文档内容
11A 正反比例函数综合
考情链接
1. 本次任务由两个部分构成
（1）待定系数法求函数解析式
（2）数形结合解决函数问题
2. 考情分析
（1）正反比例函数是函数的部分，属于函数板块，占中考考分值约20%。
（2）主要考察正反比例函数的解析式、正反比例函数的几何综合考察形式以填空题、解答
题为主。
（3）对应教材：八年级上册第十八章正反比例函数第三节。
（4）正、反比例函数是八年级数学上学期第十八章内容，主要对正、反比例函数的图像及
性质综合题型进行讲解，重点是正、反比例函数性质的灵活运用，难点是数形结合思想的应
用的归纳总结．通过这节课的学习为我们后期学习一次函数的应用提供依据。
环节 需要时间
自主任务讲解 10分钟
切片1：待定系数法求函数解析式 40分钟
切片2：数形结合解决函数问题 50分钟
出门测 10分钟
错题整理 10分钟
1知识加油站1——待定系数法求函数解析式【建议时长：40分钟】
考点一：待定系数法求解析式
知识笔记1
1. 正比例函数
（1）一般地，正比例函数___________________的图象经过（0，0），（1，k）这两点的一
条直线，我们把正比例函数y=kx的图象叫做直线y=kx．
（2）正比例函数图像的性质：
①____________________________________；自变量x的值逐渐增大时，y值也随着逐渐增
大．
②____________________________________；自变量x的值逐渐增大时，y值也随着逐渐减
小．
2. 反比例函数
（1）反比例函数的解析式：解析式形如__________________的函数叫做反比例函数，其中
k
k也叫做比例系数．反比例函数y= 的定义域是不等于零的一切实数．
x
（2）反比例函数图像的性质：
①_______________________________________________________
_________________________________________________________
②_______________________________________________________
_________________________________________________________
③图像的两支都无限接近于x轴和y轴，但不会与x轴和y轴相交．
【填空答案】
（1）y=kx（k是常数，k≠0）；
①当k>0时，正比例函数的图像经过第一、三象限；
②当k<0时，正比例函数的图像经过第二、四象限；
k
（2）y= （k是常数，k ≠0）
x
2①当k>0时，函数图像的两支分别在第一、三象限；在每个象限内，当自变量x的值逐渐增
大时，y的值随着逐渐减小；
②当k<0时，函数图像的两支分别在第二、四象限；在每个象限内，当自变量x的值逐渐增
大时，y的值随着逐渐增大；
例题1:
1
（1）（★★★☆☆）已知y与2z成反比例，比例系数为k ，z与 x成正比例，比例系数为k ，
1 2 2
k 和k 是已知数，且k ⋅k ≠0，则y关于x成________比例．（填“正”或“反”)
1 2 1 2
1
（2）（★★★☆☆）已知y与−3x成反比例，x与 成正比例，则y与z成________比例．（填
z
“正”或“反”)
（3）（★★★☆☆）（2022•青浦区东方中学期中）已知：y= y − y ，并且y 与x成正比例，
1 2 1
y 与(x−2)成反比例，且当x=−2时，y=−7，当x=3时，y=13，求：
2
①求y与x之间的函数解析式；
②求当x= 2时的函数值．
（4）（★★★☆☆）已知y=3y −2y ，且y 与x成正比例，y 与x−2成反比例，且x=1时，
1 2 1 2
y=−1；x=3时，y=13，求y与x的关系式．
【常规讲解】
（1）解：y与2z成反比例，比例系数为k ，
1
k
∴y= 1 ，
2z
1
z与 x成正比例，比例系数为k ，
2 2
1 1
∴z=k × x= k x，
2 2 2 2
k
1
k k k
∴y= 1 = 1 = 2 ，
2z 1 x
2× k x
2 2
k 和k 是已知数，且k ⋅k ≠0，
1 2 1 2
∴y关于x成反比例，
故答案为：反．
3k k
（2）解：由题意可列解析式y= 1 ，x= 2
−3x z
k
∴y=− 1 z
3k
2
∴y是z的正比例函数．
故答案为：正．
m
（3）解：①设y =kx，y = ，
1 2 x−2
m
则y=kx− ，
x−2
m
−2k+ =−7 k =3
根据题意得： 4 ，解得： ，
3k−m=13
m=−4
4
