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专题 4.2 三角函数的图象与性质【八大题型】
【新高考专用】
【题型1 三角函数的定义域、值域问题】..............................................................................................................2
【题型2 三角函数的图象识别与应用】..................................................................................................................3
【题型3 由部分图象求函数的解析式】..................................................................................................................4
【题型4 三角函数图象变换问题】..........................................................................................................................6
【题型5 三角函数的单调性问题】..........................................................................................................................7
【题型6 三角函数的周期性、对称性与奇偶性的灵活运用】.............................................................................7
【题型7 三角函数的零点问题】..............................................................................................................................8
【题型8 三角函数的图象与性质的综合应用】.....................................................................................................9
1、三角函数的图象与性质
三角函数的图象与性质是高考的热点内容，其中函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换以及三角函数的周期性、
对称性、奇偶性与单调性之间的关系则是高考考察的重心.从近几年的高考情况来看，比较注重对三角函
数的几大性质之间的逻辑关系的考查，试题多以选择题、填空题的形式呈现，难度中等或偏下.
【知识点1 三角函数的定义域与值域的求解策略】
1.三角函数的定义域的求解思路
求三角函数的定义域通常要解三角不等式(组)，解三角不等式(组)常借助三角函数的图象.
2.求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型：
(1)形如y=asinx+bcosx+c的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+c的形式，再求值域(最值)；
(2)形如y=asin2x+bsinx+c的三角函数，可先设sinx=t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
(3)形如y=asinxcosx+b(sinx±cosx)+c的三角函数，可先设t=sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最
值).
【知识点2 三角函数的周期性、对称性、奇偶性的求解思路】
1.三角函数周期的一般求法
(1)公式法；
(2)不能用公式求函数的周期时，可考虑用图象法或定义法求周期.
2.三角函数的对称轴、对称中心的求解策略
(1)对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)（或f(x)=Acos(ωx+φ)）形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令
ωx+φ= kπ(k∈Z)（或令 ωx+φ=kπ(k∈Z)），求 x 即可；如果求 f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ= kπ(k∈Z)），求x即可.
(2)对于可化为 f(x)=Atan(ωx+φ)形式的函数，如果求 f(x)的对称中心的横坐标，只需令 ωx+φ=
(k∈Z)），求x即可.
3.三角函数的奇偶性的判断方法
三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在 y=Asin(ωx+φ)中代入
x=0，
若y=0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数.
若y=Asin(ωx+φ)为奇函数，则φ=kπ(k∈Z)；若y=Asin(ωx+φ)为偶函数，则φ= kπ(k∈Z).
【知识点3 三角函数的单调性问题的解题思路】
1.三角函数的单调区间的求解方法
求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成 y=Asin(ωx+φ)形式，再求y=Asin(ωx+φ)的单调区间，
只需把ωx+φ看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.
2.已知三角函数的单调性求参数的解题思路
对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数
的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选
择题，利用特值验证排除法求解更为简捷.
【知识点4 三角函数的图象变换问题】
1.三角函数的图象变换问题的求解方法
解决三角函数图象变换问题的两种方法分别为先平移后伸缩和先伸缩后平移.破解此类题的关键如下：
(1)定函数：一定要看准是将哪个函数的图象变换得到另一个函数的图象；
(2)变同名：函数的名称要变得一样；
(3)选方法：即选择变换方法.
【题型1 三角函数的定义域、值域问题】
【例1】（2023上·湖南株洲·高一校考阶段练习）函数y=tanx的定义域为（ ）
{ kπ }
A．R B． x|x≠ ,k∈Z
2
{ π } { π }
C． x|x≠ +kπ,k∈Z D． x|x≠ +kπ
2 2
【变式1-1】（2023上·陕西咸阳·高三校考阶段练习）函数f (x)=sin ( 2x+ π )在 [ 0, π ] 上的值域为
3 2
（ ）
A．[ √3 ] B．[ √3 √3] C．[√3 ] D．
− ,1 − , ,1 [0,1]
2 2 2 2【变式1-2】（2023·广东广州·广东实验中学校考一模）已知函数f(x)=2sin ( ωx− π ) (ω>0)在 [ 0, π]
6 2
上的值域为[−1,2]，则ω的取值范围为（ ）
[4 ] [4 8] [2 4] [2 8]
A． ,2 B． , C． , D． ,
3 3 3 3 3 3 3
[π ] ( π)
【变式1-3】（2023·四川成都·四川省校考模拟预测）当x∈ ,m 时，函数f(x)=cos 3x+ 的值域
6 3
是[ √3]，则m的取值范围是（ ）
−1,−
2
[π 7π] [2π 7π]
A． , B． ,
9 18 9 18
[π 5π] [2π 5π]
C． , D． ,
9 18 9 18
【题型2 三角函数的图象识别与应用】
【例2】（2023·全国·模拟预测）函数 x3sinx的图象大致为（ ）
f (x)=
2|−x|
A． B．
C． D．
3π π
【变式2-1】（2023·高一课时练习）如图所示，函数y=cosx|tanx|（0≤x< 且x≠ ）的图像是
2 2
（ ）.
