FY25暑假初一A11B7因式分解——十字相乘法学生版_初中资料合集_2025年秋初中《789年级暑假数学讲义》含6升7衔接（学生+教师版）上海专版_初一_志高_学生版PDF

B07 因式分解——十字相乘法 考情链接 1. 本次任务由两个部分构成 （1）系数为1的十字相乘法 （2）系数不为1的十字相乘法 2. 考情分析 （1）因式分解概念主要以填空的形式对概念进行考察，而提公因式法因式分解则是因式分 解的基础，常常会在解答题中，和其余因式分解方法混合进行考察； （2）十字相乘法是在学生学习了多项式乘法、整式乘法、分解质因数、整式加减法、提取 公因式和运用乘法公式对多项式进行分解因式等知识的基础上，在学生已经掌握了运用完全 平方公式进行分解因式之后，自然过渡到具有一般形式的二次三项式的分解因式，是从特殊 到一般的认知规律的典型范例．首先，这种分解因式的方法在数学学习中具有较强的实用性， 一是对它的学习和研究，不仅给出了一般的二次三项式的分解因式方法，能直接运用于某些 形如 这类二次三项式的分解因式，其次，还间接运用于解一元二次方程和确定二次函数解 析式上，为以后的求解一元二次方程、确定二次函数解析式等内容奠定了基础，十字相乘法 在初中阶段的教学中具有十分重要的地位. 1知识加油站1——系数为 1的十字相乘法 考点一：十字相乘法因式分解的概念 知识笔记1 1、十字相乘法： 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. pqc 对于二次三项式x2 bxc，若存在 ，则x2 bxc_____________ pqb 2、系数为1的十字相乘法 （1）在对 x2 bxc 分解因式时，要先从常数项 c 的正、负入手，若 c0 ，则 p、q________(若c0，则 p、q________)，然后依据一次项系数b 的正负再确定 p、q的 符号 （2）若x2 bxc中的b、c为整数时，要先将c 分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种 可能)，然后看这两个整数之和能否等于b ，直到凑对为止. 例题1: （1）下列算式计算结果为x2 x12的是( ) A．(x3)(x4) B．(x6)(x2) C．(x3)(x4) D．(x6)(x2) （2）若x2 kx15能分解为(x5)(x3)，则k的值是( ) A．2 B．2 C．8 D．8 练习1: （1）若多项式x2 mx36因式分解的结果是(x2)(x18)，则m的值是( ) A．20 B．16 C．16 D．20 （2）若多项式x2 axb分解因式的结果为(x1)(x2)，则ab的值为( ) A．3 B．3 C．1 D．1 2考点二：系数为1的十字相乘法因式分解 例题2: 对以下式子进行分解因式： （1）x2 x2 （2）x2 x2 （2） x2 5x6 （4）（2023•普陀区校级期末）a2 13a36 x2 5x6 （6）（2023•浦东新区期末）x2 5xy14y2 （5） x2 6x9 （8）（2023•杨浦区期末）x2 xy2y2 （6） （7） 练习2: 对以下式子进行分解因式： （1）x2x12 （2）x2x12 （3）x27x10 （4）x27x10 3（5） x24x12 （6）x2 2xy3y2． （6）x24x12 例题3: 分解因式： （1）（2021•金山区期末）分解因式：(x2 x)2 18(x2 x)72． （2）（2021•普陀区期末）因式分解：(x2 4x)2 (x2 4x)20． （3）（2021•奉贤区期末）分解因式：(a2 a)2 8(a2 a)12． （4）（2022•虹口民办新复兴中学期中）分解因式：(a2 a)2 2(a2 a)8． 4练习3: 分解因式： （1）2ab2 142ab 48． （2）  x2 2x 2 7  x2 2x  8 （3）ab215ab56； （4）  x2 2 2 x  x2 2  2x2； 5考点三：根据因式分解的结果求参数 例题4: （1）若x2 2x8(xm)(xn)，且mn，则mn的值为 ． （2）若m ，n为常数，多项式x2 mxn 可因式分解为(x1)(x2)，则(mn)2023的值 为 ． （3）甲，乙两同学分解因式x2 mxn，甲看错了n，分解结果为(x2)(x4)；乙看错 了m，分解结果为(x1)(x9)，请分析一下m，n的值及正确的分解过程． （4）已知：关于x的多项式x2 2m1x24可以在有理数范围内分解因式，求m的值． 练习4: （1）当k  时，二次三项式x2 kx12分解因式的结果是(x4)(x3)． （1）若x2 mxn分解因式的结果是(x2)(x1)，则mn的值为 ． （3）将一个二次三项式分解因式，甲因看错了一次项系数而分解成2(x1)(x9)，乙因看 错了常数项分解成2(x2)(x4)．根据上述信息将原多项式因式分解． （4）已知：关于x的多项式x2mx36可以在有理数范围内分解因式，求m的值． 