则函数解析式是：y=3x+ ；
x−2
4
②当x= 2时，y=3 2+ = 2−4．
2−2
b
（4）解：根据题意，设y =ax，y = ；
1 2 x−2
2b
又y=3y −2y ，则y=3ax− ；
1 2 x−2
3a+2b=−1
又x=1时，y=−1，x=3时，y=13，得 ，
9a−2b=13
a=1
解得 ．
b=−2
4
∴y关于x的函数解析式为：y=3x+ ．
x−2
练习1: 【学习框8】
1 1
（1）（★★★☆☆）（2022•虹口区期中（））已知x和 成正比例，y和 成反比例，则x和
y z
z成______比例．
1 1
（2）（★★★☆☆）若y与 成正比例，x与 成反比例，求证：y与z成反比例．
x z
（3）（★★★☆☆）（2022•徐汇区期末）已知y= y + y ，y 与x成正比例，y 与x成反比例，
1 2 1 2
4且当x=−1时，y=−4；当x=3时，y=4．
①求y关于x的函数解析式；
②当x=−2时，求y的值．
（4）（★★★☆☆）已知y= y + y ，y 与x2成正比例，y 与x−2成正比例．
1 2 1 2
①当x=1时，y=5；当x=−1时，y=11，求y与x之间的函数表达式
②并求当x=2时y的值．
【常规讲解】
k k k
（1）解：由题意可列解析式y= 1 ，x= 2 ∴x= 2
1 y k z
1
z
∴x是z的反比例函数．
故答案是：反．
1 1
（2）证明：y与 成正比例，x与 成反比例，
x z
1 a
∴设y=k⋅ (k为常数，k ≠0)，x= (a为常数，a≠0)，
x 1
z
k
∴y= ，x=az，
x
k
∴y= ，
az
k
a
即y= ，
z
k 为常数，k ≠0，a为常数，a≠0，
k k
∴ 为常数且 ≠0，
a a
∴y与z成反比例．
n
（3）解：①设y =mx，y = ，
1 2 x
n
则y=mx+ ，
x
−m−n=−4
m=1
根据题意得 n ，解得 ．
3m+ =4 n=3
3
53
所以y与x的函数表达式为y=x+ ．
x
3 7
②把x=−2代入得，y=−2+ =− ．
−2 2
（4）解：①设y =kx2，y =a(x−2)，
1 2
则y=kx2 +a(x−2)，
k−a=5
把x=1，y=5和x=−1，y=11代入得： ，
k−3a=11
解得k =2，a=−3，
∴y与x之间的函数表达式是y=2x2 −3(x−2)，
②把x=2代入得：y=2×22 −3×(2−2)=8．
考点二：正反比例函数交点
例题2:
3
（1）（★★★☆☆）函数y=2x与y= 的图像的交点坐标是_______________.
x
k−1
（2）（★★★☆☆）已知直线y=2mx与双曲线y= 的一个交点A的坐标为(−1，−2)，
x
则m+k=________；它们的另一个交点坐标是___________．
（3）（★★★☆☆）若正比例函数和反比例函数的图像经过点A（-2，1）和点B(3a−1，b+2)，
则b2a的值为 ___________．
m−1
（4）（★★★☆☆）已知正比例函数y =(k+1)x与反比例函数y = 交于A、B两点，且
1 2 x
点A的横坐标是-1，点B的纵坐标是2，求这两个函数的解析式．
（5）（★★★☆☆）给出下列命题；
1
命题1：直线y=x与双曲线y= 有一个交点是(1,1)
x
2
命题2：直线y=2x与双曲线y= 有一个交点是(1,2)；
x
63
命题3：直线y=3x与双曲线y= 有一个交点是(1,3)；
x
4
命题4：直线y=4x与双曲线y= 有一个交点是(1,4)；
x
…
①请你阅读、观察上面命题，猜想出命题n(n为正整数）；
②请验证你猜想的命题n是正确的．
【常规讲解】
3 6 6
（1）令2x= ，解得x = ，x =− ，对应函数值分别为y = 6，y =− 6 ， 即
x 1 2 2 2 1 2
6 6
两函数图像交点坐标为 ，6和− ，− 6；
2 2
k−1
（2）y=2mx和y= 过点A(−1，−2)，则有−2m=−2，1−k =−2，解得：m=1，k =3，
x
则m+k =4，正比例函数和反比例函数两交点坐标关于原点对称，
可知另一交点坐标为(1，2)．
（3）正比例函数和反比例函数两交点坐标关于原点中心对称，即B(2，−1)，
3a−1=2 a=1
即得： ，解得： ，则b2a =(−3)2 =9．
b+2=−1 b=−3
（4）正反比例函数两交点关于原点中心对称，由此可知A(−1，−2)，B(1，2)，两函数
k+1=2 2
过点B(1，2)，则有 ，即两函数解析式分别为y=2x和y= ．
m−1=2 x
（5）解：①通过观察可得，
n
