文档内容
专题1.3 图形的平移与旋转
知识归纳
知识点1：中心对称与中心对称图形
1. 中心对称概念：把一个图形绕着某一点旋转 ，如图它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形
关于这个点对称或中心对称，这个点叫作对称中心（简称中心）.这两个图形再旋转后能重合的对应点叫作
关于对称中心的对称点.
如图， 绕着点 旋转 后，与 完全重合，则称 和 关于点 对称，点 是
点 关于点 的对称点.
A
D
O
B C
2. 中心对称图形概念：把一个图形绕着某一个点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那
么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心.
中心对称与中心对称图形的区别与联系：
中心对称 中心对称图形
（1）是针对两个图形而言的. （1）是针对一个图形而言的.
（2）是指两个图形的（位置）关系. （2）是指具有某种性质的一个图形.
区别
（3）对称点在两个图形上. （3）对称点在一个图形上.
（4）对称中心在两个图形之间. （4）对称中心在图形上.
（1）都是通过把图形旋转 重合来定义的.（2）两者可以相互转化，如果把中心
对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这“一个图形”就是中心对称图
联系 形；反过来，如果把一个中心对称图形相互对称的两部分看成两个图形，那么这
“两个图形”中心对称
3. 中心对称的性质：
中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；
中心对称的两个图形是全等图形.
4. 作中心对称图形的一般步骤（重点）：（1）作出已知图形各顶点（或决定图形形状的关键点）关于中心的对称点——连接关键点和中心，并延
长一倍确定关键的对称点.
（2）把各对称点按已知图形的连接方式依次连接起来，则所得到的图形就是已知图形关于对称中心对称
的图形.
5. 找对称中心的方法和步骤：
对于中心对称图形和关于某一点对称的两个图形，它们的对称中心非常重要，找不对称中心是解决先
关问题的关键.由中心对称的特征可知，对称中心为对应点连线的中点或两组相对应点连线的交点，因此找
对称中心的步骤如下：
方法1：连接两个对应点，取对应点连线的中点，则中点为对称中心.
方法2：连接两个对应点，在连接两个对应点，两组对应点连线的交点为对称中心.
6. 关于原点对称的点的坐标规律
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点P’(-x，-y)
1．（2021深圳南山区一模）下列图形是中心对称图形的有几个？（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫
做中心对称图形，根据中心对称图形的概念判断．
【解答】解：从左到右第一、第二、第三个图形是中心对称图形，第四个图形不是中心对称图形．
故选：C．
2．（2021佛山市禅城区一模）下面是“北”“比”“鼎”“射”四个字的甲骨文，其中不是轴对称图形
的是（ ）
A． B．
C． D．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
3．（2020•扬州）“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用
于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．在下列与扬州有关的标识
或简图中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
4．（2020广东）在平面直角坐标系中，点（3，2）关于x轴对称的点的坐标为（ ）。
A．（﹣3 ，2） B．（﹣2 ，3） C．（2 ，﹣3） D．（3 ，﹣2）
【分析】关于x轴对称:横坐标不变，纵坐标互为相反数．
【解答】（3，2）关于x轴对称的点的坐标（3 ，﹣2）。
故选：D。
5．（2020深圳）下列图形中既是轴对称图形，也是中心对称图形的是( )A. B. C. D.
【分析】根据轴对称图形和中心对称的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】A图既不是轴对称也不是中心对称；C图为轴对称，但不是中心对称；D图为中心对称，但不是
轴对称。
故选：B
6．（2021佛山大沥镇一模）已知点 与点 关于 轴对称，则 的值为（ ）．
A. B. C. D.
【分析】根据关于 轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数，即可求解．
【解答】解：∵点 与点 关于 轴对称，
∴ 与 互为相反数，
∴ ，
故选：A．
7．（2020•菏泽）在平面直角坐标系中，将点P（﹣3，2）向右平移3个单位得到点P'，则点P'关于x轴的
对称点的坐标为（ ）
A．（0，﹣2） B．（0，2） C．（﹣6，2） D．（﹣6，﹣2）
【分析】先根据向右平移3个单位，横坐标加3，纵坐标不变，求出点P'的坐标，再根据关于x轴对称，
横坐标不变，纵坐标相反解答．
【解答】解：∵将点P（﹣3，2）向右平移3个单位得到点P'，
∴点P'的坐标是（0，2），
∴点P'关于x轴的对称点的坐标是（0，﹣2）．
故选：A．
8．（2020•淮安）在平面直角坐标系中，点（3，2）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（2，3） B．（﹣3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（﹣2，﹣3）
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案．
【解答】解：点（3，2）关于原点对称的点的坐标是：（﹣3，﹣2）．故选：C．
知识2：图形的平移
1. 定义:在平面内,将某个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移.
