文档内容
专题 4.2 三角函数的图象与性质【八大题型】
【新高考专用】
【题型1 三角函数的定义域、值域问题】..............................................................................................................2
【题型2 三角函数的图象识别与应用】..................................................................................................................4
【题型3 由部分图象求函数的解析式】..................................................................................................................6
【题型4 三角函数图象变换问题】........................................................................................................................10
【题型5 三角函数的单调性问题】........................................................................................................................12
【题型6 三角函数的周期性、对称性与奇偶性的灵活运用】...........................................................................15
【题型7 三角函数的零点问题】............................................................................................................................18
【题型8 三角函数的图象与性质的综合应用】...................................................................................................20
1、三角函数的图象与性质
三角函数的图象与性质是高考的热点内容，其中函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换以及三角函数的周期性、
对称性、奇偶性与单调性之间的关系则是高考考察的重心.从近几年的高考情况来看，比较注重对三角函
数的几大性质之间的逻辑关系的考查，试题多以选择题、填空题的形式呈现，难度中等或偏下.
【知识点1 三角函数的定义域与值域的求解策略】
1.三角函数的定义域的求解思路
求三角函数的定义域通常要解三角不等式(组)，解三角不等式(组)常借助三角函数的图象.
2.求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型：
(1)形如y=asinx+bcosx+c的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+c的形式，再求值域(最值)；
(2)形如y=asin2x+bsinx+c的三角函数，可先设sinx=t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
(3)形如y=asinxcosx+b(sinx±cosx)+c的三角函数，可先设t=sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最
值).
【知识点2 三角函数的周期性、对称性、奇偶性的求解思路】
1.三角函数周期的一般求法
(1)公式法；
(2)不能用公式求函数的周期时，可考虑用图象法或定义法求周期.
2.三角函数的对称轴、对称中心的求解策略
(1)对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)（或f(x)=Acos(ωx+φ)）形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令
ωx+φ= kπ(k∈Z)（或令 ωx+φ=kπ(k∈Z)），求 x 即可；如果求 f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ= kπ(k∈Z)），求x即可.
(2)对于可化为 f(x)=Atan(ωx+φ)形式的函数，如果求 f(x)的对称中心的横坐标，只需令 ωx+φ=
(k∈Z)），求x即可.
3.三角函数的奇偶性的判断方法
三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在 y=Asin(ωx+φ)中代入
x=0，
若y=0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数.
若y=Asin(ωx+φ)为奇函数，则φ=kπ(k∈Z)；若y=Asin(ωx+φ)为偶函数，则φ= kπ(k∈Z).
【知识点3 三角函数的单调性问题的解题思路】
1.三角函数的单调区间的求解方法
求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成 y=Asin(ωx+φ)形式，再求y=Asin(ωx+φ)的单调区间，
只需把ωx+φ看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.
2.已知三角函数的单调性求参数的解题思路
对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数
的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选
择题，利用特值验证排除法求解更为简捷.
【知识点4 三角函数的图象变换问题】
1.三角函数的图象变换问题的求解方法
解决三角函数图象变换问题的两种方法分别为先平移后伸缩和先伸缩后平移.破解此类题的关键如下：
(1)定函数：一定要看准是将哪个函数的图象变换得到另一个函数的图象；
(2)变同名：函数的名称要变得一样；
(3)选方法：即选择变换方法.
【题型1 三角函数的定义域、值域问题】
【例1】（2023上·湖南株洲·高一校考阶段练习）函数y=tanx的定义域为（ ）
{ kπ }
A．R B． x|x≠ ,k∈Z
2
{ π } { π }
C． x|x≠ +kπ,k∈Z D． x|x≠ +kπ
2 2
【解题思路】根据正切函数图象与性质，列出不等式，即可求解.
π
【解答过程】根据正切函数的性质，可得函数y=tanx有意义，则满足x≠ +kπ,k∈Z ，
2
{ π }
所以函数y=tanx的定义域为 x|x≠ +kπ,k∈Z .
2
故选：C.【变式1-1】（2023上·陕西咸阳·高三校考阶段练习）函数f (x)=sin ( 2x+ π ) 在 [ 0, π ] 上的值域为
3 2
（ ）
[ √3 ] [ √3 √3] [√3 ]
A． − ,1 B． − , C． ,1 D．[0,1]
2 2 2 2
[ π] π [π 4π ]
【解题思路】根据x∈ 0, ，可得2x+ ∈ , ，再结合正弦函数的图象求解即可.
2 3 3 3
[ π] π [π 4π ]
【解答过程】解：由x∈ 0, ，可得2x+ ∈ , ，
2 3 3 3
π [ √3 ]
则f (x)=sin ( 2x+ ) ∈ − ,1 .
3 2
故选：A.
【变式1-2】（2023·广东广州·广东实验中学校考一模）已知函数f(x)=2sin ( ωx− π ) (ω>0)在 [ 0, π]
6 2
上的值域为[−1,2]，则ω的取值范围为（ ）
[4 ] [4 8] [2 4] [2 8]
A． ,2 B． , C． , D． ,
3 3 3 3 3 3 3
π [ π π π] π π π π
【解题思路】根据题意可得ωx− ∈ − , ω− ，再利用值域可限定 ≤ ω− ≤π+ ，
6 6 2 6 2 2 6 6
[4 8]
解得ω的取值范围为 , .
3 3
[ π] π [ π π π]
【解答过程】由x∈ 0, 及ω>0可得ωx− ∈ − , ω− ，
2 6 6 2 6
π
根据其值域为[−1,2]，且2sin
(
−
)=−1，
6
π π π π
由正弦函数图象性质可得 ≤ ω− ≤π+ ，
2 2 6 6
2 ω 8 4 8
即可得 ≤ ≤ ，解得 ≤ω≤ .
3 2 6 3 3
故选：B.
[π ] ( π)
【变式1-3】（2023·四川成都·四川省校考模拟预测）当x∈ ,m 时，函数f(x)=cos 3x+ 的值域
6 3[ √3]
是 −1,− ，则m的取值范围是（ ）
2
[π 7π] [2π 7π]
A． , B． ,
9 18 9 18
[π 5π] [2π 5π]
C． , D． ,
9 18 9 18
π
【解题思路】解法一：画出函数的图象，由x的范围求出3x+ 的范围，根据f (x)的值域可得答案；
3
π
解法二：由x的范围求出3x+ 的范围，根据y=cosx的图象性质和f (x)的值域可得答案．
3
[π ] 5π π π
【解答过程】解法一：由题意，画出函数的图象，由x∈ ,m ，可知 ≤3x+ ≤3m+ ，
6 6 3 3
因为f ( π )=cos 5π =− √3 且f (2π ) =cosπ=−1，
6 6 2 9
[ √3] 2π 5π
要使f (x)的值域是 −1,− ，只要 ≤m≤ ，
2 9 18
[2π 5π]
即m∈ , ；
9 18
[π ] 5π π π
解法二：由题x∈ ,m ，可知 ≤3x+ ≤3m+ ，
6 6 3 3
[ √3]
由y=cosx的图象性质知，要使f (x)的值域是 −1,− ，
2
π 7π [2π 5π]
则π≤3m+ ≤ ，解之得m∈ , ．
3 6 9 18
故选：D.【题型2 三角函数的图象识别与应用】
x3sinx
【例2】（2023·全国·模拟预测）函数f (x)= 的图象大致为（ ）
2|−x|
A． B．
C． D．
【解题思路】根据函数的奇偶性，并用特值法可判断函数图像.
x3sinx
【解答过程】易知f (x)= 的定义域为R，
2|−x|
(−x) 3sin(−x) x3sinx
又f (−x)= = =f (x)，
2|x| 2|−x|
所以函数f (x)为偶函数，A，B选项错误；
又f (0)=f (π)=0，
π 3 π
( )
sin
π 2 2
f ( )= >0，C选项正确，D选项错误；
2 |− π|
2 2
故选：C.
