文档内容
08A 二次三项式的因式分解及应用
考情链接
1. 本次任务由5个部分构成
（1）二次三项式因式分解
（2）数字问题
（3）握手问题
（4）增长率问题
（5）面积问题
2. 考情分析
（1）二次三项式及一元二次方程的应用是一元二次方程的部分，属于方程与代数式板块，
占中考分值约10%。
（2）二次三项式的因式分解，以填空题、解答题为主，一元二次方程的应用考察解答题。
（3）对应教材：八年级上册第十七章一元二次方程第三节。
（4）二次三项式的因式分解，要借助一元二次方程的知识进行解答。其次，运用方程思想
解决实际问题，重点问题找到题目中的等量关系，其中列方程思想是本节的重点内容。
环节 需要时间
自主任务讲解 10分钟
切片1：二次三项式因式分解 15分钟
切片2：数字问题 15分钟
切片3：握手问题 20分钟
切片4：增长率问题 20分钟
切片5：面积问题 20分钟
出门测 10分钟
错题整理 10分钟
1知识加油站1——二次三项式因式分解【建议时长：15分钟】
考点一：二次三项式因式分解
知识笔记1
二次三项式因式分解
（1）形如_________________________的多项式称为二次三项式；
（2）如果一元二次方程ax2 +bx+c=0 (a≠0)的两个根是x 和x ,那么二次三项式的分解公
1 2
式为：_________________________．
【填空答案】
1. ax2 +bx+c ( a，b，c都不为零)
2. ax2 +bx+c =a(x−x )(x−x )
1 2
例题1:
（1）（★★☆☆☆）一元二次方程2x2 + px+q=0的两根为-1 和 2，那么二次三项式
2x2 + px+q可分解为( )
A ．(x+1)(x−2) B ．(2x+1)(x−2) C ．2(x−1)(x+2) D ．2(x+1)(x−2)
（2）（★★★☆☆）在实数范围内因式分解：
①x2 −x−1=____________；
②2x2 +3xy− y2 =_____________；
③4x2 +2x−3 =____________；
④−6x2 −2x+1=____________；
( )( )
⑤ x2 −3 x2 +2 =____________.
【常规讲解】
（1）解：一元二次方程2x2 + px+q=0的两根为-1和 2 ，
∴2(x+1)(x−2)=0，
∴2x2 + px+q可分解为2(x+1)(x−2)，
故选：D．
21+ 5 1− 5
（2）①解：x2 −x−1=(x− )(x− )．
2 2
1+ 5 1− 5
故答案为：(x− )(x− )．
2 2
②解：令2x2 +3xy− y2 =0，则
−3− 17 −3+ 17
x = y，x = y，
1 4 2 4
−3− 17 −3+ 17
则2x2 +3xy− y2 =2(x− y)(x− y)．
4 4
−3− 17 −3+ 17
故答案为：2(x− y)(x− y)．
4 4
1− 13 1+ 13
③原式=4（x+ ）（x+ ）
4 4
1+ 7 1− 7
④原式=-6（x+ ）（x+ ）
6 6
⑤原式=(x- 3)(x+ 3)(x2 +2)
练习1: 【学习框8】
（1）（★★☆☆☆）如果一元二次方程2x2 +bx+c=0的两根为 2、−1，那么二次三项式
2x2 +bx+c在实数范围内可以分解为( )
A．(2x−2)(2x+2) B．(2x−2)(2x−1) C．2(x−2)(x−1) D．2(x−2)(x+1)
（2）（★★★☆☆）在实数范围内分解因式：
①3x2 −4x−5 =____________；
②3a2 −5ab−b2 =____________；
③−x2 −4x+3 =____________；
④ p2 −1−2p =____________；
⑤ 2x2 −2 2x−1=____________.
【常规讲解】
（1）解：2x2 +bx+c=0的两根为2、−1，
38+2b+c=0
∴ ，解方程组得：b=−2，c=−4，
2−b+c=0
∴2x2 +bx+c=2x2 −2x−4=2(x−2)(x+1)．
故选：D．
（2）①解：令3x2 −4x−5=0，则
2− 19 2+ 19
x = ，x = ，
1 3 2 3
2 19 2 19
则3x2 −4x−5 =3(x− − )(x− + )．
3 3 3 3
②解：令3a2 −5ab−b2 =0，
5± 25+12 5± 37
解得：a= b= b，
6 6
5− 37 5+ 37
∴3a2 −5ab−b2 =3(a− b)(a− b)
6 6
③−x2 −4x+3= −(x+2− 7)(x+2+ 7)
④ p2 −1−2p= (p+1+ 2)(p−1− 2)
2+2 2−2
⑤令2x2 −2 2x−1=0，解得：x = ，x = ，
1 2 2 2
2−2 2+2
即该式可分解为a(x−x )(x−x )=2x− x−
1 2 2 2
考点二：二次三项式因式分解的条件
知识笔记2
二次三项式ax2 +bx+c可以因式分解的条件：
（1）_____________________；
（2）_____________________.