命题n：直线y=nx与双曲线y= 有一个交点是(1,n)；
x
②把点x=1分别代入两个函数解析式得
n n
y=nx=n⋅1=n，y= = =n，
x 1
n
可得点(1,n)都在直线y=nx上与双曲线y= 上，
x
n
即直线y=nx与双曲线y= 有一个交点是(1,n)是真命题．
x
7练习2: 【学习框10】
（1）（★★★☆☆）（2022•宝山区行知中学期中）如图，正比例函数y=kx(k ≠0)与反比例函
2
数y=− 的图象交于点A(−1,m)和点B，求k的值和点B的坐标．
x
3 k
（2）（★★★☆☆）（2022•宝山区期末）正比例函数y= x的图象与反比例函数y= (k ≠0)
2 x
的图象都经过点A(a,3)，求点A的坐标和反比例函数的解析式；
k
（3）（★★★☆☆）已知反比例函数y = 1 和正比例函数y =k x的图像交于点（2，3），
1 x 2 2
①求这两个函数解析式；
②判断点（1，6）是否在反比例函数的图像上；
③求两个函数图像的另一个交点．
（4）（★★★☆☆）给出下列命题：
−1
命题1：点(1,−1)是直线y=−x与双曲线y= 的一个交点；
x
−2
命题2：点(1,−2)是直线y=−2x与双曲线y= 的一个交点；
x
−3
命题3：点(1,−3)是直线y=−3x与双曲线y= 的一个交点；
x
−4
命题4：点(1,−4)是直线y=−4x与双曲线y= 的一个交点；
x
…
①请观察上面命题，写出命题5．
②试写出命题n．
【常规讲解】
2
（1）解：由题意，得m=− =2，
−1
8∴A(−1,2)；
又2=−k ，
∴k =−2，
∴y=−2x；
y=−2x
∴ 2 ，
y=−
x
x =1 x =−1
解得 1 ， 2 ，
y =−2 y =2
1 2
∴B(1,−2)．
3 3
（2）解：①把A(a,3)的坐标代入y= x，即3= a，
2 2
解得a=2，
∴A(2,3)，
k
又点A(2,3)是反比例函数y= 的图象上，
x
∴k =3×2−6，
6
∴反比例函数的关系式为y= ；
x
k 3
（3）①因为正、反比例函数交于点（2，3），则有 1 =3，2k =3，解得：k =6，k = ，
2 2 1 2 2
6 3
即得两个函数解析式分别为y= 和y= x；
x 2
②由1×6=6，可知点（1，6）在反比例函数图像上；
③正反比例函数图像两交点坐标关于原点中心对称，可知另一交点坐标为(−2，−3)．
−5
（4）解：①命题5：点(1,−5)是直线y=−5x与双曲线y= 的一个交点．
x
−n
②解：命题n：点(1,−n)是直线y=−nx与y= 的一个交点．
x
考点三：正反比例函数图像综合
例题3:
9（1）（★★★☆☆）已知正比例函数y＝kx（k≠0），y的值随x的值的增大而减小，那么它和
反比例函数y＝﹣ （k≠0）在同一直角坐标平面内的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
k
（2）（★★★☆☆）已知正比例函数y=kx和反比例函数y=− 在同一坐标系内的大致图象
x
是( )
A．（1）或（3） B．（1）或（4） C．（2）或（3） D．（3）或（4）．
【常规讲解】
（1）解：∵函数y＝kx（k≠0）中y随x的增大而减小，
∴k＜0，该函数图象经过第二，四象限；
∴函数y＝﹣ 的图象经过第一、三象限；
故选：C．
（2）
k
解：（1）、函数y=kx中，k <0，函数y=− 中，k <0；正确；
x
k
（2）、函数y=kx中，k <0，函数y=− ，k >0；错误；
x
k
（3）、函数y=kx中，k >0，函数y=− 中，k <0；错误；
x
10k
（4）、函数y=kx中，k >0，函数y=− 中，k >0；正确．
x
故选：B．
练习3: 【学习框12】
（1）（★★★☆☆）已知正比例函数 y＝ 中，y 的值随 x 的值的增大而增大，那么它和反比
例函数y＝ 在同一平面直角坐标系内的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
k
（2）（★★★☆☆）（2022•嘉定区期中）函数y=k x和y= 2 (kk <0且k 0，
1 2
∴正比例函数y=k x的图象在第二四象限，
1
k
反比例函数y= 2 的图象在第一三象限，
x
故选：C．
12知识加油站2——数形结合解决函数问题【建议时长：50分钟】
考点四：数形结合解决函数问题
知识笔记2
1.与平行、面积结合
正反比例函数数作为综合题时，多与几何问题结合去考察的题型，常见问题有：距离问题、
面积问题（已知面积求点坐标或解析式、已知点坐标求面积）等.