3π π
【变式2-1】（2023·高一课时练习）如图所示，函数y=cosx|tanx|（0≤x< 且x≠ ）的图像是
2 2
（ ）.
A． B．C． D．
【解题思路】取绝对值符号，再根据正弦函数的图象即可得解.
【解答过程】y=cosx|tanx|=¿，
根据正弦函数的图象，作出函数图象如下图所示，
故选：C.
xsinx
【变式2-2】（2023·四川南充·模拟预测）函数f (x)= 的图象大致为（ ）
e|x|−1
A． B．
C． D．
π
【解题思路】根据偶函数排除C、D，再计算f
( )>0，可排除B，从而可得到答案.
2
【解答过程】f (x)的定义域为R，
−xsin(−x) xsinx
因为f (−x)= = =f (x)，
e|−x|−1 e|x|−1
所以f (x)在R上为偶函数，可排除C、D；
π π π
sin
π 2 2 2
又f ( )= = >0，可排除B.
2 |π|−1 |π|−1
e 2 e 2故选：A.
【变式2-3】（2023·广东·统考模拟预测）已知函数y=f (x)部分图象如图所示，则函数f (x)的解析式可能
为（ ）
A．f (x)=xsin2x B．f (x)=xsinx C．f (x)=2|x|sinx D．
f (x)=2|x|sin2x
【解题思路】利用函数零点排除B,C两个选项，再由奇偶性排除A后可得正确选项．
【解答过程】由图像知f(x)=0，x∈[0,π]有三个零点经验证只有AD满足，排除BC选项，
A中函数满足f(−x)=−xsin(−2x)=xsin2x=f(x)为偶函数，
D中函数满足f(−x)=2|−x|sin(−2x)=−2|x|sin2x=−f(x)为奇函数，
而图像关于原点对称，函数为奇函数，排除A，选D．
故选：D．
【题型3 由部分图象求函数的解析式】
【例3】（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知函数f (x)=2sin(ωx+φ)（其中ω>0，0<φ<π）的图象如
π
图所示，且满足f (0)=f (x )=−f ( x + )=1，则f (x)=（ ）
0 0 3
π π
A．2sin ( 2x+ ) B．2sin ( 2x− )
3 3π π
C．2sin ( 3x+ ) D．2sin ( 3x− )
6 6
【解题思路】根据题意得到函数的最小正周期，然后利用三角函数的周期公式得到ω=3，再结合f (0)=1
π
可得到φ=
，进而求解.
6
π
【解答过程】设f (x)的最小正周期为T，根据f (x )=−f ( x + ) 及函数图象的对称性知，
0 0 3
T π 2π 2π
=( x + ) −x ，所以T= = ，得ω=3．
2 0 3 0 3 ω
1
由f (0)=1，得sin(3×0+φ)= ，因为0<φ<π，
2
π π
由图知φ= ，故f (x)=2sin ( 3x+ ) ．
6 6
故选：C．
【变式3-1】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）函数
f (x)=3sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则（ ）
(
5π
)
A．f (x)=3sin 2x+
8
5π
B．f (x)图象的一条对称轴方程是x=−
8
π
C．f (x)图象的对称中心是 ( kπ− ,0 ) ，k∈Z
8
(
7π
)
D．函数y=f x+ 是奇函数
8
3π 5π
【解题思路】根据图象可求得函数f (x)的解析式为f (x)=3sin ( 2x+ ) ，可判断A错误；将x=−
4 8(1 3π )
代入可得f (x)取到最小值，可知B正确；由整体代换法可得f (x)的对称中心是 kπ− ,0 ，k∈Z，
2 8
即C错误；根据奇偶性的定义可得D错误.
1 3π π 1
【解答过程】由函数f (x)=3sin(ωx+φ)的图象知 T= − ( − )= π ，可得T=π；
2 8 8 2
2π
即 =π，解得ω=2，即f (x)=3sin(2x+φ)，
ω
π π π π 3π
又因为f ( − )=3sin ( φ− )=3，可得φ− = +2kπ ，k∈Z，即φ= +2kπ，k∈Z，
8 4 4 2 4
3π 3π
又0<φ<π，可得 φ= ，f (x)=3sin ( 2x+ ) ，故A错误.
4 4
对选项B，f ( − 5 π ) =3sin ( − 5 π+ 3π ) =3sin ( − π )=−3取到最小值，故B正确.
8 4 4 2
3π 1 3π
对选项C，令2x+ =kπ，k∈Z，解得x= kπ− ，k∈Z，
4 2 8
(1 3π )
因此f (x)的对称中心是 kπ− ,0 ，k∈Z，故C错误.
2 8
(
7π
) (
7π 3π
) (
5π
)
对选项D，设g(x)=f x+ =3sin 2x+ + =3sin 2x+ =3cos2x，
8 4 4 2
则g(x)的定义域为R，g(−x)=3cos(−2x)=3cos2x=g(x)，所以g(x)为偶函数，即D错误.
故选：B.
π
【变式3-2】（2023上·陕西榆林·高三校考阶段练习）函数f (x)=Asin(ωx+φ) ( A>0,ω>0,|φ|< ) 的
2
部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
(5π
)
A．点 ,0 是f (x)的对称中心
12
7π
B．直线x= 是f (x)的对称轴
6
7π
C．f (x)的图象向右平移 个单位得y=sin2x的图象
12[π 2π]
D．f (x)在区间 , 上单调递减
2 3
【解题思路】根据三角函数部分图象求出解析式，利用三角函数的性质即可求解.
【解答过程】由题意可知，A=1,
3 11π π
T= − ,解得T=π，
4 12 6
2π
所以T=π= ，解得ω=2，
ω
π π π
将 ( ,0 ) 代入f (x)=sin(2x+φ)中，得 sin( 2× +φ )=0，解得φ=kπ− ，k∈Z,
6 6 3
π π π
因为|φ|< ，所以− <φ< ，
2 2 2
π
当k=0时，φ=−
，
3
π
所以f (x)的解析式为f
(x)=sin(
2x−
)
.
3
(5π ) ( 5π π) (5π )
对于A，f =sin 2× − =1≠0，所以点 ,0 不是f (x)的对称中心，故A错误；
12 12 3 12
(7π ) ( 7π π) 7π
对于B，f =sin 2× − =0≠±1，所以直线x= 不是f (x)的对称轴，故B错误；
6 6 3 6
π 7π
对于C，f
(x)=sin(
2x−
)
的图象向右平移 个单位得
3 12
[ ( 7π ) π] ( 3π )
f (x)=sin 2 x− − =sin 2x− =cos2x的图象，故C错误；
12 3 2
[π 2π] π [2π ] [π ] [π 2π]
对于D，当x∈ , 时，2x− ∈ ,π ⊆ ,π ，所以f (x)在区间 , 上单调
2 3 3 3 2 2 3
递减，故D正确.
故选：D.
