文档内容
重难点 03 函数性质的灵活运用【八大题型】
【新高考专用】
【题型1 函数的单调性的综合应用】......................................................................................................................3
【题型2 函数的最值问题】......................................................................................................................................4
【题型3 函数的奇偶性的综合应用】......................................................................................................................4
【题型4 函数的对称性的应用】..............................................................................................................................5
【题型5 对称性与周期性的综合应用】..................................................................................................................6
【题型6 类周期函数】..............................................................................................................................................6
【题型7 抽象函数的性质】......................................................................................................................................7
【题型8 函数性质的综合应用】..............................................................................................................................8
从近几年的高考情况来看，本节是高考的一个热点内容，函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性是
高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图象、函数零点和不等式相结合进行考查，
解题时要充分运用转化思想和数形结合思想，灵活求解．对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函
数的单调性、奇偶性，主要考察方向是：判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小；
对于解答题部分，一般与导数相结合，考查难度较大.
【知识点1 函数的单调性与最值的求解方法】
1.求函数的单调区间
求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.
2.函数单调性的判断
(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.
(2)函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的
原则.
(3)函数单调性的几条常用结论：
①若 是增函数，则 为减函数；若 是减函数，则 为增函数；
②若 和 均为增（或减）函数，则在 和 的公共定义域上 为增（或减）函
数；
③若 且 为增函数，则函数 为增函数， 为减函数；④若 且 为减函数，则函数 为减函数， 为增函数．
3.求函数最值的三种基本方法：
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.
4.复杂函数求最值：
对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.
【知识点2 函数的奇偶性及其应用】
1.函数奇偶性的判断
判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关
系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.
(3)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的
函数，如 ．
对于运算函数有如下结论：奇 奇=奇；偶 偶=偶；奇 偶=非奇非偶；奇 奇=偶；奇 偶=奇；
偶 偶=偶．
(4)复合函数 的奇偶性原则：内偶则偶，两奇为奇．
(5)常见奇偶性函数模型
奇函数：①函数 或函数 ．
②函数 ．
③函数 或函数
④函数 或函数 ．
2.函数奇偶性的应用
(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的
函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.
(2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.
【知识点3 函数的周期性与对称性常用结论】
1．函数的周期性常用结论(a是不为0的常数)(1)若f(x+a)=f(x)，则T=a；