2.与实际问题结合
将实际问题反映到正反比例函数图像上，关键是要读懂函数图像的含义。
例题4:
（1）（★★★☆☆）（2022•长宁区第三女子中学期中）如图，已知正比例函数图象经过点A(2,3)、
B(m,6)．
①求正比例函数的解析式及m的值；
②分别过点A与点B作y轴的平行线，与反比例函数在第一象限内的分支分别交于点C、
D（点C、D均在点A、B下方），若BD=5AC，求反比例函数的解析式；
③求∆OCD的面积．
（2）（★★★★☆）（2022•嘉定区期中）如图，已知正比例函数y=k x的图象与反比例函数
1
k
y= 2 的图象都经过点P(2,3)，点D是正比例函数图象上的一点，过点D作y轴的垂线，
x
13垂足为Q，DQ交反比例函数的图象于点A，过点A作x轴的垂线，垂足为B，AB交正比
例函数的图象于点E．
①求正比例函数解析式、反比例函数解析式．
②当点D的纵坐标为9时，求∆AEP的面积．
③在②的条件下，若直线OD上存在一点M，点M的横坐标为m，∆AEM 的面积为S ，直
接写出S 关于m的解析式，并写出定义域．
【常规讲解】
（1）解：①设正比例函数的解析式为y=kx，
正比例函数图象经过点A(2,3)，
∴3=2k，
3
∴k = ，
2
3
∴比例函数的解析式为y= x；
2
3
把B(m,6)代入解析式得，6= m，
2
解得m=4；
②AC//BD//y轴，
∴C点的横坐标为2，D点的横坐标为4，
k′ k′ k′
设反比例函数的解析式为y= ，分别代入得y = ，y = ，
x C 2 D 4
k′ k′
∴AC=3− ，BD=6− ，
2 4
BD=5AC，，
k′ k′
∴6− =5(3− )，
4 2
解得k′=4，
144
∴反比例函数的解析式为 y = ；
x
4
③ 反比例函数的解析式为 y = ，
x
∴C(2,2)，D(4,1)，
延长AC，交 x轴于M，延长BD，交 x轴于N，
AC//BD//y轴，
1
∴S =S = ×4=2，
∆COM ∆DON
2
1
∴S =S +S −S =S = ×(2+1)×(4−2)=3．
∆COD ∆COM 梯形CMND ∆DON 梯形CMND
2
3
（2）解：①把P(2,3)代入 y =k x得3=2k ，解得k = ，
1 1 1 2
3
∴正比例函数解析式为y= x，
2
k k
把P(2,3)代入y= 2 得，3= 2 ，解得k =6，
x 2 2
6
∴反比例函数解析式为 y = ；
x
6 6 2
②把y=9代入 y = ，得9= ，解得x= ，
x x 3
2
∴A( ，9)，
3
2 3 3 2
把x= 代入y= x，得y= × =1，
3 2 2 3
2
∴E( ，1)，
3
1 2 1 4 16
∴∆AEP的面积= ⋅(2− )⋅AE= × ×(9−1)= ；
2 3 2 3 3
2 2
③由②知：A( ，9)，E( ，1)，
3 3
∴AE=9−1=8，
分两种情况：
152
i：当m> 时，如图1，
3
1 2 8 2 8
∴S = ⋅AE⋅(m− )= (m− )=4m− ；
2 3 2 3 3
2
ii：当m< 时，如图2，
3
1 2 8 2 8
∴S = ⋅AE⋅( −m)= ( −m)= −4m；
2 3 2 3 3
8 2
4m− (m> )
3 3
综上，S 关于m的解析式为：S = ．
8 2
−4m(m< )
3 3
练习4: 【学习框14】
4
（1）（★★★★☆）已知反比例函数 y = 与正比例函数相交于点A，点A的坐标是(1,m)．
x
①求此正比例函数解析式；
161 4
②若正比例函数y= x与反比例函数 y = 的图象在第一象限内相交于点B，过点A和点
