文档内容
专题 2.2 函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性【九大题型】
【新高考专用】
【题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解】.................................................................................................2
【题型2 利用函数的单调性求参数】......................................................................................................................4
【题型3 利用函数的单调性求最值】......................................................................................................................6
【题型4 函数的奇偶性及其应用】..........................................................................................................................9
【题型5 函数的对称性及其应用】........................................................................................................................10
【题型6 函数的周期性及其应用】........................................................................................................................12
【题型7 利用函数的性质比较大小】....................................................................................................................16
【题型8 利用函数的性质解不等式】....................................................................................................................18
【题型9 函数性质的综合应用】............................................................................................................................21
1、函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性
从近五年的高考情况来看，本节是高考的一个重点，函数的单调性、奇偶性、周期性是高考的必考内
容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图象、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充
分运用转化思想和数形结合思想.对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性，利用性质
判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小；对于解答题部分，一般与导数结合，考
查难度较大.
【知识点1 函数的单调性与最值的求法】
1.求函数的单调区间
求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.
2.函数单调性的判断
(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.
(2)函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的
原则.
3.求函数最值的三种基本方法：
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.
4.复杂函数求最值：
对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.
【淘宝店铺：向阳百分百】【知识点2 函数的奇偶性及其应用】
1.函数奇偶性的判断
判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关
系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.
2.函数奇偶性的应用
(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的
函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.
(2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.
【知识点3 函数的周期性与对称性常用结论】
1．函数的周期性常用结论(a是不为0的常数)
(1)若f(x+a)=f(x)，则T=a；
(2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a；
(3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a；
(4)若f(x+a)= ，则T=2a；
(5)若f(x+a)= ，则T=2a；
(6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b);
2．对称性的三个常用结论
(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线 对称.
(2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点 对称.
(3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点 对称.
【题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解】
【例1】（2023·海南海口·统考模拟预测）函数f(x)=x2-4|x|+3的单调递减区间是（ ）
A．(-∞,-2) B．(-∞,-2)和(0,2)
【淘宝店铺：向阳百分百】C．(-2,2) D．(-2,0)和(2,+∞)
【解题思路】将绝对值函数转化成分段函数，由二次函数的性质即可求
【解答过程】f (x)=x2-4|x|+3=¿，
则由二次函数的性质知，当 x≥0时，y=x2-4x+3=(x-2) 2-1的单调递减区间为(0,2)；
当x<0，y=x2+4x+3=(x+2) 2-1的单调递减区间为(-∞,-2)，
故f (x)的单调递减区间是(-∞,-2)和(0,2).
故选：B.
【变式1-1】（2023上·北京海淀·高一人大附中校考期中）“函数f (x)在区间[1,2]上不是增函数”的一个充
要条件是（ ）
A．“存在a，b∈[1,2]，使得a-1
x -x
1 2
A．y=f(x)+x是增函数 B．y=f(x)+x是减函数
C．y=f(x)是增函数 D．y=f(x)是减函数
f (x )-f (x )
【解题思路】对题中条件 1 2 >-1进行变化，构造新函数g(x)=f(x)+x，根据增、减函数的定
x -x
1 2
义即可.
【解答过程】不妨令x -1⇔f(x )-f(x )<-(x -x )⇔f(x )+x 1，函数单调递减，则x⩽1也应为减函数，同时注意分界点处的纵坐标大
小关系即可列出不等式组，解出即可.
1
【解答过程】显然当x>1时，f (x)= 为单调减函数，f (x)0，即a>√2或a<-√2，
x-2 x-2 x-2
因为“3≤a<4”能推出“a>√2或a<-√2”，反之不成立，
所以命题q是命题p的必要不充分条件，
故选：B．
【变式2-3】（2023·北京丰台·统考一模）已知函数f (x)的定义域为R，存在常数t(t>0)，使得对任意
| t|
x∈R，都有f(x+t)=f(x)，当x∈[0,t)时，f(x)= x- ．若f (x)在区间(3,4)上单调递减，则t的最
2
小值为（ ）
【淘宝店铺：向阳百分百】8 8
A．3 B． C．2 D．
3 5
【解题思路】根据函数的周期性和绝对值型函数的单调性进行求解即可.
【解答过程】因为存在常数t(t>0)，使得对任意x∈R，都有f(x+t)=f(x)，
所以函数的周期为t，
| t| t
当x∈[0,t)时，函数f(x)= x- 在[0, )单调递减，
2 2
| t| (2n+1)t
所以当x≥0时，函数f(x)= x- 在[nt, )(n∈N*)上单调递减，
2 2
因为f (x)在区间(3,4)上单调递减，
所以有¿，
故选：B.
【题型3 利用函数的单调性求最值】
【例3】（2023·江西九江·校考模拟预测）若00和a<0三种情况，画出M(x)的图象，数形结合得
x
到取得最小值的点，进而求出该点坐标，得到答案.
2
【解答过程】令h(x)=x- ，定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，令h(x)=0，得x=±√2，
x
且在(-∞,0),(0,+∞)上单调递增，
画出函数图象如下：
【淘宝店铺：向阳百分百】| 2|
则f (x)= x- 的图象如下：
x
若a=0，则g(x)=2，画出M(x)的图象如下，
显然最小值为2，不合题意，
若a>0，则画出M(x)的图象如下：
显然函数在A点取得最小值，
2
令 -x=1，解得x=-2，正值舍去，
x
1
令-2a+2=1，解得a= ，
2
若a<0，则画出M(x)的图象如下：
【淘宝店铺：向阳百分百】显然函数在B点取得最小值，
2
令x- =1，解得x=2，负值舍去，
x
1
令2a+2=1，解得a=- ，
2
1
综上，a=±
.
2
故选：B.
