文档内容
2.2 函数的单调性与最值
思维导图
知识点总结
知识点一 增函数与减函数的定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：
(1)如果∀x，x∈D，当xf(x)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，
1 2 1 2 1 2
特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数．
思考 (1)所有的函数在定义域上都具有单调性吗？
(2)在增函数和减函数定义中，能否把“任意x，x∈D”改为“存在x，x∈D”？
1 2 1 2
答案 (1)不是；(2)不能．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】知识点二 函数的单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严
格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
特别提醒：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以
单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能
开．
(2)单调区间D⊆定义域I.
(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大．
知识点三 函数的最大(小)值及其几何意义
最值 条件 几何意义
①对于∀x∈I，都有 f ( x ) ≤ M ，
最大值 函数y＝f(x)图象上最高点的纵坐标
②∃x∈I，使得 f ( x ) ＝ M
0 0
①对于∀x∈I，都有 f ( x ) ≥ M ，
最小值 函数y＝f(x)图象上最低点的纵坐标
②∃x∈I，使得 f ( x ) ＝ M
0 0
思考 函数f(x)＝x2＋1≥－1总成立，f(x)的最小值是－1吗？
答案 f(x)的最小值不是－1，因为f(x)取不到－1.
知识点四 求函数最值的常用方法
1．图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最
大(小)值．
2．运用已学函数的值域．
3．运用函数的单调性：
(1)若y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数，则y ＝ f ( b ) ，y ＝ f ( a ) ．
max min
(2)若y＝f(x)在区间[a，b]上是减函数，则y ＝ f ( a ) ，y ＝ f ( b ) ．
max min
4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个．
典型例题分析
考向一 函数单调性的判定与证明
例1 根据定义，研究函数f(x)＝在x∈(－1,1)上的单调性．
解 当a＝0时，f(x)＝0，在(－1,1)上不具有单调性，
当a≠0时，设x，x 为(－1,1)上的任意两个数，且x0，x－1<0，x－1<0，
2 1 1 2
所以>0，
当a>0时，f(x)－f(x)>0，即f(x)>f(x)，
1 2 1 2
所以f(x)在(－1,1)上单调递减，
当a<0时，f(x)－f(x)<0，
1 2
即f(x)0时，f(x)在(－1,1)上单调递减；
当a<0时，f(x)在(－1,1)上单调递增．
反思感悟 利用定义判断或证明函数单调性的步骤
考向二 求单调区间并判断单调性
例2 (1)如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及
在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
考点 求函数的单调区间
题点 求函数的单调区间
解 y＝f(x)的单调区间有[－5，－2)，[－2,1)，[1,3)，[3,5]，其中y＝f(x)在区间[－5，－
2)，[1,3)上是减函数，在区间[－2,1)，[3,5]上是增函数．
(2)作出函数f(x)＝的图象，并指出函数f(x)的单调区间．
解 f(x)＝的图象如图所示，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由图可知，函数f(x)＝的单调递减区间为(－∞，1]和(1,2)，单调递增区间为[2，＋∞)．
反思感悟 (1)函数单调区间的两种求法
①图象法．即先画出图象，根据图象求单调区间．
②定义法．即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解．
(2)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出
现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来
表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有．
考向三 利用函数的单调性求最值
例3 已知函数f(x)＝，x∈[3,5]．
(1)判断函数f(x)的单调性并证明；
(2)求函数f(x)的最大值和最小值．
解 (1)f(x)是增函数，证明如下：
任取x，x∈[3,5]且x0，
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所以f(x)－f(x)<0，即f(x)0，则有( )
A．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b) B．f(a)＋f(b)f(－a)－f(－b) D．f(a)－f(b)0，∴a>－b，b>－a.∴f(a)>f(－b)，f(b)>f(－a).
∴f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b),故选A.
