文档内容
12A 函数的表示法
考情链接
1. 本次任务由三个部分构成
（1）解析法
（2）列表法
（3）图像法
2. 考情分析
（1）函数表示法是函数的部分，属于函数与分析板块，占中考考分值约20%
（2）主要考察函数的表示法的解析法、列表法、图像法以填空题、解答题为主。
（3）对应教材：八年级上册第十八章函数第三节函数的表示法。
（4）函数的表示法是八年级数学上学期第十八章内容，主要对函数的三个表示法进行讲解，
重点是实际问题的函数表示法，难点是数形结合思想的应用的归纳总结．通过这节课的学习
为我们后期学习函数的应用提供依据。
1知识加油站 1——解析法
考点一：函数解析式与实际问题的结合应用
知识笔记1
解析法
1．用等式来___________________________________，这个等式称为__________（或函数关
系式）．简单明了，能从解析式了解函数与自变量之间的关系，便于理论上的分析与研究，
但求对应值时需要逐个计算，且有的函数无法用解析式表示．
2．对函数的关系式（即解析式）的理解：
（1）函数关系式是_______．例如y=4x就是一个函数关系式．
（2）函数关系式中指明了那个是自变量，哪个是函数．
通常等式右边代数式中的变量是自变量，等式左边的一个字母表示函数．例如：y= 2x−4
中x是自变量， y 是x的函数．
（3）函数关系式________________________．
1− y
例如：y=−3x+1是表示 y 是x的函数，若写成x= 就表示x是 y 的函数．求 y 与x的函
3
数关系时，必须是只用变量x的代数式表示 y ，得到的等式右边只含x的代数式．
例题1:
（1）（2022•杨浦区期末）已知某等腰三角形的周长为 36，腰长为x，底边长为y，那么y
关于x的函数关系式及定义域是( )
36− y
A．x= (9 y18) B．y=36−2x(0 x18)
2
36−x
C．y= (0 y18) D．y=36−2x(9 x18)
2
（2）（2022•徐汇区期末）反比例函数在第二象限内的图象上有一点A，过A作AB⊥ x轴于
点 B ， 联 结 OA ， 已 知 OAB 的 面 积 为 4 ． 则 反 比 例 函 数 的 解 析 式 为
_________________________.
2练习1:
（1）若等腰三角形的周长为10cm，则底边长y(cm)与腰长x(cm)间的函数关系式及自变量
的取值范围正确的是( )
A．y=2x(0 x5) B．y=10−2x(2.5 x5)
C．y=10−2x(0x5) D．y=2x(2.5x5)
（2）在描述某一个反比例函数的性质时，甲同学说：“从这个反比例函数图象上任意一点向
x轴、y轴作垂线，与两坐标轴所围成的长方形的面积为2022．”乙同学说：“这个反比例函
数在同一个象限内，y的值随着x的值增大而增大．”根据这两位同学所描述，此反比例函数
的解析式是_________________________.
例题2:
（1）若点P（x，y）在第二、四象限的角平分线上，则用变量x来表示变量y的函数解析式
为_______________．
（2）人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体时是动态
的，车速增加，视野变窄，当车速为50km/h时，视野为 80 度．如果视野 f （单位：度）
是车速v（单位：km/h)的反比例函数．
①求 f ，v之间的关系式；
②计算当车速为100km/h时视野的度数．
③若在某弯道行车时，由于环境的影响，视野的度数至少是100度，车速最多是多少km/h？
请给出直观解释．
3练习2:
一司机驾驶汽车从甲地去乙地，以80千米／小时的平均速度用6小时到达目的地．
（1）当他按原路匀速返回时，求汽车速度v（千米／小时）与时间t（小时）之间的函数关
系式；
（2）如果该司机匀速返回时，用了4.8小时，求返回的速度．
考点二：函数解析式
例题3:
（1）将关系式 3x+4y=12 改写成 y= f(x) 的形式：_________.