π
【变式3-3】（2023·全国·模拟预测）已知函数f (x)=3sin(ωx+φ) ( x∈R,ω>0,|φ|< ) 的部分图象如
2
图所示，则下列说法正确的是（ ）(1 π)
A．f (x)=3sin x−
3 12
(3π ) √3
B．f =
4 2
3 [ π 9π]
C．不等式f (x)≥ 的解集为 6kπ+ ,6kπ+ k∈Z
2 4 4
π
D．将f (x)的图象向右平移 个单位长度后所得函数的图象在[6π,8π]上单调递增
12
【解题思路】由图象求出f (x)的表达式后逐一验证选项即可.
(11π 5π ) 2π 1
【解答过程】由函数图象可知，最小正周期为T=4 − =6π，所以ω= = ，
4 4 6π 3
(5π ) (1 5π )
将点 ,3 代入f (x)=3sin(ωx+φ)，得3=3sin × +φ ，
4 3 4
又|φ|<
π
，所以φ=
π
，故f (x)=3sin
(1
x+
π)
，故A错误；
2 12 3 12
(3π ) π 3√3
所以f =3sin = ，故B错误；
4 3 2
3 (1 π) 1 π 1 π 5π
令f (x)≥ ，则sin x+ ≥ ，所以2kπ+ ≤ x+ ≤2kπ+ ，k∈Z，解得
2 3 12 2 6 3 12 6
π 9π
6kπ+ ≤x≤6kπ+ ，k∈Z，
4 4
3 [ π 9π]
所以不等式f (x)≥ 的解集为 6kπ+ ,6kπ+ k∈Z，故C正确；
2 4 4
(1 π) π (1 π)
将f (x)=3sin x+ 的图象向右平移 个单位长度后，得到f (x)=3sin x+ 的图象，令
3 12 12 3 18
π 1 π π
2kπ− ≤ x+ ≤2kπ+ ，k∈Z，
2 3 18 2
5π 4π
解得6kπ− ≤x≤6kπ+ ，k∈Z，
3 313π 22π [13π 22π]
令k=1得 ≤x≤ ，因为[6π,8π]⊄ , ，故D错误.
3 3 3 3
故选：C.
【题型4 三角函数图象变换问题】
【例4】（2023·四川甘孜·统考一模）为了得到函数y=sin2x+cos2x的图象，可以将函数y=√2cos2x
的图象（ ）
π π
A．向右平移 个单位长 B．向右平移 个单位长
8 6
π π
C．向左平移 个单位长 D．向左平移 个单位长
8 6
【解题思路】逆用三角函数的和差公式化简y=sin2x+cos2x，再利用三角函数的平移法则即可得解.
π π
【解答过程】因为y=sin2x+cos2x=√2cos ( 2x− )=√2cos2 ( x− ) ，
4 8
π
则y=√2cos2x向右平移 个单位长可以得到y=sin2x+cos2x的图象.
8
故选：A.
【变式4-1】（2023·四川甘孜·统考一模）已知函数f (x)=Acos(2x+φ)(A>0,|φ|<π)是奇函数，且
(3π ) 1
f =−1，将f (x)的图象上所有点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，所得图象对应的函数为
4 2
g(x)，则（ ）
A．g(x)=sin4x B．g(x)=sinx
π π
C．g(x)=cos( 4x+ ) D．g(x)=cos( x+ )
4 4
【解题思路】根据题设有φ=±
π
，再结合f
(3π
) =−1求得A=1，最后根据图象平移写出g(x)解析式.
2 4
π π
【解答过程】由f (x)是奇函数，则φ=kπ+ ，k∈Z，又|φ|<π，可得φ=± ，
2 2
当φ=
π
，f (x)=Acos( 2x+
π
)=−Asin(2x) ，则f
(3π
) =−Asin
3π
=A>0，不合题设；
2 2 4 2
当φ=−
π
，f (x)=Acos( 2x−
π
)=Asin(2x) ，则f
(3π
) =Asin
3π
=−A=−1，故A=1；
2 2 4 2
所以f (x)=sin(2x)，
1
将f (x)的图象上所有点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，故g(x)=sin(4x).
2故选：A.
π
【变式4-2】（2023·四川·校联考模拟预测）函数f (x)=Asin(ωx+φ)（其中A>0,ω>0,|φ|< ）的图象
2
如图所示，为了得到g(x)=cos2x的图象，则只需将f(x)的图象（ ）
π π
A．向右平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
6 12
π π
C．向左平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度
6 12
【解题思路】根据给定的函数图象，求出f (x)的解析式，再逐项判断即得.
7π π 2π
【解答过程】由图知，A=1，函数f(x)的最小正周期T=4( − )=π ，于是ω= =2，
12 3 T
7π 7π 3π
即f(x)=sin(2x+φ)，显然f( )=−1，即2× +φ= +2kπ,k∈Z，
12 12 2
π π π
而|φ|< ，则k=0,φ= ，因此f(x)=sin(2x+ )，
2 3 3
π π π
对于A，将f(x)的图象向右平移 个单位长度，得y=sin[2(x− )+ ]=sin2x，
6 6 3
此函数图象与y=g(x)图象不重合，A错误；
π π π π
对于B，将f(x)的图象向右平移 个单位长度，得y=sin[2(x− )+ ]=sin(2x+ )，
12 12 3 6
此函数图象与y=g(x)图象不重合，B错误；
π π π 2π
对于C，将f(x)的图象向左平移 个单位长度，得y=sin[2(x+ )+ ]=sin(2x+ )，
6 6 3 3
此函数图象与y=g(x)图象不重合，C错误；
π π π π
对于D，将f(x)的图象向左平移 个单位长度，得y=sin[2(x+ )+ ]=sin(2x+ )=cos2x，D
12 12 3 2
正确.
故选：D.π
【变式4-3】（2023·四川成都·统考二模）将最小正周期为π的函数f (x)=2sin ( 2ωx− )+1(ω>0)的图
6
π
象向左平移 个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列关于函数g(x)的说法正确的是（ ）
4
π kπ [ π]
A．对称轴为x=− + ，k∈Z B．在 0, 内单调递增
6 2 2
( π kπ ) [ π]
C．对称中心为 − + ,1 ，k∈ZD．在 0, 内最小值为−1
6 2 2
【解题思路】根据周期可得ω=1，再通过平移变换可得g(x)，然后由正弦函数的对称性、单调性求解即可.
π
【解答过程】因为f (x)=2sin ( 2ωx− )+1(ω>0)的最小正周期为π，
6
2π
所以 =π，解得ω=1，
2ω
则由平移变换可得g(x)=2sin [ 2 ( x+ π ) − π] +1=2sin ( 2x+ π )+1，
4 6 3
π π π kπ
A选项：令2x+ = +kπ得对称轴方程为x= + ,k∈Z，A错误；
3 2 12 2
π π π 5π π [ π]
B选项：由− ≤2x+ ≤ 得− ≤x≤ ，所以g(x)在 0, 上单调递增，
2 3 2 12 12 12
π π 3π π 7π [π π]
由 ≤2x+ ≤ 得 ≤x≤ ，所以g(x)在 , 上单调递减，B错误；
2 3 2 12 12 12 2
C选项：令2x+ π =kπ得x=− π + kπ ,k∈Z，所以g(x)的对称中心为 ( − π + kπ ,1 ) ,k∈Z，C
3 6 2 6 2
正确；
π π π π
D选项：因为g(0)=2sin +1=√3+1,g ( )=−2sin +1=1−√3，g(0)>g ( ) ，
3 2 3 2
所以结合B中分析可得g(x)在
[
0,
π]
内的最小值为g
( π )=1−√3，D错误.
2 2
故选：C.
