2.2 函数的单调性与最值
思维导图
知识点总结
知识点一 增函数与减函数的定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：
(1)如果∀x，x∈D，当x<x 时，都有f(x)<f(x)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，
1 2 1 2 1 2
特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数．
(2)如果∀x，x∈D，当x<x 时，都有f(x)>f(x)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，
1 2 1 2 1 2
特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数．
思考 (1)所有的函数在定义域上都具有单调性吗？
(2)在增函数和减函数定义中，能否把“任意x，x∈D”改为“存在x，x∈D”？
1 2 1 2
答案 (1)不是；(2)不能．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】知识点二 函数的单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严
格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
特别提醒：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以
单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能
开．
(2)单调区间D⊆定义域I.
(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大．
知识点三 函数的最大(小)值及其几何意义
最值 条件 几何意义
①对于∀x∈I，都有 f ( x ) ≤ M ，
最大值 函数y＝f(x)图象上最高点的纵坐标
②∃x∈I，使得 f ( x ) ＝ M
0 0
①对于∀x∈I，都有 f ( x ) ≥ M ，
最小值 函数y＝f(x)图象上最低点的纵坐标
②∃x∈I，使得 f ( x ) ＝ M
0 0
思考 函数f(x)＝x2＋1≥－1总成立，f(x)的最小值是－1吗？
答案 f(x)的最小值不是－1，因为f(x)取不到－1.
知识点四 求函数最值的常用方法
1．图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最
大(小)值．
2．运用已学函数的值域．
3．运用函数的单调性：
(1)若y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数，则y ＝ f ( b ) ，y ＝ f ( a ) ．
max min
(2)若y＝f(x)在区间[a，b]上是减函数，则y ＝ f ( a ) ，y ＝ f ( b ) ．
max min
4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个．
典型例题分析
考向一 函数单调性的判定与证明
例1 根据定义，研究函数f(x)＝在x∈(－1,1)上的单调性．
解 当a＝0时，f(x)＝0，在(－1,1)上不具有单调性，
当a≠0时，设x，x 为(－1,1)上的任意两个数，且x<x，
1 2 1 2
所以f(x)－f(x)＝－
1 2
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】＝
＝
因为x，x∈(－1,1)且x<x，
1 2 1 2
所以x－x>0，x－1<0，x－1<0，
2 1 1 2
所以>0，
当a>0时，f(x)－f(x)>0，即f(x)>f(x)，
1 2 1 2
所以f(x)在(－1,1)上单调递减，
当a<0时，f(x)－f(x)<0，
1 2
即f(x)<f(x)，
1 2
所以f(x)在(－1,1)上单调递增．
综上，当a＝0时，f(x)在(－1,1)上不具有单调性；
当a>0时，f(x)在(－1,1)上单调递减；
当a<0时，f(x)在(－1,1)上单调递增．
反思感悟 利用定义判断或证明函数单调性的步骤
考向二 求单调区间并判断单调性
例2 (1)如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及
在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
考点 求函数的单调区间
题点 求函数的单调区间
解 y＝f(x)的单调区间有[－5，－2)，[－2,1)，[1,3)，[3,5]，其中y＝f(x)在区间[－5，－
2)，[1,3)上是减函数，在区间[－2,1)，[3,5]上是增函数．
(2)作出函数f(x)＝的图象，并指出函数f(x)的单调区间．
解 f(x)＝的图象如图所示，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由图可知，函数f(x)＝的单调递减区间为(－∞，1]和(1,2)，单调递增区间为[2，＋∞)．
反思感悟 (1)函数单调区间的两种求法
①图象法．即先画出图象，根据图象求单调区间．
②定义法．即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解．
(2)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出
现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来
表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有．
考向三 利用函数的单调性求最值
例3 已知函数f(x)＝，x∈[3,5]．
(1)判断函数f(x)的单调性并证明；
(2)求函数f(x)的最大值和最小值．
解 (1)f(x)是增函数，证明如下：
任取x，x∈[3,5]且x<x，
1 2 1 2
f(x)－f(x)＝－＝，
1 2
因为3≤x<x≤5，
1 2
所以x－x<0，(x＋2)(x＋2)>0，
1 2 1 2
所以f(x)－f(x)<0，即f(x)<f(x)．
1 2 1 2
所以f(x)在[3,5]上为增函数．
(2)由(1)知，f(x)在[3,5]上为增函数，
则f(x) ＝f(5)＝，
max
f(x) ＝f(3)＝.
min
反思感悟 (1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为
f(a)．
(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b)．
(3)若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定
出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．
(4)如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的
函数值或者发展趋势．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】基础题型训练
一、单选题
1．函数 在 上是减函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据一次函数的单调性有 ，即可得结果.
