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专题 2.2 函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性【九大题型】
【新高考专用】
【题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解】.................................................................................................2
【题型2 利用函数的单调性求参数】......................................................................................................................3
【题型3 利用函数的单调性求最值】......................................................................................................................4
【题型4 函数的奇偶性及其应用】..........................................................................................................................4
【题型5 函数的对称性及其应用】..........................................................................................................................5
【题型6 函数的周期性及其应用】..........................................................................................................................5
【题型7 利用函数的性质比较大小】......................................................................................................................6
【题型8 利用函数的性质解不等式】......................................................................................................................6
【题型9 函数性质的综合应用】..............................................................................................................................7
1、函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性
从近五年的高考情况来看，本节是高考的一个重点，函数的单调性、奇偶性、周期性是高考的必考内
容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图象、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充
分运用转化思想和数形结合思想.对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性，利用性质
判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小；对于解答题部分，一般与导数结合，考
查难度较大.
【知识点1 函数的单调性与最值的求法】
1.求函数的单调区间
求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.
2.函数单调性的判断
(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.
(2)函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的
原则.
3.求函数最值的三种基本方法：
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.
4.复杂函数求最值：
对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.【知识点2 函数的奇偶性及其应用】
1.函数奇偶性的判断
判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关
系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.
2.函数奇偶性的应用
(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的
函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.
(2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.
【知识点3 函数的周期性与对称性常用结论】
1．函数的周期性常用结论(a是不为0的常数)
(1)若f(x+a)=f(x)，则T=a；
(2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a；
(3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a；
(4)若f(x+a)= ，则T=2a；
(5)若f(x+a)= ，则T=2a；
(6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b);
2．对称性的三个常用结论
(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线 对称.
(2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点 对称.
(3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点 对称.
【题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解】
【例1】（2023·海南海口·统考模拟预测）函数 的单调递减区间是（ ）
f(x)=x2−4|x|+3
A．(−∞,−2) B．(−∞,−2)和(0,2)C．(−2,2) D．(−2,0)和(2,+∞)