A． B．C． D．
xsinx
【变式2-2】（2023·四川南充·模拟预测）函数f (x)= 的图象大致为（ ）
e|x|−1
A． B．
C． D．
【变式2-3】（2023·广东·统考模拟预测）已知函数y=f (x)部分图象如图所示，则函数f (x)的解析式可能
为（ ）
A．f (x)=xsin2x B．f (x)=xsinx C．f (x)=2|x|sinx D．
f (x)=2|x|sin2x
【题型3 由部分图象求函数的解析式】
【例3】（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知函数f (x)=2sin(ωx+φ)（其中ω>0，0<φ<π）的图象如
π
图所示，且满足f (0)=f (x )=−f ( x + )=1，则f (x)=（ ）
0 0 3π π
A．2sin ( 2x+ ) B．2sin ( 2x− )
3 3
π π
C．2sin ( 3x+ ) D．2sin ( 3x− )
6 6
【变式3-1】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）函数
f (x)=3sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则（ ）
(
5π
)
A．f (x)=3sin 2x+
8
5π
B．f (x)图象的一条对称轴方程是x=−
8
π
C．f (x)图象的对称中心是 ( kπ− ,0 ) ，k∈Z
8
(
7π
)
D．函数y=f x+ 是奇函数
8
π
【变式3-2】（2023上·陕西榆林·高三校考阶段练习）函数f (x)=Asin(ωx+φ) ( A>0,ω>0,|φ|< ) 的
2
部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）(5π
)
A．点 ,0 是f (x)的对称中心
12
7π
B．直线x= 是f (x)的对称轴
6
7π
C．f (x)的图象向右平移 个单位得y=sin2x的图象
12
[π 2π]
D．f (x)在区间 , 上单调递减
2 3
π
【变式3-3】（2023·全国·模拟预测）已知函数f (x)=3sin(ωx+φ) ( x∈R,ω>0,|φ|< ) 的部分图象如
2
图所示，则下列说法正确的是（ ）
(1 π)
A．f (x)=3sin x−
3 12
(3π ) √3
B．f =
4 2
3 [ π 9π]
C．不等式f (x)≥ 的解集为 6kπ+ ,6kπ+ k∈Z
2 4 4
π
D．将f (x)的图象向右平移 个单位长度后所得函数的图象在[6π,8π]上单调递增
12
【题型4 三角函数图象变换问题】
【例4】（2023·四川甘孜·统考一模）为了得到函数y=sin2x+cos2x的图象，可以将函数y=√2cos2x
的图象（ ）
π π
A．向右平移 个单位长 B．向右平移 个单位长
8 6π π
C．向左平移 个单位长 D．向左平移 个单位长
8 6
【变式4-1】（2023·四川甘孜·统考一模）已知函数f (x)=Acos(2x+φ)(A>0,|φ|<π)是奇函数，且
(3π ) 1
f =−1，将f (x)的图象上所有点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，所得图象对应的函数为
4 2
g(x)，则（ ）
A．g(x)=sin4x B．g(x)=sinx
π π
C．g(x)=cos( 4x+ ) D．g(x)=cos( x+ )
4 4
π
【变式4-2】（2023·四川·校联考模拟预测）函数f (x)=Asin(ωx+φ)（其中A>0,ω>0,|φ|< ）的图象
2
如图所示，为了得到g(x)=cos2x的图象，则只需将f(x)的图象（ ）
π π
A．向右平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
6 12
π π
C．向左平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度
6 12
π
【变式4-3】（2023·四川成都·统考二模）将最小正周期为π的函数f (x)=2sin ( 2ωx− )+1(ω>0)的图
6
π
象向左平移 个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列关于函数g(x)的说法正确的是（ ）
4
π kπ [ π]
A．对称轴为x=− + ，k∈Z B．在 0, 内单调递增
6 2 2
( π kπ ) [ π]
C．对称中心为 − + ,1 ，k∈ZD．在 0, 内最小值为−1
6 2 2
【题型5 三角函数的单调性问题】
π
【例5】（2023·青海·校联考模拟预测）下列区间中，函数f (x)=3sin( x+ ) 单调递增的区间是（ ）
4( π ) (π 5π )
A． 0, B． ,
2 4 4
(5π 9π
)
C． , D．(π,2π)
4 4
【变式5-1】（2023上·内蒙古包头·高三校考阶段练习）函数f (x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示，则