【详解】因为函数 在 上是减函数，
所以 .
故选：D
2．若函数f(x)是R上的增函数，对实数a，b，若a＋b>0，则有( )
A．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b) B．f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)
C．f(a)－f(b)>f(－a)－f(－b) D．f(a)－f(b)<f(－a)－f(－b)
【答案】A
【详解】∵a＋b>0，∴a>－b，b>－a.∴f(a)>f(－b)，f(b)>f(－a).
∴f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b),故选A.
点睛:本题考查抽象函数的单调性和不等式的性质,属于基础题.由已知a＋b>0可得, a>－b和
b>－a均成立.再由函数f(x)是R上的增函数，当a>－b时有f(a)>f(－b)(1);当b>－a时有
f(b)>f(－a)(2);对两式相加可得f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b),即选项A正确;对(2)化简可得-f(b)<-
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】f(－a),不满足同向可加性.
3．函数 为 的导函数，令 ，则下列关系正
确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】求导后，令 ，可求得 ，再利用导数可得 为减函数，比较
的大小后，根据 为减函数可得答案.
【详解】由题意得， ， ，
解得 ，所以 ．
所以 ，所以 为减函数．
因为 ，
所以 ，
故选：B．
【点睛】关键点点睛：比较大小的关键是知道 的单调性，利用导数可得 的单调性.
4．函数 的值域为
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令 ，把已知函数解析式变形，令 变形，再由“对勾函数”的
单调性求解.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】解：令 ， ，
令 ，则 ，
原函数化为 ，
该函数在 上为减函数，在 上为增函数，
又当 时， ，当 时， ，当 时， .
∴函数 的值域为 ，
则函数 的值域为 .
故选：C.
【点睛】本题考查利用换元法及“对勾函数”的单调性求函数值域，是中档题.
5．设a， ，若 时，恒有 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用特殊值及解决恒成立问题常用分离参数转化为求最值问题即可求解.
【详解】当 时，恒有 ，
当 时，原式化为 ；
当 时，原式化为 ，即 ，
.
又 时， 恒成立；
，即 恒成立；
恒成立；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， 恒成立，
令 ，则
由二次函数的性质，知 在 单调递增；
，即 ，
又 ， ，则 .
对于A， ，故A不正确；
对于B， ，故B不正确；
对于C， ，故C 正确；
对于D， ，故D不正确.
故选：C.
6．已知函数 的图像关于 对称，且对任意的 ， ，总有
，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由函数单调性的定义可得 在 上是增函数，再结合对称性可比较大小.
【详解】因为对任意的 ，有 ，
不妨设 ，则有
因为 ，所以 ，即 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 在 上是增函数，
因为 的图像关于 对称，所以 ，故A错误；
，故B错误；
，故C错误，D正确.
故选：D
二、多选题
7．函数 满足条件：①对定义域内任意不相等的实数 ， 恒有 ；
②对定义域内任意两个实数 ， 都有 成立，则称为 函数，
下列函数为 函数的是（ ）
A． B．
C． ， D． ，
【答案】ABC
【分析】先判断两个条件分别确定函数为增函数，函数的图象是上凸函数，由此依次判断
四个选项即可．
【详解】解：因为对定义域内任意不相等的实数 ， 恒有 （a） （b） ，
所以 是增函数，
因为对定义域内任意两个实数 ， 都有 成立，
所以 为上凸函数，
对于 ，函数 是增函数，且 成立，所以函数为 函数，
故选项 正确；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于 ，函数 是增函数，且函数的图象是上凸函数，所以函数为 函数，故选项
正确；
对于 ，函数 ， 是增函数，且函数的图象是上凸函数，所以函数为
函数，故选项 正确；
对于 ，函数 ， 是增函数，但是函数的图象是下凹函数，所以函数不是
函数，故选项 错误．
故选： ．
8．关于函数 ，下列命题中正确的是（ ）
A．函数图象关于y轴对称
B．当 时，函数在 上为增函数
C．当 时，函数有最大值，且最大值为
D．函数的值域是
【答案】AC
【解析】利用奇偶性定义即可判断A正确；利用复合函数的单调性即值域的求法判断B错
误C正确D错误即可.