【变式1-1】（2023上·北京海淀·高一人大附中校考期中）“函数 在区间 上不是增函数”的一个充
f (x) [1,2]
要条件是（ ）
A．“存在a，b∈[1,2]，使得a−1
x −x
1 2
A．y=f(x)+x是增函数 B．y=f(x)+x是减函数
C．y=f(x)是增函数 D．y=f(x)是减函数
【题型2 利用函数的单调性求参数】
[ 1 )
【例2】（2023上·江西鹰潭·高三校考阶段练习）已知函数f (x)=¿是 − ,+∞ 上的减函数，则a的取值
2
范围是（ ）
[ 1]
A． −1,− B．(−∞,−1]
2
[ 1)
C． −1,− D．(−∞,−1)
2
【变式2-1】（2023·山西·校考模拟预测）已知f (x)是定义在R上的单调函数，
，则 （ ）
∀x∈R,f (f (x)−x3−2x+1)=13 f (5)=
A．114 B．116 C．134 D．136【变式2-2】（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）命题p:f (x)=¿在x∈(−∞,1]上为增函数，命题
a2x−4
q:g(x)= 在(2,+∞)单调减函数，则命题q是命题p的（ ）
x−2
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式2-3】（2023·北京丰台·统考一模）已知函数f (x)的定义域为R，存在常数t(t>0)，使得对任意
| t|
x∈R，都有f(x+t)=f(x)，当x∈[0,t)时，f(x)= x− ．若f (x)在区间(3,4)上单调递减，则t的最
2
小值为（ ）
8 8
A．3 B． C．2 D．
3 5
【题型3 利用函数的单调性求最值】
【例3】（2023·江西九江·校考模拟预测）若00，y>0，S= + ，则（ ）
4x2+ y2 x2+ y2
9 2√2
A．S的最大值是 B．S的最大值是
10 3
3 9√2
C．S的最大值是 D．S的最大值是
2 4
【变式3-3】（2023上·浙江·高三校联考期中）已知函数f (x)的定义域为R+，对于任意的x，y∈R+，都有
f (x)+f (y)=f (xy)+1，当x>1时，都有f (x)>1，且f (2)=2，当x∈[1,16]时，则f (x)的最大值是（ ）
A．5 B．6 C．8 D．12
【题型4 函数的奇偶性及其应用】
2x−1
【例4】（2023·河南开封·统考模拟预测）函数f(x)满足f(x)= ，则下列函数中为奇函数的是
x−2（ ）
A．f(x+1)−2 B．f(x+2)−2 C．f(x−2)+2 D．f(x+1)+2
【变式4-1】（2023·湖南·校联考模拟预测）设函数f (x)的定义域为R，且f (x+1)是奇函数，f (2x+3)是
偶函数，则（ ）
A．f (0)=0 B．f (4)=0 C．f (5)=0 D．f (−2)=0
【变式4-2】（2023·四川·校联考模拟预测）已知f (x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，
f (x)=x2−ax+a−1，则满足f (x)≥0的x的取值范围是（ ）
A．(−∞,−1]∪[0,1] B．[−1,1] C．[−1,0]∪[1,+∞) D．
(−∞,−1]∪[1,+∞)
【变式4-3】（2023·全国·模拟预测）已知函数 是定义在 上的偶函数，
f (x)=ln(√x2+1+x)+2x3,g(x) R
且g(x)在(−∞,0]上单调递增，则下列判断正确的是（ ）
A． 是偶函数
f (x)⋅|g(x)|
B． 是奇函数
|f (x)|⋅g(x)
C．
f (g(2023))g(f (2024))
【题型5 函数的对称性及其应用】
【例5】（2023·河南信阳·信阳高中校考模拟预测）已知函数 x2 ，则（ ）
f (x)=
x2−6x+18
A．f (x)是偶函数 B．f (x)是奇函数
C．f (x)的图象关于直线x=3对称 D．f (x)的图象关于点(3,1)成中心对称
【变式5-1】（2023·全国·模拟预测）已知定义在R上的函数f (x)满足对任意实数x有
，若 的图象关于直线 1对称， ，则 23 （ ）
f (x+2)=f (x+1)−f (x) y=f (2x) x= f (1)=2 ∑❑f(k)=
2
k=1
A．2 B．1 C．−1 D．−2
【变式5-2】（2023·四川绵阳·绵阳中学校考一模）若函数y=f (x)满足f (a+x)+f(a−x)=2b，则说x x+1 x+2 x+2021 x+2022
y=f (x)的图象关于点(a,b)对称，则函数f(x)= + + +...+ + 的对称中心
x+1 x+2 x+3 x+2022 x+2023
是（ ）
A．(−1011,2022) B．(1011,2022)
C．(−1012,2023) D．(1012,2023)
【变式5-3】（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知函数f(x)的定义域为R，f (x−1)的图
象关于点 对称， ，且对任意的 ， ，满足 f (x )−f (x ) ，则不等式
(1,0) f (3)=0 x ,x ∈(−∞,0) x ≠x 2 1 <0
1 2 1 2 x −x
2 1
(x−1)f (x+1)≥0的解集为（ ）
A．(−∞,1]∪[2,+∞) B．[−4,−1]∪[0,1]
C．[−4,−1]∪[1,2] D．[−4,−1]∪[2,+∞)
【题型6 函数的周期性及其应用】
1−f (x)
【例6】（2023·全国·模拟预测）已知f (x+1)= .若f (x)是以2为最小正周期的周期函数，则a=
a+f (x)
（ ）
A．2 B．1 C．−1 D．−2
【变式6-1】（2023·江西上饶·校联考模拟预测）已知函数f (x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，对任意的
x,y∈R，恒有f (x+ y)+f (x−y)=2f (x)⋅f (y)，则下列说法错误的是（ ）
A．f (0)=1 B．f′(x)必为奇函数
C． D．若 1，则2023 1
f (x)+f (0)≥0 f (1)= ∑ f (n)=
2 2
n=1
【变式6-2】（2023·天津河西·统考三模）已知f(x)为定义在R上的偶函数，当x≥0时，有
f(x+1)=−f(x)，且x∈[0,1)时；f(x)=log (x+1)，给出下列命题：①f(2013)+f(−2014)=0；②
2
函数f(x)在定义域R上是周期为2的周期函数；③直线y=x与函数y=f(x)的图象有1个交点；④函数
f(x)的值域为(−1,1)，其中正确命题有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【变式6-3】（2023·四川宜宾·统考一模）已知函数f (x),g(x)的定义域为R,g(x)的图像关于x=1对称，且
g(2x+2)为奇函数，g(1)=1,f (x)=g(3−x)+1，则下列说法正确的个数为（ ）2024
① ；② ；③ ；④ .