【题型5 三角函数的单调性问题】
π
【例5】（2023·青海·校联考模拟预测）下列区间中，函数f (x)=3sin( x+ ) 单调递增的区间是（ ）
4
( π ) (π 5π )
A． 0, B． ,
2 4 4(5π 9π
)
C． , D．(π,2π)
4 4
【解题思路】首先求函数的单调递增区间，再根据选项判断.
π π π 3π π
【解答过程】令2kπ− ≤x+ ≤2kπ+ ，k∈Z，得2kπ− ≤x≤2kπ+ ，k∈Z，
2 4 2 4 4
[ 3π π] [5π 9π]
当k=0时，增区间是 − , ，当k=1时，增区间是 , ，
4 4 4 4
(5π 9π
)
其中只有 , 是增区间的子集.
4 4
故选：C.
【变式5-1】（2023上·内蒙古包头·高三校考阶段练习）函数f (x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示，则
f (x)的单调递减区间为（ ）
[ 1 3] [ 1 3]
A． kπ− ,kπ+ ，k∈Z B． 2kπ− ,2kπ+ ，k∈Z
4 4 4 4
[ 1 3] [ 1 3]
C． k− ,k+ ，k∈Z D． 2k− ,2k+ ，k∈Z
4 4 4 4
【解题思路】根据图象可得f (x)的最小正周期和最小值点，根据余弦型函数的性质分析判断.
【解答过程】设f (x)的最小正周期为T，
T 5 1
可知 = − =1，即T=2，
2 4 4
5 1
+
且当 4 4 3时，f (x)取到最小值，
x= =
2 4
3 3 1
由周期性可知：与x= 最近的最大值点为x= −1=− ，如图所示，
4 4 4[ 1 3]
所以f (x)的单调递减区间为 2k− ,2k+ ，k∈Z.
4 4
故选：D.
[ π π]
【变式5-2】（2023·山东烟台·统考二模）已知函数f (x)=cos(2x+φ)(0≤φ<2π)在 − , 上单调递
6 4
增，则φ的取值范围为（ ）
4π π 4π
A．π≤φ≤ B． ≤φ≤
3 2 3
4π 4π 3π
C． ≤φ≤2π D． ≤φ≤
3 3 2
【解题思路】由x的取值范围求出2x+φ的取值范围，结合余弦函数的性质得到不等式组，解得即可.
[ π π] [ π π ]
【解答过程】由x∈ − , ，所以2x+φ∈ − +φ, +φ ，
6 4 3 2
π π 5π
又0≤φ<2π，所以 ≤ +φ< ，
2 2 2
[ π π]
且函数f (x)在 − , 上单调递增，
6 4
4π 3π 4π 3π
所以¿，解得 ≤φ≤ ，即φ的取值范围为 ≤φ≤ .
3 2 3 2
故选：D.
【变式5-3】（2023·四川泸州·统考一模）已知函数f (x)=2sin ( ωx− π) (ω>0)在 ( 0, π ) 上存在最值，
6 3
(2π
)
且在 ,π 上单调，则ω的取值范围是（ ）
3
( 2] [ 5] [5 8] [11 17]
A． 0, B． 1, C． , D． ,
3 3 2 3 4 3
【解题思路】利用整体法，结合三角函数图像性质对x∈ ( 0,
π
) 进行最值分析，对区间x∈
(2π
,π )
3 3
上进行单调分析；π π π ωπ π
【解答过程】当00，则− <ωx− < − ，
3 6 6 3 6
π ωπ π π
因为函数f (x)在 ( 0, ) 上存在最值，则 − > ，解得ω>2，
3 3 6 2
2π 2πω π π π
当 0，则k∈{0,1,2}．
2
当k=0时，0<ω≤ ；
3
5
当k=1时，1≤ω≤ ；
3
5 8
当k=2时， ≤ω≤ ．
2 3
[5 8]
又因为ω>2，因此ω的取值范围是 , ．
2 3
故选：C．
【题型6 三角函数的周期性、对称性与奇偶性的灵活运用】
【例6】（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）已知函数f(x)=sin(ωx+φ) ( −
π
<φ<
π
) 在
(3π
,
7π
) 内
2 2 8 8
单调递减，x=
3π
是函数f(x)的一条对称轴，且函数y=f ( x+
π
) 为奇函数，则f
(7π
) =（ ）
8 8 24
√3 1 √3
A．− B．−1 C． D．
2 2 2
【解题思路】利用正弦型函数的对称性、奇偶性、单调性进行求解即可.
(3π 7π
)
3π
【解答过程】因为函数f(x)在 , 内单调递减，x= 是函数f(x)的一条对称轴，
8 8 8
7π 3π 1 7π 3π 1 2π
所以有 − ≤ T⇒ − ≤ ⋅ ⇒|ω|≤2，
8 8 2 8 8 2 |ω|3π π
所以ω⋅ +φ=2kπ+ (k∈Z)(1)，
8 2
因为y=f ( x+ π )=sin ( ωx+ ωπ +φ ) 是奇函数，
8 8
ωπ
所以 +φ=mπ(m∈Z)(2)，由(1)−(2)可得：ω=4(2k−m)+2，
8
而|ω|≤2，所以|ω|=±2，
2π π
当ω=2时， +φ=mπ(m∈Z)⇒φ=mπ− (m∈Z)，
8 4
π π π
因为− <φ< ，所以φ=− ，
2 2 4
π
即f(x)=sin(2x− )，
4
(3π 7π ) π (π 3π )
当x∈ , 时，2x− ∈ , ，显然此时函数单调递减，符合题意，
8 8 4 2 2
7π 7π π π √3
所以f( )=sin(2× − )=sin = ；
24 24 4 3 2
2π π
当ω=−2时，− +φ=mπ(m∈Z)⇒φ=mπ+ (m∈Z)，
8 4
π π π
因为− <φ< ，所以φ= ，
2 2 4
π
即f(x)=sin(2x+ )，
4
当x∈
(3π
,
7π
) 时，2x+
π
∈(π,2π)，显然此时函数不是单调递减函数，不符合题意，
8 8 4
故选：D.
π
【变式6-1】（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知函数f(x)=tan ( 2x+ ) ，则下列说法正确的是
3
（ ）
[π 7π]
A．f (x)为奇函数 B．f (x)在区间 , 上单调递增
12 12
π
( )
C．f (x)图象的一个对称中心为 ,0 D．f (x)的最小正周期为π
12
【解题思路】根据正切函数的定义域、对称中心、周期、单调性逐项判断即可得解.
π π π kπ π
【解答过程】因为f(x)=tan ( 2x+ ) ，所以2x+ ≠kπ+ ，解得x≠ + ，k∈Z
3 3 2 2 12即函数的定义域不关于原点对称，所以f (x)不是奇函数，故A错误；
π π π [π 7π]
当x= 时，2x+ = ，此时f (x)无意义，故f (x)在区间 , 上单调递增不正确，故B错误；
12 3 2 12 12
π π π π
当x= 时，2x+ = ，正切函数无意义，故 ( ,0 ) 为函数的一个对称中心，故C正确；
12 3 2 12
因为f(x+ π )=tan [ 2(x+ π )+ π] =tan(2x+ π +π)=tan ( 2x+ π )=f(x)，故 π
是函数的一个周
2 2 3 3 3 2
期，故D错误.
故选：C.
【变式6-2】（2023·河南新乡·统考三模）已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(0<ω<10,0<φ<π)图象的一个对
( π ) ( √2)
称中心是A ,0 ，点B 0, 在f(x)的图象上，下列说法错误的是（ ）
8 2
π 5π
A．f(x)=cos ( 2x+ ) B．直线x= 是f(x)图象的一条对称轴
4 8
C．f(x)在
[7π
,
11π]
上单调递减 D．f ( x+
π
) 是奇函数
8 8 8
【解题思路】由f (0)= √2 可得φ= π ，由对称中心A ( π ,0 ) 可求得ω=2，从而知函数f (x)的解析式，再
2 4 8
根据余弦函数的图象与性质，逐一分析选项即可.
