文档内容
10A 反比例函数
考情链接
1. 本次任务由三个部分构成
（1）反比例函数的概念
（2）反比例函数的图像与性质
（3）反比例与几何问题
2. 考情分析
（1）反比例函数是函数的部分，属于函数与分数板块，占中考考分值约20%。
（2）主要考察反比例函数的概念，以选择题、填空题为主，正比例函数的图象与性质以考
察解答题为主，反比例函数与几何问题以解答题为主。
（3）对应教材：八年级上册第十八章正反比例函数第二节。
（4）反比例函数是八年级数学上学期第十八章第二节内容，主要对反比例函数的图像及性
质进行讲解，重点是反比例函数的性质的理解，难点是反比例函数表达式的归纳总结．通过
这节课的学习为我们后期学习反比例函数的应用提供依据。
环节 需要时间
自主任务讲解 10分钟
切片1：反比例函数的概念 20分钟
切片2：反比例函数的图像与性质 30分钟
切片3：反比例与几何问题 40分钟
出门测 10分钟
错题整理 10分钟
1知识加油站1——反比例函数的概念【建议时长：20分钟】
考点一：反比例函数的定义
知识笔记1
反比例函数的概念
（1）如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，你们就说这两个变量成
k
反比例；用数学式子表示两个变量x、 y成反比例，就是xy=k，或表示为 y = ，其中
x
____________；
k
（2）解析式形如y = （k是常数，k ≠0）的函数叫做反比例函数，其中k也叫做_________；
x
k
（3）反比例函数y = 的定义域是__________________．
x
【填空答案】
（1）k是不等于0的常数；
（2）比例系数；
（3）不等于零的一切实数.
例题1:
（1）（★★☆☆☆）下列关系式中的两个量成反比例的是( )
A．圆的面积与它的半径
B．正方形的周长与它的边长
C．路程一定时，速度与时间
D．长方形一条边确定时，周长与另一边
2 1 1
（2）（★★☆☆☆）给出的六个关系式：①x(y+1)；②y= ；③y= ；④y=− ；
x+2 x2 2x
x 2
⑤y=− ；⑥y= ，其中 y 是x的反比例函数的是( )
2 3x
A．①②③④⑥ B．③⑤⑥ C．①②④ D．④⑥
【常规讲解】
2（1）解：A、圆的面积=π×半径2，不是反比例函数，故本选项不符合题意；
B、正方形的周长=边长×4，不是反比例函数，故本选项不符合题意；
C、路程s一定时，速度v和时间t的关系s=vt，是反比例函数，故本选项符合题意；
D、长方形一条a边确定时，周长s与另一边b的关系s=2×(a+b)，不是反比例关系，故
本选项不符合题意．
故选：C．
（2）解：①x(y+1)不是函数关系式，故①不符合题意；
x
⑤y=− 是正比例函数，故⑤错误；
2
2
②y= 中， y 与(x+2)成反比，不是反比例函数，故②不符合题意；
x+2
1
③y= 中， y 与x2成反比，不是反比例函数，故③不符合题意；
x2
1 2
④y=− ，⑥y= 都是反比例函数，故④⑥符合题意；
2x 3x
故选：D．
练习1: 【学习框8】
（★★☆☆☆）下列函数（其中x是自变量）中，哪些是反比例函数？哪些不是，为什么？
3 x
（1）y= ； （2）y= x−1； （3）y= ；
x2 3
3 2 8
（4）y= ； （5）y= ； （6）y= +7．
x x+7 x
【常规讲解】
（2）（4）是反比例函数，其余都不是．
考点二：根据反比例函数的解析式求参数
知识笔记2
反比例函数的三种表述方法：
（1）________；（2）________；（3）________.
