专题 2.2 函数的解析式与定义域、值域
【新高考专用】
题型一 具体函数的定义域的求解
1
1．（2024·海南·模拟预测）函数f (x)=√2− x+ 的定义域为( )
x−1
A．(−∞,1] B．(1,2] C．(−∞,2] D．(−∞,1)∪(1,2]
11
2．（24-25高一上·河南漯河·阶段练习）已知函数f(x)= ，则函数y=f(x)−f(13−x)的定义域为
√x−2
（ ）
A．2<x<11 B．[2,11] C．(2,15) D．(2,11)
3．（2024·北京朝阳·二模）函数 √ x−1的定义域为 .
f(x)=
x2+1
√16−x2
4．（2024·四川南充·三模）函数f (x)= 的定义域为 .
x−1
题型二 抽象函数、复合函数的定义域的求解
5．（24-25高一上·吉林白城·期中）若函数f (3x−1)的定义域为(0,3)，则函数f (1−3x)的定义域为
（ ）
( 2 1)
A．(−3,0) B． − ,
3 3
( 7 2)
C．(−1,8) D． − ,
3 3
f(x)
6．（23-24高一上·河南驻马店·阶段练习）已知函数y=f(2x−1)的定义域是[−2,3]，则y= 的定
√x+2
义域是（ ）
A．[−2,5] B．(−2,3] C．[−1,3] D．(−2,5]
7．（2024·吉林延边·模拟预测）已知函数y=f(x+1)的定义域是[−2,3]，则y=f(x−1)的定义域是.
8．（2024·湖北武汉·二模）已知函数f (2x+1)的定义域为[−1,1)，则函数f (1−x)的定义域为 .
题型三 已知函数定义域求参数
9．（23-24高一上·陕西西安·期中）已知函数 的定义域为R，则实数 的取值范
f (x)=√mx2+(m−3)x+1 m
围是（ ）
A．[1,9] B．(1,9)
C．(−∞,1]∪[9,+∞) D．{3}
10．（23-24高一上·辽宁鞍山·期中）已知函数 的定义域为R，则实数a的
f(x)=√(a2−1)x2+(a+1)x+1
取值范围为（ ）
[ 5] [5 )
A． −1, B．(−∞,−1)∪ ,+∞
3 3
[5 ) [5 )
C． ,+∞ D．(−∞,−1]∪ ,+∞
3 3
11．（24-25高一上·天津静海·阶段练习）已知函数 的定义域是R，则 的
y=√（1−a2）x2+(a−1)x+1 a
取值范围是 .
x
12．（24-25高一上·宁夏银川·期中）若函数f (x)= 的定义域为R，则实数m的取值范围是
√mx2+2mx+4
.
题型四 已知函数类型求解析式
13．（23-24高一上·广西桂林·期中）已知一次函数f (x)满足f(x+2)−2f(2x+1)=−9x−4，则f (x)解
析式为（ ）
A．f (x)=−2x−4 B．f (x)=−2x+3
C．f (x)=3x+4 D．f (x)=−3x+2
14．（23-24高三·全国·中职高考）已知二次函数f (x)满足f(2)=−1,f(1−x)=f(x)，且f (x)的最大值是
8，则此二次函数的解析式为f(x)=（ ）
A．−4x2+4x+7 B．4x2+4x+7
C．−4x2−4x+7 D．−4x2+4x−7
15．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知f (x)是二次函数，且f (0)=3，若f (x+1)−f(x)=2x+3，则f(x)的解析式为 .
16．（2024·山东济南·一模）已知集合A=¿，函数f (x)=x2−1.若函数g(x)满足：对任意u(x)∈A，存在
λ,μ∈R，使得u(x)=λf (x)+μg(x)，则g(x)的解析式可以是 .（写出一个满足条件的函数解析式即
可）
题型五 已知f(g(x))求解析式
17．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 1−x2 ，则 （ ）
f (1−x)= (x≠0) f (x)=
x2
1 1
A． −1(x≠0) B． −1(x≠1)
(x−1) 2 (x−1) 2
4 4
C． −1(x≠0) D． −1(x≠1)
(x−1) 2 (x−1) 2
18．（23-24高一上·湖南衡阳·期中）函数 满足若 ，则 （ ）
f (x) f (g(x))=9x+3，g(x)=3x+1 f (x)=
A．f (x)=3x B．f (x)=3
C．f (x)=27x+10 D．f (x)=27x+12
19．（23-24高一上·四川雅安·期中）已知函数f (2x+1)=x2−3x+1，则f (x)= ．
20．（24-25高一上·广东东莞·阶段练习）已知函数 ，则 的解析式为 .