( √2) √2 π
【解答过程】因为点B 0, 在f(x)的图象上， 所以f(0)=cosφ= .又0<φ<π，所以φ= .
2 2 4
π ωπ π π
因为f(x)图象的一个对称中心是A ( ,0 ) ，所以 + = +kπ，k∈Z，
8 8 4 2
π
则ω=2+8k，k∈Z.又0<ω<10，所以ω=2，则f(x)=cos ( 2x+ ) ，A正确.
4
(5π
)
3π 5π
f =cos =0，则直线x= 不是f(x)图象的一条对称轴，B不正确.
8 2 8
[7π 11π] π
当x∈ , 时，2x+ ∈[2π,3π]，f(x)单调递减，C正确.
8 8 4
π π
f ( x+ )=cos ( 2x+ )=−sin2x，是奇函数，D正确.
8 2
故选：B.π
【变式6-3】（2023·山东·统考二模）已知函数f (x)=asin2x+bcos2x(ab≠0)的图象关于直线x= 对
6
称，则下列说法正确的是（ ）
( π)
A．f x− 是偶函数 B．f (x)的最小正周期为2π
6
[ π π]
C．f (x)在区间 − , 上单调递增 D．方程f (x)=2b在区间[0,2π]上有2个实根
3 6
π
【解题思路】利用赋值法可求a,b的关系，从而可得f (x)=2bsin ( 2x+ ) ，利用公式可判断B的正误，
6
结合b的符号可判断C的正误，结合特例可判断A的正误，求出方程f (x)=2b在区间[0,2π]上解后可判断
D的正误.
π π
【解答过程】因为f (x)的图象关于直线x= 对称，故f (0)=f ( ) ，
6 3
2π 2π
所以b=asin +bcos ，所以a=√3b，
3 3
π
所以f (x)=√3bsin2x+bcos2x=2bsin ( 2x+ ) ，
6
π π π π
此时f ( )=2bsin ( 2× + )=2b，故函数图象关于直线x= 对称.
6 6 6 6
π π π π
f ( x− )=2bsin ( 2x−2× + )=2bsin ( 2x− ) ，
6 6 6 6
π π
令g(x)=f ( x− )=2bsin ( 2x− ) ，
6 6
π π π π π
则g
( )=2bsin (
−
)=0，而g (
−
)=2bsin (
−2×
)=−√3b≠0，
12 6 6 12 6
π π
故g(x)=f ( x− )=2bsin ( 2x− ) 不是偶函数，故A错误.
6 6
2π
f (x)的最小正周期为 =π，故B错误.
2
[ π π]
因为b的正负无法确定，故f (x)在 − , 的单调性无法确定，故C错误.
3 6
π
令f (x)=2b,x∈[0,2π]，因2b≠0，则sin ( 2x+ )=1，
6
π [π 25π] π π 5π π 7π
因为x∈[0,2π]，故2x+ ∈ , ，故2x+ = , 即x= , ，
6 6 6 6 2 2 6 6
故方程f (x)=2b,x∈[0,2π]共2个不同的解，故D正确.故选：D.
【题型7 三角函数的零点问题】
【例7】（2023·全国·模拟预测）已知函数f (x)=sinωx+√3cosωx−√2(ω>0)在(0,π)内恰有一个零点，
其图象在(0,π)内恰有一条对称轴，则ω的取值范围是（ ）
( 5 7] ( 5 5] ( 7 5] ( 7 7]
A． , B． , C． , D． ,
12 6 12 4 12 4 12 6
π
【解题思路】由辅助角公式、化简函数式，然后求得整体ωx+ 的范围，结合正弦函数的零点得出不等关
3
系，从而得参数范围．
( π)
【解答过程】由题意得：f (x)=sinωx+√3cosωx−√2=2sin ωx+ −√2(ω>0)．
3
π π ( 1) ( π) √2
因为x∈(0,π)，所以 <ωx+ < ω+ π．由f (x)=0，得sin ωx+ = ．
3 3 3 3 2
π 3π
因为f (x)在区间(0,π)内恰有一个零点，则ωx+ = ，它的图象在此区间内恰有一条对称轴，
3 4
π π 5 7
则ωx+ = ，所以¿解得 <ω≤ ．故A项正确.
3 2 12 6
故选：A.
【变式7-1】（2023·安徽·芜湖一中校联考模拟预测）已知函数f(x)=cos|x|−2|sinx|，以下结论正确
的是（ ）
[ 2π]
A．π是f(x)的一个周期 B．函数在 0, 单调递减
3
C．函数f(x)的值域为[−√5,1] D．函数f(x)在[−2π,2π]内有6个零点
【解题思路】对于A，根据f
( π +π)
≠f
( π )
即可判断；对于B，当x∈
[
0,
2π]
将f (x)化简，然后检
4 4 3
验即可；对于C，求出函数f (x)在一个周期[0,2π]的值域，先求当x∈[0,π]，再求当x∈[π,2π]
的值域即可判断；对于D，根据函数f(x)为偶函数，可通过区间[0,2π]上零点个数从而确定其零点个数.
π π
【解答过程】因为f
( +π)
≠f
( )
，所以A错误；
4 4
[ 2π] ( 1 2 )
当x∈ 0, ，f(x)=cosx−2sinx= √5 cosx− sinx =√5cos(x+φ)，其中
3 √5 √5
1 2 π π 2π 2π
cosφ= ,sinφ= ，不妨令φ为锐角，所以 <φ< ，所以φ≤x+φ≤ +φ，因为 +φ>π，
√5 √5 3 2 3 3所以B错误；
因为2π是函数f(x)的一个周期，可取一个周期[0,2π]上研究值域，当x∈[0,π]，
( 1 2 )
f(x)=cosx−2sinx=√5 cosx− sinx =√5cos(x+φ)，φ≤x+φ≤π+φ，所以
√5 √5
√5cosπ≤f(x)≤√5cosφ，即f(x)∈[−√5,1]；因为f(x)关于x=π对称，所以当x∈[π,2π]时
f(x)∈[−√5,1]，故函数f(x)在R上的值域为[−√5,1]，故C正确；
因为函数f(x)为偶函数，所以在区间[−2π,2π]上零点个数可通过区间[0,2π]上零点个数，由
y=sin|x|，y=2|cosx|在[0,2π]图像知由2个零点，所以在区间[−2π,2π]上零点个数为4个，
所以D错误．
故选:C.
π π
【变式7-2】（2023·四川雅安·统考一模）已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)（ω>0且− <φ< ），设T
2 2
(T)
为函数f(x)的最小正周期，f =−1，若f(x)在区间[0,1]有且只有三个零点，则ω的取值范围是
4
（ ）
(17π 23π] [17π 23 ) (7π 10π] [7π 10π )
A． , B． , π C． , D． ,
6 6 6 6 3 3 3 3
(T)
【解题思路】根据题意可确定T为函数f(x)=2cos(ωx+φ)的最小正周期，结合f =−1求出φ，再根
4
据f(x)在区间[0,1]有且只有三个零点，结合余弦函数性质列出不等式，求得答案.