2xy xy
【变式3-2】（2023下·山东青岛·高一统考开学考试）已知x>0，y>0，S= + ，则（ ）
4x2+ y2 x2+ y2
9 2√2
A．S的最大值是 B．S的最大值是
10 3
3 9√2
C．S的最大值是 D．S的最大值是
2 4
(2x y)
3 +
y x 2x y
【解题思路】根据题意整理得S= ，令t= + ，利用基本不等式求得t∈[2√2,+∞)，进
(2x y) 2 y x
+ +1
y x
3
S=
而整理可得 1，结合对勾函数求最值.
t+
t
【解答过程】∵
(2x y) (2x y)
3 + 3 +
2xy xy 2xy(x2+ y2)+xy(4x2+ y2) 6x3y+3x y3 y x y x
S= + = = = = ，
4x2+ y2 x2+ y2 (4x2+ y2)(x2+ y2) 4x4+5x2y2+ y4 (2x) 2 ( y) 2 (2x y) 2
+ +5 + +1
y x y x
【淘宝店铺：向阳百分百】2x y
令t= + ，
y x
2x y √2x y 2x y
∵x>0，y>0，则t= + ≥2 × =2√2，当且仅当 = ，即y=√2x时等号成立，
y x y x y x
(2x y)
3 +
y x 3t 3
故t∈[2√2,+∞)，可得S= = = ，
(2x
+
y) 2
+1
t2+1
t+
1
y x t
1 1 9√2
又∵f (t)=t+ 在[2√2,+∞)上单调递增，则f (t)≥f (2√2)=2√2+ = ，
t 2√2 4
3 3 2√2
S= ≤ = 2√2
∴ 1 9√2 3 ，即S的最大值是 .
t+ 3
t 4
故选：B.
【变式3-3】（2023上·浙江·高三校联考期中）已知函数f (x)的定义域为R+，对于任意的x，y∈R+，都有
f (x)+f (y)=f (xy)+1，当x>1时，都有f (x)>1，且f (2)=2，当x∈[1,16]时，则f (x)的最大值是（ ）
A．5 B．6 C．8 D．12
【解题思路】找到函数值特殊的点，得到部分特殊函数值，利用给定的抽象函数定义求出端点值后，判断
函数单调性即可求出最大值即可.
【解答过程】令x= y=1，则f (1)=1，且f (2)+f (2)=f (4)+1
故f (4)=3，f (4)+f (4)=f (16)+1，故f (16)=5
x (x )
且令x=x ，y= 2 ，可得f (x )+f 2 =f (x )+1
1 x 1 x 2
1 1
设x >x ，则 x 2>1，f (x )-f (x )=1-f (x 2) <0
2 1 x 1 2 x
1 1
则f (x )g(f (2024))
【解题思路】利用函数的奇偶性的定义判断选项A，B；利用函数的单调性判断选项C，D.
【解答过程】易知函数f (x),g(x)的定义域均为R．当x≥0时，易知函数f (x)在[0,+∞)上单调递增，
又f (-x)+f (x)=ln(√x2+1-x)-2x3+ln(√x2+1+x)+2x3=ln1=0，所以f (x)为奇函数，
易知f (0)=0，所以函数f (x)在(-∞,+∞)上单调递增．
因为g(x)是定义在R上的偶函数，且在(-∞,0]上单调递增，所以g(x)在[0,+∞)上单调递减．
选项A：因为f (-x)⋅|g(-x)|=-f (x)⋅|g(x)|，所以f (x)⋅|g(x)|是奇函数，所以A错误；
选项B：因为|f (-x)|⋅g(-x)=|f (x)|⋅g(x)，所以|f (x)|⋅g(x)是偶函数，所以B错误；
选项C：因为g(2023)>g(2024)，所以f (g(2023))>f (g(2024))，所以C错误；
选项D：因为0=f (0)g(f (2024))，所以D正确．
故选：D.
【题型5 函数的对称性及其应用】
x2
【例5】（2023·河南信阳·信阳高中校考模拟预测）已知函数f (x)= ，则（ ）
x2-6x+18
A．f (x)是偶函数 B．f (x)是奇函数
C．f (x)的图象关于直线x=3对称 D．f (x)的图象关于点(3,1)成中心对称
x2
【解题思路】对AB，根据f (-x)= 判断即可；对C，举反例判断即可；对D，计算可得
x2+6x+18
f (6-x)+f (x)=2即可判断.
【淘宝店铺：向阳百分百】x2
【解答过程】对AB，由f (-x)= ，易知选项A，B不正确；
x2+6x+18
2 8
对C，易得f (2)= ，f (4)= ，故f (2)≠f (4)，故选项C不正确；
5 5
x2 (6-x) 2 x2 2x2-12x+36
对D，f (x)= ，故f (6-x)+f (x) = + = =2，
(x-3) 2+9 (3-x) 2+9 (x-3) 2+9 (x-3) 2+9
故f (x)的图象关于点(3,1)中心对称.
故选：D.
【变式5-1】（2023·全国·模拟预测）已知定义在R上的函数f (x)满足对任意实数x有
1 23
f (x+2)=f (x+1)-f (x)，若y=f (2x)的图象关于直线x= 对称，f (1)=2，则∑❑f(k)=（ ）
2
k=1
A．2 B．1 C．-1 D．-2
【解题思路】由题意
f (x+2)=f (x+1)-f (x)⇒f (x+3)=f (x+2)-f (x+1)⇒f (x+3)=-f (x)⇒f (x+6)=f (x)，从而f (x)是
1
周期函数，又y=f (2x)的图象关于直线x= 对称，从而函数f (x)的图象关于直线x=1对称，由
2
f (1)=2⇒f (2),f (3),f (4),f (5),f (6)，从而即可求解.
【解答过程】因为f (x+2)=f (x+1)-f (x)，所以f (x+3)=f (x+2)-f (x+1)，
从而可得f (x+3)=-f (x)，所以f (x+6)=f (x)，所以函数f (x)的一个周期为6．
1
因为y=f (2x)的图象关于直线x= 对称，
2
所以f (1-2x)=f (1+2x)， 即函数f (x)的图象关于直线x=1对称．
又f (1)=2，f (2)=f (1)-f (0)，
所以f (2)=f (0)=1，所以f (3)=-f (0)=-1,f (4)=-f (1)=-2,f (5)=-f (2)=-1,f (6)=f (0)=1，
所以f (1)+f (2)+⋅⋅⋅+f (6)=0．由于23除以6余5，
23
所以∑❑f(k)=f(1)+ f(2)+⋅⋅⋅+f(5)=-f(6)=-1．
k=1
故选：C．
【变式5-2】（2023·四川绵阳·绵阳中学校考一模）若函数y=f (x)满足f (a+x)+f(a-x)=2b，则说
【淘宝店铺：向阳百分百】x x+1 x+2 x+2021 x+2022
y=f (x)的图象关于点(a,b)对称，则函数f(x)= + + +...+ + 的对称中心
x+1 x+2 x+3 x+2022 x+2023
是（ ）
A．(-1011,2022) B．(1011,2022)
C．(-1012,2023) D．(1012,2023)
【解题思路】求出定义域，由定义域的对称中心，猜想a=-1012，计算出
f(-1012+x)+f(-1012-x)=4046，从而求出对称中心.