【填空答案】
（1）△=b2 −4ac…0
（2）abc≠0
4例题2:
（1）（★★★☆☆）若二次三项式ax2 +3x+4在实数范围内可以因式分解，那么a的取值范围
是__________．
（2）（★★★☆☆）若二次三项式x2 −3x+a在实数范围内可以因式分解，则a的取值范围是
__________．
【常规讲解】
（1）解：根据题意得，二次三项式在实数范围内能分解因式，
∴方程ax2 +3x+4=0有解，
∴△=b2 −4ac=32 −4a×4=9−16a…0，且a≠0，
9
解得a„ 且a≠0．
16
9
故答案为：a„ 且a≠0．
16
（2）解：二次三项式x2 −3x+a在实数范围内可以因式分解，
∴关于x的一元二次方程x2 −3x+a=0有实数根，且a≠0，
=(−3)2 −4×1×a…0 9
∴ ，解得：a„ 且a≠0．
a≠0 4
9
故答案为：a„ 且a≠0．
4
练习2: 【学习框10】
（1）（★★★☆☆）（2022秋•浦东新区期中）下列关于x的二次三项式在实数范围内不能够因
式分解的是( )
A．x2 −4x+4 B．3x2 −5xy−2y2 C．y2 −2y+9 D．y2 − 2y−1
（2）（★★★☆☆）如果二次三项式 px2 +2x−1在实数范围内可以因式分解，求 p的取值范
围．
【常规讲解】
（1）解：A．x2 −4x+4=(x−2)2，此选项不符合题意；
B．3x2 −5xy−2y2 =(3x+ y)(x−2y)，此选项不符合题意；
C．设y2 −2y+9=0，
5△=4−36=−32<0，
∴y2 −2y+9=0无实数根，
∴y2 −2y+9不能在实数范围内因式分解，此选项符合题意；
2+ 6 2− 6
D．y2 − 2y−1=(y+ )(y− )此选项不符合题意；
2 2
故选：C．
（2）解：二次三项式px2 +2x−1在实数范围内可以因式分解，
∴px2 +2x−1=0有实数解，
∴△=4+4p…0，且p≠0，
解得： p…−1且 p≠0．
知识加油站2——数字问题【建议时长：15分钟】
考点三：解决一元二次方程的数字问题
知识笔记3
数字问题
对于数的应用题主要是要知道数的表示．
例如：一个三位数百位、十位、个位分别为 x、y、z，那么这个三位数则可以表示为
___________________．
【填空答案】
100x+10y+z
例题3:
（1）（★★★☆☆）有一个两位数等于它十位上与个位上数的积的3倍，已知十位上的数比个
位上的数小2．设个位数字为x，则可列方程为____________________（化为一般式）．
（2）（★★★☆☆）已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与
十位上的数字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是 ___________．
（3）（★★★★☆）有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与
6个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，求原来的两位数．
【常规讲解】
（1）解：设这个两位数的个位数字为x，那么十位数字就应该是x−2，
依题意得10(x−2)+x=3x(x−2)，即3x2 −17x+20=0．
故答案为：3x2 −17x+20=0．
（2）解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为(x+4)，
依题意得：x2 +(x+4)2 −[10(x+4)+x]=−4，
整理得：2x2 −3x−20=0
5
解得：x =4，x =− ．
1 2 2
又x为非负整数，
∴x=4，
∴10(x+4)+x=10×(4+4)+4=84．
故答案为：84．
（3）设个位数字为x，则十位数字是8−x．
根据题意可得： [ 10 ( 8−x )+x ][ 10x+( 8−x )] =1855，整理得：9x2 −72x+135=0．
分解得： ( 9x−27 )( x−5 )=0，
解得：x =3，x =5．
1 2
答：原来的两位数是35或53．
练习3: 【学习框12】
（1）（★★☆☆☆）两个连续偶数的平方和是100，求这两个数．若设最小的数为x，则可列
方程为____________________．