【详解】由题知， 的定义域为 ，且 ，所以
为偶函数，所以函数图像关于y轴对称，故A正确；
函数 由 和 复合而成的，令
，当 时， 为增函数，当 时， 为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】减函数；当 ，函数 为增函数，由复合函数的单调性可知 在 上为减函
数，在 上为增函数，故B错误；
时 是对勾函数 ，当 时取最小值2，而 ，即
是偶函数，故由偶函数性质知 ，当且仅当 时取等号，又 时，
函数 为减函数，故函数 ， 有最大值 ，故C正确；
当 时，值域为 ；同理当 时，函数 为减函数，故函数
， 有最小值 ，值域为 ，故D错误.
故选：AC.
【点睛】复合函数 单调性的判断方法为先将函数拆分为 和 ，
分别判断单调性，遵循“同增异减”的法则进行判断即可； 复合函数 值域的
求法，先求 的取值范围，再求 的取值范围即可得结果.
三、填空题
9．函数 的单调递减区间为________.
【答案】 ，
【分析】利用单调性的定义进行求解，设量，作差，变形，定号，下结论.
【详解】函数 的定义域为 ，任取 且 ，则
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，即 ，故 在 上为减函数；同
理，可得 在 上也为减函数.
故答案为： ， .
【点睛】本题主要考查简单函数的单调区间的求法，单调区间常用求解思路有：定义法，
图象法，侧重考查逻辑推理的核心素养.
10．二次函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是______.
【答案】
【解析】由条件可得 ，解出即可.
【详解】因为二次函数 在区间 上单调递增，
所以 ，即
故答案为：
11．如果对于函数 的定义域内任意两个自变量的值 ， ，当 时，都有
且存在两个不相等的自变量 ， ，使得 ，则称 为定义
域上的不严格的增函数．已知函数 的定义域、值域分别为 ， ， ，
且 为定义域 上的不严格的增函数，那么这样的函数 共有________个．
【答案】9
【分析】根据本题所给的定义，以及函数的定义对所给的函数进行讨论，解决此题要分三
类，三对一的对应，二对一的对应，三种来研究，进而得到答案．
【详解】解：由题意，若函数 是三对一的对应，则有 对应1；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对应2； 对应3，共三种方式，故此类函数有三种．
若函数是二对一的对应，则有 对应1，3对应2；
对应1，3对应3；
对应2，3对应3；
1对应1， 对应2；
1对应1， 对应3；
1对应2， 对应3，共有6种．
综上，这样的 共有 种．
由于一对一的对应不满足不严格函数的定义，故不考虑此情况．
故答案为：9．
12．已知 在 上单调递增，则实数a的取值范围为______.
【答案】
【分析】利用题给条件构造出关于实数a的不等式，解之即可求得实数a的取值范围.
【详解】由 ，可得
又 在 上单调递增，
则 在 上恒成立，则 在 上恒成立，
又 ，则 ，则
故答案为：
四、解答题
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】13．设函数 , ,函数 .
(1)若 时,画出函数 的图象,并指出函数的单调区间；
(2)求 在区间 上的最小值.
【答案】(1) 的图象如下图所示：
的单调递增区间 ,单调递减区间 ；
(2) .
【分析】(1)当 时,求出函数 和 的定义域,最后求出函数
的定义域，利用基本不等式求出函数 的最小值,画出函数
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】的图象,最后利用图象写出函数 的单调区间；
(2)根据(1)可以得到函数 的单调性,然后进行分类讨论,求出 在区间 上的最小
值.
【详解】(1)当 时，函数 的定义域为 , 的定义域为
,因此函数 ,定义域为 .因为 ,所以有
（当且仅当 时取等号）,函数图象如下图所示：
根据图象和函数的最小值可知： 的单调递增区间 ,单调递减区间 ；
(2)由(1)可知函数 定义域为 ，在 上单调递减，在
上单调递增.
