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专题 2-1 函数性质（单调性、奇偶性、中心对称、轴对称、周期性）
目录
题型01 奇偶性基础..............................................................................................................................................................1
题型02 中心对称型函数......................................................................................................................................................2
题型03 轴对称型函数..........................................................................................................................................................3
题型04 斜直线轴对称型......................................................................................................................................................3
题型05 “正余弦”型对称.....................................................................................................................................................4
题型06 伸缩型对称..............................................................................................................................................................5
题型07 一元三次函数型中心对称......................................................................................................................................6
题型08 “局部周期”型函数性质......................................................................................................................................7
题型09 双函数型对称..........................................................................................................................................................8
题型10 原函数与导函数型双函数对称..............................................................................................................................9
题型11 放大镜型函数性质................................................................................................................................................10
题型12 抽象函数赋值型性质............................................................................................................................................11
题型13 对称型恒成立求参................................................................................................................................................11
题型14 构造“对称”型函数............................................................................................................................................12
高考练场..............................................................................................................................................................................13
题型 01 奇偶性基础
【解题攻略】
奇偶函数的性质
①偶函数⇔f(－x)＝f(x) 关于y轴对称⇔对称区间的单调性相反；
②奇函数⇔f(－x)＝－f(x) 关于原点对称⇔对称区间的单调性相同；
③奇函数在x＝0处有意⇔义时，必有结论 f(0)＝0 ；
⇔
奇偶性的判定
①“奇±奇”是奇，“偶±偶”是偶，“奇×/÷奇”是偶，“偶×/÷偶”是偶，“奇×/÷偶”是奇；
②奇(偶)函数倒数或相反数运算，奇偶性不变；
③奇(偶)函数的绝对值运算，函数的奇偶性均为偶函数．
【典例1-1】（2023秋·山西·高三校联考期中）已知函数 为奇函数，则 的
值是（ ）
A．0 B． C．12 D．10
【典例1-2】（2023秋·北京昌平·高三北京市昌平区前锋学校校考阶段练习）已知 ，则（ ）
A． 为偶函数，且在 上单调递增
B． 为偶函数，且在 上单调递减
C． 为奇函数，且在 上单调递增
D． 为奇函数，且在 上单调递减
【变式1-1】．（2023·全国·高一专题练习）若 为奇函数，则 的解集为（ ）A． B． C． D．
【变式1-2】（2023秋·江苏南通·高三统考开学考试）已知 是奇函数，则 在
处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】．（2023秋·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）已知函数 ， ，若对任
意 ，都有 成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型 02 中心对称型函数
【解题攻略】
中心对称结论：
（1）若函数 满足 ，则 的一个对称中心为
（2）若函数 满足 ，则 的一个对称中心为
（3）若函数 满足 ，则 的一个对称中心为 .
【典例1-1】已知函数 ，则存在非零实数 ，使得（ ）
A． B．
C． D．
【典例1-2】函数 的图象与函数 图象的所有交点的横坐标之和
为___________.
【变式1-1】.设函数 的最大值为5，则 的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【变式1-2】已知函数 ， ，若 使关于 的不等式
成立，则实数 的范围为___________.
【变式1-3】.函数 的图像可能是（ ）
A． B．C． D．
题型 03 轴对称型函数
【解题攻略】
轴对称性的常用结论如下：
（1）若函数 满足 ,则 的一条对称轴为
（2）若函数 满足 ,则 的一条对称轴为
（3）若函数 满足 ,则 的一条对称轴为
(4)f(a－x)= f(b＋x) f(x)的图象关于直线x=对称；
【典例1-1】．（2023上·重庆·高三重庆市忠县忠州中学校校联考）已知定义在 上的函数 ，函数
⇔
为偶函数，且对 都有 ，若 ，
则 的取值范围是 ．
【典例1-2】（2023上·江西景德镇·高一统考期中）已知函数 满足关系式 ，且对于
， ，满足 恒成立，若不等式 对 恒成立，
则实数a的取值范围是 ．
【变式1-1】．（2023上·江苏南通·高三统考阶段练习）设定义在 上的函数 在 单调递减，且
为偶函数，若 ， ，且有 ，则 的最小值为 .