3【填空答案】
k
y= ；xy=k；y=kx −1
x
例题2:
（1）（★★☆☆☆）若y=(4−2a)xa2−5是反比例函数，则a的值是________．
n2 +2n
（2）（★★☆☆☆）如果y= 是反比例函数，那么n的值是________．
xn2+n+1
【常规讲解】
（1）解：y=(4−2a)xa2−5是反比例函数，
∴4−2a≠0，且a2 −5=−1，
解得a=−2，
故答案为：−2．
（2）n2 +n+1=1且n2 +2n≠0，则n=−1．
练习2: 【学习框10】
k−2
（1）（★★☆☆☆）如果y= +(k2 −2k)是反比例函数，则k =________．
x
（2）（★★☆☆☆）已知函数y=(m+3)x|m|−1是反比例函数，则m=________．
【常规讲解】
k−2≠0
（1）解：由题意得： ，
k2 −2k =0
解得k =0，
故答案为：0．
（2）解：函数y=(m+3)x|m|−1是反比例函数，
∴|m|−1=−1，
解得：m=0．
故答案为：0．
4考点三：待定系数法求反比例函数
例题3:
（1）（★★★☆☆）已知y与 x成反比例，当y=1时，x=4，则当x=2时，y =________．
（2）（★★★☆☆）近视眼镜的度数y（度)与焦距x(m)成反比例，已知400度近视眼镜镜片
的焦距为0.25m．
①试求眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式；
②求1000度近视眼镜镜片的焦距．
【常规讲解】
k
（1）解：由于y与 x成反比例，可以设y= ，
x
k
把x=4，y=1代入得到1= ，
2
解得k =2，
2
则函数解析式是y= ，
x
把x=2代入就得到y= 2 ．
故答案为： 2．
k
（2）解：①由已知设y与x的函数关系式为：y= (k ≠0)，
x
k
把 y=400，x=0.25代入，得400= ，
0.25
解得：k =0.25×400=100，
100
∴y与x之间的函数关系式为：y= ；
x
100
②由（1）知y= ，
x
100
当y=1000时，有1000= ，
x
解得：x=0.1，
∴当近视眼镜的度数y=1000时，近视眼镜镜片焦距x的值为0.1m，
答：1000度近视眼镜镜片的焦距是0.1m．
5练习3: 【学习框12】
（★★★☆☆）某工厂生产化肥的总任务一定，平均每天化肥产量y（吨)与完成生产任务所
需要的时间x（天)之间成反比例关系，如果每天生产化肥 25 吨，那么完成总任务需要 7
天．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）若要5天完成总任务，则每天产量应达到多少？
【常规讲解】
k
解：（1）设y关于x的函数表达式为y= ，
x
根据题意得：k =xy=25×7=175，
175
∴y关于x的函数表达式为y= ；
x
175
（2）当x=5时，y= =35，
5
即若要5天完成总任务，则每天产量应达到35吨．
知识加油站2——反比例函数的图像与性质【建议时长：30分钟】
考点四：反比例函数作图
知识笔记3
反比例函数的图像
k
反比例函数 y = （k是常数，k ≠0）的图像叫做________，它有两支．
x
【填空答案】
双曲线
例题4:
6
（★★☆☆☆）画出函数y= 的图象．
x
（1）完成下列表格：
6… …
x −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
… …
6 −1 −1.5 −2 6 3 2 1.2 1
y=
x
（2）描点，画图
【常规讲解】
解：（1）完成下列表格：
… …
x −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
… …
6 −1 −1.2 −1.5 −2 −3 −6 6 3 2 1.5 1.2 1
y=
x
（2）描点，画图．
练习4: 【学习框14】
4
（★★★☆☆）反比例函数y= ．
x
（1）画出反比例函数的图象；
（2）观察图象，当y…−1时，写出x的取值范围．
【常规讲解】
4
解：（1）反比例函数y= ．列表：
x
7x −4 −2 −1 1 2 4
y −1 −2 −4 4 2 1
描点、连线，反比例函数的图象如图，