f (x)的单调递减区间为（ ）
[ 1 3] [ 1 3]
A． kπ− ,kπ+ ，k∈Z B． 2kπ− ,2kπ+ ，k∈Z
4 4 4 4
[ 1 3] [ 1 3]
C． k− ,k+ ，k∈Z D． 2k− ,2k+ ，k∈Z
4 4 4 4
[ π π]
【变式5-2】（2023·山东烟台·统考二模）已知函数f (x)=cos(2x+φ)(0≤φ<2π)在 − , 上单调递
6 4
增，则φ的取值范围为（ ）
4π π 4π
A．π≤φ≤ B． ≤φ≤
3 2 3
4π 4π 3π
C． ≤φ≤2π D． ≤φ≤
3 3 2
【变式5-3】（2023·四川泸州·统考一模）已知函数f (x)=2sin ( ωx− π) (ω>0)在 ( 0, π ) 上存在最值，
6 3
(2π
)
且在 ,π 上单调，则ω的取值范围是（ ）
3
( 2] [ 5] [5 8] [11 17]
A． 0, B． 1, C． , D． ,
3 3 2 3 4 3
【题型6 三角函数的周期性、对称性与奇偶性的灵活运用】
【例6】（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）已知函数f(x)=sin(ωx+φ) ( −
π
<φ<
π
) 在
(3π
,
7π
) 内
2 2 8 8
单调递减，x=
3π
是函数f(x)的一条对称轴，且函数y=f ( x+
π
) 为奇函数，则f
(7π
) =（ ）
8 8 24√3 1 √3
A．− B．−1 C． D．
2 2 2
π
【变式6-1】（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知函数f(x)=tan ( 2x+ ) ，则下列说法正确的是
3
（ ）
[π 7π]
A．f (x)为奇函数 B．f (x)在区间 , 上单调递增
12 12
π
( )
C．f (x)图象的一个对称中心为 ,0 D．f (x)的最小正周期为π
12
【变式6-2】（2023·河南新乡·统考三模）已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(0<ω<10,0<φ<π)图象的一个对
称中心是 ( π )，点 ( √2)在 的图象上，下列说法错误的是（ ）
A ,0 B 0, f(x)
8 2
π 5π
A．f(x)=cos ( 2x+ ) B．直线x= 是f(x)图象的一条对称轴
4 8
C．f(x)在
[7π
,
11π]
上单调递减 D．f ( x+
π
) 是奇函数
8 8 8
π
【变式6-3】（2023·山东·统考二模）已知函数f (x)=asin2x+bcos2x(ab≠0)的图象关于直线x= 对
6
称，则下列说法正确的是（ ）
( π)
A．f x− 是偶函数 B．f (x)的最小正周期为2π
6
[ π π]
C．f (x)在区间 − , 上单调递增 D．方程f (x)=2b在区间[0,2π]上有2个实根
3 6
【题型7 三角函数的零点问题】
【例7】（2023·全国·模拟预测）已知函数f (x)=sinωx+√3cosωx−√2(ω>0)在(0,π)内恰有一个零点，
其图象在(0,π)内恰有一条对称轴，则ω的取值范围是（ ）
( 5 7] ( 5 5] ( 7 5] ( 7 7]
A． , B． , C． , D． ,
12 6 12 4 12 4 12 6
【变式7-1】（2023·安徽·芜湖一中校联考模拟预测）已知函数f(x)=cos|x|−2|sinx|，以下结论正确
的是（ ）
[ 2π]
A．π是f(x)的一个周期 B．函数在 0, 单调递减
3
C．函数f(x)的值域为[−√5,1] D．函数f(x)在[−2π,2π]内有6个零点π π
【变式7-2】（2023·四川雅安·统考一模）已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)（ω>0且− <φ< ），设T
2 2
(T)
为函数f(x)的最小正周期，f =−1，若f(x)在区间[0,1]有且只有三个零点，则ω的取值范围是
4
（ ）
(17π 23π] [17π 23 ) (7π 10π] [7π 10π )
A． , B． , π C． , D． ,
6 6 6 6 3 3 3 3
【变式7-3】（2023·江西·统考模拟预测）已知函数f (x)=√2sin(ωx+φ)(ω>0)的最小正周期T<π，
π π √2 15
f( )=1，且f (x)在x= 处取得最大值．现有下列四个结论：①sinφ= ；②ω的最小值为 ；③若
5 10 2 2
π π 35 13π 11π
函数f (x)在( , )上存在零点，则ω的最小值为 ；④函数f (x)在( , )上一定存在零点．其
20 4 2 20 15
中结论正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型8 三角函数的图象与性质的综合应用】
【例8】（2023·辽宁辽阳·统考一模）已知函数f (x)=4sin ( ωx+ π ) (ω>0)在 [π ,π ] 上单调递减.