g(−3)=g(5) g(2024)=0 f(2)+f(4)=−4 ∑❑f(n)=2024
n=1
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型7 利用函数的性质比较大小】
【例7】（2023上·河南南阳·高一校联考阶段练习）已知定义在R上的函数f (x)满足f (1+x)=f (1−x)，且
， 时， ，记 (√2)， (√3)， (√6)，则（ ）
∀x ,x >1 x ≠x [f (x )−f (x )](x −x )<0 a=f b=f c=f
1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2
A．b>c>a B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b
【变式7-1】（2022·全国·高一专题练习）定义在R上函数y=f (x)满足以下条件：①函数y=f (x)图象关于
x=1
轴对称，②对任意
x ,x ∈(−∞,1]
，当
x ≠x
时都有 f (x
1
)−f (x
2
)
<0
，则
f (0)
，
f
(3)，
f (3)
的大
1 2 1 2 x −x 2
1 2
小关系为（ ）
(3) (3)
A．f >f (0)>f (3) B．f (3)>f (0)>f
2 2
(3) (3)
C．f >f (3)>f (0) D．f (3)>f >f (0)
2 2
【变式7-2】（2023上·陕西西安·高一高新一中校考期中）已知函数f (x)是偶函数，当0≤x 0 a=f (√55) b=f (−√2) c=f (√33)
2 1 2 1
（ ）
A．ab>c B．a>c>b C．b>c>a D．c>b>a
【题型8 利用函数的性质解不等式】
【例8】（2023上·广东广州·高一校考期中）已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(−x)=2，且x≥0时，1
f(x)=x− +2，则不等式xf(x)<0的解集为（ ）
x+1
A． B．(−1−√5 ) (−1+√5 )
(−∞,0) ,0 ∪ ,+∞
2 2
C．(1−√5 ) D．(−1−√5 )
,0 ,0
2 2
【变式8-1】（2023上·辽宁朝阳·高一统考阶段练习）已知f (x)是定义在R上的奇函数，且对任意00
2 1 1 2
A．(−∞,−3)∪(3,+∞) B．(−3,3)
C．(−3,0)∪(0,3) D．(−3,0)∪(3,+∞)
2ax+b
【变式8-2】（2022上·辽宁·高一校联考期中）已知函数f (x)= 是定义在(−1,1)上的奇函数,且
x2+bx+a
(1) 4
f = ．
2 5
(1)确定函数f (x)的解析式;
(2)当x∈(−1,1)时,判断函数f (x)的单调性,并证明;
(1 )
(3)解不等式f (2x+1)+f x <0．
2
【变式8-3】（2023上·河南·高一校联考阶段练习）已知f (x)是定义在[−2,2]上的奇函数，满足
f (−m)−f (−n)
f (−2)=−4，且当m,n∈[−2,2],m≠n时，有 <0.
m−n
(1)判断函数f (x)的单调性；
(2)解不等式：f (5x−1)>f (x+1)；
(3)若f (x)≤2at3−t+4对所有x∈¿恒成立，求实数t的取值范围.【题型9 函数性质的综合应用】
【例9】（2022上·江苏苏州·高一校考期中）已知奇函数f (x)和偶函数g(x)满足f (x)+g(x)=2x
(1)求f (x)和g(x)的解析式；
(2)判断并证明g(x)在[0,+∞)上的单调性
(3)若对于任意的 ，存在 ，使得 ，求实数 的取值范围
x ∈[1,2] x ∈[1,2] g(x )+mf (x )=5 m
1 2 1 2
【变式9-1】（2023上·湖南株洲·高一校考期中）已知函数y=φ(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形
6
的充要条件是y=φ(a+x)−b是奇函数，给定函数f(x)=x− .
x+1
(1)求函数f (x)图象的对称中心；
(2)判断f (x)在区间(0,+∞)上的单调性（只写出结论即可）；
(3)已知函数 的图象关于点 对称，且当 时， .若对任意 ，
g(x) (1,1) x∈[0,1] g(x)=x2−mx+m x ∈[0,2]
1
总存在x ∈[1,5]，使得g(x )=f(x )，求实数m的取值范围.