【解答过程】函数定义域为{x|x≠-1,x≠-2...,...x≠-2022,x≠-2023}，
定义域的对称中心为(-1012,0)，所以可猜a=-1012，
-1012+x -1011+x -1010+x 1009+x 1010+x
则f(-1012+x)= + + +...+ + ，
-1011+x -1010+x -1009+x x+1010 1011+x
-1012-x -1011-x -1010-x 1009-x 1010-x
f(-1012-x)= + + +...+ +
-1011-x -1010-x -1009-x 1010-x 1011-x
1012+x 1011+x 1010+x 1009-x 1010-x
= + + +...+ + ，
1011+x 1010+x 1009+x 1010-x 1011-x
故f(-1012+x)+f(-1012-x)
(1010+x 1012+x) (1009+x 1011+x)
(
-1012+x 1010-x)
= + + + ⋯+ +
1011+x 1011+x x+1010 1010+x -1011+x 1011-x
=2×2023=4046
所以y=f (x)的对称中心为(-1012,2023)，
故选：C．
【变式5-3】（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知函数f(x)的定义域为R，f (x-1)的图
f (x )-f (x )
象关于点(1,0)对称，f (3)=0，且对任意的x ,x ∈(-∞,0)，x ≠x ，满足 2 1 <0，则不等式
1 2 1 2 x -x
2 1
(x-1)f (x+1)≥0的解集为（ ）
A．(-∞,1]∪[2,+∞) B．[-4,-1]∪[0,1]
C．[-4,-1]∪[1,2] D．[-4,-1]∪[2,+∞)
【解题思路】首先根据f(x-1)的图象关于点(1,0)对称，得出(x)是定义在R上的奇函数，由对任意的x ，
1
f(x )-f(x )
x ∈(-∞,0)，x ≠x ，满足 2 1 <0，得出f(x)在(-∞,0)上单调递减，然后根据奇函数的对
2 1 2 x -x
2 1
【淘宝店铺：向阳百分百】称性和单调性的性质，求解即可．
【解答过程】∵f(x-1)的图象关于点(1,0)对称，∴f(x)的图象关于点(0,0)对称，∴f(x)是定义在R上
的奇函数，
f(x )-f(x )
∵对任意的x ，x ∈(-∞,0)，x ≠x ，满足 2 1 <0，∴f(x)在(-∞,0)上单调递减，所以
1 2 1 2 x -x
2 1
f(x)在(0,+∞)上也单调递减，
又f (3)=0所以f (-3)=0，且f (0)=0，
所以当x∈(-∞,-3)∪(0,3)时，f (x)>0；当x∈(-3,0)∪(3,+∞)时，f (x)<0，
所以由(x-1)f (x+1)≥0可得¿或¿或x-1=0，
解得-4≤x≤-1或1≤x≤2，即不等式(x-1)f (x+1)≥0的解集为¿．
故选：C.
【题型6 函数的周期性及其应用】
1-f (x)
【例6】（2023·全国·模拟预测）已知f (x+1)= .若f (x)是以2为最小正周期的周期函数，则a=
a+f (x)
（ ）
A．2 B．1 C．-1 D．-2
【解题思路】计算f (x+2)根据函数的周期性有f (x+2)=f (x)，比较等式两端求a.
【解答过程】因为f (x)是以2为最小正周期的周期函数，所以
1-f (x)
1-
1-f (x+1) a+f (x)
f (x+2)= =
a+f (x+1) 1-f (x)
a+
a+f (x)
a-1+2f (x)
= =f (x)，
a2+1+(a-1)f (x)
所以¿
解得a=1.
故选:B.