3 6
(1)求ω的最大值；
(3π ) [ 9π ]
(2)若f (x)的图象关于点 ,0 中心对称，且f (x)在 − ,m 上的值域为[−2,4]，求m的取值范围.
2 20
π
【变式8-1】（2023上·山东泰安·高一校考期末）已知函数f (x)=sin ( 2x− ) .
3
(1)求函数f (x)的单调递增区间和最小正周期；
[ π π] 1
(2)当x∈ − , 时，求不等式f (x)≥ 的解集.
2 2 2
[π 7π]
(3)求f (x)在区间 , 上的最大值和最小值.
12 12π
【变式8-2】（2023上·广东江门·高一校考期末）已知函数f (x)=Asin(ωx+φ)（A>0，ω>0，|φ|<
2
π π
）图象的相邻两条对称轴的距离是 ，当x= 时取得最大值2.
2 6
(1)求函数f (x)的解析式；
[ π]
(2)求函数f (x)在区间 0, 的最大值和最小值；
2
6 π
(3)若函数g(x)=f (x)− 的零点为x ，求cos( −2x ) .
5 0 3 0
π
【变式8-3】（2023·江苏常州·江苏校考模拟预测）已知函数f(x)=2sin(2ωx+ )+1．
6
π
(1)若f (x )≤f (x)≤f (x )，|x −x | = ，求f(x)的对称中心；
1 2 1 2min 2
π π
(2)已知0<ω<5，函数f(x)图象向右平移 个单位，得到函数g(x)的图象，x= 是g(x)的一个零点，
6 3
若函数g(x)在[m,n]（m,n∈R且m0)，在第（2）问条件下，若对任意x ∈[0, ]，存在
6 1 4
π
x ∈[0, ]，使得 ℎ(x )=g(x )成立，求实数a的取值范围．
2 4 1 2
1．（2023·天津·统考高考真题）函数f (x)的图象如下图所示，则f (x)的解析式可能为（ ）A．5(ex−e−x) B．5sinx
x2+2 x2+1
C．5(ex+e−x) D．5cosx
x2+2 x2+1
2．（2023·天津·统考高考真题）已知函数f (x)的一条对称轴为直线x=2，一个周期为4，则f (x)的解析式
可能为（ ）
(π ) (π )
A．sin x B．cos x
2 2
(π ) (π )
C．sin x D．cos x
4 4
π π
3．（2023·全国·统考高考真题）函数y=f (x)的图象由函数y=cos ( 2x+ ) 的图象向左平移 个单位长
6 6
1 1
度得到，则y=f (x)的图象与直线y= x− 的交点个数为（ ）
2 2
A．1 B．2 C．3 D．4
(π 2π )
4．（2023·全国·统考高考真题）已知函数f(x)=sin(ωx+φ),(ω>0)在区间 , 单调递增，直线
6 3
x=
π
和x=
2π
为函数y=f (x)的图像的两条相邻对称轴，则f ( −
5π
) =（ ）
6 3 12
√3 1 1 √3
A．− B．− C． D．
2 2 2 2
5．（2022·全国·统考高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[−3,3]的大致图像，则该函数是
（ ）A． −x3+3x B． x3−x C． 2xcosx D． 2sinx
y= y= y= y=
x2+1 x2+1 x2+1 x2+1
π
6．（2022·全国·统考高考真题）设函数f(x)=sin ( ωx+ ) 在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，
3
则ω的取值范围是（ ）
[5 13) [5 19) (13 8] (13 19]
A． , B． , C． , D． ,
3 6 3 6 6 3 6 6
[ π π]
7．（2022·全国·统考高考真题）函数y=(3x−3−x)cosx在区间 − , 的图象大致为（ ）
2 2
A． B．
C． D．
8．（2023·全国·统考高考真题）已知函数f (x)=cosωx−1(ω>0)在区间[0,2π]有且仅有3个零点，则ω
的取值范围是 ．
1
9．（2023·全国·统考高考真题）已知函数f (x)=sin(ωx+φ)，如图A，B是直线y= 与曲线y=f (x)的两
2π
个交点，若|AB|= ，则f (π)= ．
6
10．（2022·全国·统考高考真题）记函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T，若
√3 π
f(T)= ，x= 为f(x)的零点，则ω的最小值为 ．
2 9
