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第 3 章 代数式全章培优测试卷
【人教版2024】
（考试时间：60分钟 试卷满分：100分）
考前须知：
1．本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟。
2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，压轴题均有★标记。
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列式子中：①0；②a；③x+y＝2；④x﹣5；⑤2a；⑥a2+1；⑦a≠1；⑧x≤3．属于
代数式的有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【分析】根据代数式的概念，用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式．单独的一个数或一
个字母也是代数式．
【解答】解：式子0，a，x﹣5，2a，a2+1，符合代数式的定义，是代数式；
式子x+y＝2，是等式，不是代数式；
式子a≠1，x≤3，是不等式，不是代数式．
故代数式有5个．
故选：B．
3x2−y 3
2．（3分）有下列各式：①2 ；②30%；③m﹣2℃；④ ；⑤a﹣b÷c；⑥1 x．其中，符合
2 5
π
代数式书写要求的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据代数式的书写要求判断各项．
【解答】解：2 符合书写要求，
30%符合书写要π求，
m﹣2℃应写成（m﹣2）℃，
3x2−y
符合书写要求，
2b
a﹣b÷c应写成a− ，
c
3 8
1 x应写成 x．
5 5
故选：B．
3．（3分）下面各题中的两种量，成正比例关系的有（ ）组．
①圆柱的体积一定，圆柱的底面积和高．
②张老师的身高和体重．
③圆的面积和半径．
④看电影所付票费与看电影的人数．
⑤等边三角形的周长与边长．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】正比例，简称正比，是指两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化．如果这两种量
中相对应的两个数比值（或者说商）一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关
系，由此即可判断．
【解答】解：①圆柱的体积一定，圆柱的底面积和高成反比例．
②张老师的身高和体重不成比例．
③圆的面积和半径不成比例．
④看电影所付票费与看电影的人数成正比例．
⑤等边三角形的周长与边长成正比例．
∴各题中的两种量，成正比例关系的有2组．
故选：B．
4．（3分）下列选项中的量不能用“0.9a”表示的是（ ）
A．边长为a，且这条边上的高为0.9的三角形的面积
B．原价为a元/千克的商品打九折后的售价
C．以0.9千米/小时的速度匀速行驶a小时所经过的路程
1
D．一本书共a页，看了整本书的 后剩下的页数
10
【分析】选项A根据三角形的面积公式解答即可；选项B根据“售价＝原价×折数”判断即可；选项C
根据“路程＝速度×时间”判断即可；选项D根据“剩下的页数＝全数的页数﹣已看的页数”判断即
可．1
【解答】解：A．边长为a，且这条边上的高为0.9的三角形的面积为 ×0.9a＝0.45a，故本选项符合题
2
意；
B．原价为a元/千克的商品打九折后的售价为0.9a元/千克，故本选项不符合题意；
C．以0.9千米/小时的速度匀速行驶a小时所经过的路程为0.9a千米，故本选项不符合题意；
1
D．一本书共a页，看了整本书的 后剩下的页数为0.9a页，故本选项不符合题意．
10
故选：A．
5．（3分）某两位数，十位数字为a，个位数字为b，将其十位上的数与个位上的数交换位置，得到一个
新的两位数，新两位数用代数式表示为（ ）
A．ba B．a+b C．10a+b D．10b+a
【分析】列代数式的定义是把题目中与数量有关的词语，用含有数字字母和运算符号的式子表示出来，
就是列代数式，根据意思代入即可．