当 时,即 时， ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时,即 时， ，综上所述：
.
【点睛】本题考查了函数 型函数的单调性,考查了分类讨论思想.
14．设函数 ，求证：函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数．
【答案】见解析
【分析】根据定义，设出x ，x ，作差，判断符号，即可证明函数的单调性．注意因式分
1 2
解时的方法．
【详解】任取x ，x ∈[0，+∞），且x <x ，
1 2 1 2
则f（x ）–f（x ）= ，
1 2
显然分母大于零，
由于0<x <x ，故x +x >0，x –x <0，故分子小于零，
1 2 1 2 1 2
因此f（x ）–f（x ）<0，即f（x ）<f（x ）．
1 2 1 2
因此函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数．
【点睛】本题考查了利用定义证明函数单调性的方法，注意格式书写要规范，属于基础题．
15．已知函数 ，二次函数 满足 ，且不等式
的解集为 ．
(1)求 ， 的解析式；
(2)设 ，根据定义证明： 在 上为增函数．
【答案】(1) ， ；
(2)证明见解析.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】（1）配凑法求出函数 的解析式，借助一元二次不等式解集求出 的解析
式作答.
（2）由（1）求出 ，再利用单调性定义推理作答.
【详解】（1）依题意， ，因此 ，
设二次函数 ，不等式 为： ，
则 是关于x的一元二次方程 的两个实根，且 ，
于是得 ，即 ，又 ，解得 ， ， ，
于是得 ，
所以 ， .
（2）由（1）知， ，
任取 ，且 ，
因 ，有 ， ， ，则 ，因此
，
所以函数 在 上为增函数．
16．设 是偶函数， 是奇函数，且 ，求函数 的解析
式．
【答案】 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】根据函数的奇偶性， 代替 ，列出方程组，即可求解函数 的解析式．
【详解】由题意，函数 是偶函数， 是奇函数，可得
，
由 ， ①
用 代替 ，可得 ，即 ， ②
由①②联立方程组，解得 .
【点睛】本题主要考查函数解析式的求解，以及函数的奇偶性的应用，其中解答中合理应
用函数的奇偶性，列出方程组是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
提升题型训练
一、单选题
1．函数y=x2-5x-6在区间[2，4]上是（ ）
A．递减函数 B．递增函数
C．先递减再递增函数 D．先递增再递减函数
【答案】C
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】利用二次函数的性质即可判断作答.
【详解】函数y=x2-5x-6的图象对称轴为 ，于是得这个函数在 上单调递减，在
上单调递增，
而 ， ，于是得这个函数在[2，4]上先减后增，
所以函数y=x2-5x-6在区间[2，4]上是先递减再递增函数.
故选：C
2．定义 ，若函数 在 上单调递减，则实数 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用给定的定义求出函数 ，再求出其单调递减区间即可求解作答.
【详解】由给定的定义知 ，
显然函数 的单调递减区间是 ，而函数 在 上单调递减，
于是得 ，因此 ，
所以实数 的取值范围是 .
故选：D
3．已知 ，若函数 在 上为减函数，且函数
在 上有最大值，则a的取值范围为（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由复合函数 在 上的单调性可构造不等式求得 ，结合已知可知
；当 时， ，若 ，可知 无最大值；
若 ，可得到 ，解不等式，与 的范围结合可求得结果.
【详解】 在 上为减函数 ，解得：
当 时， ，此时
当 ， 时， 在 上单调递增
无最大值，不合题意
当 ， 时， 在 上单调递减
若 在 上有最大值 ，解得：
，又
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选
【点睛】本题考查根据复合函数单调性求解参数范围、根据分段函数有最值求解参数范围
的问题；关键是能够通过分类讨论的方式得到 处于不同范围时 在区间内的单调性，
进而根据函数有最值构造不等式；易错点是忽略对数真数大于零的要求，造成范围求解错
误.
4．已知函数 在 上是增函数，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先考虑函数 在 上是增函数，再利用复合函数的单调性得
出 求解即可.
【详解】设函数
在 上是增函数
，解得
故选：A
【点睛】本题主要考查了由复合函数的单调性求参数范围，属于中档题.