【变式6-1】（2023·江西上饶·校联考模拟预测）已知函数f (x)及其导函数f'(x)的定义域均为R，对任意的
x,y∈R，恒有f (x+ y)+f (x- y)=2f (x)⋅f (y)，则下列说法错误的是（ ）
A．f (0)=1 B．f'(x)必为奇函数
【淘宝店铺：向阳百分百】1 2023 1
C．f (x)+f (0)≥0 D．若f (1)= ，则∑ f (n)=
2 2
n=1
【解题思路】利用赋值法求f(0)的值，判断A；赋值法结合导数以及函数奇偶性的定义，判断B；赋值法
2023
结合换元法判断C；利用赋值法求得f(n)，n∈N*的值有周期性，即可求得∑❑f(n)的值，判断D．
n=1
【解答过程】对于A，令x= y=0，则由f(x+ y)+f(x- y)=2f(x)⋅f(y)可得，2f(0)=2f2 (0)，
故f(0)=0或f(0)=1，故A错误；
对于B，当f(0)=0时，令y=0，则f(x)+f(x)=2f(x)⋅f(0)=0，则f(x)=0，
故f' (x)=0，函数f' (x)既是奇函数又是偶函数；
令x=0，则f(y)+f(- y)=2f(0)⋅f(y)，则f' (y)-f' (- y)=2f(0)⋅f' (y)，
当f(0)=1时，f' (y)-f' (- y)=2f' (y)，则f' (- y)=-f' (y)，y∈R为奇函数，
综合以上可知f' (x)必为奇函数，B正确；
对于C，令x= y，则f(2x)+f(0)=2f2 (x)，故f(2x)+f(0)≥0，
由于x∈R，令t=2x，t∈R，即f(t)+f(0)≥0，即有f(x)+f(0)≥0，故C正确；
1
对于D，若f(1)= ，令x=1，y=0，则f (1)+f (1)=2f (1)⋅f (0)，则f(0)=1，
2
1 1
故令x= y=1，则f(2)+f(0)=2f2 (1)，即f(2)+1= ，∴ f(2)=- ，
2 2
1 1
令x=2，y=1，则f(3)+f(1)=2f(2)f(1)，即f(3)+ =- ，∴f(3)=-1，
2 2
1 1
令x=3，y=1，则f(4)+f(2)=2f(3)f(1)，即f(4)- =-1，∴ f(4)=- ，
2 2
1 1
令x=4，y=1，则f(5)+f(3)=2f(4)f(1)，即f(5)-1=- ，∴ f(5)= ，
2 2
1 1
令x=5，y=1，则f(6)+f(4)=2f(5)f(1)，即f(6)- = ，∴f(6)=1，
2 2
【淘宝店铺：向阳百分百】1 1
令x=6，y=1，则f(7)+f(5)=2f(6)f(1)，即f(7)+ =1，∴ f(7)= ，
2 2
由此可得f(n)，n∈N*的值有周期性，且6个为一周期，且f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0，
2023
1
故∑❑f(n)=337×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)]+f(1)= ，故D正确，
2
n=1
故选：A．
【变式6-2】（2023·天津河西·统考三模）已知f(x)为定义在R上的偶函数，当x≥0时，有
f(x+1)=-f(x)，且x∈[0,1)时；f(x)=log (x+1)，给出下列命题：①f(2013)+f(-2014)=0；②
2
函数f(x)在定义域R上是周期为2的周期函数；③直线y=x与函数y=f(x)的图象有1个交点；④函数
f(x)的值域为(-1,1)，其中正确命题有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解题思路】由函数关系式及偶函数的性质可知f(x)在x≥0、x≤0上分别是周期为2的函数，并可写出其
对应的函数解析式，结合函数图象，即可判断各项的正误.
【解答过程】由题设，f(x+2)=-f(x+1)=f(x)，即f(x)是周期为2的函数，
令1≤x<2，则0≤x-1<1，而x∈[0,1)时；f(x)=log (x+1)，
2
∴f(x)=-f(x-1)=-log x.
2
log (x+1),0≤x<1
∴综上： f(x)={ 2 且在x≥0上周期为2.
-log x,1≤x<2
2
∵f(x)为定义在R上的偶函数，
log (1-x),-11，x ≠x 时，[f (x )-f (x )](x -x )<0，记a=f ，b=f ，c=f ，则（ ）
1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2
【淘宝店铺：向阳百分百】A．b>c>a B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b
【解题思路】根据题意能得到函数f (x)关于直线x=1轴对称，且f (x)在(-∞,1)上单调递增，然后根据离对
称轴的远近比较大小.
【解答过程】由∀x ,x >1，x ≠x 时，[f (x )-f (x )](x -x )<0得函数f (x)在(1,+∞)上单调递减，
1 2 1 2 1 2 1 2
由f (1+x)=f (1-x)得函数f (x)关于直线x=1轴对称，
所以函数f (x)在(-∞,1)上单调递增.
|√2 | |1.4 | |√3 | |1.7 |
又因为 -1 ≈ -1 =0.3（最远离x=1）， -1 ≈ -1 =0.15（最靠近x=1），
2 2 2 2
|√6 | |2.4 |
-1 ≈ -1 =0.2，
2 2
(√3) (√6) (√2)
所以f >f >f .
2 2 2
故选：A.
【变式7-1】（2022·全国·高一专题练习）定义在R上函数y=f (x)满足以下条件：①函数y=f (x)图象关于
x=1轴对称，②对任意x ,x ∈(-∞,1]，当x ≠x 时都有
f (x
1
)-f (x
2
)
<0，则f (0)，f
(3)
，f (3)的大小
1 2 1 2 x -x 2
1 2
关系为（ ）
(3) (3)
A．f >f (0)>f (3) B．f (3)>f (0)>f
2 2
(3) (3)
C．f >f (3)>f (0) D．f (3)>f >f (0)
2 2
【解题思路】根据已知条件判断函数单调性，利用单调性比较函数值大小．
【解答过程】∵函数y=f (x)图象关于x=1对称，且对任意x ,x ∈(-∞,1]，
1 2
f (x )-f (x )
当x ≠x 时都有 1 2 <0，
1 2 x -x
1 2
∴y=f (x)在(-∞,1]上单调递减，在[1,+∞)单调递增，
f (0)=f (2)，
【淘宝店铺：向阳百分百】3 (3)
∵3>2> >1，∴f(3)>f(2)>f ，
2 2
(3)
∴f (3)>f (0)>f ．
2
故选：B．
【变式7-2】（2023上·陕西西安·高一高新一中校考期中）已知函数f (x)是偶函数，当0≤x 0恒成立，设a=f (√55)，b=f (-√2)，c=f (√33)，则a，b，c的大小关系为
2 1 2 1
（ ）
A．a0恒成立，
1 2 2 1 2 1
可知函数f (x)在[0,+∞)上单调递增，
又因为函数f (x)是偶函数，
所以b=f (-√2)=f (√2)，
设a =√55,b =√2,c =√33，则(a ) 10=(√55) 10 =25,(b ) 10=(√2) 10=32，
1 1 1 1 1
所以a b>c B．a>c>b C．b>c>a D．c>b>a
1
【解题思路】由f (x-1)=- ，可得函数f (x)周期T=4，将自变量的值利用周期转化到[-2,0]，结
f (x+1)
【淘宝店铺：向阳百分百】合单调性，即得解
1 1
【解答过程】由题意，f (x-1)=- ，则f (x+1)=-
f (x+1) f (x+3)
∴f (x-1)=f(x+3)
∴f (x)=f(x+4)，可得函数f (x)周期T=4
∴a=f (6)=f(-2)，b=f (2√2)=f (2√2-4)，c=f (4)=f(0)
由于f (x)在[-2,0]上单调递增
∴f(-2)0时，
( 1 ) x2-x-1
f (x)=2-f (-x)=2- -x- +2 = ，
-x+1 x-1
x2-x-1 1-√5 1+√5
令f (x)= =0，即x= 或x= （舍），
x-1 2 2
所以画出f (x)的大致图象
【淘宝店铺：向阳百分百】(1-√5 ) ( 1-√5) 1-√5
由图象知，当x∈ ,+∞ 时，f (x)>0，当x∈ -∞, 时，f (x)<0，当x= 时，
2 2 2
f (x)=0，
(1-√5 )
所以，当x∈(0,+∞)时，xf (x)>0，当x∈ ,0 时，xf (x)<0，
2
( 1-√5) 1-√5
当x∈ -∞, 时，xf (x)>0，当x= 或0时，xf (x)=0，
2 2
(1-√5 )
所以不等式xf(x)<0的解集为 ,0 ，
2
故选：C.