【解答】解：∵十位数字为a，个位数字为b，将其十位上的数与个位上的数交换位置，得到一个新的
两位数，
∴新的两位数的十位数字为b，个位数字为a，这个新的两位数用代数式表示为10b+a，
故选：D．
6．（3分）某电子产品原价为m，9月迎来开学季，商家开展“教育优惠”活动，现售价为 0.8m﹣100，
则下列说法中，符合题意的是（ ）
A．原价减100元后再打8折
B．原价打8折后再减100元
C．原价打2折后再减100元
D．原价减100元后再打2折
【分析】0.8m即在原价的基础上打8折，﹣100即降价100元，据此求解即可．
【解答】解：由题意得，0.8m﹣100表示的是在原价的基础上先打8折，然后再降价100元，故选：B．
7．（3分）已知3x3+x的值是﹣2，则﹣6x3﹣2x+5的值为（ ）
A．﹣9 B．9 C．7 D．3
【分析】由题意可得：3x3+x＝﹣2，把所求的式子进行整理，整体代入运算即可．
【解答】解：∵3x3+x的值是﹣2，
∴3x3+x＝﹣2，
∴﹣6x3﹣2x+5
＝﹣2（3x3+x）+5
＝﹣2×（﹣2）+5
＝4+5
＝9．
故选：B．
8．（3分）有一个数值转换器，原理如图所示，若开始输入 x的值是5，可发现第1次输出的结果是16，
第2次输出的结果是8，第3次输出的结果是4，依次继续下去，第2025次输出的结果是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【分析】根据题目所给运算程序，先计算出前几次输出结果，得出一般规律：从第3次开始，输出结果
每3次按照4，2，1的顺序循环，即可解答．
【解答】解：开始输入x的值是5，可发现第1次输出的结果是3×5+1＝16，
1
第2次输出的结果是 ×16＝8，
2
1
第3次输出的结果是 ×8＝4，
2
1
第4次输出的结果是4× =2，
2
1
第5次输出的结果是2× =1，
2
第6次输出的结果是3×1+1＝4，……，
∴从第3次开始，每3次一个循环：按照4，2，1的顺序循环，
∵（2025﹣2）÷3＝674⋯1，
∴第2025次输出的结果与第3次输出的结果相同，即为4．
故选：C．
9．（3分）在日历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的日历，任意选择其中所示的含4个数
字的方框部分，设右上角的数字为a，则下列叙述中正确的是（ ）
A．左上角的数字为a+1
B．左下角的数字为a+7
C．右下角的数字为a+8
D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数
【分析】根据题意，可以用含a的代数式表示出各个位置上的数字，然后即可判断A、B、C，再将四个
数相加，即可判断D．
【解答】解：由图可得，
右上角的数为a，则右上角的数字为a﹣1，左下角的数字为a+6，右下角的数字为a+7，故选项A、B、
C均不符合题意，
a+（a+1）+（a+7）+（a+8）
＝a+a+1+a+7+a+8
＝4a+16
＝4（a+4），
∴方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
10．（3分）数学活动课上，老师做了一个有趣的游戏：开始时东东、亮亮，乐乐三位同学手中均有 a张
扑克牌（假定a足够大），然后依次完成以下三个步骤：第一步，东东拿出 2张扑克牌给亮亮；第二
步，乐乐拿出3张扑克牌给亮亮；第三步，东东手中此时有多少张扑克牌，亮亮就拿出多少张扑克牌给
东东．游戏过程中，亮亮手中扑克牌张数的变化情况正确的是（ ）A．a→a+2→a+3→1 B．a→a+2→a+5→3
C．a→a+2→a+5→2a+3 D．a→a+2→a+5→7
【分析】此题看似复杂，其实只是考查了整式的基本运算．把每堆牌的数量用相应的字母表示出来，列
式表示变化情况即可找出最后答案．
【解答】解：第一步后：东东a﹣2，亮亮a+2，乐乐a；
第二步后：东东a﹣2，亮亮a+2+3＝a+5，乐乐a﹣3；
第三步后：东东2（a﹣2），亮亮a+5﹣（a﹣2）＝7，乐乐a﹣3．
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）修建一条1000米的公路，工作效率与工作时间成 反 比例（填“正”，“反”）．
