文档内容
专题 04 灵活运用周期性、单调性、奇偶性、对称
性解决函数性质问题
目 录
01 函数单调性的综合应用...................................................................................................................1
02 函数的奇偶性的综合应用................................................................................................................5
03 已知f(x)=奇函数+M........................................................................................................................8
04 利用轴对称解决函数问题..............................................................................................................12
05 利用中心对称解决函数问题..........................................................................................................15
06 利用周期性和对称性解决函数问题...............................................................................................18
07 类周期函数....................................................................................................................................22
08 抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性............................................................................26
09 函数性质的综合.............................................................................................................................2801 函数单调性的综合应用
1．（2023·山东青岛·高三山东省青岛第十九中学校考期中）定义在 上的函数 满足
，且 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据定义域为 且 可知 ，
又 ，所以对 ， 恒成立；
即可知函数 在 上单调递减；
又 ，可得 ，
不等式 可化为 ，解得 ，
可得不等式 的解集为 .
故选：B
2．（2023·云南大理·高三云南省下关第一中学校考期中）已知函数 ，满足对任意的
实数 ，都有 成立，则实数 的取值范围为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数 满足对任意的实数 ，都有 成立，
不妨设 ，则 ，则 ，即 ，
则函数 在 上为减函数，则 ，解得 ，
因此，实数 的取值范围是 ，
故选：D．
3．（2023·四川泸州·高三泸州老窖天府中学校考阶段练习）已知函数 是 上的增函数，且
，其中 是锐角，并且使得 在 上单调
递减．则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】若 ，由函数单调性可知 ，
此时显然 ，符合题意；
若 ，由函数的单调性知 ，
则 不符合题意.
故 ，可排除C、D选项，又 ，
此时 在 上单调递减，
则 ，
综上可知 .
故选：A
4．（2023·河南开封·高三通许县第一高级中学校考阶段练习）实数 分别满足
，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，则 .
因为 ,所以 .
令 ，则 ，
当 时 ，则 在 上单调增；
当 时 ，则 在 上单调减.
所以 ，即 .
所以 且 ，
则可得 .
因为 ,所以令 ,则 ,
当 时, ,所以 在 单调减,
所以可得 ,即 ,
又 ,所以 ,
所以 .
故选:B.
5．（2023·江苏宿迁·高三沭阳如东中学校考期中）若对任意的 ，且当 时，都有
，则实数 的最小值是（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】C
【解析】由题设知： 且 ， ，
令 且 ，即 在 上递增，
所以 在 上恒成立，而 递减，
所以 ，故实数 的最小值是5.
故选：C
02 函数的奇偶性的综合应用
6．（2023·河南·高三校联考阶段练习）已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时，
，则不等式 的解集为（其中e为自然对数的底数）（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为当 时， ，
所以 ，
所以 在 上单调递增，且 ,
又因为 是定义在 上的奇函数，
所以 在 上单调递增，且 ,
又因为 为偶函数，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增；
，
所以 ，
解得 .
故选：B.
7．（2023·全国·校联考模拟预测）已知函数 ，则关于x的不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，
所以函数 为偶函数，当 时，有 ，
令 ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，所以 ，即 恒成立，
所以函数 在区间 上单调递增，又函数 为偶函数，
所以函数 在区间 上单调递减，
所以关于 的不等式 可转化为 ，解得 .
关于x的不等式 的解集为 ，
故选：B.
8．（2023·四川遂宁·高二统考期末）已知 是定义在 上的增函数，函数 的图象关于点
对称，若不等式 的解集为区间 ，且 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】∵函数 的图象关于点 对称，
∴函数 的图象关于点 对称，又 是定义在 上的增函数，
∴函数 是定义在 上的奇函数且在 上的增函数，
由 ，可得
，
∴ 的解集为区间 ，且 ，
作出函数 与 的图象，函数 表示圆心在原点，半径为4的圆的上半部分， 表示过定点 的
直线，
由图象结合条件可知 ，又 ，
∴ ，即直线与半圆的交点 的横坐标为2，故 ，
∴ .
故选：B.
9．（2023·江苏泰州·模拟预测）已知函数 ，则 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】显然，函数 是定义域为 的偶函数.
当 时， ，所以 是减函数，且 ；
所以当 时， 是增函数，且 .
因此，当 或 时， ；当 时， .
所以， 或或
或 .
故 的解集为 .
故选：A.