点睛:本题考查抽象函数的单调性和不等式的性质,属于基础题.由已知a＋b>0可得, a>－b和
b>－a均成立.再由函数f(x)是R上的增函数，当a>－b时有f(a)>f(－b)(1);当b>－a时有
f(b)>f(－a)(2);对两式相加可得f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b),即选项A正确;对(2)化简可得-f(b)<-
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】f(－a),不满足同向可加性.
3．函数 为 的导函数，令 ，则下列关系正
确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】求导后，令 ，可求得 ，再利用导数可得 为减函数，比较
的大小后，根据 为减函数可得答案.
【详解】由题意得， ， ，
解得 ，所以 ．
所以 ，所以 为减函数．
因为 ，
所以 ，
故选：B．
【点睛】关键点点睛：比较大小的关键是知道 的单调性，利用导数可得 的单调性.
4．函数 的值域为
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令 ，把已知函数解析式变形，令 变形，再由“对勾函数”的
单调性求解.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】解：令 ， ，
令 ，则 ，
原函数化为 ，
该函数在 上为减函数，在 上为增函数，
又当 时， ，当 时， ，当 时， .
∴函数 的值域为 ，
则函数 的值域为 .
故选：C.
【点睛】本题考查利用换元法及“对勾函数”的单调性求函数值域，是中档题.
5．设a， ，若 时，恒有 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用特殊值及解决恒成立问题常用分离参数转化为求最值问题即可求解.
【详解】当 时，恒有 ，
当 时，原式化为 ；
当 时，原式化为 ，即 ，
.
又 时， 恒成立；
，即 恒成立；
恒成立；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， 恒成立，
令 ，则
由二次函数的性质，知 在 单调递增；
，即 ，
又 ， ，则 .
对于A， ，故A不正确；
对于B， ，故B不正确；
对于C， ，故C 正确；
对于D， ，故D不正确.
故选：C.
6．已知函数 的图像关于 对称，且对任意的 ， ，总有
，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由函数单调性的定义可得 在 上是增函数，再结合对称性可比较大小.
【详解】因为对任意的 ，有 ，
不妨设 ，则有
因为 ，所以 ，即 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 在 上是增函数，
因为 的图像关于 对称，所以 ，故A错误；
，故B错误；
，故C错误，D正确.
故选：D
二、多选题
7．函数 满足条件：①对定义域内任意不相等的实数 ， 恒有 ；
②对定义域内任意两个实数 ， 都有 成立，则称为 函数，
下列函数为 函数的是（ ）
A． B．
C． ， D． ，
【答案】ABC
【分析】先判断两个条件分别确定函数为增函数，函数的图象是上凸函数，由此依次判断
四个选项即可．
【详解】解：因为对定义域内任意不相等的实数 ， 恒有 （a） （b） ，
所以 是增函数，
因为对定义域内任意两个实数 ， 都有 成立，
所以 为上凸函数，
对于 ，函数 是增函数，且 成立，所以函数为 函数，
故选项 正确；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于 ，函数 是增函数，且函数的图象是上凸函数，所以函数为 函数，故选项
正确；
对于 ，函数 ， 是增函数，且函数的图象是上凸函数，所以函数为
函数，故选项 正确；
对于 ，函数 ， 是增函数，但是函数的图象是下凹函数，所以函数不是
函数，故选项 错误．
故选： ．
8．关于函数 ，下列命题中正确的是（ ）
A．函数图象关于y轴对称
B．当 时，函数在 上为增函数
C．当 时，函数有最大值，且最大值为
D．函数的值域是
【答案】AC
【解析】利用奇偶性定义即可判断A正确；利用复合函数的单调性即值域的求法判断B错
误C正确D错误即可.
【详解】由题知， 的定义域为 ，且 ，所以
为偶函数，所以函数图像关于y轴对称，故A正确；
函数 由 和 复合而成的，令
，当 时， 为增函数，当 时， 为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】减函数；当 ，函数 为增函数，由复合函数的单调性可知 在 上为减函
数，在 上为增函数，故B错误；
时 是对勾函数 ，当 时取最小值2，而 ，即
是偶函数，故由偶函数性质知 ，当且仅当 时取等号，又 时，
函数 为减函数，故函数 ， 有最大值 ，故C正确；
当 时，值域为 ；同理当 时，函数 为减函数，故函数
， 有最小值 ，值域为 ，故D错误.