（2）（★★★☆☆）有一个两位数等于其数字之积的2倍，其十位数字比个位数字小3，求这
个两位数．
（3）（★★★★☆）一两位数，数字之和是9，如将个位数字，十位数字对调与原数相乘的结
果是1458，求原来的两位数．
7【常规讲解】
（1）解：设最小的数是x，则较大的数为(x+2)，
根据题意得：x2 +(x+2)2 =100，
故答案为：x2 +(x+2)2 =100．
（2）设个位数字为x，则十位数字是x−3．
根据题意可得：10 ( x−3 )+x=2x ( x−3 ) ， 整理得：2x2 −17x+30=0，
( 2x−5 )( x−6 )=0，
5
解得：x =6，x = （不是整数，舍去）．
1 2
2
答：这个两位数为36．
（3）解：设十位数字为x，那么个位数字为(9−x)，
对调前两位数是：10x+(9−x)，对调后两位数是10(9−x)+x，
所以[10x+(9−x)][10(9−x)+x]=1458．
整理得：x2 −9x+8=0．
分解得：
(x−1)(x−8)=0，
解得：x =1，x =8．
1 2
答：原来的两位数是18或81．
8知识加油站3——握手和贺卡问题【建议时长：20分钟】
考点四：解决一元二次方程的握手和贺卡问题
知识笔记4
握手问题
n人“握手”公式：_____________________.
贺卡问题
n人“送祝福”公式：_____________________.
【填空答案】
n(n−1)
（有重复）
2
n(n−1)（无重复）
例题4:
（1）（★★★☆☆）同学聚会，每两人都握手一次，共握手45次，设x人参加聚会，列方程
为( )
45 1
A．x(x−1)=45 B．x(x−1)= C． x(x−1)=45 D．x(x+1)=45
2 2
（2）（★★★☆☆）某区要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计
划安排28场比赛，则应邀参加比赛的球队支数是________．
【配题说明】握手问题
【常规讲解】
（1）解：设x人参加聚会，
1
依题意，得： x(x−1)=45．
2
故选：C．
（2）解：设邀请x个队，每个队都要赛(x−1)场，但两队之间只有一场比赛，
9x(x−1)
由题意得， =28，
2
解得：x=8或x=−7
故参加比赛的有8只队伍．
故答案为：8．
练习4: 【学习框14】
（1）（★★★☆☆）在一次同学聚会上，参加的每个人都与其他人握手一次，共握手190次，
设参加这次同学聚会的有x人，可得方程( )
A．x(x−1)=190 B．x(x−1)=380 C．x(x−1)=95 D．(x−1)2 =380
（2）（★★★☆☆）某市要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场
地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请的参赛队数是
( )
A．8 B．7 C．6 D．5
【配题说明】握手问题
【常规讲解】
（1）解：设共有x人参加联欢会，可得方程：x(x−1)÷2=190，
x(x−1)=380．
故选：B．
（2）设比赛组织者应邀请x队参赛，
x(x−1)
则由题意可列方程为： =28．
2
解得：x =8，x =−7（舍去），
1 2
答：比赛组织者应邀请8队参赛．
故选：A．
例题5:
（★★★★☆）（2022•闵行区梅陇中学期中）2022年卡塔尔世界杯即将在本月开幕，共有若干
支球队参赛．第一阶段为小组赛，第二阶段为淘汰赛．在小组赛阶段，所有参赛球队将被分
成8个小组（每组参赛球队数量相同），分别进行单循环赛（两支球队之间只踢一场），根据
规则，小组前2名的球队顺利出线，进入淘汰赛．已知本届世界杯小组赛阶段共有48场比
10赛，请问：共有多少支队伍参加比赛？
【配题说明】握手问题难题应用
【常规讲解】
1
解：设共有x支队伍参加比赛，则在小组赛阶段，每个小组有 x支队伍，
8
1 1 1
根据题意得：8× × x( x−1)=48，
2 8 8
整理得：x2 −8x−768=0，
解得：x =32，x =−24（不符合题意，舍去）．
1 2
答：共有32支队伍参加比赛．
练习5: 【学习框16】
（★★★☆☆）在东方绿舟游玩时，新华中学的校女子篮球队的队员们拍照留念，每两位队员
合拍一张合影，这样一共拍了55张照片底片，新华中学的小女子篮球队共有多少名队员？