2y+1
（2）（2022•浦东新区校级期中）已知x与 y 的关系是x= ．
y−1
①把它改写成y= f(x)的形式；
②求 f( 3)．
③当 f(x)= 2 时，求x的值．
4练习3:
3x+5
（1）已知x与y有如下关系x= ．
y−2
①把它改成y= f(x)的形式；
②求 f( 2)的值．
y−1
（2）已知函数x= ．
y+1
①写成y= f(x)的形式；
②写出函数的定义域；
③求 f( 2)的值．
5知识加油站 2——列表法
考点二：列表法表示函数关系
知识笔记2
列表法
用______________来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法；从表格中直接找到自
变量对应的函数值，查找方便，但无法将自变量与函数值的全部对应值都列出来，且难以看
出规律．
例题4:
（1）一位学生在乘坐磁悬浮列车从龙阳路站到上海浦东国际机场途中，记录了列车运行速
度的变化情况，如下表：
时间t（分） 0 1 1.5 2 3 4 5 5.5 6 7 8
速度v（千米/时） 0 146 217 300 300 300 300 300 281 121 0
根据表中提供的信息回答下列问题：
①在哪一段时间内列车的速度逐渐加快？
②在哪一段时间内列车是匀速行驶的？在这一段时间内列车走了多少路程？
③在哪一段时间内列车的速度逐渐减慢？
6（2）行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这
段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过140km/h)，对这种
型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表：
刹车时车速
0 10 20 30 40 50
(km/h)
刹车距离(m) 0 2.5 5 7.5 10 12.5
①自变量是____________________，因变量是____________________．
②当刹车时车速为40km/h时，刹车距离是____________m．
③该种型号汽车的刹车距离用 y(m)表示，刹车时车速用x(km/h)表示，根据上表反映的规
律写出y与x之间的关系式．
④你能否估计一下，该种车型的汽车在车速为110km/h的行驶过程中，前面有一汽车遇紧
急情况急刹并停在距该车31m的地方，司机亦立即刹车，该汽车会不会和前车追尾？请你说
明理由．
（3）2022 年 3 月 23 日，“天宫课堂”第二课在中国空间站正式开讲，航天员王亚平、叶光
富、翟志刚为学生们上了一堂豪华的太空课，引发了学生了解科学知识的新热潮．八（1）
班社团通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系：
气温t/ C 0 5 10 15 20
声音在空气中
的传播速度 331 334 337 340 343
v/(m/s)
①在这个变化过程中，____________________是自变量，____________________是因变量．
②从表中数据可知，气温每升高1C，声音在空气中传播的速度就提高___________m/s．
③ 声 音 在 空 气 中 的 传 播 速 度 v(m/s) 与 气 温 t(C) 的 关 系 式 可 以 表 示 为
____________________．
④某日的气温为22C，小乐看到烟花燃放5s后才听到声响，那么小乐与燃放烟花所在地大
约相距多远？
7练习4:
（1）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据
温度/C −20 −10 0 10 20 30
声速/m/s 318 324 330 336 342 348
下列说法错误的是( )
A．这个问题中，空气温度和声速都是变量
B．空气温度每降低10C，声速减少6m/s
C．当空气温度为20C时，声音5s可以传播1710m
D．由数据可以推测，在一定范围内，空气温度越高，声速越快
（2）一种豆子每千克售2元，豆子的总售价y（元)与所售豆子的质量x（千克）之间的关
系如下表：
售出豆子质量x（千克） 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 5
总售价y（元) 0 1 2 3 4 5 6 10
①在这个表格中反映的是哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
②当豆子售出5千克时，总售价是多少？
③按表中给出的关系，用一个式子把x与y之间的关系表示出来．
④当豆子售出20千克时，总售价是多少？
8（3）蜡烛厂为了解某批次蜡烛燃烧情况，进行了实验．点燃一根该批次蜡烛，蜡烛的高度
h(cm)与燃烧的时间r(min)之间的关系如下表：
燃烧的时间
0 2 4 6
(min)
蜡烛的高度
20 19 18 17
h(cm)
①上表反映了哪两个变量之间的关系？自变量、因变量各是社么？
②蜡烛的高度h(cm)与燃烧的时间(min)之间的关系式是什么？
③若一根该批次蜡烛燃烧了26分钟，则此时这根蜡烛的高度是多少？
④若一根该批次蜡烛的高度为8厘米，则此时这根蜡烛已经燃烧的时间是多少？
9知识加油站 3——图像法
考点三：函数图像表示变量关系
知识笔记3
图像法
图像法：用_______来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法；函数与自变量的对
应关系、函数的变化情况及趋势能够很直观地显示出来，但从图像上找自变量与函数的对应
值一般只能是近似的，且只能反映出变量间关系的一部分而不是全体．
例题5:
某工厂购买的原材料的单价从今年开始进行了调整，如图，l 、l 分别表示该工厂去年和今
1 2
年采购原材料的价格y（万元）与数量x（吨)之间的关系，y与x成正比例，请根据图象提
供的信息回答下列问题：
（1）该厂去年采购原材料的价格y关于数量x的函数解析式是______________________.
（2）如果今年该工厂购买100吨的原材料，那么要花费_______元；
（3）今年该工厂预计用 600 万元购买原材料，那么今年所采购的原材料的数量比去年少
_______吨．
10练习5:
（2021•普陀区期末）甲、乙两车分别从 A地将一批物资运往B地，两车离A地的距离s（千
米）与其相关的时间t（小时）变化的图象如图所示．读图后填空：
（1） A地与B地之间的距离是_______千米；
（2）甲车由A地前往B地时所对应的s与t的函数解析式是_____________________.
（3）甲车出发_______小时后被乙车追上；
（4）甲车由A地前往B地比乙车由A地前往B地多用了_______小时．
例题6:
（1）（2022•徐汇区期末）据医学研究，使用某种抗生素可治疗心肌炎，某一患者按规定剂
量服用这种抗生素，已知刚服用该抗生素后，血液中的含药量y（微克）与服用的时间x成
正比例药物浓度达到最高后，血液中的含药量y（微克）与服用的时间x成反比例，根据图
中所提供的信息，回答下列问题：
①抗生素服用_______小时时，血液中药物浓度最大，每毫升血液的含药量有_______微克；
②根据图象求出药物浓度达到最高值之后，y与x之间的函数解析式及定义域；
③求出该患者服用该药物10小时时每毫升血液的含药量y．
11（2）在全民健身环城越野赛中，甲乙两选手的行程y（千米），随时间x（小时）变化的图
象（全程）如图所示．
①甲选手跑到8千米时，用了_______小时．起跑_______小时后，甲乙两人相遇；
②乙选手在0 x 2的时段内，y与x之间的函数关系式是_______.