4 x
B分别作 x轴的垂线，分别交 x轴于点C和点D，AC和OB相交于点P，求梯形PCDB
的面积；
③连接AB，求∆AOB的面积．
4 k
（2）（★★★★☆）已知直线y= x与双曲线 y = 交于A、B两点，且点A的纵坐标为4，
3 x
第一象限的双曲线上有一点P，过点P作PQ//x轴交直线AB于点Q，点A到PQ的距离
为2．
①直接写出k 的值及点B的坐标；
②求线段PQ的长；
k
③如果在双曲线 y = 上一点M，且满足 ∆PQM 的面积为9，求点M的坐标．
x
【常规讲解】
4
（1）①解： 反比例函数 y = 过点A(1,m)，
x
∴m=4，即A(1,4)，
把A(1,4)代入正比例函数y=kx得：k
=4，
即正比例函数解析式为y=4x；
②解：如图，
171 4
联立得： x= ，解得：x=±4，
4 x
点B在一象限，
∴B(4,1)，
过点A和点B分别做 x轴的垂线，分别交 x轴于点C和点D，
∴C(1,0)，D(4,0)，
1 1
对于y= x，当x=1时， y = ，
4 4
1
∴点P(1, )，
4
1
∴ PC = ，BD=1，CD=3，
4
1 1 1 15
∴S = (PC+BD)⋅CD= × +1×3= ，
梯形PCDB
2 2 4 8
4
③解： 点A和点B在反比例函数 y = 图象上，
x
∴S =S ，
∆AOC ∆OBD
S =S +S −S ，
∆AOB ∆AOC 梯形ACDB ∆OBD
1 1 15
∴S =S = (AC+BD)⋅CD= ×(1+4)×3= ．
∆AOB 梯形ACBD
2 2 2
4
（2）解：①A在直线y= x上，且A的纵坐标为4，
3
∴A坐标为(3,4)，
k
代入 y = ，可得k =3×4=12，
x
18又 A、B关于原点对称，
∴点B的坐标为(−3,−4)．
② 点A到PQ的距离为2，
∴P的纵坐标为2或6，
12
点P在双曲线y= 上，
x
∴代入 y =2，可得点P的坐标为(6,2)，代入 y =6，可得点P的坐标为(2,6)，
PQ//x轴，且点Q在直线AB上，
4 3
把 y =2代入y= x，得点Q的坐标为( ，2)，
3 2
4 9
把 y =6代入y= x，得点Q的坐标为( ，6)，
3 2
9 5
∴PQ= 或 ．
2 2
9
③i：当PQ= 时，
2
∆PQM
的面积为9，
∴M 到PQ的距离为4，
∴M 的纵坐标为6或−2，
12
把y=6代入y= 得x=2，
x
12
把y=−2代入y= 得x=−6，
x
∴M 的坐标为(2,6)或(−6,−2)；
5
ii：当PQ= 时，
2
∆PQM 的面积为9，
36
∴M 到PQ的距离为 ，
5
66 6
∴M 的纵坐标为 或− ，
5 5
66 12 10
把y= 代入y= 得x= ，
5 x 11
6 12
把y=− 代入y= 得x=−10，
5 x
1910 66 6
∴M 的坐标为( ， )或(−10,− )；
11 5 5
10 66 6
综上所述：点M 的坐标为(2,6)或(−6,−2)或( ， )或(−10,− )．
11 5 5
考点五：函数的实际应用
例题5:
（★★★☆☆）为了预防流行性感冒，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒．已知药物燃烧
时室内每立方米空气中的含药量y毫克）与时间x（分钟）成正比例；药物燃烧后，y与x
成反比例（如图所示）．请根据图中提供的信息，常规讲解下列问题：
（1）药物燃烧后y与x的函数关系式为________________________.
