，那么直接写出用电器的电阻控制在什么范围内？
【答案】(1)I与R之间的函数关系式为
(2) （欧姆）
(3) （欧姆）
【分析】本题考查了反比例函数的应用．
（1）由题意可设 ，代入 ， 即可求得 的值，从而可得I与R之间的函数关系式；
（2）将 代入（1）中所得函数关系式即可求得对应的R的值；
（3）根据题意得 ，由此即可求得电阻控制的范围．
【详解】（1）解：由题意设 ，
∵当电阻 欧姆时，电流 安培，
∴ ，
∴I与R之间的函数关系式为： ；
（2）解：把 代入 得：
，
解得： （欧姆）；
（3）解：∵不得超过10安培，
∴ ，
∴R的取值范围是： （欧姆）．
7．某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜.如图是试验阶段的某天恒
温系统从开启到关闭后，大棚内的温度 与时间 之间的函数关系，其中线段 ， 表示恒温系
统开启阶段，双曲线的一部分 表示恒温系统关闭阶段.请根据图中信息解答下列问题：(1)求 与 的函数表达式；
(2)若大棚内的温度低于 时，蔬菜会受到伤害.问这天内，恒温系统最多可以关闭多长时间，才能使蔬菜
避免受到伤害？
【答案】(1)
(2)恒温系统最多可以关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害
【分析】（1）应用待定系数法求函数解析式即可；
（2）把 代入 中，即可求得结论．
【详解】（1）解：由图象，设双曲线 解析式为： ，
∵ ，
∴ ，
∴双曲线 的解析式为：
∴ ；
（2）把 代入 中，解得： ，
∴ （小时），
∴恒温系统最多可以关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害．
【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数的实际应用，根据图象求一次函数、反比例函数和常函数关系
式．解答时应注意临界点的应用．
8．通过心理专家实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，指标达到36为认真听讲，学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当 和
时，图象是线段，当 时是反比例函数的一部分．
(1)分别求当 和 时，y与x之间满足的函数关系式；
(2)李老师在一节课上讲一道数学综合题需17分钟，他能否在学生认真听讲的时间段完成任务，请说明理
由．
【答案】(1) ；
(2)李老师能在学生认真听讲的时间段完成任务
【分析】（1）根据待定系数法求解；
（2）先求出 时的时刻，再求差，再与17比较大小求解．
【详解】（1）解：当 时，设 ，
则： ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
当 时，设 ，
则： ，
解得： ，
∴ ．
（2）李老师能在学生认真听讲的时间段完成任务．
理由：当 时， ，
解得：，
解得： ，
所以李老师能在学生认真听讲的时间段完成任务．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的应用，掌握待定系数法和数形结合思想是解题的关键．