【分析】根据反比例的定义即可得到结论．
【解答】解：因为工作效率×工作时间＝工作总量（定值），
符合反比例的意义，
故答案为：反．
12．（3分）学习委员小明带了200元钱去文具店买学习用品，已知一支笔x元，一个笔记本y元，则代数
式200﹣3x﹣4y表示的实际意义是 买 3 支笔和 4 个本后剩余的钱 ．
【分析】根据小明带了200元钱去文具店买学习用品，买了3支笔和4个笔记本进行解答即可．
【解答】解：学习委员小明带了200元钱去文具店买学习用品，已知一支笔x元，一个笔记本y元，则
代数式200﹣3x﹣4y表示的实际意义是买3支笔和4个笔记本后剩余的钱，
故答案为：买3支笔和4个笔记本后剩余的钱．
13．（3分）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，|m|＝2，则2（a+b）﹣（cd）3+m＝ 1 或﹣ 3 ．
【分析】先根据题意得出a+b＝0，cd＝1及m＝±2，再代入所求代数式进行计算．
【解答】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，|m|＝2，
∴a+b＝0，cd＝1及m＝±2，
当m＝2时，2（a+b）﹣（cd）3+m＝2×0﹣13+2＝1；
当m＝﹣2时，2（a+b）﹣（cd）3+m＝2×0﹣13+（﹣2）＝﹣3，
综上，2（a+b）﹣（cd）3+m的值为1或﹣3．
故答案为：1或﹣3．
14．（3分）某商场将进价为a元的A商品按盈利30%确定销售价．元旦节期间，该商场开展了“全场商
品打九折”的节日促销活动，促销活动期间该商场A商品的销售价为 0. 9 a （ 1+30% ） 元（用代数
式表示）．【分析】根据原售价＝（1+利润率）×进价求出定价，再根据商场“打九折”的活动即现售价＝原售价
×折扣列式即可．
【解答】解：由题意得，原售价＝a（1+30%），
促销活动后的售价＝原售价×0.9＝0.9a（1+30%）．
故答案为：0.9a（1+30%）．
1
15．（3分）如图，边长为a和2的两个正方形拼在一起，阴影部分的面积为 a2 ．
2
【分析】根据题意利用阴影部分的面积为：S△DBC +S梯形DCEF ﹣S
BEF
进而求出答案．
【解答】解：如图所示：阴影部分的面积为：
1 1 1 1
S△DBC +S梯形DCEF ﹣S
BEF
= a2+ （a+2）×2− ×2×（a+2）= a2，
2 2 2 2
1
故答案为： a2
2
16．（3分）有一种塑料杯子的高度是10cm，两个以及三个这种杯子叠放时高度如图所示，则n个这种杯
子叠放在一起高度是 2 n + 8 cm（用含n的式子表示）．
【分析】根据题目中的图形，可知每增加一个杯子，高度增加 2cm，从而可以得到n个杯子叠在一起的
高度．
【解答】解：由图可得，每增加一个杯子，高度增加2cm，则n个这样的杯子叠放在一起高度是：10+2（n﹣1）＝（2n+8）（cm）．
故答案为：2n+8．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）根据下列语句列代数式：
4
（1）b的 倍的相反数；
3
（2）比a与b的积的2倍小5的数；
（3）一件商品原价为a元，现按原价的九折销售，则售价是多少元？
4
【分析】（1）先求出b的 倍，再求出它们的相反数；
3
（2）先求出a与b的积的2倍，再减去5；
（3）根据题意可得售价为0.9a元．
4
【解答】解：（1）根据题意可得− b；
3
（2）根据题意可得2ab﹣5；
（3）根据题意可得售价是0.9a元．
18．（6分）诗词是指以古体诗、近体诗和格律词为代表的中国汉族传统诗歌，亦是汉字文化圈的特色之
一．一本《中华诗词集锦》，每天看的页数和需要的天数如表．
每天看的页数/页 12 15 20 30
需要的天数/天 25 20 15 10
（1）每天看的页数与需要的天数之间成反比例关系吗？为什么？
（2）如果要6天看完这本《中华诗词集锦》，平均每天要看多少页？
【分析】（1）根据成反比例关系的两个量的关系判断即可；
（2）根据题意列式计算即可．
【解答】解：（1）每天看的页数与需要的天数之间成反比例关系，
理由：∵12×25＝15×20＝300，
∴每天看的页数与需要的天数之间成反比例关系；