2π
【解答过程】由题意知T为函数f(x)=2cos(ωx+φ)的最小正周期，故T= ，
ω
由f
(T)
=−1得2cos(
π
+φ)=−1，即cos(
π
+φ)=−
1
，
4 2 2 2
π π π
由于− <φ< ，故φ= ，
2 2 6
π π π
f(x)在区间[0,1]有且只有三个零点，故ωx+ ∈[ ,ω+ ]，
6 6 6
π 3π 5π 7π
且由于y=cosx在(0,+∞)上使得cosx=0的x的值依次为 , , , ,…，
2 2 2 2
故
5π
≤ω+
π
<
7π
，解得
7π
≤ω<
10π
，即ω∈
[7π
,
10π
) ，
2 6 2 3 3 3 3
故选：D.【变式7-3】（2023·江西·统考模拟预测）已知函数f (x)=√2sin(ωx+φ)(ω>0)的最小正周期T<π，
π π √2 15
f( )=1，且f (x)在x= 处取得最大值．现有下列四个结论：①sinφ= ；②ω的最小值为 ；③若
5 10 2 2
π π 35 13π 11π
函数f (x)在( , )上存在零点，则ω的最小值为 ；④函数f (x)在( , )上一定存在零点．其
20 4 2 20 15
中结论正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】根据给定条件，利用对称性计算判断①；探讨出ω值的表达式及范围判断②；对ω的取值验
证判断③④即可作答.
π π
【解答过程】因为函数f (x)在x= 处取得最大值，即函数f (x)的图象关于直线x= 对称，
10 10
π √2
因此f(0)=f( )=1，即√2sinφ=1，解得sinφ=
，①正确；
5 2
π π π π π
因为函数f (x)在x= 处取得最大值，则 ω+φ=2kπ+ ,k∈Z ，即φ=2kπ+ − ω,k∈Z ，
10 10 2 2 10
π π π √2 π π
有sinφ=sin( − ω)=cos ω= ，于是 ω=2nπ± ,n∈Z ，
2 10 10 2 10 4
2π 5 5 5
又ω>0,T= <π，即ω>2，因此ω=20n+ ,n∈N或ω=20n− ,n∈N∗ ，从而ω = ，②错误；
ω 2 2 min 2
π π π π π
当k∈Z时，f(x)=√2sin(ωx+2kπ+ − ω)=√2sin(ωx+ − ω)=√2cosω(x− )，
2 10 2 10 10
5 5 π π π 5 π π 3π
当ω= 时，f(x)=√2cos( x− )，由x∈( , )得 x− ∈(− , )，此时f(x)>0，
2 2 4 20 4 2 4 8 8
35 35 7π 35 π
当ω= 时，f(x)=√2cos( x− )=√2cos( x+ )，
2 2 4 2 4
π π 35 π 9π 37π 35 π 3π 5π 7π 9π
由x∈( , )得 x+ ∈( , )，当 x+ ∈{ , , , }时，f(x)=0，
20 4 2 4 8 8 2 4 2 2 2 2
5 2π 4π π π π π π
当ω=20n± ,n∈N∗ 时，T= ≤ ，而区间( , )长度 − = >T，
2 ω 35 20 4 4 20 5
5 π π 35
即当ω=20n± ,n∈N∗ 时，函数f(x)在( , )上存在零点，ω = ，③正确；
2 20 4 min 2
5 5 π 13π 11π 5 π 11π 19π
当ω= 时，f(x)=√2cos( x− )，由x∈( , )得 x− ∈( , )，
2 2 4 20 15 2 4 8 12
5 π 3π 13π 11π
显然当 x− = 时，f(x)=0，即函数f(x)在( , )上存在零点，
2 4 2 20 155 2π 4π 13π 11π 11π 13π π 1
当ω=20n± ,n∈N∗ 时，T= ≤ ，而区间( , )长度 − = > T，
2 ω 35 20 15 15 20 12 2
13π 11π 13π 11π
函数f(x)在( , )上存在零点，综上得函数f(x)在( , )上一定存在零点，④正确，
20 15 20 15
所以结论正确的个数是3.
故选：C.
【题型8 三角函数的图象与性质的综合应用】
【例8】（2023·辽宁辽阳·统考一模）已知函数f (x)=4sin ( ωx+ π ) (ω>0)在 [π ,π ] 上单调递减.
3 6
(1)求ω的最大值；
(3π ) [ 9π ]
(2)若f (x)的图象关于点 ,0 中心对称，且f (x)在 − ,m 上的值域为[−2,4]，求m的取值范围.
2 20
π
【解题思路】（1）将ωx+ 看作整体，再根据正弦型函数的单调性可求得结果；
3
（2）根据正弦型函数的对称中心及第一问可得f (x)解析式，再利用正弦型函数的图象与性质可得结果.
[π ] π [π π π]
【解答过程】（1）由条件知x∈ ,π ,则ωx+ ∈ ω+ ,πω+ ，
6 3 6 3 3
由正弦函数的性质可知：¿
π 5π T π 6
又有π− = ≤ = ∴0<ω≤ ，
6 6 2 ω 5
7
当k=0时，1≤ω≤ 符合题意；
6
7
当k≥1时，不等式13≤ω≤ +12，舍去，
6
7
所以ω的最大值为 .
6
(3π ) 3π π
（2）因为f (x)的图象关于点 ,0 中心对称，所以 ω+ =kπ(k∈Z).
2 2 3
2k 2
即ω= − (k∈Z)，
3 9
7 10 (10 π)
由（1）得：1≤ω≤ ，所以ω= ，则f (x)=4sin x+ ，
6 9 9 3
[ 9π ] 10 π [ π 10 π]
当x∈ − ,m 时， x+ ∈ − , m+ ，
20 9 3 6 9 3
[ 9π ] (10 π) [ 1 ]
因为f (x)在 − ,m 上的值域为[−2,4]，所以sin x+ ∈ − ,1 ，
20 9 3 2π 10 π 7π 3π 3π
则 ≤ m+ ≤ ，解得 ≤m≤ ，
2 9 3 6 20 4
[3π 3π]
所以m的取值范围是 , .
20 4
π
【变式8-1】（2023上·山东泰安·高一校考期末）已知函数f (x)=sin ( 2x− ) .
3
(1)求函数f (x)的单调递增区间和最小正周期；
[ π π] 1
(2)当x∈ − , 时，求不等式f (x)≥ 的解集.
2 2 2
[π 7π]
(3)求f (x)在区间 , 上的最大值和最小值.
12 12
2π
【解题思路】（1）整体法求出函数单调递增区间，进而利用T= 求出最小正周期；
ω
[ π π] π [ 4π 2π]
（2）x∈ − , 时，2x− ∈ − , ，数形结合解不等式，求出解集；
2 2 3 3 3
（3）整体法求解函数最值.
π π π
【解答过程】（1）令− +2kπ≤2x− ≤ +2kπ,k∈Z，
2 3 2
π 5π
解得− +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z ，
12 12
[ π 5π ]
故函数f (x)的单调递增区间为 − +kπ, +kπ ,k∈Z ，
12 12
2π
最小正周期为T= =π；
2
[ π π] π [ 4π 2π]
（2）x∈ − , 时，2x− ∈ − , ，
2 2 3 3 3
1 π 1
( )
f (x)≥ ⇒sin 2x− ≥ ，
2 3 2
π [ 4π 7π] [π 2π] [ π 5π] [π π]
故2x− ∈ − ,− ∪ , ，解得x∈ − ,− ∪ , ；
3 3 6 6 3 2 12 4 2
[π 7π] π [ π 5π]
（3）x∈ , 时，2x− ∈ − , ，
12 12 3 6 6
[ π π] (π 5π]
由于y=sint在t∈ − , 上单调递增，在 , 上单调递减，
6 2 2 6
π π 5π π
故当2x− = ，即x= 时，f (x)=sin ( 2x− ) 取得最大值，最大值为1，
3 2 12 3π π π π 1
当2x− =− ，即x= 时，f (x)=sin ( 2x− ) 取得最小值，最小值为− ，
3 6 12 3 2
[π 7π] 1
故f (x)在区间 , 上的最大值为1，最小值为− .