(2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a；
(3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a；
(4)若f(x+a)= ，则T=2a；
(5)若f(x+a)= ，则T=2a；
(6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b);
2．对称性的三个常用结论
(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线 对称.
(2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点 对称.
(3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点 对称.
3．函数的的对称性与周期性的关系
(1)若函数 有两条对称轴 ， ，则函数 是周期函数，且 ；
(2)若函数 的图象有两个对称中心 ，则函数 是周期函数，且
；
(3)若函数 有一条对称轴 和一个对称中心 ，则函数 是周期函数，且
．
【题型1 函数的单调性的综合应用】
【例1】（2023·广东深圳·统考模拟预测）已知函数f (x)的定义域为R，若对∀x∈R都有
f (3+x)=f (1−x)，且f (x)在(2，+∞)上单调递减，则f (1)，f (2)与f (4)的大小关系是（ ）A．f (4)0,−x∈D，且f (−x)f (x)=1，则称函数f (x)为“类奇函数”．若某函数g(x)是“类奇函数”，则
下列命题中，错误的是（ ）
A．若0在g(x)定义域中，则g(0)=1
1
B．若g(x) =g(4)=4，则g(x) =g(−4)=
max min 4
C．若g(x)在(0,+∞)上单调递增，则g(x)在(−∞,0)上单调递减
D．若g(x)定义域为R，且函数ℎ(x)也是定义域为R的“类奇函数”，则函数G(x)=g(x)ℎ(x)也是
“类奇函数”
【题型3 函数的奇偶性的综合应用】
【例3】（2023·广东·东莞市校联考一模）已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=ax+1，
1
若f(−2)=5，则不等式f(x)> 的解集为（ ）
2
( 1) ( 1) ( 1 ) ( 1)
A． −∞,− ∪ 0, B． − ,0 ∪ 0,
2 6 2 6
( 1) (1 ) ( 1 ) (1 )
C． −∞,− ∪ ,+∞ D． − ,0 ∪ ,+∞
2 6 2 6
【变式3-1】（2023·全国·模拟预测）已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，f(3x+1)为奇函数，
为偶函数， ， 1，则 102 （ ）
g(x+2) f(x+1)+g(1−x)=2 f(0)=− ∑❑g(k)=
2
k=1
5 415 409
A．−51 B． C． D．
2 2 2
【变式3-2】（2023·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测）已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，函数
g(x)是定义在R上的奇函数，且f (x)，g(x)在[0,+∞)上单调递减，则（ ）
A． B．
f (f (2))>f (f (3)) f (g(2))g(g(3)) g(f (2))0时，f(x)>2016，记f(x)在[−2017，2017]上的最
2 1 2 1 2
大值和最小值为M，N，则M+N的值为（ ）
A．2016 B．2017 C．4032 D．4034【题型4 函数的对称性的应用】
【例4】（2023·江西赣州·统考二模）已知函数f(x)的图像既关于点(−1,1)对称，又关于直线y=x对称，
(17)
且当x∈[−1,0]时，f(x)=x2，则f =（ ）
4
19 9 7 17
A．− B．− C．− D．−
4 2 2 4
【变式4-1】（2023·四川绵阳·绵阳中学校考一模）若函数y=f (x)满足f (a+x)+f(a−x)=2b，则说
x x+1 x+2 x+2021 x+2022
y=f (x)的图象关于点(a,b)对称，则函数f(x)= + + +...+ + 的对称中心
x+1 x+2 x+3 x+2022 x+2023
是（ ）
A．(−1011,2022) B．(1011,2022) C．(−1012,2023) D．
(1012,2023)
【变式4-2】（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）函数f (x)和g(x)的定义域均为R，且
y=f (3+3x)为偶函数，y=g(x+3)+2为奇函数，对∀x∈R，均有f (x)+g(x)=x2+1，则f (7)g(7)=
（ ）
A．615 B．616 C．1176 D．2058
【变式4-3】（2023·甘肃张掖·高台县校考模拟预测）已知函数f(x)的定义域为R，f (x−1)的图象关于点
对称， ，且对任意的 ， ，满足 f (x )−f (x ) ，则不等式
(1,0) f (3)=0 x ,x ∈(−∞,0) x ≠x 2 1 <0
1 2 1 2 x −x
2 1
(x−1)f (x+1)≥0的解集为（ ）
A．(−∞,1]∪[2,+∞) B．[−4,−1]∪[0,1]
C．[−4,−1]∪[1,2] D．[−4,−1]∪[2,+∞)
【题型5 对称性与周期性的综合应用】
【例5】（2023·四川宜宾·统考一模）已知函数f (x),g(x)的定义域为R,g(x)的图像关于x=1对称，且
g(2x+2)为奇函数，g(1)=1,f (x)=g(3−x)+1，则下列说法正确的个数为（ ）
2024
① ；② ；③ ；④ .