如果每个队员都要得到自己的照片，每一张照片的冲印费是 0.80 元，那么一共要花多少元
去冲印这些照片？
【配题说明】握手问题难题应用
【常规讲解】
解：设新华中学女子篮球队共有x名队员，根据题意得出：
1
x(x−1)=55，
2
解得：x =−10，x =11，
1 2
一共要花0.8×55×2=88元，
答：新华中学女子篮球队共有11名队员，花88元去冲印这些照片；
例题6:
（★★★☆☆）过元旦了，全班同学每人互发一条祝福短信，共发了380条，设全班有x名同
学，列方程为（ ）
1
A． x(x−1)=380 B．x（x﹣1）=380
2
C．2x（x﹣1）=380 D．x（x+1）=380
【配题说明】贺卡问题
【常规讲解】
11设全班有x名同学，由题意得：
x（x-1）=380，
故选B．
练习6: 【学习框18】
（1）（★★★☆☆）九年级学生毕业前夕，某班每名同学都为其他同学写一段毕业感言，全班
共写了870段毕业感言，如果该班有x名同学，根据题意列出方程为（ ）
A．x（x﹣1）＝870 B．x（x+1）＝870
x(x−1)
C．2x（x+1）＝870 D． ＝870
2
（2）（★★★☆☆）．一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，若全组共送出贺卡56张，设这
个小组有x人．则（ ）
1 1
A． x(x−1)=56 B． x(x+1)=56 C．x(x−1)=56 D．x(x+1)=56
2 2
【配题说明】贺卡问题
【常规讲解】
（1）根据题意得：每人要写（x-1）条毕业感言，有x个人，
∴全班共写：（x-1）x=870，
故选：A．
（2）解：若设这小组共有x名学生，
x(x−1)=56
．
故选：C．
12知识加油站4——增长率问题【建议时长：20分钟】
考点五：解决一元二次方程的增长率和降低率问题
知识笔记5
增长率问题
基本公式：_____________________，
a表示增长前的数，x表示增长率，b表示增长后的数，要列出这类方程关键在于找出a、
b．如果是降低率，则为______________.
【填空答案】
a(1+x)2 =b;a(1−x)2 =b．
例题7:
（1）（★★☆☆☆）（2022•青浦区白鹤中学期末）某商场七月份的销售额为 1000 万元，八月
份的销售额下降了20%，商场从九月份起改进经营措施，销售额稳步增长，十月份的销售
额达到 1352 万元，如果每月的销售额增长率相同，设这个增长率为 x ，那么可列方程
_____________．
（2）（★★★☆☆）某商场今年 8 月的营业额为 400 万元，9 月份营业额比 8 月份增加10%，
11月份的营业额达到633.6万元，求9月份到11月份营业额的月平均增长率．
【配题说明】增长率问题
【常规讲解】
（1）解：根据题意得1000×(1−20%)(1+x)2 =1352．
故答案为：1000×(1−20%)(1+x)2 =1352．
（2）解：设9月份到11月份营业额的月平均增长率为 x，
依题意得：400(1+10%)(1+x)2 =633.6，
解得：x =0.2=20%，x =−2.2（不符合题意，舍去）．
1 2
答：9月份到11月份营业额的月平均增长率为20%．
13练习7: 【学习框20】
（★★★☆☆）为了让我们的小朋友们有更好的学习环境，我校2020年投资110万元改造硬
件设施，计划以后每年以相同的增长率进行投资，到2022年投资额将达到185.9万元．
（1）求我校改造硬件设施投资额的年平均增长率；
（2）从2020年到2022年，这三年我校将总共投资多少万元？
【配题说明】增长率问题
【常规讲解】
解：（1）设我校改造硬件设施投资额的年平均增长率为 x，
依题意得：110(1+x)2 =185.9，
解得：x =0.3=30%，x =−2.3（不合题意，舍去）．
1 2
答：我校改造硬件设施投资额的年平均增长率为30%．
（2）110+110×(1+30%)+185.9
=110+143+185.9
=438.9（万元）．
答：从2020年到2022年，这三年我校将总共投资438.9万元
例题8:
（★★☆☆☆）（2022•青浦区东方中学期末）有一件商品，由原售价连续两次降价，每次降价
的百分率相同．已知原售价是875元，降价两次后的售价是560元，若每次下降的百分率是
x，由题意列出关于 x的方程：_________________________.