5．当 时，函数 有最小值是 ，则 的值为（ ）
A． B．1 C．3 D．1或3
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】B
【解析】按照对称轴与区间 ， 的位置关系分三种情况进行讨论求得函数的最小值，令
其等于 ，解得 值．
【详解】解：函数 图象的对称轴为 ，
（1）当 ，即 时， ，不成立；
（2）当 ，即 时， ，
即 ，解得 或 （舍 ，
（3）当 ，即 时， ，
解得 （舍 ；
综上， ，
故选： ．
【点睛】本题考查二次函数在闭区间上的最值问题，考查分类讨论思想，属于中档题．
6．已知函数 是定义在 上的单调函数，且 ，则 的值
为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【分析】令 ，代入条件等式可得 ，令 代入条件等式可得
，
结合函数单调性有 ，求解，根据定义域排除可得 ，即有
【详解】设 ，由题意知 ，代入 得，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
∵定义域为 ，∴ .
令 代入 得，
，
∵函数 是定义在 上的单调函数，∴ ，解得 或 （舍），
∴ .
故选：A．
二、多选题
7．已知函数 的图象由如图所示的两段线段组成，则下列正确的为（ ）
A．
B．函数 在区间 上的最大值为2
C． 的解析式可表示为：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】D． ，不等式 的解集为
【答案】BCD
【分析】根据给定条件，求出函数 的解析式，再逐项判断作答.
【详解】依题意，当 时，令 ，则 ，解得 ，
，
当 时，令 ，则 ，解得 ， ，
因此 ，
对于A， ，A不正确；
对于B，函数 在 上递减，在 上递增，而 ，因此函数
在区间 上的最大值为2，B正确；
对于C，因当 时， ，当 时， ，
则当 时， ，C正确；
对于D，因 ，观察图象知，当 时，不等式 的解集为 ，
D正确.
故选：BCD
8．函数 与函数 在同一坐标系中的图象可能是（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】确定函数的平移方向，考虑 和 两种情况，对比选项得到答案.
【详解】 ，函数是由 向上平移 个单位，向左平移 个
单位.
根据图像知 ，
当 时，AC满足一次函数图像，C不满足反比例函数图像；
当 时，BD 满足一次函数图像，D不满足反比例函数图像；
故选：AB
三、填空题
9． 的最大值为______．
【答案】
【分析】由根式性质求定义域，应用二次函数性质求出 最大值，即可得函数最
大值.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】由 ，故 ，而 ，
所以，当 时 ，即函数 的最大值为 .
故答案为：
10．已知函数 在 上单调,则实数 取值范围是__________.
【答案】 或
【分析】二次函数在 上单调,即 或 ，求解即可.
【详解】函数 对称轴为
在 上单调,即 或 ，
即： 或 .
故答案为： 或
【点睛】此题考查根据二次函数在某一区间的单调性求参数范围，关键在于根据对称轴准
确讨论.
11．函数 在 上的最小值为8，则实数 ______.
【答案】3
【分析】由已知结合对勾函数的性质，讨论已知函数在区间 上单调性，进而可求出结
果.
【详解】令 ，解得 ，当 时，即 ，
函数在 上单调递减， ，则 ，符合题意；
当 时，即 ，
函数在 上单减，在 上单增， ，解得 （舍）；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时，即 ，函数在 上单调递增， ，解得 （舍），综
上得 .
故答案为：3.
【点睛】本题主要考查了对勾函数单调性的应用，体现了分类讨论思想的应用，属于中档
题.
12．已知 ， ，若 对任意 都成立，则
的取值范围是______．
【答案】
【分析】不等式化为 ，令 ， ，可得
，分别讨论 ， ，和 时，求最值可得出.
【详解】不等式两边同时除以 得 ，
整理得 ，
令 ， ，则 ，则 ，
由于对任意 都成立，则有 对任意 恒成立，
（1）当 时， 不成立，不符合题意；
（2）当 时，则当 时，不等式左边取到最小，右边取到最大，满足题意，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，解得 ，与 矛盾，不符合；
（3）当 时，
①当 时，则当 时，不等式左边取到最小，右边取到最大，满足题意，
则 ，解得 ， ；
②当 时，有 ，即 ，
则当 时， 取得最大值为 ，
则 ， ；
③当 时， 恒成立，满足题意，
综上所述， 的取值范围是 .