【变式1-2】（2023上·山东济南·高三统考开学考试）若函数 的图象关
于直线 对称，且 有且仅有4个零点，则 的值为 ．
【变式1-3】．（2023上·陕西榆林·高三校考阶段练习）函数 是定义在 上的奇函数，且图象关于
对称，在区间 上， ，则 .
题型 04 斜直线轴对称型
【解题攻略】
关于斜直线轴对称，可以借鉴圆锥曲线中直线的对称性来处理（1）点 关于直线 的对称点 ，则有 ；
（2）直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.
如果斜直线轴对称，还有以下经验公式：
如果对称轴所在的直线斜率是 ，即直线是 型，可以利用反解对称轴法直接求出对称变换式子
(1)如果 关于直线 的对称点为 ，则 的坐标为 ；
(2)如果 关于直线 的对称点为 ，则 的坐标为 ．
【典例1-1】（2023上·重庆·高三西南大学附中校考）已知函数 为奇函数， 的函数图象关于
对称，且当 时， ，则 .
【典例1-2】（2023上·辽宁·高三校联考）已知定义域为 的函数 满足 ，且其
图象关于直线 对称，若当 时， ，则 .
【变式1-1】（2023上·辽宁大连·高三大连八中校考期中）已知函数 ，若曲线
关于直线 对称，则 的值为 ．
【变式1-2】（2023上·上海浦东新·高三华师大二附中校考）已知函数 的图象过点
，且关于直线 成轴对称图形，则 ．
【变式1-3】（2021上·高一校考课时练习）若函数 的图象与 且 的图象关
于直线 对称，则 的值等于（ ）
A． B． C． D．
题型 05 “正余弦”型对称
【解题攻略】
（1）两中心 ；（2）两垂直轴 则 ；
（3）一个中心 ，一条轴 ，则
【典例1-1】函数 是定义在 上的奇函数，且 为偶函数，当 时， ，若函数
恰有一个零点，则实数 的取值集合是（ ）
A． B．
C． D．
【典例1-2】.定义在 上的偶函数f（x）满足f（－x）＋f（x－2）＝0，当 时，
（已知 ），则（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】已知定义在 上的函数 满足条件 ，且函数 为奇函数，则
下列说法中错误的是（ ）
A．函数 是周期函数；
B．函数 的图象关于点 对称；
C．函数 为 上的偶函数；
D．函数 为 上的单调函数．
【变式1-2】已知函数 的定义域为 ， 为 的导函数，且 ，
，若 为偶函数，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】.定义在 上的函数 满足 ， ；且当 时，
．则方程 所有的根之和为（ ）
A．6 B．12 C．14 D．10
题型 06 伸缩型对称
【解题攻略】
伸缩变换y＝ f ( ax )
y＝f(x) ――――――――――――――→y＝ af ( x )
【典例1-1】（2023秋·湖南怀化·高三统考）已知 不是常函数，且是定义域为 的奇函数，若
的最小正周期为1，则（ ）
A． B．1是 的一个周期
C． D．
【典例1-2】（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）若函数f（x）的定义域为R，且f（2x＋1）
为偶函数，f（x－1）的图象关于点（3，3）成中心对称，则下列说法正确的个数为（ ）
① 的一个周期为2 ②
③ ④直线 是 图象的一条对称轴
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1-1】（2022秋·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）已知 是定义在 上的函数，
是奇函数，且 是偶函数，则下列选项一定正确的是（ ）
A．函数 的周期为2 B．函数 的周期为3
C． D．
【变式1-2】．（2022秋·吉林长春·高三长春市第二中学校考阶段练习）设函数 的定义域为 ，且
是奇函数， 是偶函数，则一定有（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2022秋·广西玉林·高三校联考阶段练习）已知 是定义域为 的奇函数，
是定义域为 的偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
题型 07 一元三次函数型中心对称
【解题攻略】
所有的三次函数 都有“拐点”，且该“拐点”也是函数 的图像的对
称中心，
设 是函数 的导数， 是 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为
函数 的“拐点”．
