文档文本内容
2.2 函数的单调性与最值
思维导图
知识点总结
知识点一 增函数与减函数的定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：
(1)如果∀x，x∈D，当x<x 时，都有f(x)<f(x)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，
1 2 1 2 1 2
特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是 ．
(2)如果∀x，x∈D，当x<x 时，都有f(x)>f(x)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，
1 2 1 2 1 2
特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是 ．
思考 (1)所有的函数在定义域上都具有单调性吗？
(2)在增函数和减函数定义中，能否把“任意x，x∈D”改为“存在x，x∈D”？
1 2 1 2
答案 (1)不是；(2)不能．知识点二 函数的单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严
格的) ，区间D叫做y＝f(x)的 ．
特别提醒：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以
单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能
开．
(2)单调区间D⊆定义域I.
(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大．
知识点三 函数的最大(小)值及其几何意义
最值 条件 几何意义
①对于∀x∈I，都有 ，
最大值 函数y＝f(x)图象上最高点的纵坐标
②∃x∈I，使得
0
①对于∀x∈I，都有 ，
最小值 函数y＝f(x)图象上最低点的纵坐标
②∃x∈I，使得
0
思考 函数f(x)＝x2＋1≥－1总成立，f(x)的最小值是－1吗？
答案 f(x)的最小值不是－1，因为f(x)取不到－1.
知识点四 求函数最值的常用方法
1．图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最
大(小)值．
2．运用已学函数的值域．
3．运用函数的单调性：
(1)若y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数，则y ＝ ，y ＝ ．
max min
(2)若y＝f(x)在区间[a，b]上是减函数，则y ＝ ，y ＝ ．
max min
4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个．
典型例题分析
考向一 函数单调性的判定与证明
例1 根据定义，研究函数f(x)＝在x∈(－1,1)上的单调性．反思感悟 利用定义判断或证明函数单调性的步骤
考向二 求单调区间并判断单调性
例2 (1)如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及
在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？(1)函数单调区间的两种求法
①图象法．即先画出图象，根据图象求单调区间．
②定义法．即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解．
(2)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出
现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来
表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有．
考向三 利用函数的单调性求最值
例3 已知函数f(x)＝，x∈[3,5]．
(1)判断函数f(x)的单调性并证明；
(2)求函数f(x)的最大值和最小值．反思感悟 (1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为
f(a)．
(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b)．
(3)若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定
出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．
(4)如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的
函数值或者发展趋势．
基础题型训练
一、单选题
1．函数 在 上是减函数，则（ ）
A． B．
C． D．
2．若函数f(x)是R上的增函数，对实数a，b，若a＋b>0，则有( )
A．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b) B．f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)
C．f(a)－f(b)>f(－a)－f(－b) D．f(a)－f(b)<f(－a)－f(－b)
3．函数 为 的导函数，令 ，则下列关系正
确的是（ ）A． B． C． D．
4．函数 的值域为
A． B． C． D．
5．设a， ，若 时，恒有 ，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数 的图像关于 对称，且对任意的 ， ，总有
，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．函数 满足条件：①对定义域内任意不相等的实数 ， 恒有 ；
②对定义域内任意两个实数 ， 都有 成立，则称为 函数，
下列函数为 函数的是（ ）
A． B．
C． ， D． ，
8．关于函数 ，下列命题中正确的是（ ）
A．函数图象关于y轴对称B．当 时，函数在 上为增函数
C．当 时，函数有最大值，且最大值为
D．函数的值域是
三、填空题
9．函数 的单调递减区间为________.
10．二次函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是______.
11．如果对于函数 的定义域内任意两个自变量的值 ， ，当 时，都有
且存在两个不相等的自变量 ， ，使得 ，则称 为定义
域上的不严格的增函数．已知函数 的定义域、值域分别为 ， ， ，
且 为定义域 上的不严格的增函数，那么这样的函数 共有________个．
12．已知 在 上单调递增，则实数a的取值范围为______.
四、解答题
13．设函数 , ,函数 .
(1)若 时,画出函数 的图象,并指出函数的单调区间；
(2)求 在区间 上的最小值.
14．设函数 ，求证：函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数．15．已知函数 ，二次函数 满足 ，且不等式
的解集为 ．
(1)求 ， 的解析式；
(2)设 ，根据定义证明： 在 上为增函数．
16．设 是偶函数， 是奇函数，且 ，求函数 的解析
式．
提升题型训练
一、单选题
1．函数y=x2-5x-6在区间[2，4]上是（ ）
A．递减函数 B．递增函数
C．先递减再递增函数 D．先递增再递减函数
2．定义 ，若函数 在 上单调递减，则实数 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知 ，若函数 在 上为减函数，且函数在 上有最大值，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数 在 上是增函数，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
5．当 时，函数 有最小值是 ，则 的值为（ ）
A． B．1 C．3 D．1或3
6．已知函数 是定义在 上的单调函数，且 ，则 的值
为（ ）
A． B． C． D．4
二、多选题
7．已知函数 的图象由如图所示的两段线段组成，则下列正确的为（ ）A．
B．函数 在区间 上的最大值为2
C． 的解析式可表示为：
D． ，不等式 的解集为
8．函数 与函数 在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
9． 的最大值为______．
10．已知函数 在 上单调,则实数 取值范围是__________.
11．函数 在 上的最小值为8，则实数 ______.12．已知 ， ，若 对任意 都成立，则
的取值范围是______．
四、解答题
13．已知函数 ,当自变量x在下列范围内取值时,求函数的最大值和最小
值.
(1)R；(2) ；(3) .
14．已知函数 ，且 ， .
（1）求 ， ；
（2）判断 在 上的单调性并证明.
15．设函数 的定义域为 ，且有： ，② 对任意正实数 都有
，③ 为减函数
（1）求： 的值；
（2）求证：当 时， ；
（3）求证：当 时，都有 ；
（4）解不等式： .
16．对于定义在区间 上的函数 ，若存在闭区间 和常数 ，使得对任意，都有 ，且对任意 ，当 时 恒成立，则称函数
为区间 上的“平底型”函数.
（I）若函数 是 上的“平底型”函数，求 的值；
（Ⅱ）判断函数 是否为 上的“平底型”函数？并说明理由；
（Ⅲ）若函数 是区间 上的“平底型”函数，且函数的最小值为 ，
求 .
的值．