故答案为： .
【点睛】关键点睛：本题考查不等式的恒成立问题，解题的关键是将不等式转化为
在 恒成立，再讨论 的范围即可.
四、解答题
13．已知函数 ,当自变量x在下列范围内取值时,求函数的最大值和最小
值.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)R；(2) ；(3) .
【答案】(1) 最小值为 ,无最大值；(2) 最大值为5，最小值为 ；(3) 最大值为20，最
小值为 .
【解析】利用二次函数图象的对称轴与给定范围的关系可求函数的最值.
【详解】 ，
函数 的图象如图所示，该图象的对称轴为直线 .
(1)当 时， ，当 时，等号成立.
故当 时，函数 的最小值为 ，无最大值.
(2)由图可知，在 上，函数 在 处取得最大值，最大值为5，在 处取得最小
值，最小值为 .
(3)由图可知，在 上，函数 在 处取得最大值，最大值为20，在 处取得
最小值，最小值为 .
【点睛】本题考查二次函数在给定范围上的最值，一般结合对称轴与给定范围的位置关系
求最值，本题考查了学生数形结合的数学思想和运算求解能力，属于基础题.
14．已知函数 ，且 ， .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（1）求 ， ；
（2）判断 在 上的单调性并证明.
【答案】（1） ；（2）单调递减，证明见解析.
【分析】（1）根据 ， 列方程组，解方程组即可求解；
（2）由（1）可得 解析式，利用单调性的定义，取值、作差、变形、定号、下结论即
可求证.
【详解】（1）因为 ， ，
所以 ，解得 ，
（2）由（1）知： ， 在 上单调递减，
证明如下：在 上任取 ， ，且 ，
则 ，
因为 ，
所以 ， ， ，
可得 ，
所以 ，
所以 在 上单调递减.
15．设函数 的定义域为 ，且有： ，② 对任意正实数 都有
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，③ 为减函数
（1）求： 的值；
（2）求证：当 时， ；
（3）求证：当 时，都有 ；
（4）解不等式： .
【答案】（1） ， ， ， ， ；（2）证明见解析；
（3）证明见解析；（4） .
【分析】（1）由 结合 求解
的值；
（2）由 ，结合单调性证明不等式即可；
（3）由 ，结合 ，即可得证；
（4）由 将原不等式化为 ，结合单
调性解不等式即可.
【详解】（1） ，
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】.
（2）因为f(1)=0且f(x)为减函数，所以当 时，
（3） ，
所以当 时，都有
（4） ，所以
，因为 在定义域 上为减函数，所以
【点睛】关键点睛：在解抽象不等式时，关键是利用函数的单调性求解不等式.
16．对于定义在区间 上的函数 ，若存在闭区间 和常数 ，使得对任意
，都有 ，且对任意 ，当 时 恒成立，则称函数
为区间 上的“平底型”函数.
（I）若函数 是 上的“平底型”函数，求 的值；
（Ⅱ）判断函数 是否为 上的“平底型”函数？并说明理由；
（Ⅲ）若函数 是区间 上的“平底型”函数，且函数的最小值为 ，
求 .
的值．
【答案】（I） ;（Ⅱ）不是“平底型”函数; （Ⅲ）
【分析】（I）根据“平底型”函数定义可知 ，从而可求得 的值．（Ⅱ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】时 ,当 时 ,存在 时 所以不符合
“平底型”函数的定义．（Ⅲ）根据函数 的最小值为1,可得 ,
移项平方法去绝对值可得 的值.
【详解】（I）若函数 是 上的“平底型”函数,
则 或
当 时， ，不符合题意，而当 ， 时， 为常数
时， ， 时， ，同理类似的可验证 符合题意，所
以 ;
（Ⅱ） ， ，对任意 ,总存在 ，使得 ,所以不
是“平底型”函数;
（Ⅲ） 是区间 上的“平底型”函数，且函数最小值为 ，
所以
根据对应相等得， , 于是
当 时, 是“平底型”函数
时, 不是“平底型”函数．
【点睛】关键点点睛：本题解题关键是理解“平底型”函数定义，考查函数的恒成立、函
数的最值，属于难题.
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