2 1 2
【变式9-2】（2023上·浙江湖州·高一统考阶段练习）我们知道，函数y=f (x)的图象关于原点成中心对称
图形的充要条件是函数y=f (x)为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数y=f (x)的图象关于点P(a,b)
成中心对称图形的充要条件是函数y=f (x+a)−b为奇函数.
(1)求函数f (x)=−x3+3x2图象的对称中心；
(2)若函数y=f (x)的图象关于点P(a,b)对称，证明：f (x)+f (2a−x)=2b；(3)已知函数 e2 ecx ，其中 ，若正数 ， 满足
f(x)=x− +ln c>0 a b
2 e2−x
f (e2 ) +f ( 2e2 ) +f ( 3e2 ) +⋯+f (2022e2 ) ≤1011(a+b) ，且不等式 λ(a+2c)b≤2ac+a2+2b2
2023 2023 2023 2023
恒成立，求实数λ的取值范围.
【变式9-3】（2023上·江苏无锡·高一校考期中）设 ，函数 ex+a 为常数， ．
a∈R f(x)= (e e=2.71828…)
ex−a
（1）若a=1，求证：函数f(x)为奇函数；
（2）若a<0．
①判断并证明函数f(x)的单调性；
②若存在 ， ，使得 成立，求实数 的取值范围．
x∈[1 2] f(x2+2ax)>f(4−a2 ) a
2x−1
1．（2023·全国·统考高考真题）若f (x)=(x+a)ln 为偶函数，则a=（ ）．
2x+1
1
A．−1 B．0 C． D．1
2
|x2−1|
2．（2022·天津·统考高考真题）函数f (x)= 的图像为（ ）
xA． B．
C． D．
1−x
3．（2021·全国·统考高考真题）设函数f(x)= ，则下列函数中为奇函数的是（ ）
1+x
A．f (x−1)−1 B．f (x−1)+1 C．f (x+1)−1 D．f (x+1)+1
4．（2022·全国·统考高考真题）已知函数f(x)的定义域为R，且
，则
22
（ ）
f(x+ y)+f(x−y)=f(x)f(y),f(1)=1 ∑❑f(k)=
k=1
A．−3 B．−2 C．0 D．1
5．（2021·全国·统考高考真题）已知函数f (x)的定义域为R，f (x+2)为偶函数，f (2x+1)为奇函数，则
（ ）
( 1)
A．f − =0 B．f (−1)=0 C．f (2)=0 D．f (4)=0
2
( 1) 1 (5)
6．（2021·全国·高考真题）设f (x)是定义域为R的奇函数，且f (1+x)=f (−x).若f − = ，则f =
3 3 3
（ ）
5 1 1 5
A．− B．− C． D．
3 3 3 3
7．（2020·山东·统考高考真题）已知函数f (x)的定义域是R，若对于任意两个不相等的实数x ，x ，总有
1 2f (x )−f (x ) 成立，则函数 一定是（ ）
2 1 >0 f (x)
x −x
2 1
A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数
8．（2020·山东·统考高考真题）若定义在R的奇函数f(x)在(−∞,0)单调递减，且f(2)=0，则满足
xf(x−1)≥0的x的取值范围是（ ）
A．[−1,1]∪[3,+∞) B．[−3,−1]∪[0,1]
C．[−1,0]∪[1,+∞) D．[−1,0]∪[1,3]
9．（2021·全国·统考高考真题）设函数f (x)的定义域为R，f (x+1)为奇函数，f (x+2)为偶函数，当
(9)
x∈[1,2]时，f(x)=ax2+b．若f (0)+f (3)=6，则f =（ ）
2
9 3 7 5
A．− B．− C． D．
4 2 4 2
10．（2022·全国·统考高考真题）已知函数f(x),g(x)的定义域均为R，且
22
．若 的图像关于直线 对称， ，则
f(x)+g(2−x)=5,g(x)−f(x−4)=7 y=g(x) x=2 g(2)=4 ∑f (k)=
k=1
（ ）
A．−21 B．−22 C．−23 D．−24