【变式8-1】（2023上·辽宁朝阳·高一统考阶段练习）已知f (x)是定义在R上的奇函数，且对任意00的解集为（ ）
2 1 1 2
A．(-∞,-3)∪(3,+∞) B．(-3,3)
C．(-3,0)∪(0,3) D．(-3,0)∪(3,+∞)
f (x)
【解题思路】根据题意，构造函数g(x)= (x≠0)，由题可知g(x)在(0,+∞)上单调递增，结合f (x)是
x
定义在R上的奇函数可知，g(x)是定义域上的偶函数，得到g(x)在(-∞,0)上单调递减，再求出不等式的解
集.
f (x ) f (x )
【解答过程】因为00时，不等式f (x)-x>0等价于f (x)>x，
f (x)
即g(x)= >1，即g(x)>g(3)，解得x>3.
x
当x=0时，f (0)-0=0，不满足f (x)-x>0.
因为f (x)是定义在R上的奇函数，
f (x)
所以g(x)= 为偶函数且在(-∞,0)单调递减，则g(-3)=g(3)=1，
x
当x<0时，不等式f (x)-x>0等价于f (x)>x，
f (x)
即g(x)= <1，即g(x)0的解集为(-3,0)∪(3,+∞).
故选：D.
2ax+b
【变式8-2】（2022上·辽宁·高一校联考期中）已知函数f (x)= 是定义在(-1,1)上的奇函数,且
x2+bx+a
(1) 4
f = ．
2 5
(1)确定函数f (x)的解析式;
(2)当x∈(-1,1)时,判断函数f (x)的单调性,并证明;
(1 )
(3)解不等式f (2x+1)+f x <0．
2
(1) 4
【解题思路】(1)根据奇函数可得f (0)=0,结合f = 代入可得f (x)的解析式;
2 5
(2)先判断单调性,根据单调性的定义证明,先取值,再做差,变形至几个因式的乘积,定号,最后写出结论即可.
(1 ) ( 1 )
(3)将f x 移至右侧,根据奇函数,将不等式转化为f (2x+1)0,x ,x ∈(-1,1),
2 1 1 2
∴x -x >0,1-x x >0,
2 1 1 2
∴f (x )-f (x )>0,
2 1
故函数f (x)在(-1,1)上为增函数;
(1 )
（3）∵f (2x+1)+f x <0,
2
(1 )
∴f (2x+1)<-f x ,
2
∵f (x)为奇函数,
( 1 )
∴f (2x+1)f (x+1)；
(3)若f (x)≤2at3-t+4对所有x∈¿恒成立，求实数t的取值范围.
【解题思路】（1）根据函数单调性的知识判断出函数f (x)在[-2,2]上的单调性.
（2）根据函数的定义域、单调性求得不等式的解集.
（3）先求得f (x)的最大值，然后利用转换主参变量的方法，列不等式来求得t的取值范围.
【解答过程】（1）f (x)为奇函数，所以f (-m)=-f (m),f (-n)=-f (n)，
f (-m)-f (-n) -f (m)-[-f (n)] f (n)-f (m)
则由 <0，得 <0，得 >0，
m-n m-n n-m
当n>m时，f(n)>f(m)，函数f (x)在[-2,2]上单调递增，
当m>n时，f(m)>f(n)，函数f (x)在[-2,2]上单调递增，
综上，函数f (x)在[-2,2]上单调递增
（2）由（1）知函数f (x)为[-2,2]上的增函数，
则¿
1 3 (1 3]
解得 x
1 2 1 2
2x 1+2-x
1
2x 2+2-x
2
所以g(x )-g(x )= -
1 2 2 2
2x 1-2x
2
2-x 1-2-x
2
= +
2 2
= 1[ (2x 1-2x 2)+( 1 - 1 )]
2 2x
1
2x
2
=
1[
(2x 1-2x 2)+
(2x 2-2x
1)
]
2 2x 12x
2
= 1 (2x 1-2x 2) ( 1- 1 )
2 2x 12x
2
因为x ,x ∈[0,+∞),x >x
1 2 1 2
1
所以2x 1>2x 2≥1，2x 12x 2>1，1- >0
2x 12x
2
所以g(x )-g(x )>0⇒g(x )>g(x )
1 2 1 2
所以g(x)在[0,+∞)上单调递增
（3）设A={5-g(x)|1≤x≤2}，
【淘宝店铺：向阳百分百】1
2x+2-x t+
令2x=t∈[2,4]，则g(x)= 化为 t ，
2 y=
2
1
t+
易知 t 在t∈[2,4]上单调递增，
y=
2
1 1
2+ 4+
故 2 5， 4 17，
g(x) = = g(x) = =
min 2 4 max 2 8
[23 15]
故A= , ；
8 4
设B={mf(x)|1≤x≤2}，
1
2x-2-x t-
令2x=t∈[2,4]，则f (x)= 化为 t ，
2 y=
2
1
t-
易知 t 在t∈[2,4]单调递增，
y=
2
1 1
2- 4-
故 2 3， 4 15
f (x) = = f (x) = =
min 2 4 max 2 8
[3 15]
则x∈[1,2]时，f (x)∈ , ．
4 8
若对于任意的x ∈[1,2]，存在x ∈[1,2]，
1 2
使得g(x )+mf (x )=5可知A⊆B，
1 2
[3 15 ]
则A⊆B，则显然m>0，则B= m, m ，
4 8
[23 15] [3 15 ]
则 , ⊆ m, m ，
8 4 4 8
[ 69]
则¿，解得m∈ 2, ．
2
【变式9-1】（2023上·湖南株洲·高一校考期中）已知函数y=φ(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形
6
的充要条件是y=φ(a+x)-b是奇函数，给定函数f(x)=x-
.
x+1
(1)求函数f (x)图象的对称中心；
【淘宝店铺：向阳百分百】(2)判断f (x)在区间(0,+∞)上的单调性（只写出结论即可）；
(3)已知函数g(x)的图象关于点(1,1)对称，且当x∈[0,1]时，g(x)=x2-mx+m.若对任意x ∈[0,2]，
1
总存在x ∈[1,5]，使得g(x )=f(x )，求实数m的取值范围.