f (√x+2)=x+2√x+2 f (x)
题型六 函数值域的求解
21．（23-24高一上·江西抚州·阶段练习）函数f(x)=√2x+1−x的值域是（ ）
( 1] [1 )
A． −∞, B． ,+∞ C．(−∞,1] D．[1,+∞)
2 2
x
22．（23-24高一上·吉林长春·期中）已知函数f(x)= 的定义域为[0,+∞)，则函数f(x)的值域为
x2+1
（ ）
[ 1] [1 )
A．[0,+∞) B．[2,+∞) C． 0, D． ,+∞
2 2
23．（24-25高一上·江西南昌·期中）函数f(x)=x−2√1−x的值域为 .
x−1
24．（23-24高一上·浙江宁波·期中）函数y= ，x>0的值域为 ．
x2−6x+7
题型七 根据函数的值域或最值求参数25．（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）若函数 的值域为 ，则实数 的取值范围
f (x)=√ax2+x+1 [0,+∞) a
为（ ）
( 1] [1 )
A． 0, B．{0}∪ ,+∞
4 4
[ 1] [1 )
C． 0, D． ,+∞
4 4
26．（23-24高一上·辽宁·期中）已知函数 的值域为 ，则实数 的取值
f (x)=√4ax2+(8−4a)x+1 [0,+∞) a
范围是（ ）
A．(0,4) B．[1,4]∪{0}
C．¿ D．[0,1]∪[4,+∞)
27．（23-24高一上·宁夏银川·期中）已知函数 的值域为 ，则实数k的取值范
f(x)=√kx2−4x+3 [0,+∞)
围为 ．
28．（24-25高一上·江苏南京·期中）已知函数 ， ，若函数
f (x)=x2−2ax+a2−9 x∈[a−3,a2] (a>0)
f (x)的值域为[−9,0]，则实数a的取值范围是 ．
题型八 分段函数及其应用
[ 1 ]
29．（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知函数f (x)=¿，若f (x)值域为 − ,2 ，则实数c的取值范围是
4
（ ）
[ 1 ]
A．[−1,0] B． − ,0
2
[ 1] ( 1]
C． −1,− D． −∞,−
2 2
30．（23-24高一上·江西宜春·阶段练习）已知函数 ，若 ，则 （ ）
f (x)=¿ f (f (a))=1 a=
A．4 B．3 C．2 D．1
31．（24-25高一上·四川内江·期中）函数f (x)=¿，则该函数值域为 ．
32．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知a∈R，若函数f(x)=¿的值域为R，则a的取值范围是 .一、单选题
1．（23-24高一上·甘肃酒泉·期中）下列四组函数，表示同一函数的是（ ）
x2
A．f (x)=x，g(x)= B．f (x)=√x2，g(x)=x
x
C．f (x)=|x|，g(x)=−x D．f (x)=x+1，g(t)=t+1
(1) 3
2．（2024·辽宁辽阳·一模）已知函数f (x)满足f (x+ y)=f (x)+f (y)+2xy,f = ，则f (100)=
2 4
（ ）
A．10000 B．10082 C．10100 D．10302
f(x−1)
3．（23-24高一上·辽宁·期中）已知函数y=f(x)的定义域是[−4,5]，则y= 的定义域是（ ）
√x+2
A．[−2,4] B．[−2,6] C．(−2,4] D．(−2,6]
4．（2024·北京怀柔·模拟预测）已知函数 4x2 ，则对任意实数x，函数 的值域是（ ）
f (x)= f (x)
2x2+1
A．(0,2) B．(0,2] C．[0,2) D．[0,2]
5．（2024·陕西·模拟预测）设函数f (x)的定义域为R，且f (−x+1)=−f (x+1),f (x+2)=f (−x+2)，当
x∈[0,1]时，f (x)=2x2+bx+c,f (3)−f (2)=6，则b+c=（ ）
A．−4 B．−3 C．1 D．−2
6．（25-26高一上·全国·课后作业）设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，例