2. 特征:①平移后,对应线段相等且平行,对应点所连的线段平行且相等.
②平移后,对应角相等且对应角的两边分别平行,方向相同.
③平移不改变图形的形状和大小,只改变图形的位置,平移后新旧两图形全等.
知识点3：图形的旋转
1. 定义:在平面内,将一个图形绕一个定点沿某个方向旋转一个角度,这样的图形运动称为旋转.这个定点称为
旋转中心,转动的角度称为旋转角.
2. 特征:图形旋转过程中,图形上每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同角度;注意每对对应点与旋转
中心的连线所成的角度都是旋转角,旋转角都相等;对应点到旋转中心的距离相等.
如图所示， 是 绕定点 逆时针旋转 得到的，其中点 与点 叫作对应点，线段
与线段 叫作对应线段， 与 叫作对应角，点 叫作旋转中心， （或 ）的度
A'
数叫作旋转的角度.
【注意】
B'
1.图形的旋转由旋转中心、旋转方向与旋转的角度所决定.
A
2.旋转中心可以是图形内，也可以是图形外。
45°
3. 旋转作图的步骤方法： O B
① 确定旋转中心、旋转方向、旋转角；
② 找出图形上的关键点；
③ 连接图形上的关键点与旋转中心，然后按旋转方向分别将它们旋转一定的角度，得到关键点的对应点；
④ 按原图的顺序连接这些对应点，即得旋转后的图形.
1．（2020•枣庄）如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB
＝∠B＝30°，OA＝2．将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是（ ）
A．（−❑√3，3） B．（﹣3，❑√3） C．（−❑√3，2+❑√3） D．（﹣1，2+❑√3）【分析】如图，过点B′作B′H⊥y轴于H．解直角三角形求出′H，B′H即可．
【解答】解：如图，过点B′作B′H⊥y轴于H．
在Rt△A′B′H中，∵A′B′＝2，∠B′A′H＝60°，
∴A′H＝A′B′cos60°＝1，B′H＝A′B′sin60°=❑√3，
∴OH＝2+1＝3，
∴B′（−❑√3，3），
故选：A．
2．（2020•天津）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点B的对
应点 E恰好落在边 AC 上，点 A的对应点为 D，延长 DE交AB于点 F，则下列结论一定正确的是
（ ）
A．AC＝DE B．BC＝EF C．∠AEF＝∠D D．AB⊥DF
【分析】依据旋转可得，△ABC≌△DEC，再根据全等三角形的性质，即可得出结论．
【解答】解：由旋转可得，△ABC≌△DEC，
∴AC＝DC，故A选项错误，
BC＝EC，故B选项错误，
∠AEF＝∠DEC＝∠B，故C选项错误，
∠A＝∠D，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠D+∠B＝90°，∴∠BFD＝90°，即DF⊥AB，故D选项正确，
故选：D．
3．（2020•菏泽）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转角α，得到△ADE，若点E恰好在CB的延长线上，则
∠BED等于（ ）
α 2
A． B． α C．α D．180°﹣α
2 3
【分析】证明∠ABE+∠ADE＝180°，推出∠BAD+∠BED＝180°即可解决问题．
【解答】解：∵∠ABC＝∠ADE，∠ABC+∠ABE＝180°，
∴∠ABE+∠ADE＝180°，
∴∠BAD+∠BED＝180°，
∵∠BAD＝α，
∴∠BED＝180°﹣α．
故选：D．
4．（2020•青岛）如图，将△ABC先向上平移1个单位，再绕点P按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，
则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（0，4） B．（2，﹣2） C．（3，﹣2） D．（﹣1，4）
【分析】根据平移和旋转的性质，将△ABC先向上平移1个单位，再绕点P按逆时针方向旋转90°，得
到△A′B′C′，即可得点A的对应点A′的坐标．
【解答】解：如图，△A′B′C′即为所求，
则点A的对应点A′的坐标是（﹣1，4）．
故选：D．
5．（2020•齐齐哈尔）有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图 所示叠放，先将含
30°角的纸板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A顺时针旋转，使BC∥DE，如图① 所示，则旋转角
∠BAD的度数为（ ） ②
A．15° B．30° C．45° D．60°
