专题1.3新定义与阅读理解（解析版）_北师大初中数学_7下-北师大版初中数学_7下-初中数学北师大版（旧版）赠送_06专项讲练

专题 1.3 新定义与阅读理解 【例1】阅读材料：求 的值． 解：设 ，将等式两边同时乘2得： 将下式减去上式得 即 即 请你仿照此法计算： （1） （2） （其中 为正整数）． 【解答】解：（1）设 ， 将等式两边同时乘2得： ， 将下式减去上式得： ，即 ， 则 ； （2）设 ①， 两边同时乘3得： ②， ② ①得： ，即 ， 则 ．【变式训练1】为了求 的值，可令 ， 则 ， 因 此 ， 所 以 仿照以上推理，计算 的值． 【解答】解：令 ， 则 ， ， ， 则 ． 【例2】阅读下列材料： 一般地， 个相同的因数 相乘 记为 ．如 ，此时，3叫做以2为 底8的对数，记为 （即 ．一般地，若 且 ， ，则 叫 做以 为底 的对数，记为 （即 ．如 ，则4叫做以3为底81的对数， 记为 （即 ． （1）计算以下各对数的值： 2 ， ， ． （2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式， 、 、 之间 又满足怎样的关系式； （3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？； 且 ， ， （4）根据幂的运算法则： 以及对数的含义证明上述结论． 【解答】解：（1） ， ， ； （2） ， ； （3） ； （4）证明：设 ， ， 则 ， ， ， 即 ． 【变式训练1】阅读以下材料： 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔 ． ， 年），纳皮尔发明对数是在 指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉 ， 年）才发现指数与对 数之间的联系． 对数的定义：一般地，若 ，那么 叫做以 为底 的对数，记作： ．比如指数式 可以转化为 ，对数式 可以转化为 ． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： ， ，， ；理由如下： 设 ， ，则 ， ，由对数的定义得 又 解决以下问题： （1）将指数 转化为对数式 ； （2）证明 ， ， ， （3）拓展运用：计算 ． 【解答】解：（1）由题意可得，指数式 写成对数式为： ， 故答案为： ； （2）设 ， ，则 ， ， ，由对数的定义得 ， 又 ， ， ， ， ； （3） ， ， ， ， 故答案为：1．【例3】阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较 和 的大小． 解： ，且 ，即 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小 材料二：比较 和 的大小 解： ，且 ，即 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小 【方法运用】 （1）比较 、 、 的大小 （2）比较 、 、 的大小 （3）已知 ， ，比较 、 的大小 （4）比较 与 的大小 【解答】解；（1） ， ， ， ， ， 即 ；（2） ， ， ， ， ， 即 ； （3） ， ， ， ， ， ， ； （4） ， ， 又 ， ． 【变式训练1】阅读，学习和解题． （1）阅读和学习下面的材料： 比较 ， ， 的大小． 分析：小刚同学发现55，44，33都是11的倍数，于是把这三个数都转化为指数为11 的幂，然后通过比较底数的方法，比较了这三个数的大小．解法如下： 解： ， ， ， ． 学习以上解题思路和方法，然后完成下题：比较 ， ， 的大小． （2）阅读和学习下面的材料： 已知 ， ，求 的值． 分析：小刚同学发现，这些已知的和所求的幂的底数都相同，于是逆用同底数幂和幂 的乘方公式，完成题目的解答．解法如下： 解： ， ， ． 学习以上解题思路和方法，然后完成下题： 已知 ， ，求 的值． （3）计算： ． 【解答】解：（1） ， ， ， 且 ， ； （2） ， ， ； （3） ． 【例4】阅读材料后解决问题： 小明遇到下面一个问题： 计算 ．经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平 方差公式解决问题，具体解法如下： 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题： （1） ． （2） ． （3）化简： ． 【解答】解：（1）原式 ； 故答案为： （2）原式 ； 故答案为： ； （3） ． 当 时，原式 ； 当 时，原式 ． 