10．（2023·河南·高三开封高中校联考期中）已知函数 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题可知函数 的定义域为 ，
∵ ，
∴ 是偶函数，
∴由 可得 ，即 .
当 时， ，∵ 和 在 上都是单调递增的，
∴ 在 上单调递增，又因 是偶函数，
∴ 在 上单调递减.
又∵ ，由函数 的定义域知 有 ，
∴由 可得 ，解得： ；
由 可得 ，解得： .综上，不等式的解集为 .
故选：D.
03 已知f(x)=奇函数+M
11．（2023·全国·高三专题练习）函数 在 上的最大值为 ，
最小值为N，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
设 则 ，为奇函数.
，
即
故选
12．（2023·全国·高三专题练习）函数 （e为自然对数的底数）在区间[﹣1，1]上的最
大值和最小值之和等于___.
【答案】2
【解析】 ，
设h（x）＝f（x）﹣1，x∈[﹣1，1]，
则 ，所以h（x）为奇函数，
h′（x）＝f′（x） cosx＞0，因此函数h（x）在x∈[﹣1，1]上单调递增.
∴h（x）的最大值和最小值之和＝h（1）+h（﹣1）＝0，
故f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值和最小值之和为2.
故答案为：2.
13．（2023·全国·高三专题练习）设函数 , 的最大
值为 ,最小值为 ,那么 ___________.
【答案】4040
【解析】令 ， ，
因为 ，
，
故 ，所以 为 上的奇函数，
故 .
又 ， ，
故 .
故答案为： .
14．（2023·河南·河南省淮阳中学校联考模拟预测）已知函数 ，则
在 上的最大值与最小值之和为______．
【答案】
【解析】 ；
令 ，当 时， ， ；令 ， ，
，
为定义在 上的奇函数， ，
，即 ，
在 上的最大值和最小值之和为 .
故答案为： .
15．（2023·广西桂林·统考一模） 是定义在R上的函数， 为奇函数，则
（ ）
A．－1 B． C． D．1
【答案】A
【解析】 是定义在R上的函数， 为奇函数，则
.
∴ .
故选：A
16．（2023春·河南洛阳·高一孟津县第一高级中学校考阶段练习）已知关于 的函数
在 上的最大值为M，最小值N，且 ，则实数t的
值是（ ）
A．674 B．1011 C．2022 D．4044【答案】B
【解析】 ， ，
∴令 ， ，则 ，
定义域关于原点对称，且 ，
所以 为奇函数，
∴ （奇函数的性质），
∴ ，
∴ ，即 .
故选：B
17．（2023·全国·高三专题练习）设函数 , 的最大
值为 ,最小值为 ,那么 ___________.
【答案】4040
【解析】令 ， ，
因为 ，
，
故 ，所以 为 上的奇函数，
故 .
又 ， ，
故 .
故答案为： .18．（2023·河南·河南省淮阳中学校联考模拟预测）已知函数 ，则
在 上的最大值与最小值之和为______．
【答案】
【解析】 ；
令 ，当 时， ， ；
令 ， ，
，
为定义在 上的奇函数， ，
，即 ，
在 上的最大值和最小值之和为 .
故答案为： .
04 利用轴对称解决函数问题
19．（2023·四川成都·高三统考期中）已知 ，则不等式 的解集为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】函数 的定义域为 ，显然 ，则函数 的图象关于直线 对称，
当 时， ，显然 ， ，于是 ，即函数 在 上递
增，
则不等式 等价于 ，即 ，整理得 ，解得 ，
所以不等式 的解集为 .
故选：B
20．（2023·四川遂宁·高三四川省蓬溪中学校校考阶段练习）已知定义在 上的奇函数 满足：
的图象是连续不断的且 为偶函数.若 有 ，则下面结论
正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】∵ 为偶函数，
∴ 且 的图象关于 对称，
∵ 为奇函数，∴ 的图象关于 对称，
∴ 为周期函数， ，
∵ 有 ，∴ 在 上单调性递减，∴由 的图象的连续性以及单调性、对称性可得其草图如上所示：
∵ ， ， ，
∴ ，
故选：D.
21．（2023·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知函数 的图像关于 对称，且对任意 ， ∈
，都有 ，设 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】函数 的图像关于 对称，且对任意 ， ∈ ，都有 ，
则函数在 上单调递减，在 上单调递增
又 ，且
所以 ，即 .
故选：B.
