文档内容
09A 正比例函数
考情链接
1. 本次任务由四个部分构成
（1）函数的概念
（2）正比例函数的概念
（3）正比例函数的图像
（4）正比例函数的性质
2. 考情分析
（1）正比例函数是函数的部分，属于函数与分数板块，占中考考分值约20%。
（2）主要考察函数与正比例函数的概念，以选择题、填空题为主，正比例函数的图象与性
质以考察解答题为主。
（3）对应教材：八年级上册第十八章正反比例函数第一节。
（4）函数是描述变化过程中的数量关系的工具，我们本章将以研究数量问题为起点，以正
比例函数和反比例函数为载体，学习函数的初步知识．本节课的主要内容是对函数和正比例
函数的概念进行讲解，重点是函数及正比例的概念理解，难点是正比例函数的图象和性质。
环节 需要时间
自主任务讲解 10分钟
切片1：函数的概念 20分钟
切片2：正比例函数的概念 20分钟
切片3：正比例函数的图像 20分钟
切片4：正比例函数的性质 30分钟
出门测 10分钟
错题整理 10分钟
1知识加油站1——函数的概念【建议时长：20分钟】
考点一：函数的定义
知识笔记1
函数的概念
（1） 在问题研究过程中，_________________叫做变量；________________叫做常量；
（2）在某个变化过程中有两个变量，设为x和y，如果在变量x允许的取值范围内，变量
y随着x变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y叫做___________，x叫
做_____________．函数用记号y= f(x)表示， f(a)表示___________时的函数值；
注：___________________________________________________.
（3）表示两个变量之间依赖关系的数学式子称为_______________．
【填空答案】
（1）可以取不同数值的量；保持数值不变的量；
（2）变量x的函数；自变量x=a；对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它
对应；
（3）函数解析式.
例题1:
（1）（★★☆☆☆）圆周长C与圆的半径r 之间的关系为C =2πr，其中变量是_________，常
量是_________．
（2）（★★☆☆☆）面积是S(cm2)的正方形地砖边长为a（cm），S与a之间的函数关系式是
__________， 其中自变量是_______．
【配题说明】区分变量和常量
【常规讲解】·
（1）解：在圆的周长公式C =2πr中，C与r 是改变的，π是不变的；
∴变量是C，r ，常量是2π．
2故答案为：C，r ；2π．
（2）S =a2、a
练习1: 【学习框8】
（1）（★★☆☆☆）在正方形的周长公式l =4a中，a是自变量，_______是________的函数，
__________是常量；
（2）（★★☆☆☆）在匀速运动中，若用s表示路程，v表示速度，t表示时间，那么式子s=vt，
下列说法中正确的是（ ）
A．s、v、t三个量都是变量 B．s与v是变量，t是常量
C．v与t是变量，s是常量 D．s与t是变量，v是常量
【配题说明】区分变量和常量
【常规讲解】
（1）l，a，4；
（2）在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量．匀
速运动中速度v不变．
故此题答案选：D
例题2:
（1）（★★☆☆☆）（2022•青浦区东方中学期中）下列各图象中，不能表示y是x的函数的是
( )
A． B． C． D．
（2）（★★☆☆☆）有下面四个关系式：①y=|x|；②| y|= x；③2x2 − y=0；④y= x(x…0)．其
中y是x的函数的是( )
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④
【配题说明】对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应；
【常规讲解】
3（1）解：A、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以能表示y是
x的函数，故A不符合题意；
B、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以能表示y是x的函数，
故B不符合题意；
C、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x
的函数，故C符合题意；
D、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以能表示y是x的函数，
故D不符合题意；
故选：C．
（2）解：对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，
y=|x|；③2x2 − y=0；④ y= x(x…0)．当x取值时，y有唯一的值对应；
故选：D．
练习2: 【学习框10】
（1）（★★☆☆☆）下列图象不能反映y是x的函数的是( )
A． B．
C． D．
（2）（★★☆☆☆）在式子①y= 3x+1，②y=x2−1，③y= x，④y= x ，⑤ y = x 中，
y是x的函数的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4【配题说明】对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应；
【常规讲解】
（1）解：A、当x取一值时，y没有唯一与它对应的值，y不是x的函数，故选项A符合题
意；
B、当x取一值时，y有唯一与它对应的值，y是x的函数，故选项B不合题意；