【变式训练1】阅读下面的材料并填空：① ，反过来，得 ② ，反过来，得 ③ ，反过来，得 利用上面的材料中的方法和结论计算下题： 【解答】解：① ，反过来，得 ， ② ，反过来，得 ， ③ ，反过来，得 利用上面的材料中的方法和结论计算下题： ． 故答案为： ， ， ． 【例5】阅读：已知 ， ，求 的值． 解： ， ， ． 请你根据上述解题思路解答下面问题： （1）已知 ， ，求 的值． （2）已知 ， ，求 的值． 【解答】解：（1） ， ，． （2） ． 【变式训练1】我们知道完全平方公式 ， ，两 式相减得： ，因此，两个数的积可以化成两个数的和差的平方的差来计算．即： ．请利用这一性质完成下列问题． （1）计算： （2）已知 ， ， 满足 ， 求证： ． 【解答】（1）解： ； （2）证明： ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【例6】定义一种新运算 ，例如 ，若 ，则 A． B． C．2 D． 【解答】解：由题意得： ， ， ， ， 经检验： 是方程 的解； 故选： ． 【变式训练1】定义 ※ ，例如2※ ．则 ※ 的结果 为 ． 【解答】解：根据题意得： ※ ．故答案为： ． 【变式训练2】定义运算： ，下面给出这种运算的四个结论：① ；② ；③若 ，则 ；④若 ，则 ． 其中正确的结论序号为 ①④ ．（把所有正确结论的序号都填在横线上） 【解答】解：① ，故正确； ②当 时，不成立，故错误； ③若 ，则 或 ，故错误； ④若 ，则 ，故正确． 故答案为：①④． 【变式训练3】对于实数 、 ，定义运算： ▲ ；如：2▲ ，4▲ ．照此定义的运算方式计算 ▲ ▲ 1 ． 【解答】解：根据题意得：2▲ ， ▲ ， 则 ▲ ▲ ， 故答案为：1 【变式训练4】定义一种新的运算：如果 ．则有 ▲ ，那么 ▲2 的值是 A． B．5 C． D． 【解答】解：根据题中的新定义得： ▲2． 故选： ． 【例7】定义：如果 ， 为正数），那么我们把 叫做 的 数，记作 ． （1）根据 数的定义，填空： （2） 1 ， ． （2） 数有如下运算性质： ， ，其中 ． 根据运算性质，计算： ①若 （a） ，求 ； ②若已知 （3） ， （5） ，试求 ， ， ， 的值 （用 、 、 表示）． 【解答】解：（1） ， （2） ， ， ， 故答案为：1；4 （2）① ， ． ． ． ② ， （3） （5）， ． ， （3） （3） （3） （2） （2） （3） （2） ． ， （3） （3） （3） （5） （2） （2） （3） （5） （2） ， 【变式训练1】对 数 运 算 是 高 中 常 用 的 一 种 重 要 运 算 ， 它 的 定 义 为 ： 如 果 ，那么数 叫做以 为底 的对数，记作： ，例如： ， 则 ，其中 的对数叫做常用对数，此时 可记为 ．当 ，且 ， ， 时， ． （1）解方程： ． （2） ．（3）计算： ． 【解答】解： ； ， 或 （负数舍去）， 故 ； （2）解法一： ； 解法二：设 ，则 ， ， ， ， 即 ， 故答案为： ； （3） ． 【变式训练2】定义新运算 ，如 ． （1）计算 的值； （2）化简： ． 【解答】解：（1） ．（2） ， ， ． 【变式训练3】定义：一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的 值都不变，这样的式子就叫做对称式，例如： ， ， ， ．含有两个字 母 ， 的对称式的基本对称式是 和 ，像 ， 等对称式都可以用 和 表示，例如： ． 请根据以上材料解决下列问题： （1）式子：① ；② ；③ ；④ 中，属于对称式的是 ①③④ （填序号）； （2）已知 ，求对称式 的值． 【解答】解：（1）①③④是对称式． 故答案为：①③④； （2） ， ， ， ． 【变式训练4】若整式 只含有字母 ，且 的次数不超过3次，令 ， 其中 ， ， ， 为整数，在平面直角坐标系中，我们定义： 为整式 的关联点，我们规定次数超过3次的整式没有关联点．例如，若整式 ， 则 ， ， ， ，故 的关联点为 ． （1）若 ，则 的关联点坐标为 ． （2）若整式 是只含有字母 的整式，整式 是 与 的乘积，若整式 的关 联点为 ，求整式 的表达式． （3）若整式 ，整式 是只含有字母 的一次多项式，整式 是整式 与整式 的平方的乘积，若整式 的关联点为 ，请直接写出整式 的表达式． 【解答】解：（1） ， ， ， ， ， ， ， 的关联点坐标为： ， 故笞案为： ； （2） 整式 是只含有字母 的整式，整式 是 与 的乘积， 是二次多项式，且 的次数不能超过3次， 中 的次数为1次， 设 ， ， ， ， ， ， 整式 的关联点为 ， ， ， 解得： ， ，； （3）根据题意：设 ， ， ， ， ， ， 整式 的关联点为 ， ， ， ， ， ， 把 代入 得： ， 解得： ， ， ， 或 ．