【典例1-1】．给出定义：设 是函数 的导函数， 是函数 的导函数，若方程
有实数解 ，则称 为函数 的“拐点”.经研究发现所有的三次函数
都有“拐点”，且该“拐点”也是函数 的图像的对称中心，若函数
，则 （ ）A．8082 B．2021 C．-8082 D．-2023
【典例1-2】已知一元三次函数对称中心的横坐标为其二阶导函数的零点．若 ，则
（ ）
A．0 B．4 C． D．
【变式1-1】在同一坐标系中作出三次函数 及其导函数的图象，下列可能正
确的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．③④ D．①④
【变式1-2】设函数 是 的导数，经过探究发现，任意一个三次函数
的图象都有对称中心 ，其中 满足 ，已知函数
，则 （ ）
A．0 B． C．1 D．
【变式1-3】一般地，对于一元三次函数 ，若 ，则 为三次函数 的对称中心，
已知函数 图象的对称中心的横坐标为 ，且 有三个零点，则实数a的取值
范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型 08“局部周期”型函数性质
【解题攻略】
局部周期函数，可类比以下函数图像：【典例1-1】定义在[0,+∞)上的函数f (x)满足f (x)=¿.
（i）f (2021)=___________.
（ii）若方程f (x)−kx=0有且只有两个解，则实数k的取值范围是___________.
福建省长汀县第一中学2022届高三上学期第二次月考数学试题
【典例1-2】.已知f (x)=¿且方程f (x)=x恰有两解.则实数a的取值范围是______.
【变式1-1】（2021下·天津武清·高三天津市武清区杨村第一中学校）已知函数
，若对于正数 ，直线 与函数 的图像恰好有 个不同
的交点，则 .
【变式1-2】．（2021上·四川资阳·高三统考期末）已知函数 ，函数 在
处的切线为 ，若 ，则 与 的图象的公共点个数为 ．
题型 09 双函数型对称
【解题攻略】
双函数性质：
1.双函数各自对应的对称中心和对称轴等性质
2.双函数之间存在着互相转化或者互相表示的函数等量关系
【典例1-1】（2023·广西玉林·统考模拟预测）已知函数 ， 的定义域均为 ， 是奇函数，
且 ， ，则（ ）
A．f（x）为奇函数 B．g（x）为奇函数
C． D．
【典例1-2】（2023春·河南开封·高三统考开学考试）已知函数 ， 的定义域为 ，且
， ，若 为偶函数． ，则 （ ）
A．24 B．26 C．28 D．30
【变式1-1】（2023秋·江西·高三校联考期末）已知函数 ， 的定义域均为 ，且
， .若 的图象关于直线 对称，且 ，则（ ）
A．80 B．86 C．90 D．96
【变式1-2】（2023秋·全国·高三校联考阶段练习） 的定义域为 ， 为偶函数，
且 ，则下列说法不正确的是（ ）
A． 的图象关于 对称 B． 的图象关于 对称
C．4为 的周期 D．
【变式1-3】（2022秋·四川成都·高三成都七中校考专题练习）已知函数 的定义域均为
为偶函数，且 ， ，下列说法正确的有（ ）
A．函数 的图象关于 对称
B．函数 的图象关于 对称
C．函数 是以4为周期的周期函数
D．函数 是以6为周期的周期函数
题型 10 原函数与导函数型双函数对称
【解题攻略】
原函数与导函数的性质
性质1若函数f (x)是可导函数，且图像关于(m,n)对称，则其导函数f' (x)的图像关于x=m轴
对称
性质2奇函数的导数为偶函数
性质3若函数f (x)是可导函数，且图像关于(m,n)对称，则其导函数f' (x)的图像关于x=m轴对称
性质4偶函数的导数为奇函数
性质5若函数f (x)是可导函数，且图像关于x=m对称，则其导函数f' (x)的图像关于(m,0)对称
偶函数的导数为奇函数
性质6若定义在R上的函数f (x)是可导函数，且周期为T，则其导函数f' (x)是周期函数，且周期也为T
性质7若函数f (x)是可导函数，定义域为D，其导函数f' (x)的图像关于x=m轴对称，则f (x)图像关
( f(x )+f(2m−x ))
于 m, 0 0 对称， x 为定义域内任意一点
2
0
【典例1-1】（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，
，且 是偶函数， ， ，则 （ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【典例1-2】（2022上·四川遂宁·高三射洪中学校考阶段练习）已知函数 及其导函数 定义域均
为 ， 为奇函数， ， ，则正确的有（ ）① ；② ；③ ；④ .
