文档内容
3.1 列代数式表示数量关系（第 3 课时） 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书•数学》七年级上册（以下统称“教材”）第三章“代数式”3.1 列
代数式表示数量关系第3课时，内容包括正比例、反比例关系.
2.内容解析
本节课进一步研究列代数式表示实际问题中的数量关系，同时判断实际问题中的两个量是否成正比例
关系或成反比例关系.小学阶段已经学习过成正比例的量及成反比例的量，本节课的核心内容是正确分析实
际问题中的数量关系并列代数式表示，列代数式表示数量关系时，需要结合具体情境，分析问题中的数量，
寻找数量之间的关系，进而判断实际问题中的两个量成怎样的关系，为今后学习正比例函数、反比例函数
打下基础.
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：准确判断出实际问题中成正比例和成反比例的量.
二、目标和目标解析
1.目标
（1）进一步理解成正比例、成反比例关系.
（2）在实际问题中能够熟练找出成正比例的量和成反比例的量.
2.目标解析
达成目标（1）的标志是：学生能正确分析实际问题中的数量关系，分析出实际问题中不变量是哪个，
变化的量是哪两个，其中一个量变化，会引起另一个量怎样的变化.
达成目标（2）的标志是：学生能正确分析实际问题中的数量关系，熟练掌握成正比例、成反比例关
系的两个量之间是比值一定还是乘积一定，同时两个量满足对应的 或xy=k的关系式.
三、教学问题诊断分析
小学阶段已经学习过成正比例的量及成反比例的量，学生对于成正比例的量相对容易理解，但对于成
反比例的量，学生理解起来比较困难，教学中要通过大量的学生熟悉的实际问题，有针对性地进行引导，
充分展示分析数量关系，积累感性认识，丰富学习体验.
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：正确分析实际问题中的数量关系，准确判断出实际问题中
成反比例的量.
四、教学过程设计（一）复习引入
问题1：某品牌苹果采摘机器人平均每秒可以完成5 m2范围内苹果的识别. （1）该机器人t s能识别
多大范围内的苹果？
t s能识别的范围（单位：m2）是5×t＝5t.
师生活动：教师与学生共同回顾，同时教师引导学生发现：机器人能识别的范围与所用时间的比值总
是一定的（等于5）.因此，机器人能识别的范围与所用时间是成正比例的量，它们成正比例关系.
归纳：一般地，对于工程问题，当工作效率保持不变，工作量与工作时间是成正比例的量，它们成正
比例关系.
追问：如果工作量保持不变，工作时间与工作效率之间有怎样的关系？
【设计意图】通过复习上节课内容，引入成正比例的量、成正比例关系，引出本课内容.
（二）新知探究
问题2：北京是全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市.在冬季奥运会前，某赛场计
划造雪260000 m3.解答下列问题：
（1）根据每天造雪量，计算所需的造雪天数，填写下表.
每天造雪量/m3 5000 5200 6500 …
造雪天数 …
（2）每天造雪量和造雪天数这两个量是怎样变化的？它们之间有什么关系？
师生活动：教师引导学生经历以下思维过程，教师注意引导学生结合问题中的数量关系准确找出两个
量之间的关系.
可以发现， ，造雪天数随着每天造雪量的变大而变小，而且造雪天数与每天
造雪量的乘积一定，总是260 000.例如，5 000×52=5 200×50=6 500×40=260 000.
新知讲解：像这样，两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，
这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系.
如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的积（k是一个确定的值，且k≠0），反比例关
系可以用xy=k 来表示.
【设计意图】通过实际问题引出成反比例的量和成反比例的关系，为后续学习做好铺垫.
（三）针对训练
1. 如果汽车行驶的路程一定，那么汽车行驶的平均速度与时间是否成反比例关系？为什么？解：因为路程＝平均速度×时间，路程一定，
所以汽车行驶的平均速度与时间是否成反比例关系.
2. 判断下面各题中的两个量是否成反比例关系，并说明理由：
（1）一批水果质量一定，按每箱质量相等的规定分装，装箱数与每箱的质量；
（2）长方体的体积一定，长方体的底面积与高；
（3）购买荧光笔和中性笔的总费用一定，荧光笔的费用与中性笔的费用.
解：（1）成反比例关系；
（2）成反比例关系；
（3）不成反比例关系.
【设计意图】通过练习，进一步巩固成反比例的量及成反比例关系在实际问题中的应用.
（四）典例分析
例1：如图，四个圆柱形容器内部的底面积分别为10 cm²，20 cm²，30 cm²，60 cm². 分别往这四个容
器中注入300 cm3的水.
（1）四个容器中水的高度分别是多少厘米？
（2）分别用x（单位：cm2）和y（单位：cm）表示容器内部的底面积与水的高度，用式子表示y与x
的关系，y与x成什么比例关系？
师生活动：学生先独立思考，然后同桌交流，尝试列式，然后教师引导学生仔细分析题目中数量关系：
题中涉及圆柱的体积、底面积及高三个量，它们之间具有关系：圆柱的体积=底面积×高，
.
解：（1）四个容器中水的高度分别为
， ， ， .
（2）xy=300. y与x成反比例关系.师生活动：教师引发学生思考并回答：生活中，成反比例关系的例子是很常见的.例如，在购买某种物
品时，总价一定，购物的数量与商品的单价成反比例关系.你还能举出一些例子吗？
【设计意图】进一步感受成反比例的量及成反比例关系在实际问题中的应用.
（五）当堂巩固
某运输公司计划运输一批货物，每天运输的吨数与运输的天数之间的关系如下表所示.
每天运输的吨数 500 250 100 50 …
运输的天数 1 2 5 10 …
（1）这批货物共有多少吨？
（2）运输的天数是怎样随着每天运输的吨数的变化而变化的？
（3）用t表示运输的天数，用a表示每天运输的吨数，用式子表示t与a的关系，t与a成什么比例关
系？
解：（1）因为每天运输的吨数与运输的天数乘积一定为500，所以这批货物共有500吨；
（2）根据表格可得：运输的天数随着每天运输的吨数的减少而增加；
（3）因为at=500，
所以 ，
因为乘积一定，所以t与a成反比例关系.
【设计意图】进一步巩固成反比例的量及成反比例关系在实际问题中的应用.
（六）课堂小结
1.两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的比值一定，这两个量就叫作成
正比例的量，它们之间的关系叫作正比例关系.
如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的积（k是一个确定的值，且k≠0），正比例关
系可以用 来表示.
2.两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作成
反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系.
如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的积（k是一个确定的值，且k≠0），反比例关
系可以用xy=k来表示.
【设计意图】通过小结，进一步巩固、梳理本节课所学成正比例的量及正比例关系、成反比例的量及
反比例关系等知识，使学生所学知识系统化，形成一个完整的知识体系.（七）布置作业
P76：习题3.1：第4题，第5题．
五、教学反思
本节课的核心内容是正确分析实际问题中的数量关系并列代数式表示，列代数式表示数量关系时，需
要结合具体情境，分析问题中的数量，寻找数量之间的关系，进而判断实际问题中的两个量成怎样的关系，
为今后学习正比例函数、反比例函数打下基础.因小学已经学习过成正比例的量、成发比例的量，而成正比
例的量对于学生来说比较好理解，因此本节课对于成反比例的量及反比例关系的学习贯穿于绝大部分的始
终，是一个比较难理解的内容，应让学生多通过实际问题理解，可以多做习题加以巩固.