2 1 2
【解题思路】（1）根据题意，得到f(a+x)+f(a-x)-2b=0，列出方程组，即可求解；
（2）根据函数单调性的定义与判定方法，即可求解；
（3）根据题意，转化为函数g(x)的值域为f (x)值域的子集，由（2）求得f (x)的值域为[-2,4]，转化为
m m m
A⊆[-2,4]，分 ≤0、0< <1和 ≥1，三种情况讨论，即可求解.
2 2 2
【解答过程】（1）解：设函数f (x)的图象的对称中心为(a,b)，则f(a+x)+f(a-x)-2b=0，
6 6
即(x+a)- +(-x+a)- -2b=0，
x+a+1 -x+a+1
整理得(a-b)x2=(a-b)(a+1) 2-6(a+1)，
可得¿，解得a=b=-1，
所以f (x)的对称中心为(-1,-1).
6
（2）解：函数f(x)=x- 在(0,+∞)上单调递增；
x+1
证明如下：
任取x ,x ∈(0,+∞)且x 0，
1 2 1 2 1 2 (x +1)(x +1)
1 2
所以f(x )-f(x )<0，即f(x )0，若正数a，b满足
2 e2-x
f (e2 ) +f ( 2e2 ) +f ( 3e2 ) +⋯+f (2022e2 ) ≤1011(a+b)，且不等式λ(a+2c)b≤2ac+a2+2b2
2023 2023 2023 2023
恒成立，求实数λ的取值范围.
【解题思路】（1）令g(x)=f (x+a)-b，由g(x)为奇函数，得到f (-x+a)-b=-(f (x+a)-b)，列出方程
【淘宝店铺：向阳百分百】组，求得a,b的值，即可求解；
（2）令g(x)=f (x+a)-b，由g(x)为奇函数，得到f (-x+a)+f (x+a)=2b，令x+a=t，即可得证；
e2
（3）由函数f(x)=x- +c+lnx-ln(e2-x)，得到f (x)+f (-x+e2)=2c，得到f (x)的对称中心为
2
(e2 ) (e2 ) (2e2 ) (2022e2 )
,c ，求得f +f +⋯+f ≤1011(a+b)
2 2023 2023 2023
(2022e2 ) (2021e2 ) (2020e2 ) (e2 )
f +f +f +⋯+f ≤1011(a+b)，两式相加得到a+b≥2c，得出
2023 2023 2023 2023
a 2b
λ≤ + ，结合基本不等式，即可求解.
b a+2c
【解答过程】（1）解：令g(x)=f (x+a)-b，因为g(x)为奇函数，
所以g(-x)=-g(x)，即f (-x+a)-b=-(f (x+a)-b)，
所以-(-x+a) 3+3(-x+a) 2-b=-[-(x+a) 3+3(x+a) 2-b]，
化简得6x2(a-1)+2a3-6a2+2b=0，则¿ ，
解得a=1,b=2，即f (x)图像的对称中心为(1,2).
（2）解：令g(x)=f (x+a)-b，因为g(x)为奇函数，
所以g(-x)=-g(x)，即f (-x+a)-b=-(f (x+a)-b)，
所以f (-x+a)+f (x+a)=2b，
令x+a=t，则f (t)+f (-t+2a)=2b，即f (x)+f (-x+2a)=2b；
e2
（3）解：因为f(x)=x- +c+lnx-ln(e2-x)，
2
e2
所以f (-x+e2)=-x+ +c-lnx+ln(e2-x)，
2
(e2
)
所以f (x)+f (-x+e2)=2c，可得f (x)的对称中心为 ,c ，
2
(e2 ) (2e2 ) (2022e2 )
因为f +f +⋯+f ≤1011(a+b)
2023 2023 2023
【淘宝店铺：向阳百分百】(2022e2 ) (2021e2 ) (2020e2 ) (e2 )
f +f +f +⋯+f ≤1011(a+b)
2023 2023 2023 2023
两式相加得：2022×2c≤2022(a+b)，即a+b≥2c，
2ac+a2+2b2 a(a+2c)+2b2 a 2b
又由λ≤ = = + .
(a+2c)b (a+2c)b b a+2c
a 2b 2(a+b) 2b a+b+2c 2b
方法一：由 + = + -1≥ + -1
b a+2c 2b a+2c 2b a+2c
a+2c 2b 1 √a+2c 2b 1 3
= ++ - ≥2 ⋅ - = ，
2b a+2c 2 2b a+2c 2 2
2c
当且仅当b=2a= 时取等号.
3
a 2b a 2b a 2
+ ≥ + = +
方法二：由b a+2c b a+a+b b a ，
2 +1
b
a
令 =t>0，
b
a 2 2 1 2 1 √1 2 1 3
+ =t+ = (2t+1)+ - ≥2 (2t+1)⋅ -- =
则b a 2t+1 2 2t+1 2 2 2t+1 2 2
2 +1
b
2c
当且仅当b=2a= 时取等号.
