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专题 04 点到平面的距离(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍........................................................1
二、典型题型........................................................2
题型一：等体积法求点到平面的距离.................................2
题型二：利用向量法求点到平面的距离...............................5
三、专项训练........................................................8
一、必备秘籍
1、等体积法求点到平面的距离
（1）当点到面的距离那条垂线不好作或找时，利用等体积法可以间接求点到面的距离，从而快速解决体
积问题，是一种常用数学思维方法
（2）在用变换顶点求体积时，变换顶点的原则是能在图象中直接找到求体积所用的高，有时单一靠棱锥
四个顶点之间来变换顶点无法达到目的时，还可以利用平行关系（线面平行，面面平行）转换顶点，如当
线面平行时，线上任意一点到平面的距离是相等的，同理面面平行也可以变换顶点
2、利用向量法求点到平面的距离
如图，已知平面 的法向量为 ， 是平面 内的定点， 是平面 外一点.过点 作平面 的垂线 ，
交平面 于点 ，则 是直线 的方向向量，且点 到平面 的距离就是 在直线 上的投影向量
的长度.二、典型题型
题型一：等体积法求点到平面的距离
1．（23·24高二上·上海黄浦·阶段练习）如图，边长为1的正方形 中， 分别是 的中点，
沿 把这个正方形折成一个四面体使 三点重合，重合后的点记为 .则在四面体
中，点 到平面 的距离为 .
2．（23·24高二上·上海虹口·期中）如图，已知点P在圆柱 的底面圆O的圆周上， ，圆O
的直径 ，圆柱的高 ．
(1)求圆柱的体积；
(2)求点A到平面 的距离．3．（17·18高二下·河北唐山·期末）如图，已知长方体 中， ， ，连接 ，过B点
作 的垂线交 于E，交 于F．
(1)求证： 平面 ；
(2)求点A到平面 的距离；
4．如图，在正方体 中， .
(1)求证： ∥平面 ；
(2)求点 到面 的距离.5．（23·24高二上·江西九江·阶段练习）如图所示的五边形 中 是矩形， ，
沿 折叠成四棱锥 .
(1)从条件① ；② ；③ 中任选两个作为补充条件，证明：平面
平面 ：
(2)在（1）的条件下，求点 到平面 的距离.
6．（23·24高三上·上海浦东新·阶段练习）如图，在四棱锥 中，底面 是矩形，其中 ，
， 底面 ， ， 为 的中点， 为 的中点.
(1)证明：直线 平面 ；
(2)求点 到平面 的距离.7．（23·24高二上·上海杨浦·期中）如图, 为菱形 外一点, 平面 , , 为棱
的中点.
(1)求证: 平面 ;
(2)若 ,求 到平面 的距离.
题型二：利用向量法求点到平面的距离
1．（23·24高二上·广东东莞·阶段练习）已知三棱柱 的侧棱与底面垂直， ，
，M是 的中点，N是 的中点，P是 的中点，则点A到平面 的距离为（ ）
A． B． C． D．2．（23·24高二上·广东佛山·阶段练习）如图，在四棱锥 中，平面 面
， .
(1)证明： 平面 ；
(2)求点 到平面 的距离.
3．（23·24上·沧州·阶段练习）如图所示，四棱锥 的底面是矩形， ， ，且
底面 ，若边 上存在异于 的一点 ，使得直线 ．
(1)求 的最大值；
(2)当 取最大值时，求异面直线 与 所成角的余弦值；
(3)当 取最大值时，求点 到平面 的距离．4．（23·24上·北辰·期中）如图， 且 且 且
平面 ．
(1)若 为 的中点， 为 的中点，求证： 平面 ；
(2)求平面 和平面 夹角的正弦值；
(3)若点 在线段 上，且直线 与平面 所成的角为 ，求点 到平面 的距离．
5．（重庆市部分区2022-2023学年高二上学期期末联考数学试题）如图，在正方体 中，
．
(1)求证： ；(2)求点 到平面 的距离．
三、专项训练
一、单选题
1．（23·24高二上·陕西·阶段练习）如图，在正四棱柱 中， ， ．点 ， ，
分别在棱 ， ， 上， ， ， ，则点 到平面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．（23·24高二上·广东东莞·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体 中， 为线段 的
中点， 为 线段的中点，则直线 到平面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．（23·24高二上·湖南邵阳·阶段练习）在棱长为1的正方体 中， 分别是 的中
点，则直线 到平面 的距离为（ ）A． B． C． D．
4．（23·24上·邯郸·阶段练习）在正三棱柱 中， ，点 分别为棱 的中
点，则点 到平面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．（23·24上·绍兴·阶段练习）在棱长为1的正方体 中，E为 的中点，F为 的三等
分点 靠近C点 ，则点E到平面BDF的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．（23·24高二上·北京·阶段练习）如图，在长方体 中， ，点B到平
面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．（23·24高二上·湖南益阳·阶段练习）如图所示，在直三棱柱 中，
为棱 的中点，则点 到平面 的距离是（ ）
A． B． C． D．
8．（23·24高二上·吉林长春·阶段练习）我国古代数学名著《九章算术》对立体几何问题有着深入的研究，
从其中的一些数学用语可见．譬如“堑堵”指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面是矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥，“鳖臑”指四个面都是直角三角形的三棱锥．现有一如图所
示的“堑堵” ，其中 ，若 ，则 到平面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
9．（23·24高三上·河北沧州·阶段练习）在三棱柱 中， 平面 ， ，
，点D是 的中点，点E是平面 的中心，则点E到平面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
10．（23·24高二上·宁夏固原·阶段练习）在棱长为1的正方体 中，点 到平面 的距
离为 .
11．（23·24高二上·山西太原·阶段练习）如下图所示，在平行六面体 中，各棱长均为2，
已知 ， ，则点A到平面 的距离 .
12．（23·24高二上·安徽·阶段练习）如图，四棱锥P-ABCD中，平面 平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形， 是等边三角形，M，N分别为AB和PC的中点，则平面DMN上任意一点到底面
ABCD中心距离的最小值为 .
13．（23·24高二上·天津西青·阶段练习）如图，棱长为2的正方体 ，点 是棱 的中点，
点 到直线 的距离为 ．
三、解答题
14．（23·24高三上·四川成都·阶段练习）已知正方形 的边长为2， 为等边三角形（如图1所
示）．沿着 折起，点 折起到点 的位置，使得侧面 底面 ． 是棱 的中点（如图2
所示）．
(1)求证： ；
(2)求点 与平面 的距离．
15．（23·24高二上·广东东莞·阶段练习）如图，已知一个组合体由一个圆锥 与一个圆柱 构成（圆
锥底面与圆柱上底面重合.平面 为圆柱的轴截面），已知圆锥高为3，圆柱高为5，底面直径为8.(1)求这个组合体的体积
(2)设 为半圆弧 的中点，求 到面 的距离.
16．（23·24高三上·广东佛山·阶段练习）如图，在正三棱柱 中，点 为侧棱 的中点，且
.
(1)证明：平面 平面
(2)若二面角 的大小为 ，求点 到平面 的距离.
17．（23·24高二上·辽宁·阶段练习）如图，六面体 中， 面 且 面 ，
， ， .(1)求证： 平面 ；
(2)若二面角 的余弦值为 ，求点 到直线 的距离.
18．（23·24高二上·北京通州·期中）如图，在正方体 中， 分别是棱 ， ，
， 的中点.
(1)求证： 四点共面；
(2)求 与平面 所成角的正弦值；
(3)求点 到平面 的距离.