（2）300÷6＝50（页），
答：平均每天要看50页．
19．（6分）我国“华为”公司是世界通讯领域的龙头企业，某款手机后置摄像头模组如图所示．其中大
1 1
圆的半径为r，中间小圆的半径为 r，4个半径为 r的高清圆形镜头分布在两圆之间．
2 5（1）请用含r的式子表示图中阴影部分的面积；
（2）当r＝2cm时，求图中阴影部分的面积（ 取3）．
π
【分析】（1）根据阴影部分的面积等于总面积减去空白圆的面积即可；
（2）代入计算即可．
1 1
【解答】解：（1）阴影面积： r2﹣ ×（ r）2﹣ ×（ r）2×4
2 5
π π π
59
= r2；
100
π
（2）当r＝2cm， 取3时，
59 π 177
原式= ×3×4= （cm2）．
100 25
20．（8分）某超市新进了一批百香果，进价为每斤 8元，为了合理定价，在前五天试行机动价格，售出
时每斤以10元为标准，超出10元的部分记为正，不足10元的部分记为负，超市记录的前五天百香果
的销售单价和销售数量如下表所示：
第1天 第2天 第3天 第4天 第5天
销售单价 +1 ﹣2 +3 ﹣1 +2
（元）
销售数量 20 35 10 30 15
（斤）
（1）前5天售卖中，单价最高的是第 3 天；单价最高的一天比单价最低的一天多 5 元；
（2）求前5天售出百香果的总利润；
（3）该超市为了促销这种百香果，决定推出一种优惠方案：购买不超过 6斤百香果，每斤12元，超出
6斤的部分，每斤9.6元．若嘉嘉在该超市买x（x＞6）斤百香果，用含x的式子表示嘉嘉的付款金额．
【分析】（1）根据表格中的数据，可以写出单价最高的是第几天，并计算出单价最高的一天比单价最
低的一天多多少元；
（2）根据题意和表格中的数据，可以计算出前5天售出百香果的总利润；（3）根据题意，可以用x的代数式表示出嘉嘉的付款金额．
【解答】解：（1）由表格可得，
前5天售卖中，单价最高的是第3天，单价最高的一天比单价最低的一天多：3﹣（﹣2）＝5（元），
故答案为：3；5；
（2）以10元为标准每斤百香果所获的利润为10﹣8＝2（元），
则前5天售出百香果的总利润为：20×（1+2）+35×（﹣2+2）+10×（3+2）+30×（﹣1+2）+15×（2+2）
＝200（元）．
答：前5天售出百香果的总利润为200元；
（3）由题意可得，
12×6+（x﹣6）×9.6＝（9.6x+14.4）元，
即嘉嘉的付款金额为（9.6x+14.4）元．
21．（8分）某公园中的一条小路使用六边形、正方形、三角形三种地砖按照如图方式铺设．图1为有1
块六边形地砖时，正方形地砖有6块，三角形地砖有6块；图2为有2块六边形地砖时，正方形地砖有
11块，三角形地砖有10块；…．
（1）按照规律，每增加一块六边形地砖，正方形地砖会增加 5 块，三角形地砖会增加 4 块；
（2）若铺设这条小路共用去a块六边形地砖，分别用含a的代数式表示正方形地砖、三角形地砖的数
量；
（3）当a＝25时，求此时正方形地砖和三角形地砖的总数量．
【分析】（1）根据所给图形，依次求出图形中正方形和三角形地砖的块数，发现规律即可解决问题．
（2）根据（1）中发现的规律即可解决问题．
（3）根据（1）中发现的规律即可解决问题．
【解答】解：（1）由所给图形可知，
图1中三角形地砖块数为：6＝1×4+2，正方形地砖块数为：6＝1×5+1，六边形地砖块数为：1；
图2中三角形地砖块数为：10＝2×4+2，正方形地砖块数为：11＝2×5+1，六边形地砖块数为：2；
图3中三角形地砖块数为：14＝3×4+2，正方形地砖块数为：16＝3×5+1，六边形地砖块数为：3；
…，所以图n中三角形地砖块数为（4n+2）块，正方形地砖块数为（5n+1）块，六边形地砖块数为n块；
由此可见，每增加一块六边形地砖，正方形地砖会增加5块，三角形地砖会增加4块．
故答案为：5，4．
（2）由（1）发现的规律可知，
当铺设这条小路共用去a块六边形地砖时，
用去正方形地砖的块数为（5a+1）块，用去三角形地砖的块数为（4a+2）块．
（3）当a＝25时，
5a+1＝5×25+1＝126（块），
4a+2＝4×25+2＝102（块），
所以126+102＝228（块），
即此时正方形地砖和三角形地砖的总数量为228块．