3
ex+a
【变式9-3】（2023上·江苏无锡·高一校考期中）设a∈R，函数f(x)= (e为常数，e=2.71828…)．
ex-a
（1）若a=1，求证：函数f(x)为奇函数；
（2）若a<0．
①判断并证明函数f(x)的单调性；
②若存在x∈[1，2]，使得f(x2+2ax)>f(4-a2 )成立，求实数a的取值范围．
ex+1
【解题思路】（1）把a=1代入得f(x)= ，且f(x)定义域为{x|x≠0}，求出f(-x)并化简并判断与
ex-1
-f(x)的关系，根据奇函数的定义，即可得出结论；
（2）①结合单调性的定义，先设x 0恒成立，故函数f(x)定义域为R，
任取x ，x ∈R，且x f(4-a2 )成立，
下面研究命题p的否定：
¬p:∀x∈[1，2]，f(x2+2ax)⩽f(4-a2 )恒成立，
若¬p为真命题，由①，f(x)为R上的单调增函数，
故∀x∈[1，2]，x2+2ax⩽4-a2恒成立．
设g(x)=x2+2ax+a2-4，x∈[1，2]，
则¿，解得-3⩽a<0，
因为p为真，则¬p为假命题，
所以实数a的取值范围为(-∞,-3)．
2x-1
1．（2023·全国·统考高考真题）若f (x)=(x+a)ln 为偶函数，则a=（ ）．
2x+1
【淘宝店铺：向阳百分百】1
A．-1 B．0 C． D．1
2
【解题思路】根据偶函数性质，利用特殊值法求出a值，再检验即可.
1
【解答过程】因为f(x) 为偶函数，则 f(1)=f(-1)，∴(1+a)ln =(-1+a)ln3，解得a=0，
3
2x-1 1 1
当a=0时，f (x)=xln ，(2x-1)(2x+1)>0，解得x> 或x<- ，
2x+1 2 2
1}
则其定义域为¿或x<- ，关于原点对称.
2
2(-x)-1 2x+1 (2x-1) -1 2x-1
f (-x)=(-x)ln =(-x)ln =(-x)ln =xln =f (x)，
2(-x)+1 2x-1 2x+1 2x+1
故此时f (x)为偶函数.
故选：B.
|x2-1|
2．（2022·天津·统考高考真题）函数f (x)= 的图像为（ ）
x
A． B．
C． D．
【解题思路】分析函数f (x)的定义域、奇偶性、单调性及其在(-∞,0)上的函数值符号，结合排除法可得出
合适的选项.
|x2-1|
【解答过程】函数f (x)= 的定义域为¿，
x
【淘宝店铺：向阳百分百】|(-x) 2-1| |x2-1|
且f (-x)= =- =-f (x)，
-x x
函数f (x)为奇函数，A选项错误；
|x2-1|
又当x<0时，f (x)= ≤0，C选项错误；
x
|x2-1| x2-1 1
当x>1时，f (x)= = =x- 函数单调递增，故B选项错误；
x x x
故选：D.
1-x
3．（2021·全国·统考高考真题）设函数f(x)= ，则下列函数中为奇函数的是（ ）
1+x
A．f (x-1)-1 B．f (x-1)+1 C．f (x+1)-1 D．f (x+1)+1
【解题思路】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.
1-x 2
【解答过程】由题意可得f(x)= =-1+ ，
1+x 1+x
2
对于A，f (x-1)-1= -2不是奇函数；
x
2
对于B，f (x-1)+1= 是奇函数；
x
2
对于C，f (x+1)-1= -2，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
x+2
2
对于D，f (x+1)+1= ，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
x+2
故选：B.
4．（2022·全国·统考高考真题）已知函数f(x)的定义域为R，且
22
f(x+ y)+f(x- y)=f(x)f(y),f(1)=1，则∑❑f(k)=（ ）
k=1
A．-3 B．-2 C．0 D．1
【解题思路】法一：根据题意赋值即可知函数f (x)的一个周期为6，求出函数一个周期中的
f (1),f (2),⋯,f (6)的值，即可解出．
【解答过程】[方法一]：赋值加性质
因为f (x+ y)+f (x- y)=f (x)f (y)，令x=1,y=0可得，2f (1)=f (1)f (0)，所以f (0)=2，令x=0可得，
f (y)+f (- y)=2f (y)，即f (y)=f (- y)，所以函数f (x)为偶函数，令y=1得，
【淘宝店铺：向阳百分百】f (x+1)+f (x-1)=f (x)f (1)=f (x)，即有f (x+2)+f (x)=f (x+1)，从而可知f (x+2)=-f (x-1)，
f (x-1)=-f (x-4)，故f (x+2)=f (x-4)，即f (x)=f (x+6)，所以函数f (x)的一个周期为6．因为
f (2)=f (1)-f (0)=1-2=-1，f (3)=f (2)-f (1)=-1-1=-2，f (4)=f (-2)=f (2)=-1，
f (5)=f (-1)=f (1)=1，f (6)=f (0)=2，所以
一个周期内的f (1)+f (2)+⋯+f (6)=0．由于22除以6余4，
22
所以∑f (k)=f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=1-1-2-1=-3．故选：A．
k=1
[方法二]：【最优解】构造特殊函数
由f (x+ y)+f (x- y)=f (x)f (y)，联想到余弦函数和差化积公式
cos(x+ y)+cos(x- y)=2cosxcosy，可设f (x)=acosωx，则由方法一中f (0)=2,f (1)=1知
1 π
a=2,acosω=1，解得cosω= ，取ω= ，
2 3
π
所以f (x)=2cos x，则
3
(π π ) (π π ) π π
f (x+ y)+f (x- y)=2cos x+ y +2cos x- y =4cos xcos y=f (x)f (y)，所以
3 3 3 3 3 3
2π
π T= =6
f (x)=2cos x符合条件，因此f(x)的周期 π ，f (0)=2,f (1)=1，且
3
3
f (2)=-1,f (3)=-2,f (4)=-1,f (5)=1,f (6)=2，所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0，
由于22除以6余4，
22
所以∑f (k)=f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=1-1-2-1=-3．
k=1
故选：A．
5．（2021·全国·统考高考真题）已知函数f (x)的定义域为R，f (x+2)为偶函数，f (2x+1)为奇函数，则
（ ）
( 1)
A．f - =0 B．f (-1)=0 C．f (2)=0 D．f (4)=0
2
【解题思路】推导出函数f (x)是以4为周期的周期函数，由已知条件得出f (1)=0，结合已知条件可得出结
论.