22．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）已知函数 和 的图象与直线
交点的横坐标分别 ， ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】作出函数 和 的图象以及直线 的图象，如图，由函数 和 的图象与直线 交点 的横坐标分别为 ， ，
由题意知 ，也即 ,
由于函数 和 互为反函数，
二者图像关于直线 对称，
而 为 和 的图象与直线 的交点,
故 关于 对称，
故 .
故选：B.
23．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）已知定义在R上的函数 在 上单调递
增，且 是偶函数，则满足 的x的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为函数 是偶函数，所以函数 的图象关于直线 对称，
又 在 上单调递增，由 ，得 ，即 ，
平方并化简，得 ，解得 ，即x的取值范围为 .
故选：C
05 利用中心对称解决函数问题
24．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知函数 ，正项等比数列 满足
， 则 （ ）
A．2023 B． C．2022 D．4046
【答案】A
【解析】用倒序相加法：令 ①，
则也有 ②，
由 知函数 关于 对称，
而 ，
即 ，
所以 ，
则 .
故选：A
25．（2023·四川绵阳·绵阳中学校考一模）若函数 满足 ，则说 的
图象关于点 对称，则函数 的对称中心是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数定义域为 ，定义域的对称中心为 ，所以可猜 ，
则 ，
，
故
所以 的对称中心为 ，
故选：C．
26．（2023·全国·校联考模拟预测）对于三次函数 给出定义：设 是函
数 的导数， 是 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数
的“拐点”，同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称
中心，且拐点就是对称中心，若 ，请你根据这一发现计算：
（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【答案】C
【解析】由题意可知 ，所以 ，令 ，则 ，
所以 ，由题意可知函数 的对称中心为 ，所以 ，即 ，
所以 ，
所以
，
所以 .
故选：C
27．（2023·江苏苏州·高二张家港市沙洲中学校考开学考试）已知函数 ，数列 为等比数
列， ，且 ，利用课本中推导等差数列前 项和的公式的方法，则
（ ）
A． B．2017 C．4034 D．8068
【答案】C
【解析】用倒序相加法：令 ①
则也有 ②
由 ，
，即有 ，
可得： ，
于是由①②两式相加得 ，所以 ．
故选：C
28．（2023·四川宜宾·高一统考阶段练习）若函数 ，则的值为（ ）
A．2022 B．4042 C．4044 D．8084
【答案】D
【解析】由题意函数 ，定义域为 ，
则 ，
故 ，
即函数 的图象关于点 成中心对称，
故 ，
故
，
故选：D
06 利用周期性和对称性解决函数问题
29．（2023·浙江绍兴·高二统考期末）已知函数 的定义域为R，且 ，
为奇函数， ，则 （ ）
A． B． C．0 D．
【答案】B
【解析】由 ，则 ，
所以， ， 周期为4，所以 .由 ，令 ，则有 ，所以， .
因为 为奇函数，所以 ，
所以， ，所以函数 关于点 对称，
所以， .
令 ，则 .
令 可得， ，所以 ，所以 ，
所以，有 ，即有 .
令 ，则有 ；
令 ，则 .
综上， ， ， ，
.
所以，
，
所以， .
故选：B.
30．（2023·山东·山东省实验中学校考二模）已知函数 ， 的定义域均为 ，且满足， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 ，则 ，即 ，
由 ，则 ，即 ，
又 ，则 ，
，则 ，
又 ，
所以
，
即 ，
即 ，
所以 ，故 ，
综上 ，则 ，故 关于 对称，
且有 ，
令 ，则 ，即 的周期为 ，
由 知 关于 对称且 ，
所以 ，即 ，则 ，
由 ，可得 ，则 ，
所以 则 ；
则 ，依次类推可得 ， ，……， ，则 ，
所以 .
故选：B
31．（2023·陕西西安·高三长安一中校考期中）设函数 的定义域为 为奇函数， 为
偶函数，当 时， ，若 ，则 （ ）
A．2 B． C．4 D．5
【答案】D
【解析】函数 的定义域为 ，由 为奇函数，得 ，即 ，
则 ，由 为偶函数，得 ，即 ，
显然 ，又当 时， ， ，
因此 ，解得 ，当 时， ，
又 ，即 ，则有 ，
所以函数 是周期为4的周期函数， .