（2）由图象可知，当y…−1时，自变量x的取值范围是x„ −4或x>0．
考点五：反比例函数图像性质
知识笔记4
反比例函数的性质
（1）___________，函数图像的两支分别在第___________象限；在每个象限内，当自变量
x的值逐渐增大时， y 的值随着逐渐减小．
（2）___________，函数图像的两支分别在第___________象限；在每个象限内，当自变量
x的值逐渐增大时， y 的值随着逐渐增大．
（3）图像的两支都无限接近于x轴和 y 轴，但不会与x轴和 y 轴相交．
【填空答案】
（1）当k >0时；一、三
（2）当k <0时；二、四
例题5:
2
（1）（★★☆☆☆）函数y= 的图象大致是( )
x
8A． B．
C． D．
（2）（★★★☆☆）（2021•浦东新区期末）已知正比例函数y=kx(k ≠0)，y的值随x的值的
k
增大而减小，那么它和反比例函数 y=− (k ≠0)在同一直角坐标平面内的大致图象是(
x
)
A． B．
C． D．
【常规讲解】
2
（1）解：y= 中，k =2>0，
x
∴函数图象是双曲线，图象在第一、三象限，
只有B选项符合题意．
故选：B．
（2）解：函数y=kx(k ≠0)中y随x的增大而减小，
∴k <0，该函数图象经过第二，四象限；
9k
∴函数y=− 的图象经过第一、三象限；
x
故选：C．
练习5: 【学习框16】
3
（1）（★★☆☆☆）反比例函数y=− 在平面直角坐标系中的图象可能是( )
x
A． B．
C． D．
x
（2）（★★★☆☆）（2022•青浦区期中）已知正比例函数y= 中，y的值随x的值的增大而
k
k
增大，那么它和反比例函数y= 在同一平面直角坐标系内的大致图象可能是( )
x
A． B．
C． D．
【常规讲解】
3
（1）解：反比例函数y=− 中，k =−3<0，
x
∴图象位于第二、四象限，
故选：A．
x
（2）解：正比例函数y= 中，y的值随x的值的增大而增大，
k
101
∴ >0，即k >0，图像过一三象限；
k
k
∴反比例函数y= 在一三象限，
x
故选：B．
例题6:
3
（1）（★★★☆☆）（2021•金山区期末）关于反比例函数y= ，下列说法中错误的是( )
x
A．它的图象是双曲线
B．它的图象在第一、三象限
C．y的值随x的值增大而减小
D．若点(a,b)在它的图象上，则点(b,a)也在它的图象上
k
（2）（★★☆☆☆）（2022•金山区二模）反比例函数y= (k是实数，k ≠0)的图像在每个象
x
限内y随着x的增大而增大，那么这个反比例函数的图像的两个分支分别在第______象限．
（3）（★★★☆☆）（2023•青浦期中）若点
(−2,y )、(−1,y )、(2,y )
都在反比例函数的图象上
1 2 3
k
y= (k >0)则用“<”表示y、y、y 的大小关系是______________________.
x 1 2 3
5
（4）（★★★☆☆）（2023•闵行区期末）已知反比例函数 y = 的图像上有两点
x
A(x,y ),B(x ,y ) ，如果x < x ，那么y 与y 的大小关系是（ ）
1 1 2 2 1 2 1 2
A．y > y B．y < y C．y = y D．不能确定
1 2 1 2 1 2
【常规讲解】
3
（1）解：A．反比例函数y= ，它的图象是双曲线，故此选项不合题意；
x
3
B．反比例函数y= ，图象在第一、三象限，故此选项不合题意；
x
3
C．反比例函数y= ，每个象限内，y的值随x的值增大而减小，故此选项符合题意；
x
3
D．反比例函数y= ，若点(a,b)在它的图象上，则点(b,a)也在它的图象上，故此选项不
x
合题意．
故选：C．
11k
（2）解：反比例函数y= (k是实数，k ≠0)的图像在每个象限内y随着x的增大而增大，
x
∴k <0，
∴反比例函数图象位于第二、四象限，
故答案为：二、四
k
（3）解：由反比例函数y= (k >0)可知该函数在第一、第三象限，则在每个象限内，y随
x
x的增大而减小，
∵点 (−2,y )、(−1,y )、(2,y ) 都在反比例函数的图象上，−2<−1<0<2，
1 2 3
∴y <0< y < y
1 3 2
即y < y < y
2 1 3
故答案为：y < y < y ．
2 1 3
5
（4）∵y = 中，5>0，
x