g(−3)=g(5) g(2024)=0 f(2)+f(4)=−4 ∑❑f(n)=2024
n=1
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式5-1】（2023·北京大兴·校考三模）已知函数f (x)对任意x∈R都有f (x+2)=−f (x)，且f (−x)=−f (x)，当x∈(−1,1]时，f (x)=x3 .则下列结论正确的是（ ）
A．函数y=f (x)的图象关于点(k,0)(k∈Z)对称
B．函数y=f (x)的图象关于直线x=2k(k∈Z)对称
C．当 时，
x∈[2,3] f (x)=(x−2) 3
D．函数 的最小正周期为2
y=|f (x)|
【变式5-2】（2023·四川绵阳·绵阳校考模拟预测）已知函数f (x)的定义域为R,f (1)=0，且
f (0)≠0,∀x,y∈R都有f (x+ y)+f (x−y)=2f (x)f (y)，则下列说法正确的命题是（ ）
①f (0)=1；②∀x∈R,f (−x)+f (x)=0；
2023
③ 关于点 对称；④
f (x) (1,0) ∑❑f(i)=−1
i=1
A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④
【变式5-3】（2023·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测）已知函数f (x)与g(x)的定义域均为R，f(x+1)为
偶函数，且f(3−x)+g(x)=1，f(x)−g(1−x)=1，则下面判断错误的是( )
A．f (x)的图象关于点(2,1)中心对称
B．f (x)与g(x)均为周期为4的周期函数
C．2022
∑ f(i)=2022
i=1
D．2023
∑ g(i)=0
i=0
【题型6 类周期函数】
1
【例6】（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）定义在R上的函数f (x)满足f (x+1)= f (x)，且
2
3
当x∈[0,1)时，f (x)=1−|2x−1|.当x∈[m,+∞)时，f (x)≤ ，则m的最小值为（ ）
32
27 29 13 15
A． B． C． D．
8 8 4 4
【变式6-1】（2023上·湖南长沙·高三校考阶段练习）定义域为R的函数f (x)满足f (x+2)=2f (x)−1，当
7t
x∈(0,2]时，f (x)=¿.若x∈(0,4]时，t2− ≤f (x)≤3−t恒成立，则实数t的取值范围是（ ）
2[ 5] [1 ] [ 5]
A．[1,2] B． 1, C． ,2 D． 2,
2 2 2
【变式6-2】（2022·四川内江·校联考二模）定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)=3f(x)，当x∈[0,2]时，
1 3
f(x)=x2−2x，若x∈[−4,−2]时，f(x)≥ ( −t)恒成立，则实数t的取值范围是( )
18 t
A． B．
(−∞,−1]∪(0,3] (−∞,−√3]∪(0,√3]
C． D．
[−1,0)∪[3,+∞) [−√3,0)∪[√3,+∞)
【变式6-3】（2023上·浙江台州·高一校联考期中）设函数f (x)的定义域为R，满足f (x)=2f (x−2)，且当
x∈(0,2]时，f (x)=x(2−x)．若对任意x∈(−∞,m]，都有f (x)≤3，则m的取值范围是（ ）
( 5] ( 7]
A． −∞, B． −∞,
2 2
( 9] ( 11]
C． −∞, D． −∞,
2 2
【题型7 抽象函数的性质】
【例7】（2023·新疆乌鲁木齐·统考二模）已知f (x)，g(x)都是定义在R上的函数，对任意x，y满足
f (x−y)=f (x)g(y)−g(x)f (y)，且f (−2)=f (1)≠0，则下列说法正确的是（ ）
A．f (0)=1 B．函数g(2x+1)的图象关于点(1,0)对称
C． D．若 ，则2023
g(1)+g(−1)=0 f (1)=1 ∑❑f (n)=1
n=1
【变式7-1】（2023·福建宁德·福鼎市校考模拟预测）已知函数f (x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，对任
意的x,y∈R，恒有f (x+ y)+f (x−y)=2f (x)f (y)，则下列说法正确的个数是（ ）
① ；② 必为奇函数；③ ；④若 1，则 2023 1.
f (0)=0 f′(x) f (x)+f (0)≥0 f(1)= ∑❑f(n)=
2 2
n=1
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式7-2】（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数f (x)对任意实数x,y恒有
f(x−y)+f(x+ y)=f(2x)成立，且当x<0时，f(x)>0.
(1)求f(0)的值;
(2)判断f (x)的单调性，并证明;
(3)解关于 的不等式: .
x f [x2−(a+2)x]+f(a+ y)+f(a−y)>0【变式7-3】（2023上·广东东莞·高一校联考期中）已知函数f (x)对任意实数x,y恒有
f (x+ y)=f (x)+f (y)，当x>0时，f (x)<0，且f (1)=−2.