（2）当空气中每立方米的含药量低于 1.6 毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少
需要经过几分钟后，学生才能回到教室；
（3）当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭
空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？
【常规讲解】
解：（1）药物燃烧完毕后，y与x成反比例
k
∴设y= 1 ，
x
k
(8,6)在y= 1 上，
x
∴k =6×8=48；
1
48
∴y= ；
x
48
故答案为：y= ；
x
48
（2）把y=1.6代入y= ，
x
20得x=30
故学生至少经过30分钟才可以进课室；
（3）设药物燃烧时y关于x的函数关系式为y=k x(k >0)代入(8,6)为6=8k
2 2 2
3
∴k = ，
2 4
3
∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为y= x(0剟x 8)
4
3
把y=3代入y= x，得：x=4
4
48
把y=3代入y= ，得：x=16
x
16−4=12
所以这次消毒是有效的．
练习5: 【学习框16】
（★★★☆☆）驾驶员血液中每毫升的酒精含量大于或等于 200 微克即为酒驾，某研究所经
实验测得：成人饮用某品牌38度白酒后血液中酒精浓度y（微克/毫升）与饮酒时间x（小
时）之间函数关系如图所示（当4剟x 10时，y与x成反比例）．
（1）根据图象分别求出血液中酒精浓度上升和下降阶段y与x之间的函数表达式．
（2）问血液中酒精浓度不低于200微克/毫升的持续时间是多少小时？
【常规讲解】
解：（1）当0剟x 4时，设直线解析式为：y=kx，将(4,400)代入得：400=4k，
解得：k =100，故直线解析式为：y=100x，
a a
当4剟x 10时，设反比例函数解析式为：y= ，将(4,400)代入得：400= ，
x 4
1600
解得：a=1600，故反比例函数解析式为：y= ；
x
因此血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为y=100x(0剟x 4)，
1600
下降阶段的函数关系式为y= (4剟x 10)．
x
21（2）当y=200，则200=100x，
解得：x=2，
1600
当y=200，则200= ，
x
解得：x=8，
8−2=6（小时），
∴血液中药物浓度不低于200微克/毫升的持续时间6小时．
22全真战场
教师可以根据课堂节奏将“全真战场”作为课堂补．充．练习或课后补．充．练习让学生的完成
关卡一
练习1:
2−m
（★★☆☆☆）函数y= 的图象与直线y= x没有交点，那么m的取值范围是_________．
x
【常规讲解】
2−m
解：函数y= 的图象与直线y= x没有交点，
x
2−m
∴方程 = x无解，
x
方程整理得，x2 +m−2=0，
∴△=0−4(m−2)<0，
解得m>2．
故答案为：m>2．
练习2:
k+1
（★★★☆☆）正比例函数y=(k−1)x和反比例函数y= 的图像都经过横坐标为 2 的点
x
P，求这两个函数的解析式和点P的坐标．
【常规讲解】
k+1
正比例函数y=(k−1)x和反比例函数y= 都过点 P，即在 P 点两函数对应函数值相等，
x
k+1 5 2
则有2(k−1)= ，解得k = ，由此即可得正比例函数解析式为y= x，反比例函数解析
2 3 3
8 2 2 4 4
式为y= ，令x=2，则有y= x= ×2= ，即P2， ．
3x 3 3 3 3
练习3:
4
（★★★☆☆）已知反比例函数y= 的图像过点A（2，n）．
x
（1）求过点A的正比例函数的解析式；
（2）画出正比例函数图像；
23（3）求过点A关于y轴对称的点B的反比例函数的解析式．
【常规讲解】
4 4
（1）反比例函数y= 过点A（2，n），即有 =n，解得n=2，设过点 A 的正比例函数
x 2
解析式为y=kx，则有2k =2，解得k =1，即正比例函数解析式为y=x；
（2）如图；
a
（3）A(2，2) ，点A关于y轴的对称点B坐标为B(−2，2) ，设该反比例函数解析式为y= ，
x
a 4
则有 =2，解得：a=−4，即对应反比例函数解析式为y=− ．
−2 x