【解答过程】因为函数f (x+2)为偶函数，则f (2+x)=f (2-x)，可得f (x+3)=f (1-x)，
【淘宝店铺：向阳百分百】因为函数f (2x+1)为奇函数，则f (1-2x)=-f (2x+1)，所以，f (1-x)=-f (x+1)，
所以，f (x+3)=-f (x+1)=f (x-1)，即f (x)=f (x+4)，
故函数f (x)是以4为周期的周期函数，
因为函数F(x)=f (2x+1)为奇函数，则F(0)=f (1)=0，
故f (-1)=-f (1)=0，其它三个选项未知.
故选：B.
( 1) 1 (5)
6．（2021·全国·高考真题）设f (x)是定义域为R的奇函数，且f (1+x)=f (-x).若f - = ，则f =
3 3 3
（ ）
5 1 1 5
A．- B．- C． D．
3 3 3 3
(5)
【解题思路】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得f 的值.
3
(5) ( 2) ( 2) (2)
【解答过程】由题意可得：f =f 1+ =f - =-f ，
3 3 3 3
(2) ( 1) (1) ( 1) 1
而f =f 1- =f =-f - =- ，
3 3 3 3 3
(5) 1
故f = .
3 3
故选：C.
7．（2020·山东·统考高考真题）已知函数f (x)的定义域是R，若对于任意两个不相等的实数x ，x ，总有
1 2
f (x )-f (x )
2 1 >0成立，则函数f (x)一定是（ ）
x -x
2 1
A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数
【解题思路】利用函数单调性定义即可得到答案.
f (x )-f (x )
【解答过程】对于任意两个不相等的实数x ，x ，总有 2 1 >0成立，
1 2 x -x
2 1
等价于对于任意两个不相等的实数x 0，当x∈(-2,0)∪(2,+∞)时，f(x)<0，
所以由xf(x-1)≥0可得：
¿或¿或x=0
解得-1≤x≤0或1≤x≤3，
所以满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是[-1,0]∪[1,3]，
故选：D.
9．（2021·全国·统考高考真题）设函数f (x)的定义域为R，f (x+1)为奇函数，f (x+2)为偶函数，当
(9)
x∈[1,2]时，f(x)=ax2+b．若f (0)+f (3)=6，则f =（ ）
2
9 3 7 5
A．- B．- C． D．
4 2 4 2
【解题思路】通过f (x+1)是奇函数和f (x+2)是偶函数条件，可以确定出函数解析式f (x)=-2x2+2，进
而利用定义或周期性结论，即可得到答案．
【解答过程】[方法一]：
因为f (x+1)是奇函数，所以f (-x+1)=-f (x+1)①；
因为f (x+2)是偶函数，所以f (x+2)=f (-x+2)②．
令x=1，由①得：f (0)=-f (2)=-(4a+b)，由②得：f (3)=f (1)=a+b，
因为f (0)+f (3)=6，所以-(4a+b)+a+b=6⇒a=-2，
令x=0，由①得：f (1)=-f (1)⇒f (1)=0⇒b=2，所以f (x)=-2x2+2．
思路一：从定义入手．
(9) (5 ) ( 5 ) ( 1)
f =f +2 =f - +2 =f -
2 2 2 2
( 1) ( 3 ) (3 ) (5)
f - =f - +1 =-f +1 =-f
2 2 2 2
【淘宝店铺：向阳百分百】(5) (1 ) ( 1 ) (3)
-f =-f +2 =-f - +2 =-f
2 2 2 2
(9) (3) 5
所以f =-f = ．
2 2 2
[方法二]：
因为f (x+1)是奇函数，所以f (-x+1)=-f (x+1)①；
因为f (x+2)是偶函数，所以f (x+2)=f (-x+2)②．
令x=1，由①得：f (0)=-f (2)=-(4a+b)，由②得：f (3)=f (1)=a+b，
因为f (0)+f (3)=6，所以-(4a+b)+a+b=6⇒a=-2，
令x=0，由①得：f (1)=-f (1)⇒f (1)=0⇒b=2，所以f (x)=-2x2+2．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数f (x)的周期T=4．
(9) (1) (3) 5
所以f =f =-f = ．
2 2 2 2
故选：D．
10．（2022·全国·统考高考真题）已知函数f(x),g(x)的定义域均为R，且
22
f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7．若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4，则∑f (k)=
k=1
（ ）
A．-21 B．-22 C．-23 D．-24
【解题思路】根据对称性和已知条件得到f(x)+f(x-2)=-2，从而得到f (3)+f (5)+…+f (21)=-10，
f (4)+f (6)+…+f (22)=-10，然后根据条件得到f(2)的值，再由题意得到g(3)=6从而得到f (1)的值即可
求解.
【解答过程】因为y=g(x)的图像关于直线x=2对称，
所以g(2-x)=g(x+2)，
因为g(x)-f(x-4)=7，所以g(x+2)-f(x-2)=7，即g(x+2)=7+f(x-2)，
因为f(x)+g(2-x)=5，所以f(x)+g(x+2)=5，
代入得f(x)+[7+f(x-2)]=5，即f(x)+f(x-2)=-2，
所以f (3)+f (5)+…+f (21)=(-2)×5=-10，
f (4)+f (6)+…+f (22)=(-2)×5=-10.
【淘宝店铺：向阳百分百】因为f(x)+g(2-x)=5，所以f(0)+g(2)=5，即f (0)=1，所以f(2)=-2-f (0)=-3.
因为g(x)-f(x-4)=7，所以g(x+4)-f(x)=7，又因为f(x)+g(2-x)=5，
联立得，g(2-x)+g(x+4)=12，
所以y=g(x)的图像关于点(3,6)中心对称，因为函数g(x)的定义域为R，
所以g(3)=6
因为f(x)+g(x+2)=5，所以f (1)=5-g(3)=-1.
❑ 22
所以∑ ❑f(k)=f (1)+f (2)+[f (3)+f (5)+…+f (21)]+[f (4)+f (6)+…+f (22)]=-1-3-10-10=-24.
k=1
故选：D.
【淘宝店铺：向阳百分百】