∴在每一个象限，y随x的增大而减小，
当0 y ；
1 2 1 2
当x y ，
1 2 1 2
当x <01时，−8< y<0
k
（2）（★★☆☆☆）反比例函数y= (k是实数，k ≠0)的图像在每个象限内y随着x的增大
x
而减少，那么这个反比例函数的图像的两个分支分别在第______象限．
1213k
（3）（★★★☆☆）（2023•浦东新区期末）已知反比例函数y= (k >0)图像上三点的坐标分
x
别是 (x,y) 、 (x,y) 、 (x ,y ) ，且x 0)的图像上，用“<”表示y，y，y 的大小关系是 ______
x 1 2 3
【常规讲解】
（1）解：A、图象必经过点(−1,8)，说法正确，不符合题意；
B、k =−8<0，每个象限内， y 随x的增大而增大，说法不正确，符合题意；
C、k =−8<0，图象在第二、四象限内，说法正确，不符合题意；
D、若x>1，则−8< y<0
故选：C．
k
（2）解：反比例函数y= (k是实数，k ≠0)的图像在每个象限内y随着x的增大而减小，
x
∴k >0，
∴反比例函数图象位于第一、三象限，
故答案为：一、三．
（3）解：k >0
∴双曲线分布在第一、三象限，在每一支曲线上，y随x的增大而减小，且x>0时，y>0，
x<0时，y<0，
∵x 0，
3
∴y < y < y ，
2 1 3
故答案为：y < y < y ．
2 1 3
k
（4）解：由反比例函数y= (k >0)可知该函数在第一、第三象限，则有在每个象限内，y
x
随x的增大而减小，
14∵点A(- 2,y ),B(1,y ),C(3,y )都在反比例函数的图像上，
1 2 3
∴y <0< y < y
1 3 2
即y < y < y
1 3 2
故答案为：y < y < y ．
1 3 2
考点五：反比例函数图像性质求参
例题7:
m+3
（1）（★★★☆☆）（2023•闵行期末）如果反比例函数y= 在x>0时，y的值随x的值的
x
增大而增大，那么m的取值范围是________．
3m−1
（2）（★★★☆☆）（2023•普陀期中）已知反比例函数y= 的图像在第二、四象限，那
x
么常数m的取值范围是________．
（3）（★★★☆☆）（2022•奉贤期中）反比例函数y= 1- m 图像经过A(1,y ) 、B ( 2,y ) ，且
x 1 2
y > y ，那么m的取值范围是________．
1 2
【常规讲解】
（1）解：由题意，得：m+3<0，
∴m<−3；
故答案为：m<−3．
3m−1
（2）解：∵反比例函数y= 的图像在第二、四象限，
x
∴3m−1<0，
1
解得：m< ，
3
1
故答案为：m< ．
3
（3）解：∵反比例函数y= 1- m 图像经过A(1,y ) 、B ( 2,y ) ，且y > y ，
x 1 2 1 2
∴每个象限内，y随x的增大而减小，
15∴1−m>0，
解得：m<1，
∴m的取值范围是m<1．
故答案为：m<1．
练习7: 【学习框20】
m−3
（1）（★★★☆☆）（2023•黄浦期末）如果反比例函数y= 的图像，在x<0的范围内，
x
y随x们增大而减小，那么m的取值范围是________．
3−k
（2）（★★★☆☆）函数y= x−1的图像在一、三象限，那么k的取值范围是________．
5
m+1
（3）（★★★☆☆）（2022•杨浦期中）已知P（x，y），P（x，y）是双曲线y＝ 上
1 1 1 2 2 2
x
的两点，当x
1
＞0＞x
2
时，有y
1
＞y
2
，则m的取值范围是________．
【常规讲解】
m−3
（1）解：∵反比例函数y= 的图像，在x<0的范围内，y随x们增大而减小，
x
∴m−3>0，
∴m>3，
故答案为：m>3．
（2）解：因为图象在第一、第三象限内，
3−k
所以 >0，即k <3．
5
故答案为：k <3．
（3）解：∵当x1＞0＞x2时，有y1＞y2，
m+1
∴双曲线y＝ 的图像在第一，三象限，
x
∴m+1>0，解得：m>−1．
故答案为：m>−1．
知识加油站3——反比例与几何问题【建议时长：40分钟】
16考点六：反比例函数k的几何意义
知识笔记5
反比例函数与几何问题
k
反比例函数y = (k ≠0)上任意一点（a,b）向坐标轴作垂线，垂线和坐标轴所围成的矩形
x