【配题说明】降低率问题
【常规讲解】
解：根据题意得875(1−x)2 =560．
故答案为：875(1−x)2 =560．
练习8: 【学习框22】
（1）（★★☆☆☆）（2023•崇明期末）某型号的手机经过连续两次降价，每部售价由原来的1152
元降到了800元．设平均每次降价的百分率为x，列出关于x的方程_________________．
（2）（★★☆☆☆）（2022•青浦期中）最近国家出台了一系列的政策，全国各地房市遇冷，以
上海某地一处小区二手房为例，原价600万元，经过连续两次降价，现价为486万元，则平
14均降价率为____________．
【配题说明】降低率问题
【常规讲解】
（1）解：设平均每次降价的百分率为x，
由题意得，1152(1−x)2 =800，
故答案为：1152(1−x)2 =800．
（2）解：设平均降价率为x，
600(1−x)2 =486
由题意可得，
x =0.1 x =1.9
1 ， 2 （舍去）；
0.1×100%=10%，
故答案为：10%．
15知识加油站5——面积问题【建议时长：20分钟】
考点六：解决一元二次方程的面积问题
知识笔记6
几何面积问题
对于面积问题首先判断要求面积的图形的形状，再根据公式将要求出的量用 x表示出来．例
如要求的某个长方形面积，就必须先把___________表示出来．
【填空答案】
长和宽
例题9:
（★★★☆☆）（2022•黄浦区期中）第二十二届中国上海国际艺术节首次移师上海市黄浦区南
京东路第一百货商业中心．主办方工作人员准备利用一边靠墙（墙长25米）的空旷场地为
提前到场的观众设立面积为320平方米的封闭型长方形等候区．如图，为了方便观众进出，
在两边空出两个宽各为1米的出入口，共用去隔栏绳50米．请问，工作人员围成的这个长
方形的相邻两边长分别是多少米？
【配题说明】围栏问题
【常规讲解】
解：设这个长方形的宽为 x米，则长为(50+1+1−2x)米，
根据题意得：x(50+1+1−2x)=320，
整理得：x2 −26x+160=0，
解得：x =10，x =16，
1 2
当x=10时，50+1+1−2x=50+1+1−2×10=32>25，不符合题意，舍去；
当x=16时，50+1+1−2x=50+1+1−2×16=20<25，符合题意．
∴这个长方形的宽为16米，长为20米．
16故答案为：20．
练习9: 【学习框24】
（★★☆☆☆）（2022•奉贤区期中）如图，用33米长的竹篱笆一边靠墙（墙长18米）围一个
长方形养鸡场，墙的对面有一个2米宽的门，围成的养鸡场的面积为150平方米，设垂直于
墙的长方形的宽为 x米，则可列出方程为_______________________．
【配题说明】围栏问题
【常规讲解】
解： 竹篱笆的总长度为33米，且垂直于墙的长方形的宽为 x米，
∴垂直于墙的长方形的长为(33+2−2x)米，
依题意得：x(33+2−2x)=150．
故答案为：x(33+2−2x)=150．
例题10:
（1）（★★★☆☆）某小区为了美化环境，准备在一块长50米，宽42米的长方形场地上修筑
两条宽度相等且互相垂直的道路，余下的部分作为草坪（图中阴影部分）．若草坪的面积是
1920平方米，求道路的宽度．
（2）（★★★☆☆）如图，某小区有一块长为45米，宽为36米的矩形空地，计划在其中修建
两块相同的矩形草地，它们的面积之和为1080平方米，两块草地之间及周围都是宽度相同
的人行通道，求人行通道的宽度为多少米？
17【配题说明】道路问题
【常规讲解】
（1）解：设道路的宽度为 x米，则余下的部分可合成长为(50−x)米，宽为(42−x)米的矩
形，
依题意得：(50−x)(42−x)=1920，
整理得：x2 −92x+180=0，
解得：x =2，x =90（不符合题意，舍去）．
1 2
答：道路的宽度为2米．
（2）解：设人行通道的宽为
x米，则两块草地可合成长为(45−3x)米，宽为(36−2x)米的
矩形，依题意得：(45−3x)(36−2x)=1080，
整理得：x2 −33x+90=0，
解得：x =3，x =30（不合题意，舍去）．
1 2
答：人行通道的宽为3米．
练习10: 【学习框26】
（★★★☆☆）如图，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修建两条同样宽且互相垂直的道路，
余下部分作为耕地为551m2．则道路的宽为？
【配题说明】道路问题
【常规讲解】
解：设修建的路宽应为 x米，
根据等量关系列方程得：30×20−(20x+30x−x2)=551，
整理可得：x2 −50x+49=0，
解得：x=1或x=49（不符合题意，舍去），
答：道路的宽为1米．
18全真战场
教师可以根据课堂节奏将“全真战场”作为课堂补．充．练习或课后补．充．练习让学生的完成
关卡一
练习1:
（1）（★★☆☆☆）在实数范围内分解因式：−6x2 −2x+1.