(1)判断f (x)的奇偶性；
(2)判断函数单调性，求f (x)在区间[−3,3]上的最大值；
(3)若f (x)0 a≠1
5 3
若f(1)+g(1)= ，f(1)−g(1)= ，设 ℎ(x)=f(x)+g(x)，x∈[−4,4]．
2 2
(1)求函数ℎ(x)的解析式并判断其奇偶性；
(2)判断函数ℎ(x)的单调性（不需证明），并求不等式ℎ(2x+1)+ ℎ(2x−1)≥0的解集．
【变式8-1】（2023上·上海·高一校考期中）已知定义在全体实数上的函数f (x)满足：①f (x)是偶函数；②
f (x)不是常值函数；③对于任何实数x、y，都有f (x+ y)=f (x)f (y)−f (1−x)f (1−y)．
(1)求f (1)和f (0)的值；
(2)证明：对于任何实数x，都有f (x+4)=f (x)；
(1) (2) (2026)
(3)若f (x)还满足对00，求f +f +⋯+f 的值．
3 3 3【变式8-2】（2023下·山西运城·高二统考期末）已知f (x)=ex−1+e1−x+x2−2x+a，
(1)证明：f (x)关于x=1对称；
(2)若f (x)的最小值为3
（i）求a；
（ii）不等式 恒成立，求 的取值范围
f (m(ex+e−x)+1)>f (ex−e−x) m
【变式8-3】（2023下·广东·高一统考期末）已知函数y=φ(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要
6
条件是φ(a+x)+φ(a−x)=2b．给定函数f (x)=x− 及其图象的对称中心为(−1,c)．
x+1
(1)求c的值；
(2)判断f (x)在区间(0,+∞)上的单调性并用定义法证明；
(3)已知函数g(x)的图象关于点(1,1)对称，且当x∈[0,1]时，g(x)=x2−mx+m．若对任意x ∈[0,2]，总
1
存在 ，使得 ，求实数m的取值范围．
x ∈[1,5] g(x )=f (x )
2 1 2
2x−1
1．（2023·全国·统考高考真题）若f (x)=(x+a)ln 为偶函数，则a=（ ）．
2x+1
1
A．−1 B．0 C． D．1
2
2．（2021·全国·统考高考真题）已知函数f (x)的定义域为R，f (x+2)为偶函数，f (2x+1)为奇函数，则
（ ）( 1)
A．f − =0 B．f (−1)=0 C．f (2)=0 D．f (4)=0
2
3．（2022·全国·统考高考真题）已知函数f(x)的定义域为R，且
，则
22
（ ）
f(x+ y)+f(x−y)=f(x)f(y),f(1)=1 ∑❑f(k)=
k=1
A．−3 B．−2 C．0 D．1
( 1) 1 (5)
4．（2021·全国·高考真题）设f (x)是定义域为R的奇函数，且f (1+x)=f (−x).若f − = ，则f =
3 3 3
（ ）
5 1 1 5
A．− B．− C． D．
3 3 3 3
|x2−1|
5．（2022·天津·统考高考真题）函数f (x)= 的图像为（ ）
x
A． B．
C． D．
6．（2022·全国·统考高考真题）已知函数f(x),g(x)的定义域均为R，且
22
．若 的图像关于直线 对称， ，则
f(x)+g(2−x)=5,g(x)−f(x−4)=7 y=g(x) x=2 g(2)=4 ∑f (k)=
k=1（ ）
A．−21 B．−22 C．−23 D．−24
7．（2021·全国·统考高考真题）设函数f (x)的定义域为R，f (x+1)为奇函数，f (x+2)为偶函数，当
(9)
x∈[1,2]时，f(x)=ax2+b．若f (0)+f (3)=6，则f =（ ）
2
9 3 7 5
A．− B．− C． D．
4 2 4 2
1
8．（2020·全国·统考高考真题）已知函数f(x)=sinx+ ，则（）
sinx
A．f(x)的最小值为2 B．f(x)的图象关于y轴对称
π
C．f(x)的图象关于直线x=π对称 D．f(x)的图象关于直线x= 对称
2
9．（2020·山东·统考高考真题）若定义在R的奇函数f(x)在(−∞,0)单调递减，且f(2)=0，则满足
xf(x−1)≥0的x的取值范围是（ ）
A．[−1,1]∪[3,+∞) B．[−3,−1]∪[0,1]
C．[−1,0]∪[1,+∞) D．[−1,0]∪[1,3]