A．①④ B．①② C．②③ D．③④
【变式1-1】（2023·广西梧州·苍梧中学校考模拟预测）设定义在 上的函数 与 的导函数分别为
和 ，若 ， ，且 为奇函数， ．现有下列四个
结论：① ；② ；③ ；④ ．其中所有正确结论的
序号是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）设定义在R上的函数 与 的导函数分别为 和 ．
若 ， ，且 为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ）
A． B．
C． ， D．
【变式1-3】7.设定义在实数集 上的函数 与 的导数分别为 与 ，若
， ，且 为奇函数，则下列说法不正确的是（ ）
A． B． 图象关于直线 对称
C． D．
辽宁省沈阳市第二中学2022-2023学年高三上学期12月月考数学试题
题型 11 放大镜型函数性质
【解题攻略】
形如 等“似周期函数”或者“类周期函数”，俗称放大镜函数，要注意以下几点辨析：
1.是从左往右放大，还是从右往左放大。
2.放大（缩小）时，要注意是否函数值有0。
3.放大（缩小）时，是否发生了上下平移。
4.“放大镜”函数，在寻找“切线”型临界值时，计算容易“卡壳”，授课时要着重讲清此处计算。
【典例1-1】定义在 上函数 满足 ，且当 时， ，则使得
在 上恒成立的 的最小值是______________.
【典例1-2】.已知 是定义在 上的奇函数，当 时， 有下列结论：
①函数 在 上单调递增；
②函数 的图象与直线 有且仅有 个不同的交点；
③若关于 的方程 恰有 个不相等的实数根，则这 个实数根之和为 ；④记函数 在 上的最大值为 ，则数列 的前 项和为 .
其中所有正确结论的编号是___________.
【变式1-1】已知定义在[1,+∞)上的函数f(x)=¿，则
1
A．在[1,6]上，方程f(x)− x=0有5个零点
6
1
B．关于x的方程f(x)− =0(n∈N∗)有2n+4个不同的零点
2n
C．当x∈[2n−1,2n ](n∈N∗)时，函数f(x)的图象与x轴围成的面积为4
D．对于实数x∈[1,+∞)，不等式xf(x)≤6恒成立
【变式1-2】设函数 的定义域为 ，满足 ，且当 时， ．若对任意
，都有 ，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】．定义域为 的函数 满足： ，当 时，
，若 时， 恒成立，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
题型 12 抽象函数赋值型性质
【典例1-1】（2023春·辽宁·高三校联考阶段练习）已知 是定义在 上的函数，且在区间
内单调递增，对 ， ，都有 .若 ，使得不等式
成立，则实数 的最大值为 .