（2）（★★☆☆☆）在实数范围内因式分解：−2a2b2 +ab+2．
【常规讲解】
1+ 7 1− 7
（1）−6x2 −2x+1=−6x+ x+
6 6
1± 17
（2）解：令−2a2b2 +ab+2=0，则ab= ，
4
1+ 17 1− 17
所以−2a2b2 +ab+2=−2(ab− )(ab− )．
4 4
练习2:
（★★★☆☆）三个连续奇数的平方和是251，求这三个数，若设最小的数为 x，则可列方程
为____________________．
【常规讲解】
解：设三个连续奇数中间的一个数为
x，则另外两个数为：(x+2)，(x+4)，依题意得
x2 +(x+2)2 +(x+4)2 =251，
故答案为x2 +(x+2)2 +(x+4)2 =251
练习3:
（★★★☆☆）在一次同学聚会时，每个人都与别人握一次手，有人做了一次统计，共握了78
次手，设共有 x人参加这次聚会，那么可列方程为______．
【常规讲解】
解：设这次聚会的同学共 x人，根据题意列方程为：
x(x−1)
=78．
2
x(x−1)
故答案为： =78．
2
19练习4:
（★★★☆☆）为改善村容村貌，建设美丽乡村，某村计划将一块长18米、宽10米的矩形场
地建成绿化广场．如图，广场内部修建同样宽的三条小路，其中一条路与广场的长边平行，
另两条路与广场的短边平行，其余区域进行绿化，使绿化区域的面积为广场总面积的80%，
小路的宽应为多少米？
【常规讲解】
解：设小路的宽为
x米，则绿化区域可合成长为(18−2x)米，宽为(10−x)米的矩形，
依题意得：(18−2x)(10−x)=18×10×80%，
整理得：x2 −19x+18=0，
解得：x =1，x =18（不合题意，舍去）．
1 2
答：小路的宽为1米．
关卡二
练习5:
（★★★★☆）一个容器盛满纯酒精63升，第一次倒出若干升后，用水加满，第二次又倒出
4
同样多的升数，再用水加满，这时容器内剩下的纯酒精是原来的 ，问第一次倒出酒精多少
9
升？
【常规讲解】
解：设第一次倒出酒精 x升，根据题意得：
63−x 4
63−x− ⋅x= ×63
63 9
整理得：x2 −126x+2205=0
解得：x=105（舍去）或x=21．
答：第一次倒出酒精21升．
练习6:
（★★★★☆）世界上最长的跨海大桥−−杭州湾跨海大桥通车后，苏南A地到宁波港的路程
比原来缩短了120千米．已知运输车速度不变时，行驶时间将从原来的3时20分缩短到 2
20时．
（1）求A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程．
（2）若货物运输费用包括运输成本和时间成本，已知某车货物从A地到宁波港的运输成本
是每千米1.8元，时间成本是每时28元，那么该车货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港
的运输费用是多少元？
（3）A地准备开辟宁波方向的外运路线，即货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港，再从
宁波港运到B地．若有一批货物（不超过10车）从A地按外运路线运到B地的运费需8320
元，其中从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的每车运输费用与（2）中相同，从宁波港到B
地的海上运费对一批不超过10车的货物计费方式是：一车800元，当货物每增加1车时，
每车的海上运费就减少20元，问这批货物有几车？
【常规讲解】
解：（1）设A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程为 x千米，
x+120 x
由题意得 = ，
10 2
3
解得x=180．
∴A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程为180千米．
（2）1.8×180+28×2=380（元)，
∴该车货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用为380元．
（3）设这批货物有 y 车，
由题意得y[800−20×(y−1)]+380y=8320，
整理得y2 −60y+416=0，
解得 y =8，y =52（不合题意，舍去），
1 2
∴这批货物有8车．
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