面积为________；这个点与垂足和原点所构成的三角形面积为_________，注意加绝对值，
有正负两个答案．
【填空答案】
1
|k|； k
2
例题8:
k
（1）（★★★☆☆）（2023•杨浦期末）如图，点P在反比例函数y= (x>0) 第一象限的图象
x
上，PQ垂直x轴，垂足为Q，设△POQ的面积是s，那么s与k之间的数量关系是（ ）
k k
A．s= B．s=k C．s= D．不能确定
4 2
（2）（★★★☆☆）正方形OAPB、ADFE的顶点A、D、B在坐标轴上，点E在AP上，点
k
P、F在函数y= (k >0)的图像上，已知正方形OAPB的面积是16．
x
①求k的值和直线OP的函数解析式；
②求正方形ADEF的边长．
17y
P
B
F
E
O A D x
【常规讲解】
k
（1）解：点P在反比例函数y= (x>0) 第一象限的图象上，PQ垂直x轴，
x
1 1
∴S = PQ·OQ= k =s，
POQ 2 2
1
∴s= k ，
2
反比例函数的图象在第一象限，
∴k >0，
1
∴s= k，
2
故选：C．
S = AP⋅BP=16
（2）①由 OAPB ，且四边形为正方形，
则有AP=BP，即可得AP=BP=4，即
P(4，4)
，
根据反比例函数的几何意义，可得：k =16，
设直线OP函数解析式为 y=ax ，则有4a=4，解得：a=1，
即可得直线OP的函数解析式为
y=x
；
②设正方形ADEF边长为a，则
F(a+4，a)
，因为
F(a+4，a)
在双曲线上，
根据反比例函数的几何意义，则有
a(a+4)=16
，解得：a=2 5−2（负舍），
即得正方形ADEF边长为2 5−2．
练习8: 【学习框22】
18k
（1）（★★★☆☆）已知：如图，点A在反比例函数y= (x>0)的图象上，且点A的横坐标
x
为2，作AH 垂直于x轴，垂足为点H ，S =3．
∆AOH
①求AH 的长；
②求k的值；
1
（2）（★★★☆☆）如图，矩形ABCD的边CD在x轴上，顶点A在双曲线y= 上，顶点
x
3
B在双曲线y= 上，求矩形ABCD的面积．
x
y
A B
E
O D C x
【常规讲解】
解：（1）①点A的横坐标为2，AH 垂直于x轴，S =3，
∆AOH
1
∴ ×2×AH =3，
2
解得AH =3；
1
② |k|=3，
2
∴k =±6，
又k >0，
∴k =6
1 1 1 1
（2）解：设Ax， ，则B3x， ，由此可得：S =x⋅ =1， S =3x⋅ =3，则有
x x ADOE x BCOE x
19S =S −S =3−1=2．
ABCD BCOE ADOE
例题9:
（★★★★☆）（2022•宝山区行知中学期中）如图，已知正方形OABC 的面积为9，点O为坐
k
标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在函数y= (k >0,x>0)图象上，点P是函数
x
k
y= (k >0,x>0)图象上异于点B的任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别
x
为点E、F ．设矩形OEPF和正方形OABC 不重合部分的面积为S．
（1）点B的坐标是_________，k =_________；
9
（2）当S = ，求点P的坐标；
2
（3）求出S关于m的函数关系式．
【常规讲解】
解：（1）正方形OABC 的面积为9，
∴OA=OC =3，
∴B(3,3)．
k
又点B(3,3)在函数y= (k >0,x>0)的图象上，
x
∴k =9．
故答案为：(3,3)，9．
（2）分两种情况：①当点P在点B的左侧时，
1
k
P(m,n)在函数y= 上，
1 x
∴mn=9．
9
∴则S =m(n−3)= ，
2
203
∴m= ，
2
∴n=6．
3
∴P( ，6)；
1 2
②当点P 在点B或B的右侧时，
2
k
P(m,n)在函数y= 上，
2 x
∴mn=9．
9
∴S =n(m−3)=mn−3n= ，
2
3
∴n= ，
2
∴m=6．
3
∴P(6, )．
2 2
（3）当00)，
由题意可知，D′(x−5,x)，
6
点D′恰好落在函数y=− 的图象上，
x
∴x(x−5)=−6，
∴x2 −5x+6=0，
解得x=2或x=3，
∴D(2,3)或(3,2)．
27