如： ， ．已知函数 (x+1) 2 1，则函数 的值域是（ ）
[−2.1]=−3 [3.1]=3 f (x)= − y=[f (x)]
x2+1 2
A．{0,1} B．{0,1,2} C．{−1,0,1} D．{−1,0,1,2}
7．（2024·广东佛山·二模）如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x=t（0≤t≤2）左
侧的图形的面积为f (t)．则函数y=f (t)的大致图象是（ ）A． B．
C． D．
8．（24-25高一上·山东菏泽·期中）设函数 若 ，则实数 的取值范围是（ ）
f (x)=¿ f (f (a))≤−1 a
A．−2≤a≤1 B．−1≤a≤0
C．−2≤a≤−1或0≤a≤1 D．0≤a≤1
二、多选题
9．（2024·湖南益阳·模拟预测）下列命题中，正确的是（ ）
|x|
A．函数v(x)= 与u(x)=¿表示同一函数
x
B．函数v(x)=x2−2x+2与u(t)=t2−2t+2是同一函数
C．函数y=f (x)的图象与直线x=2024的图象至多有一个交点
D．函数 ，则 ( (1)) 0
f (x)=|x−1|−x f f =
2
10．（2024·浙江杭州·一模）已知函数 的定义域为 ，若 ，则（ ）
f (x) R f (f (x)+ yz)=x+f (y)f (z)
A． B．
f (1)=0 f (f (x))=x
C．f (xy)=f (x)f (y) D．f (x+ y)=f (x)f (y)
11．（2024·云南·模拟预测）已知定义在R上的函数f (x)，对任意的x,y满足
，下列说法正确的是（ ）
f (x+f (x+ y))+f (xy)=x+f (x+ y)+ yf (x)
A．若f (x)为一次函数，则f (0)=0
B．若f (x)为一次函数，则f (1)=1
C．若f (x)不是一次函数且f (0)=0，则f (−1)=−1D．若f (x)不是一次函数且f (0)=0，则f (1)=1
三、填空题
12．（2024·全国·模拟预测）若函数f (x)=¿的值域为R，则a的一个值为 ．
√x+a
13．（2024·广东惠州·模拟预测）若函数f(x)= 定义域为[−2,+∞)，则实数a= 2 ；实数b的取
x−b
值范围是 ．
( 1)
14．（2024·江苏·模拟预测）已知定义在R上的f (x)满足f − ≠0，且对于任意的x,y∈R，有
2
f (x+ y)+f (x)f (y)=4xy，则f (0)= .
四、解答题
15．（2024·江西九江·模拟预测）若 的定义域为 ，求 的定义域．
f(x) [−4,4] g(x)=f(2x+1)+f(x2 )
16．（24-25高一上·新疆阿克苏·期中）求下列函数的定义域或值域：
1
(1)求y= +(2x−1) 0+√4−x2的定义域；
x−1
(2) 的值域；
f(x)=√−x2+4x+5
17．（24-25高一上·河北廊坊·阶段练习）（1）已知f(x)是二次函数，且满足
f(0)=1,f(x+1)−f(x)=2x，求f(x)解析式;
（2）已知 ，求 的解析式;
f(x+1)=2x2+3x+2 f(x)
（3）已知一次函数f(x)满足f(f(x))=x+3，求f(x)的解析式.18．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数 ．
f (x)=||x−2|−|x+1||
(1)求f (x)的值域；
1
(2)求不等式f (x)≤ x+1的解集．
2
19．（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）已知函数 x2 .
f (x)=
x2+1
(1) (1)
(1)求f +f (3),f +f (2)的值；
3 2
(1)
(2)探索f +f (x)；
x
( 1 ) ( 1 ) (1)
(3)利用（2）中结论，求f +f +⋯+f +f (0)+f (1)+f (2)⋯+f (2023)+f (2024)的值.
2024 2023 2