故选：AC.
【点睛】复合函数 单调性的判断方法为先将函数拆分为 和 ，
分别判断单调性，遵循“同增异减”的法则进行判断即可； 复合函数 值域的
求法，先求 的取值范围，再求 的取值范围即可得结果.
三、填空题
9．函数 的单调递减区间为________.
【答案】 ，
【分析】利用单调性的定义进行求解，设量，作差，变形，定号，下结论.
【详解】函数 的定义域为 ，任取 且 ，则
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，即 ，故 在 上为减函数；同
理，可得 在 上也为减函数.
故答案为： ， .
【点睛】本题主要考查简单函数的单调区间的求法，单调区间常用求解思路有：定义法，
图象法，侧重考查逻辑推理的核心素养.
10．二次函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是______.
【答案】
【解析】由条件可得 ，解出即可.
【详解】因为二次函数 在区间 上单调递增，
所以 ，即
故答案为：
11．如果对于函数 的定义域内任意两个自变量的值 ， ，当 时，都有
且存在两个不相等的自变量 ， ，使得 ，则称 为定义
域上的不严格的增函数．已知函数 的定义域、值域分别为 ， ， ，
且 为定义域 上的不严格的增函数，那么这样的函数 共有________个．
【答案】9
【分析】根据本题所给的定义，以及函数的定义对所给的函数进行讨论，解决此题要分三
类，三对一的对应，二对一的对应，三种来研究，进而得到答案．
【详解】解：由题意，若函数 是三对一的对应，则有 对应1；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对应2； 对应3，共三种方式，故此类函数有三种．
若函数是二对一的对应，则有 对应1，3对应2；
对应1，3对应3；
对应2，3对应3；
1对应1， 对应2；
1对应1， 对应3；
1对应2， 对应3，共有6种．
综上，这样的 共有 种．
由于一对一的对应不满足不严格函数的定义，故不考虑此情况．
故答案为：9．
12．已知 在 上单调递增，则实数a的取值范围为______.
【答案】
【分析】利用题给条件构造出关于实数a的不等式，解之即可求得实数a的取值范围.
【详解】由 ，可得
又 在 上单调递增，
则 在 上恒成立，则 在 上恒成立，
又 ，则 ，则
故答案为：
四、解答题
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】13．设函数 , ,函数 .
(1)若 时,画出函数 的图象,并指出函数的单调区间；
(2)求 在区间 上的最小值.
【答案】(1) 的图象如下图所示：
的单调递增区间 ,单调递减区间 ；
(2) .
【分析】(1)当 时,求出函数 和 的定义域,最后求出函数
的定义域，利用基本不等式求出函数 的最小值,画出函数
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】的图象,最后利用图象写出函数 的单调区间；
(2)根据(1)可以得到函数 的单调性,然后进行分类讨论,求出 在区间 上的最小
值.
【详解】(1)当 时，函数 的定义域为 , 的定义域为
,因此函数 ,定义域为 .因为 ,所以有
（当且仅当 时取等号）,函数图象如下图所示：
根据图象和函数的最小值可知： 的单调递增区间 ,单调递减区间 ；
(2)由(1)可知函数 定义域为 ，在 上单调递减，在
上单调递增.
当 时,即 时， ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时,即 时， ，综上所述：
.
【点睛】本题考查了函数 型函数的单调性,考查了分类讨论思想.
14．设函数 ，求证：函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数．
【答案】见解析
【分析】根据定义，设出x ，x ，作差，判断符号，即可证明函数的单调性．注意因式分
1 2
解时的方法．
【详解】任取x ，x ∈[0，+∞），且x 0，x –x <0，故分子小于零，
1 2 1 2 1 2
因此f（x ）–f（x ）<0，即f（x ）