故选：D
32．（2023·四川绵阳·绵阳中学校考一模）已知函数 是定义域为 的偶函数， 是奇函数，
则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． 是以4为周期的函数 D． 的图象关于 对称
【答案】B【解析】因为函数 是定义域为 的偶函数，所以 ，
因为 是奇函数，所以 ，
将 换成 ，则有 ，
A：令 ，所以 ，因此本选项正确；
B：因为 ，所以函数 关于点 对称，
由 ，可得 ， 的值不确定，
因此不能确定 的值，所以本选项不正确；
C：因为 ，
所以 ，
所以 ，因此 是以4为周期的函数，因此本选项正确；
D：因为 ，
所以 ，
因此有 ，
所以函数 的图象关于 对称，
由上可知 是以4为周期的函数，
所以 的图象也关于 对称，因此本选项正确，
故选：B.
33．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的定义域为 不恒为 ， 为偶函数，为奇函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】 函数 为偶函数，
，
为奇函数，
，
用 替换上式中 ，得 ，
， ，即 ，
故函数 是以4为周期的周期函数，
为奇函数，
，即 ，
用 替换上式中 ，可得， ，
关于 对称，
又 ，
(1) ．
故选：B．
07 类周期函数
34．（2023·甘肃·高三西北师大附中阶段练习）定义域为R的函数 满足 ，当
时， ，若 时， 恒成立，则实数 的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】D【解析】当 时， 的取值范围是 ；
当 时， 的取值范围是 ，
所以当 时， 的取值范围是 ,
因为函数 满足 ，所以 ，
又当 时, ,
故 的取值范围是 ，
所以 时， ，
故 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 ，
故选：D.
35．（2023·浙江·高三期末）定义域为 的函数 满足 ，当 时，
，若 时， 恒成立，则实数 的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】当 时， .
因为 ，所以 ，即 .在直角坐标系内，画出 时， 的图象（如图所示）.
由于 时， 的最小值为 ，所以 时，当 时， 的最小值为 ，
因此，为使 时， 恒成立，
需 ，即 ，解得 或 ，故选C
36．（2023·全国·高三专题练习）定义域为 的函数 满足 ，当 时，
，若当 时，函数 恒成立，则实数 的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当 时， ，
此时有 ，
当 时， ，此时函数单调递增，
故 ，故函数 在 时的最小值为 ，
又 ，因此当 时，函数 ，
从而 ，
故选：C.37．（2023·河北邢台·高二阶段练习）定义域为 的函数 满足 当 时，
，若 时， 恒成立，则实数 的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 时，函数最小值为 ，
时，函数最小值为 ，
故在区间 上，函数最小值为 .
当 时，最小值为 ，
同理，当 时，最小值为 ，
所以 ，化简可得： ，即： 解得 .
故选：C
38．（2023·全国·高三专题练习）定义域为 的函数 满足 ，当 时，
，若 时， 恒成立，则实数 的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】C【解析】因为 ，所以 ，
因为 时， ，
所以 ,
因为函数 满足 ，
所以 ，
所以 ， ，
又因为 ， 恒成立，
故 ，
解不等式可得 或 .
08 抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性
39．（多选题）（2023·江西南昌·高三江西师大附中校考期中）已知函数 是奇函数，
且 ， 是 的导函数，则（ ）
A． B． 的一个周期是
C． 是偶函数 D．
【答案】BC
【解析】对于A， 为定义在 上的奇函数， ， ，
， ，
是周期为 的周期函数， ，A错误；
对于B， ， ， 的一个周期为 ，B正确；对于C，由 得： ， ，
是偶函数，C正确；
对于D，由 得： ，
令 ，则 ，由C知： ， ，
，D错误.
故选：BC.
40．（多选题）（2023·湖北·高三鄂南高中校联考期中） 是定义在 上的连续可导函数， 为其导
函数，下列说法正确的有（ ）
A．若 ，则
B．若 为偶函数，则 为奇函数
C．若 是周期为 的函数，则 也是周期为 的函数
D．已知 且 ，则
【答案】AD
【解析】对于A，等式两边对 进行求导，则 ，所以 ，选项A正确，
对于B，列举反例，若 ，所以 ，此时 为偶函数，但 ， 并不是
奇函数，所以选项B错误，
对于C，若 ，则 ，此时 是以为 周期的函数，但 并不是周期函数，
所以选项C错误，
对于D，因为 ，等式两边对 进行求导，即 ，
令 则 ，所以 ，又因为 ，等式两边对 进行求导，则 ，
令 则 ，所以 ，所以 ，所以选项D正确.