【分析】由平行线的性质可得∠CFA＝∠D＝90°，由外角的性质可求∠BAD的度数．
【解答】解：如图，设AD与BC交于点F，∵BC∥DE，
∴∠CFA＝∠D＝90°，
∵∠CFA＝∠B+∠BAD＝60°+∠BAD，
∴∠BAD＝30°
故选：B．
6．（2020•武威）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A，B的坐标分别为（3，❑√3），（4，
0）．把△OAB沿x轴向右平移得到△CDE，如果点D的坐标为（6，❑√3），则点E的坐标为 （ 7 ，
0 ） ．
【分析】利用平移的性质解决问题即可．
【解答】解：∵A（3，❑√3），D（6，❑√3），
∴点A向右平移3个单位得到D，
∵B（4，0），
∴点B向右平移3个单位得到E（7，0），
故答案为（7，0）．
7．（2020•绥化）如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，点B，点O均为格点
（每个小正方形的顶点叫做格点）．
（1）作点A关于点O的对称点A；
1
（2）连接AB，将线段AB绕点A 顺时针旋转90°得点B对应点B，画出旋转后的线段AB；
1 1 1 1 1 1
（3）连接AB，求出四边形ABAB 的面积．
1 1 1
【分析】（1）依据中心对称的性质，即可得到点A关于点O的对称点A；
1（2）依据线段AB绕点A 顺时针旋转90°得点B对应点B，即可得出旋转后的线段AB；
1 1 1 1 1
（2）依据割补法进行计算，即可得到四边形ABAB 的面积．
1 1
【解答】解：（1）如图所示，点A 即为所求；
1
（2）如图所示，线段AB 即为所求；
1 1
（3）如图，连接BB，过点A作AE⊥BB，过点A 作AF⊥BB，则
1 1 1 1 1
1 1
四边形ABAB 的面积=S +S = ×8×2+ ×8×4＝24．
1 1 △ABB 1 △A 1 BB 1 2 2
8．（2020·广西）如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C
（2，1）．
（1）把△ABC向左平移4个单位后得到对应的 AB C ，请画出平移后的 AB C ；
1 1 1 1 1 1
（2）把△ABC绕原点O旋转180°后得到对应的 AB C ，请画出旋转后的 AB C ；
2 2 2 2 2 2
（3）观察图形可知， AB C 与 AB C 关于点（ ， ）中心对称．
1 1 1 2 2 2
【分析】
（1）依据平移的方向和距离，即可得到平移后的 AB C ；
1 1 1
（2）依据 ABC绕原点O旋转180°，即可画出旋△转后的 AB C ；
2 2 2
（3）依据△对称点连线的中点的位置，即可得到对称中心的△坐标．【详解】
解：（1）如图所示，分别确定 平移后的对应点 ，
得到 AB C 即为所求；
1 1 1
（2）如图所示，分别确定 旋转后的对应点 ，
得到 AB C 即为所求；
2 2 2
（3）由图可得， AB C 与 AB C 关于点 成中心对称．
1 1 1 2 2 2
故答案为：﹣2，0．
知识点4：设计图案
1．（2020·浙江宁波市）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等
边三角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影：
（1）使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．
（2）使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只
需画出符合条件的一种情形）
【分析】
（1）根据轴对称图形的定义画出图形构成一个大的等边三角形即可（答案不唯一）．
（2）根据中心对称图形的定义画出图形构成一个平行四边形即可（答案不唯一）．【详解】
解：（1）轴对称图形如图1所示．
（2）中心对称图形如图2所示．
2．（2019·四川广安市）在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示的3×3正方形方格纸，剪掉其中两
个方格，使之成为轴对称图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图2的四幅图就视为
同一种设计方案（阴影部分为要剪掉部分）
请在图中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑（每个3×3的正方形方格画一种，
例图除外）
【分析】根据轴对称图形和旋转对称图形的概念作图即可得．
【详解】
解：根据剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形；即如图所示：