③甲选手经过1.5小时后，距离起点的有_______千米．
练习6:
（1）（2022•青浦区世界外国语学校期末）接种疫苗是预防控制传染病最有效的手段．甲、
乙两地分别对本地各40万人接种新冠病毒疫苗．甲地在前期完成5万人员接种后，甲、乙
两地同时以相同速度接种．甲地经过a天接种后，由于情况变化，接种速度放缓．图中的折
线BCD和线段OA分别反映了甲、乙两地的接种人数y（万人）与接种时间x（天)之间的
函数关系．根据图象所提供的信息回答下列问题：
①乙地比甲地提前了_______天完成疫苗接种工作；
②试写出乙地接种人数y （万人）与接种时间x（天)之间的函数解析式______________.
2
③当甲地放缓接种速度后，每天可接种_______万人．
12（2）（2022•杨浦区期末）在全民健身环城越野赛中，甲乙两位选手都完成了比赛，甲的行
程S（千米）随时间t（小时）变化的图象（全程）如图所示；乙的行程S（千米）随时间t
（小时）的函数解析式为S =10t(0 t 2)．
①在图中画出乙的行程S（千米）随时间t（小时）的函数图象；
②环城越野赛的全程是_______千米；
③甲前0.5小时的速度是_______千米/小时；
④甲和乙出发1小时后相遇，相遇时甲的速度是_______千米/小时．
13全真战场
关卡一
练习1:
研究发现，学生对概念的接受能力 y 与提出概念所用的时间x（分钟）之间有如下关系：
提出概念所用的
2 5 7 10 12 13 14 17 20
时间x（分钟）
对概念的接受能
47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55
y
力
根据以上信息，回答下列问题：
（1）当提出概念所用的时间为10分钟时，学生的接受能力约是多少？
（2）当提出概念所用的时间为多少分钟时，学生的接受能力最强？
（3）当2 x13时，学生的接受能力随提出概念的时间增加而怎么样发生变化？当
13 x20时，学生的接受能力随提出概念的时间增加而怎么样发生变化？
练习2:
收割机的油箱里盛油65kg ，使用时，平均每小时耗油6kg
（1）如果收割机工作了4小时，那么油箱还剩多少千克的油？
（2）如果油箱里用掉36千克油，那么使用收割机工作的时间为多少小时？
（3）写出油箱里剩下的油 y 与使用收割机时间t之间的函数关系式？
（4）在此函数关系式中，求函数定义域．
14练习3:
（2021•浦东新区期末）初二年级小王同学坚持环保理念，每天骑自行车上学，学校离家3000
米．某天，小王上学途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，还是按时赶
到了学校、如图描述的是他离家的距离和离家的时间t 之间的函数图象，根据图象解决下列
问题：
（1）修车时间为_______分钟；
（2）到达学校时共用时间_______分钟；
（3）小王从离家时到自行车发生故障时，离家的距离S和离家的时间t 之间的函数关系式为
_____________________，定义域为______________；
（4）自行车故障排除后他的平均速度是每分钟___________米．
练习4:
（2021•奉贤区钱桥学校期末）甲和乙上山游玩，甲步行，乙乘坐缆车，相约在山顶缆车的
终点会合．已知甲步行的路程是缆车所经线路长的 2.5 倍，乙在甲出发后 50 分钟才坐上缆
车，缆车的平均速度为每分钟120米．图中的折线反映了甲行走的路程y（米)与时间x（分
钟）之间的函数关系．
（1）甲行走的总路程是_______，他途中休息了_______分钟；
（2）当0 x 30时，y与x的函数关系式是____________________________；
（3）甲休息之后行走的速度是每分钟_______；
（4）当乙到达缆车终点时，甲离缆车终点的路程_______米．
15关卡二
练习5:
如图，在正方形ABCD中，AB=3厘米，点M 是AB的中点，动点N 自点 A出发沿折线
AD−DC−CB以每秒3厘米的速度运动．设AMN的面积为y（厘米2)，运动时间为x（秒
)，则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是( )
A． B．
C． D．
练习6:
如图，在直角梯形ABCD中，DC //AB，A=90，AB=28cm，DC =24cm，AD=4cm，
点M 从点D出发，以1cm/s的速度向点C 运动，点N 从点B同时出发，以2cm/s的速度
向点 A运动．当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，两动点运动的时间
t(s)．
（1）当t 为何值时，四边形MNBC 是平行四边形；
（2）写出四边形ANMD的面积y(cm2)与t(s)的函数关系式，并画出函数的图象．
16