故选：AD
41．（多选题）（2023·江苏南通·高三江苏省如皋中学校考阶段练习）已知非常数函数 及其导函数
的定义域均为 ，若 为奇函数， 为偶函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】因为非常数函数 及其导函数 的定义域均为 ，
若 为奇函数，则 ，则 的图象关于点 对称，且 ，故A错误；
因为 为偶函数，所以 ，即 ，
则 ，又 ，所以 ，
所以 ，即 ，所以 ，
故 的周期为8，所以 ， ，在 中，令 ，得
，所以 ，故B正确；
对 两边同时求导，得 ，
所以导函数 的周期为8，所以 ，故C正确；
由 周期 ，得 ， ，对 两边同时求导，得，令 ，得 ，
所以 ，故D正确.
故选：BCD.
42．（多选题）（2023·湖南郴州·统考一模）定义在R上的函数 满足
为奇函数，函数 满足 ，若 与
恰有2023个交点 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B． 为 的对称轴
C． D．
【答案】BCD
【解析】 ，则函数 图象关于直线 对称，B正确；
是奇函数，即 ， ，则 的图象关于点 对称，
， ，C正确；
所以 ，从而 ，所以 是周期函数，4是
它的一个周期， ，A错；
又 ， 图象关于点 对称，因此 与 的图象的交点关于点 对称，点
是它们的一个公共点，
，D正确．
故选：BCD．
09 函数性质的综合
43．（多选题）（2023·安徽·高三安徽省怀远第一中学校联考阶段练习）已知函数 ，其中
e是自然对数的底数，则下列说法中正确的有（ ）A． 为周期函数
B． 的图像关于点 对称
C． 在区间 上是减函数
D．关于x的方程 有实数解
【答案】ABC
【解析】选项A： ，是周期函数，故A正确；
选项B： ，所以函数 关于点 中心对称，故B正
确；
选项C： 时， ，
所以函数 在区间 上为减函数，故C正确；
选项D： ， ，当且仅当 ， 时方程有解，即 ， 同时
成立时方程有解，
但 和 无法同时满足，所以方程没有实数解，故D错误．
故选：ABC.
44．（2023·四川·高三校联考阶段练习）已知函数 ，若对任意的 ，
恒成立，则a的取值范围为 .
【答案】
【解析】由题易知， 的定义域为R，因为，
所以 为奇函数.
又 ，
函数 在 上单调递减， 在 上单调递减，
所以 在 上单调递减.
若对任意的 ， 恒成立，
即 ，又 为奇函数，得 ，
因为 在 上单调递减，所以 对任意的 恒成立，
即 对任意的 恒成立.
当 时， 不恒成立，不符合题意；
当 时，有 ，解得 .
综上，a的取值范围为 .
故答案为：
45．（2023·河北·高三泊头市第一中学校联考期中）已知函数 对于任意x， ，总有
，当 时， ，且 ，则不等式 的解集为
．
【答案】
【解析】令 得 ，
令 ，得 ，则 为奇函数，设 ，则 ，
因为当 时， ，所以 ，则 ，
所以 在R上单调递增．
由 ，得 ，
所以 ．
可化为 ，所以 ，
解得 ．
故答案为：
46．（2023·全国·模拟预测）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ．
① 的定义域为 ，值域为 ；② 的图象关于坐标原点对称；③ 在 上单调递减．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】由题意联想到函数 ，其定义域为 ，值域为 ，在 上单调
递增，
故可构造函数 ，其定义域为 ，值域为 ，
又因为 的值域为 ，所以可取 ，
易知 满足性质①②，
再验证是否满足性质③．求导得 ，
当 时， ，所以 在 上单调递减，满足性质③.故答案为： （答案不唯一）.
47．（2023·江苏宿迁·高三沭阳如东中学校考期中）已知函数 （ 为常数）为奇函数，则满
足 的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为函数 （ 为常数）为奇函数，则 ，即 ，
解得 ，检验符合，
所以 ，且 ，即函数 在 上单调递增，
则 ，即 ，
解得 ，所以不等式的解集为 .
故答案为：
48．（2023·江苏泰州·高三统考期中）已知正数x，y满足 ， ，则 的值
为 .
【答案】9
【解析】由 可得 ，
由于函数 均为 上的单调递增函数，且恒为正，
所以 为 上的单调增函数，
由于 ，所以 ，故 ，
故答案：9