【典例1-2】．（2023·全国·高三对口高考）已知定义域为 的函数 对任意实数x，y满足
，且 ， ．给出下列结论：
① ；② 为奇函数；③ 为周期函数；④ 在 内单调递减．
其中正确结论的序号是 ．【变式1-1】（2023·江苏南通·统考模拟预测）若函数 的定义域为 ，且 ，
，则 ．
【变式1-2】（2023·浙江·高三专题练习）若定义在 上的函数 满足： ，
，且 ，则满足上述条件的函数 可以为 .（写出一
个即可）
【变式1-3】（2022秋·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考）定义在R上的函数f(x)满足 x，y R，
且f(0) 0， f(a)=0 (a>0). 则下列结论正确的序号有 .①f(0)=1；
② ；③ ；④ .
题型 13 对称型恒成立求参
【解题攻略】
一般地，已知函数 ，
（1）若 ， ，有 成立，故 ；
（2）若 ， ，有 成立，故 ；
（3）若 ， ，有 成立，故 ；
（4）若 ， ，有 ，则 的值域是 值域的子集
【典例1-1】．（2021上·江苏南京·高三南京市中华中学校考期末）定义在 上的函数 满足
，且当 时 ，若对任意的 ，不等式
恒成立，则实数 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】（2020·湖南永州·统考三模）已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时，
.若对任意的 ， 成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2021上·上海浦东新·高三上海市建平中学校考阶段练习）已知 ，满足对于
任意的 ，都有 ，设 ，若对于任意的 ， ，都有 成立，
则实数 的取值范围是 ．
【变式1-2】．（2018上·上海奉贤·高一上海市奉贤中学校考阶段练习）设函数 ，对任
意非零实数 ，若等式
成立，则正整数
的值为 .
【变式1-3】已知 是定义在R上的函数，且 关于直线 对称.当 时，，若对任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
题型 14 构造“对称”型函数
【典例1-1】（2021上·湖北·高三校联考阶段练习）已知 满足 ， 满足 ，则
（ ）
A． B．
C． D．前三个答案都不对
【典例1-2】（2022上·上海徐汇·高三上海市南洋模范中学校考阶段练习）设 且满足
，则 .
【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）已知 ，那么 的值是
．
【变式1-2】（2021上·浙江宁波·高三余姚中学校考）已知 满足 ，若对
任意的 ， 恒成立，则实数k的最小值为 ．
高考练场
1.（2022秋·云南保山·高三统考阶段练习）设函数 ，若 是奇函数，则
（ ）
A． B． C． D．
2..已知函数 满足 ，若函数 与 图像的交点为
，则 ____________.
3.（2023上·贵州贵阳·高三校联考阶段练习）已知函数 ，当 时，
，则 .4.（2023上·上海闵行·高三校联考期中）设曲线 与函数 的图像关于直线 对
称，设曲线 仍然是某函数的图像，则实数 的取值范围是 .
5.已知定义在 上的函数 满足： ， ，当 时， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
6.．（2023秋·重庆九龙坡·高三统考期末）已知函数 定义域为 ， 为偶函数， 为
奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
7.对于三次函数 ，给出定义：设 是函数 的导数， 是
的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数 的“拐点”.经过探究发现：
任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数
，则 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
8..已知函数 的定义域均为R，且满足
则 （ ）
A． 3180 B．795 C．1590 D． 1590
9.．已知 是定义域为 的奇函数， 是定义域为 的偶函数，且 与
的图象关于 轴对称，则（ ）
A． 是奇函数 B． 是偶函数
C． 关于点 对称 D． 关于直线 对称
10..设定义在 上的函数 与 的导函数分别为 和 ，若 ，
，且 为奇函数， ．现有下列四个结论：① ；②
；③ ；④ ．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
11.已知定义域为 的奇函数 满足：当 时， ；当 时， ．
现有下列四个结论：
① 的周期为2；
②当 时， ；
③若 ，则 ；④若方程 在 上恰有三个根，则实数k的取值范围是 ．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．②③④ C．②④ D．②③
12.．（2023秋·广东广州·高三执信中学校考开学考试）设 为定义在整数集上的函数， ，
， ，对任意的整数 均有 ．则 ．
13.已知函数 ，对于 ，使得 ，则实
数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