22．（8分）如图，某校的“图书码”共有7位数字，它是由6位数字代码和1位校验码构成，其结构分别
代表“种类代码、出版社代码、书序代码和校验码”．其中校验码是用来校验图书码中前6位数字代码
的正确性．它的编制是按照特定的算法得来的．以图为例，其算法为：
步骤1：计算前6位数字中偶数位数字的和a，
即a＝9+1+3＝13；
步骤2：计算前6位数字中奇数位数字的和b，
即b＝6+0+2＝8；
步骤3：计算3a与b的和c，即c＝3×13+8＝47；
步骤4：取大于或等于c且为10的整数倍的最小数d，即d＝50；
步骤5：计算d与c的差就是校验码X，即X＝50﹣47＝3．
请解答下列问题：
（1）《数学故事》的图书码为745672Y，则“步骤3”中的c的值为 55 ，校验码Y的值为 5
．
（2）如图①，某图书码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为m，用含有m的代数式表示上述步
骤中的d并求出m的值．（3）如图②，某图书码中被墨水污染的两个数字的和是 10，这两个数字从左到右分别是 1 ， 9 或
6 ， 4 （请直接写出结果）．
【分析】（1）根据题意分别求得a＝12，b＝19，c＝3a+b＝55即可解决；
（2）根据已知a＝m+1+2＝m+3，b＝6+0+0＝6，c＝3a+b＝3m+9+6＝3m+15，d＝c+X＝3m+15+6＝
3m+21列式解决即可；
（3）由图②设这两个数从左到右分别为p、q，则a＝p+9+2＝11+p，b＝6+1+q＝q+7，从而q+3p的个
位数字为2，又因为p+q＝10，分类讨论解决．
【解答】解：（1）∵《数学故事》的图书码为745672Y，
∴a＝4+6+2＝12，b＝7+5+7＝19，
∴c＝3a+b＝55，
∴大于或等于c且为10的整数倍的最小数d＝60，
∴校验码Y＝d﹣c＝5，
故答案为：55；5；
（2）
根据图①图书码为6 m 0 1 0 2 6，
根据已知a＝m+1+2＝m+3，
b＝6+0+0＝6，
∴c＝3a+b＝3m+9+6＝3m+15，
∴d＝c+X＝3m+15+6＝3m+21，
∵d为10的整数倍，
∴3m的个位数字只能为9，
∴m＝3；
（3）由图②设这两个数从左到右分别为p、q，∴a＝p+9+2＝11+p，
b＝6+1+q＝q+7，
∴c＝3a+b＝33+3p++7+q＝40+q+3p，
∵校验码为8，
∴q+3p的个位数字为2，
∵p+q＝10，
∴p＝1，q＝9或p＝6，q＝4，
故两个数字从左到右分别是1，9或6，4，
故答案为：1，9或6，4．
23．（10分）阅读与思考
滴滴打车是目前国内最受欢迎的网约车平台之一，为了给用户提供便捷、安全的出行服务，滴滴打车制
定了一套收费规则：1．起步价：滴滴打车的起步价为10元，乘客预约用车、取消订单等情况都会收取
起步价．2．里程费：起步里程3公里，超过3公里的部分，将按1.5元/公里的标准收取里程费用．3．
时长费：起步时间8分钟，超过8分钟的部分，将按0.25元/分钟的标准收取时长费用．
注：车费由里程费、时长费、起步价构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时
间计算．任务：
（1）若小爱同学乘坐滴滴打车，行车里程为2.8公里，行车时间为5分钟，需付车费 1 0 元．
（2）若小爱同学乘坐滴滴打车，行车里程为a（a＞3）公里，行车时间为b（b＞8）分钟，则应付车费
多少元？（列代数式、化简）
（3）若小爱同学从家出发，乘坐滴滴打车到杭州体育馆观看亚运会，行车里程为18公里，行车时间为
20分钟，则需付车费多少元？
【分析】（1）根据行车里程没有超过3公里，行车时间没有超过8分钟，判断车费即可；
（2）先根据行车里程超过3公里得出里程费，再根据行车时间超过了8分钟得出时长费，然后根据车
费的构成解答即可；
（3）将数值代入（2）计算即可．
【解答】解：（1）小爱同学需付车费为10元．
故答案为：10；
（2）里程费为（a﹣3）×1.5元，时长费为（b﹣8）×0.25元，
所以应付车费为10+1.5（a﹣3）+0.25（b﹣8）＝10+1.5a﹣4.5+0.25b﹣2＝（3.5+1.5a+0.25b）元；
（3）当a＝18，b＝20，
3.5+1.5×18+0.25×20＝35.5．需付车费35.5元．