12 12 2
π
【变式8-2】（2023上·广东江门·高一校考期末）已知函数f (x)=Asin(ωx+φ)（A>0，ω>0，|φ|<
2
π π
）图象的相邻两条对称轴的距离是
，当x=
时取得最大值2.
2 6
(1)求函数f (x)的解析式；
[ π]
(2)求函数f (x)在区间 0, 的最大值和最小值；
2
6 π
(3)若函数g(x)=f (x)− 的零点为x ，求cos( −2x ) .
5 0 3 0
2π π π
【解题思路】（1）根据对称轴可得周期T= =2× ，由最大值可得A=2，再将点 ( ,2 ) 代入解析
ω 2 6
π
式，结合|φ|<
即可解出；
2
（2）根据正弦函数的图象与性质即可求最值；
π 3 π π π
（3）由题意可得sin( 2x + )= ，根据 ( −2x )+( 2x + )= ，结合诱导公式即可求解.
0 6 5 3 0 0 6 2
π π
【解答过程】（1）因为图象的相邻两条对称轴的距离是 ，所以f (x)的最小正周期为2× =π，
2 2
2π
所以ω= =2.
T
π π π
因为在x= 时取得最大值2，所以A=2，且2× +φ= +2kπ(k∈Z),
6 6 2
π
可得φ= +2kπ(k∈Z).
6
π π
因为|φ|< ，所以φ=
.
2 6
π
所以f (x)=2sin( 2x+ ) .
6
[ π] π [π 7π]
（2）x∈ 0, 时，2x+ ∈ ， ，
2 6 6 6π 7π π 7π
所以，当2x+ = ，即x= 时，f (x) =2sin =−1；
6 6 2 min 6
π π π π
当2x+ = ，即x= 时，f (x) =2sin =2.
6 2 6 max 2
[ π]
所以函数f (x)在区间 0, 的最大值为2，最小值为−1.
2
6
（3）因为函数g(x)=f (x)− 的零点为x ，
5 0
π 6 π 3
所以2sin( 2x + ) − =0，即 sin( 2x + )= .
0 6 5 0 6 5
π π π
因为 ( −2x )+( 2x + )= ，
3 0 0 6 2
所以 cos( π −2x )=cos [π − ( 2x + π )] =sin ( 2x + π )= 3 .
3 0 2 0 6 0 6 5
π
【变式8-3】（2023·江苏常州·江苏校考模拟预测）已知函数f(x)=2sin(2ωx+ )+1．
6
π
(1)若f (x )≤f (x)≤f (x )，|x −x | = ，求f(x)的对称中心；
1 2 1 2min 2
π π
(2)已知0<ω<5，函数f(x)图象向右平移 个单位，得到函数g(x)的图象，x= 是g(x)的一个零点，
6 3
若函数g(x)在[m,n]（m,n∈R且m0)，在第（2）问条件下，若对任意x ∈[0, ]，存在
6 1 4
π
x ∈[0, ]，使得ℎ(x )=g(x )成立，求实数a的取值范围．
2 4 1 2
π
【解题思路】（1）由f (x )≤f (x)≤f (x )，|x −x | = 可求得函数f (x)的最小正周期，进而确定参数
1 2 1 2min 2
ω的值，再由整体代换即可求得对称中心；（2）由三角函数的平移变换求得g(x)的解析式，再由零点的定
义确定参数ω的值，结合图象可得n−m的最小值；（3）将所给条件转化为ℎ(x)和g(x)的值域的包含关
系，即可求得参数a的取值范围．
π 2π
【解答过程】（1）∵f(x)=2sin(2ωx+ )+1的最小正周期为T= ，
6 |2ω|
π
又∵f (x )≤f (x)≤f (x )，|x −x | = ，∴f (x)的最小正周期是π，
1 2 1 2min 22π
故T= =π ，解得ω=±1，
|2ω|
π π π kπ
当ω=1时，f (x)=2sin ( 2x+ )+1，由2x+ =kπ(k∈Z)⇒x=− + (k∈Z)，f (x)的对称
6 6 12 2
( π kπ )
中心为 − + ，1 (k∈Z)；
12 2
π π π kπ
当ω=−1时，f (x)=2sin ( −2x+ )+1，由−2x+ =kπ(k∈Z)⇒x= − (k∈Z)，f (x)的
6 6 12 2
(π kπ )
对称中心为 − ，1 (k∈Z)；
12 2
( π kπ ) (π kπ )
综上所述，f (x)的对称中心为 − + ,1 (k∈Z)或 − ,1 (k∈Z).
12 2 12 2
π
（2）∵函数f (x)图象向右平移 个单位，得到函数g(x)的图象，
6
π π
∴g(x)=2sin ( 2ωx+ − ω )+1.
6 3
π
又∵x= 是g(x)的一个零点，
3
π 2π π π π π 1
g( )=2sin ( ω+ − ω )+1=0，即sin ( ω+ )=− ，
3 3 6 3 3 6 2
π π 7π π π 11π
∴
ω+ = +2kπ
或
ω+ = +2kπ，k∈Z
，
3 6 6 3 6 6
解得ω=3+6k(k∈Z)或ω=5+6k(k∈Z)，
由0<ω<5可得ω=3
5π π
∴g(x)=2sin ( 6x− )+1，最小正周期T= .
6 3
5π 1
令g(x)=0，则sin
(
6x−
)=−
6 2
5π π 5π 5π k π π k π
即6x− =− +2k π 或6x− =− +2k π，k∈Z，解得x= 1 + 或x= 2 ，
6 6 1 6 6 2 3 9 3
k ,k ∈Z；
1 2
若函数g(x)在[m,n]（m,n∈R且m0时 >0、 >0，即A、C中(0,+∞)上函数值为正，排除；
x2+2 x2+2
故选：D.
2．（2023·天津·统考高考真题）已知函数f (x)的一条对称轴为直线x=2，一个周期为4，则f (x)的解析式
可能为（ ）
(π ) (π )
A．sin x B．cos x
2 2
(π ) (π )
C．sin x D．cos x
4 4
【解题思路】由题意分别考查函数的最小正周期和函数在x=2处的函数值，排除不合题意的选项即可确定
满足题意的函数解析式.
【解答过程】由函数的解析式考查函数的最小周期性：
2π 2π
T= =4 T= =4
A选项中 π ，B选项中 π ，
2 2
2π 2π
T= =8 T= =8
C选项中 π ，D选项中 π ，
4 4
排除选项CD，
(π )
对于A选项，当x=2时，函数值sin ×2 =0，故(2,0)是函数的一个对称中心，排除选项A，
2
(π )
对于B选项，当x=2时，函数值cos ×2 =−1，故x=2是函数的一条对称轴，
2
故选：B.
π π
3．（2023·全国·统考高考真题）函数y=f (x)的图象由函数y=cos ( 2x+ ) 的图象向左平移 个单位长
6 6
1 1
度得到，则y=f (x)的图象与直线y= x− 的交点个数为（ ）
2 2
A．1 B．2 C．3 D．4
1 1
【解题思路】先利用三角函数平移的性质求得f (x)=−sin2x，再作出f (x)与y= x− 的部分大致图像，
2 2
1 1
考虑特殊点处f (x)与y= x− 的大小关系，从而精确图像，由此得解.