6知识加油站2——系数不为 1的十字相乘法 考点四：系数不为1的十字相乘法的概念 知识笔记2 系数不为1的式子相乘法 在二次三项式ax2 bxca0中，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即aaa ， 1 2 常数项c 可以分解成两个因数之积，即ccc ，把a、a、c 、c 排列如下： 1 2 1 2 1 2 a c 1 1 a c 2 2 a c + a c 1 2 2 1 按斜线交叉相乘，再相加，得到ac a c ，若它正好等于二次ax2bxc的一次项系数b ， 1 2 2 1 即ac a c b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a xc 与a xc 之积，即 1 2 2 1 1 1 2 2 _____________________________. 例题5: （1）（2023•杨浦区期末）如果3x2  pxq(3x4)(x2)，那么 p （2）多项式2x2y2 mxy5xyn2xy5，则m ________，n _________. 练习5: （1）已知多项式2x2 mx3x32xn，则m ________，n _________. （2）多项式3x2 mxy10y2 3x5yxny，则m ________，n _________. 考点五：系数不为1的十字相乘法因式分解 例题6: 分解因式： （1）（2022•青浦区清河湾中学期末）因式分解：2x2 6x8； 7（2）2y2 xyx2 ； （3）12x2 5xy3y2 ； （4）2x45x27 ； （5） 3x2y4x3y5xy （6）4a6 37a4b2 9a2b4 练习6: 分解因式： （1）2x25x3 ； （2）2x29x35 ； （2）6x2x1 ； （4）6x213x5 ； （5）3x2 8xy3y2 ； 8例题7: 分解因式： （1）(x2  x1)(x2  x2)12； （2） 20(x y)2 7(x y)6 ． （3）2  x2 6x1 2 5  x2 6x1  x2 1  2  x2 1 2 练习7: 分解因式： (x2 x)2 8(x2 x)12 （2）3(x2)2 5(x2)12 （1） （3）7(x y)35(x y)2 2(x y) 9考点六：十字相乘法与新定义 例题8: 阅读下列材料： 对于多项式x2 x2，如果我们把x1代入此多项式，发现x2 x2的值为0，这时可以 确定多项式中有因式(x1)；同理，可以确定多项式中有另一个因式(x2)，于是我们可以 得到：x2 x2(x1)(x2)．又如：对于多项式2x2 3x2，发现当x2时，2x2 3x2 的值为0，则多项式2x2 3x2有一个因式(x2)，我们可以设2x2 3x2(x2)(mxn)， 解得m2，n1，于是我们可以得到：2x2 3x2(x2)(2x1)． 请你根据以上材料，解答以下问题： （1）当 x 时，多项式 8x2 x7 的值为 0，所以多项式 8x2 x7 有因 式 ，从而因式分解8x2 x7 ； （2）以上这种因式分解的方法叫试根法，常用来分解一些比较复杂的多项式，请你尝试用 试根法分解多项式： ①3x2 11x10； ②x3 21x20． 10练习8: 对于多项式 x3 5x2 x10 ，我们把 x2 代入此多项式，发现 x2 能使多项式 x3 5x2 x10的值为0，由此可以断定多项式x3 5x2 x10中有因式(x2)，（注：把 xa代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式(xa))，于是我们可以把 多 项 式 写 成 ： x3 5x2 x10(x2)(x2 mxn) ， 分 别 求 出 m 、 n 后 再 代 入 x3 5x2 x10(x2)(x2 mxn)，就可以把多项式x3 5x2 x10因式分解． （1）求式子中m、n的值； （2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式x3 5x2 8x4． 11全真战场 关卡一 练习1: （1）不能用十字相乘法分解的是（ ） A．x2 x2 B．3x2 10x3 C．5x2 6xy8y2 D．4x2 x2 （2）若多项式x2 mxn可因式分解为(x2)(x3)，则mn的值为( ) A．6 B．6 C．5 D．1 （3）已知多项式2x2 mx5x12xn，则m ________，n _________. 练习2: 分解因式： （1）x213x48； （2）x217x72； （2）x2 11xy12y2； （4）a2 4ab5b2； 20xy64y2 x2 （5） 练习3: 因式分解： （1） 6x2 7x3 ； （2） 3x2 5x12 ； 12（3）6a4 5a34a2 （4）（2023•宝山区期末）(a2 a)2 4(a2 a)12． （4）2  a2 a 2 28  a2 a  48； （6）abcx2   a2b2 c2 xabc； 练习4: 分解因式x2 axb，甲看错了a的值，分解的结果为(x6)(x1)，乙看错了b的值，分解 结果为(x2)(x1)． （1）求a，b的值； （2）把x2 axb分解因式． 练习5: x 已知15x2 47xy28y2 0，求 的值． y 13关卡二 练习6: 分解因式：(x2 4xy3y2)(4x2 20xy21y2)15y4． 练习7: 分解因式：(2a5)(a2 4)(2a3)165． 练习8: 分解因式： （1）x2 3xy10y2 x9y2 （2）x2  y2 5x3y4 14