练习4:
k
（★★★☆☆）（2022•普陀区期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y= (k ≠0)
x
的图象与正比例函数y=2x的图象的交点A在第一象限，点A的纵坐标比横坐标大1．
（1）求点A的坐标和反比例函数的解析式；
（2）点P在射线OA上，过点P作x轴的垂线交双曲线于点B．如果点B的纵坐标为 1，
求∆PAB的面积．
24【常规讲解】
解：（1）设点A的横坐标为m，则点A的纵坐标为m+1，
点 A在正比例函数y=2x上，
∴2m=m+1，
解得m=1．
∴A(1,2)．
k
点 A在反比例函数y= 上，
x
∴k =1×2=2．
2
∴反比例函数的解析式为：y= ．
x
2
（2）点B在反比例函数y= 的图象上，且点B的纵坐标为1
x
∴B(2,1)，
∴P(2,4)．
∴PB=3．
1 3
∴S = ×3×1= ．
∆PAB 2 2
关卡二
练习5:
k
（★★★★☆）如图，正比例函数y=3x的图象与反比例函数 y= (k >0)的图象交于点 A，
x
若k取1，2，3…20，对应的Rt∆AOB的面积分别为S ，S ，…，S ，则S +S +…+S =
1 2 20 1 2 20
_____．
【常规讲解】
25k
解：根据正比例函数y=3x的图象与反比例函数y= (k >0)的图象交于点A，
x
k
∴x2 = ，
3
1 K
∴S = ×3× ，
K 2 3
1 1 1 2 1 20 1
∴S +S +…+S = ×3× + ×3× +…+ ×3× = (1+2+3+…+20)
1 2 20 2 3 2 3 2 3 2
210
= =105，
2
故答案为：105．
练习6:
（★★★★☆）在平面直角坐标系xOy中，直线y=−x绕点O顺时针旋转90°得到直线l，直
k
线l与反比例函数y= 的图象的一个交点为A(a,3)，试确定反比例函数的解析式．
x
【常规讲解】
解：依题意得，直线l的解析式为y= x．
因为A(a,3)在直线y= x上，
则a=3．
即A(3,3)．
k
又因为A(3,3)在y= 的图象上，
x
可求得k =9，
9
所以反比例函数的解析式为y= ．
x
练习7:
6 3
（★★★★☆）已知在直角坐标平面内有双曲线y= ，另有∆ABC ，其中点 A、B、C
x
3 6 3 6
的坐标分别是A(−2 2， )，B(−2 2，0)，C(0, )．
2 2
（1）如果将∆ABC沿x轴翻折后得到对应的△ABC（其中点A、B、C的对应点分别是
1 1 1
6 3
点A、B 、C )，问：△ABC 的三个顶点中，有无在双曲线y= 上的点？若有，写出
1 1 1 1 1 1
x
这个点的坐标．
266 3
（2）如果将∆ABC沿x轴正方向平移a个单位后，使∆ABC 的一个顶点落在双曲线y=
x
上，请直接写出a的值．
（3）如果∆ABC 关于原点O的对称的三角形△A B C （其中点 A、B、C的对应点分别
2 2 2
是点A 、B 、C )，请写出经过点A、A 的直线所表示的函数解析式．
2 2 2 2
【常规讲解】
3 6
解：（1）根据关于x轴对称的点的坐标特点，可得A的坐标为(−2 2 ，− )，B 的坐标
1 1
2
3 6
为(−2 2 ，0)，C 的坐标为(0,− )，
1
2
6 3 3 6
将三点代入双曲线 y= ，只有点 A ，符合解析式，此时左边 =− ，右边
1
x 2
6 3 3 6
= =− ，左边=右边．
−2 2 2
3 6
故有在双曲线上的点，这个点是A，它的坐标为(−2 2 ，− )；
1
2
3 6
（2）①平移后点A的对应点在双曲线上，此时点A的对应点的坐标为(−2 2+a， )，
2
3 6 6 3
代入解析式得： = ，
2 −2 2+a
解得：a=4 2 ；
3 6
②平移后点C的对应点在双曲线上，此时点A的对应点的坐标为(a, )，
2
3 6 6 3
代入解析式得： = ，
2 a
解得：a=2 2 ；
综上可得a=2 2 或a=4 2 ；
3 6 3 6
（3）点A(−2 2， )关于原点对称的点A 的坐标为(2 2，− )，
2
2 2
3 6
−2 2k+b=
2
设过点A、A 的直线解析式为y=kx+b，则 ，
2
3 6
2 2k+b=−
2
27 3 3
a=−
解得： 4 ，
b=0
3 3
故直线AA 的解析式是y=− x．
2
4
28