2 2π π
【解答过程】因为y=cos ( 2x+ )
向左平移 个单位所得函数为
6 6
y=cos [ 2 ( x+ π )+ π] =cos ( 2x+ π )=−sin2x，所以f (x)=−sin2x，
6 6 2
1 1 ( 1)
而y= x− 显然过 0,− 与(1,0)两点，
2 2 2
1 1
作出f (x)与y= x− 的部分大致图像如下，
2 2
3π 3π 7π 3π 3π 7π 1 1
考虑2x=− ,2x= ,2x= ，即x=− ,x= ,x= 处f (x)与y= x− 的大小关系，
2 2 2 4 4 4 2 2
3π ( 3π ) ( 3π ) 1 ( 3π ) 1 3π+4
当x=− 时，f − =−sin − =−1，y= × − − =− <−1；
4 4 2 2 4 2 8
3π (3π ) 3π 1 3π 1 3π−4
当x= 时，f =−sin =1，y= × − = <1；
4 4 2 2 4 2 8
7π 7π 7π 1 7π 1 7π−4
当x= 时，f ( )=−sin =1，y= × − = >1；
4 4 2 2 4 2 8
1 1
所以由图可知，f (x)与y= x− 的交点个数为3.
2 2
故选：C.
(π 2π )
4．（2023·全国·统考高考真题）已知函数f(x)=sin(ωx+φ),(ω>0)在区间 , 单调递增，直线
6 3
x=
π
和x=
2π
为函数y=f (x)的图像的两条相邻对称轴，则f ( −
5π
) =（ ）
6 3 12
√3 1 1 √3
A．− B．− C． D．
2 2 2 2
5π
【解题思路】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入x=− 即可得到答案.
12(π 2π)
【解答过程】因为f(x)=sin(ωx+φ)在区间 , 单调递增，
6 3
T 2π π π 2π
所以 = − = ，且ω>0，则T=π，w= =2，
2 3 6 2 T
π π π
当x= 时，f (x)取得最小值，则2⋅ +φ=2kπ− ，k∈Z，
6 6 2
5π ( 5π)
则φ=2kπ− ，k∈Z，不妨取k=0，则f(x)=sin 2x− ，
6 6
( 5π) ( 5π) √3
则f − =sin − = ，
12 3 2
故选：D.
5．（2022·全国·统考高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[−3,3]的大致图像，则该函数是
（ ）
−x3+3x x3−x 2xcosx 2sinx
A．y= B．y= C．y= D．y=
x2+1 x2+1 x2+1 x2+1
【解题思路】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.
x3−x
【解答过程】设f (x)= ，则f (1)=0，故排除B;
x2+1
2xcosx π
设ℎ(x)= ，当x∈ ( 0, ) 时，00，故排除D.
x2+1 10
故选：A.π
6．（2022·全国·统考高考真题）设函数f(x)=sin ( ωx+ ) 在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，
3
则ω的取值范围是（ ）
[5 13) [5 19) (13 8] (13 19]
A． , B． , C． , D． ,
3 6 3 6 6 3 6 6
π
【解题思路】由x的取值范围得到ωx+ 的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．
3
π (π π)
【解答过程】解：依题意可得ω>0，因为x∈(0,π)，所以ωx+ ∈ ,ωπ+ ，
3 3 3
(π )
要使函数在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，又y=sinx，x∈ ,3π 的图象如下所示：
3
5π π 13 8 (13 8]
则 <ωπ+ ≤3π，解得 <ω≤ ，即ω∈ , ．
2 3 6 3 6 3
故选：C．
[ π π]
7．（2022·全国·统考高考真题）函数y=(3x−3−x)cosx在区间 − , 的图象大致为（ ）
2 2
A． B．
C． D．
【解题思路】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.[ π π]
【解答过程】令f (x)=(3x−3−x)cosx,x∈ − , ，
2 2
则f (−x)=(3−x−3x)cos(−x)=−(3x−3−x)cosx=−f (x)，
所以f (x)为奇函数，排除BD；
( π)
又当x∈ 0, 时，3x−3−x>0,cosx>0，所以f (x)>0，排除C.
2
故选：A.
8．（2023·全国·统考高考真题）已知函数f (x)=cosωx−1(ω>0)在区间[0,2π]有且仅有3个零点，则ω
的取值范围是 [2,3) ．
【解题思路】令f(x)=0，得cosωx=1有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.
【解答过程】因为0≤x≤2π，所以0≤ωx≤2ωπ，
令f(x)=cosωx−1=0，则cosωx=1有3个根，
令t=ωx，则cost=1有3个根，其中t∈[0,2ωπ]，
结合余弦函数y=cost的图像性质可得4π≤2ωπ<6π，故2≤ω<3，
故答案为：[2,3).
1
9．（2023·全国·统考高考真题）已知函数f (x)=sin(ωx+φ)，如图A，B是直线y= 与曲线y=f (x)的两
2
π √3
个交点，若|AB|= ，则f (π)= − ．
6 2
【解题思路】设A ( x , 1) ,B ( x , 1) ，依题可得，x −x = π ，结合sinx= 1 的解可得，
1 2 2 2 2 1 6 2
2π (2 ) ( 2 )
ω(x −x )= ，从而得到ω的值，再根据f π =0以及f (0)<0，即可得f(x)=sin 4x− π ，进
2 1 3 3 3而求得f (π)．
【解答过程】设A ( x , 1) ,B ( x , 1) ，由|AB|= π 可得x −x = π ，
1 2 2 2 6 2 1 6
1 π 5π
由sinx= 可知，x= +2kπ 或x= +2kπ ，k∈Z，由图可知，
2 6 6
5 π 2π 2π
ωx +φ−(ωx +φ)= π− = ，即ω(x −x )= ，∴ω=4．
2 1 6 6 3 2 1 3
(2 ) (8π ) 8π 8
因为f π =sin +φ =0，所以 +φ=kπ，即φ=− π+kπ，k∈Z．
3 3 3 3
( 8 ) ( 2 )
所以f(x)=sin 4x− π+kπ =sin 4x− π+kπ ，
3 3
( 2 ) ( 2 )
所以f (x)=sin 4x− π 或f (x)=−sin 4x− π ，
3 3
( 2 ) ( 2 ) √3
又因为f (0)<0，所以f(x)=sin 4x− π ，∴f (π)=sin 4π− π =− ．
3 3 2
√3
故答案为：− ．
2
10．（2022·全国·统考高考真题）记函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T，若
√3 π
f(T)= ，x= 为f(x)的零点，则ω的最小值为 3 ．
2 9
√3 π
【解题思路】首先表示出T，根据f (T)= 求出φ，再根据x= 为函数的零点，即可求出ω的取值，从
2 9
而得解；
【解答过程】解： 因为f (x)=cos(ωx+φ)，（ω>0，0<φ<π）
2π ( 2π ) √3
所以最小正周期T= ，因为f (T)=cos ω⋅ +φ =cos(2π+φ)=cosφ= ，
ω ω 2
π π
又0<φ<π，所以φ= ，即f (x)=cos ( ωx+ ) ，
6 6
π π π π
又x= 为f (x)的零点，所以 ω+ = +kπ,k∈Z ，解得ω=3+9k,k∈Z，
9 9 6 2
因为ω>0，所以当k=0时ω =3；
min
故答案为：3.