C、当x取一值时，y有唯一与它对应的值，y是x的函数，故选项C不合题意；
D、当x取一值时，y有唯一与它对应的值，y是x的函数，故选项D不合题意；
故选：A．
（2）解：在①y= 3x+1，②y=x2−1，③y= x，④y= x ，中，对于 x 的每一个取值，
y都有唯一确定的值与之对应，所以y是x的函数；
⑤ y = x 对于x的每一个取值，y都有一个或两个值与之对应，所以y不是x的函数；
故选：C．
考点二：函数定义域和函数值
知识笔记2
函数的定义域和值域
（1）___________________，叫做这个函数的_________．
（2）___________________，对应的函数值的全体叫做这个函数的_________．
（1）函数自变量允许取值的范围，定义域；
（2）函数自变量取遍定义中的所有值，值域；
例题3:
x
（1）（★★★☆☆）（2022•崇明区二模）函数y= 中自变量x的取值范围是________．
3x+1
x
（2）（★★★☆☆）已知函数y= ，当x= 2时，y=________．
x−1
（3）（★★★☆☆）如图所示是关于变量x，y的程序计算，若开始输入的x值为4，则最后
输出因变量y的值为 ________．
5【常规讲解】
（1）解：由题意得：3x+1>0，
1
解得：x>− ，
3
1
故答案为：x>− ．
3
（2）解：当x= 2时，
x 2 2( 2+1)
函数y= = = =2+ 2，
x−1 2−1 ( 2−1)( 2+1)
故答案为：2+ 2．
（3）解：当x=4，则x(x+1)=4×5=20>15．
∴输出因变量y=20．
故答案为：20．
练习3: 【学习框12】
3
（1）（★★★☆☆）在函数y= − x+1中，自变量x的取值范围是________．
x−2
（2）（★★★☆☆）已知 f(x)=x2 +3x，那么 f(−2)=________．
（3）（★★★☆☆）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入x的值是 8，则输出y的值
是−3；若输入x的值是−8，则输出y的值是________．
【常规讲解】
（1）解：根据题意，得：x−2≠0且x+1…0，
6解得x…−1且x≠2，
故答案为：x…−1且x≠2．
（2）解：把x=−2代入 f(x)=x2 +3x得 f(−2)=(−2)2 +3×(−2)=4−6=−2．
故答案为：−2．
−8+b
（3）解：当x=8时， =−3，
2
解得b=2，
当x=−8时，y=−2×(−8)+2=16+2=18，
故答案为：18．
知识加油站2——正比例函数的概念【建议时长：20分钟】
考点三：正比例函数概念
知识笔记3
正比例函数的概念
如果_________________________（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例，用
y
数学式子表示两个变量x、y成正比例，就是 =k ，或表示为___________，k是不等于零
x
的常数；
【填空答案】
两个变量的每一组对应值的比值是一个常数；y=kx（x不等于0）
例题4:
（1）（★★☆☆☆）（2023•黄浦区期中）下列函数（其中x是自变量）中，一定是正比例函数
的是( )
2 x
A．y= B．y=− C．y=−3x+2 D．y=kx
x 3
（2）（★★★☆☆）（2023•金山期中）下列问题中，两个变量成正比例的是（ ）
7A．一个人的体重和年龄 B．圆的周长和直径
C．车辆行驶的路程一定时，行驶的速度和时间 D．周长一定时，长方形的长和宽
【常规讲解】
2
（1）解：A、y= 是反比例函数；
x
x
B、y= 是正比例函数；
3
C、y=−3x+2是一次函数；
D、当k =0时，不是正比例函数．
故选：B．
（2）解：一个人的体重和年龄不成正比例，
∴A不符合题意；
圆的周长÷直径=π（一定），
∴圆的周长和直径成正比例，
∴B符合题意；
速度×时间 = 路程（一定），
∴车辆行驶的路程一定时，行驶的速度和时间成反比例，
∴C不符合题意；
2×（长+宽） = 长方形的周长（一定），
∴周长一定时，长方形的长和宽不成正比例，
∴D不符合题意．
故选：B．
练习4: 【学习框14】
（1）（★★☆☆☆）在下列式子中，表示y是x的正比例函数的是( )
x 2
A．y= x B．y=x2 C．y= D．y=
2 x
（2）（★★★☆☆）（2022•青浦期中）下面问题中，两个变量成正比例关系的是（ ）
A．等腰三角形的面积一定，它的底边和底边上的高
B．长方形的长确定，它的面积与宽
C．长方形的长确定，它的周长与宽
D．等边三角形的面积和它的长
8【常规讲解】
（1）解：根据正比例函数的定义可得，形如y=kx(k ≠0)，y是x的正比例函数，
x 1 x
由于y= = x，因此y= 是正比例函数，
2 2 2
故选：C．
（2）解：A、等腰三角形的面积一定，它的底边和底边上的高成反比，选项不符合题意；
B、长方形的长确定，它的面积等于长乘宽，是正比例关系，选项符合题意；
C、长方形的长确定，它的周长等于 2 倍长加 2 倍宽，不是正比例关系，选项不符合题意；
D、设等边三角形的边长为a，则面积S= 1 ×a× 3 a= 3 a2，不是正比例关系，选项不符合题
2 2 4
意；故选：B
考点四：比例系数
知识笔记4
解析式形如________________________叫做正比例函数，其中常数k叫做比例系数．
正比例函数y=kx的定义域是___________．确定了比例系数，就可以确定一个正比例函数
的解析式.
【填空答案】
y=kx（k是不等于零的常数）的函数；一切实数
例题5:
x
（1）（★★☆☆☆）已知正比例函数y= ，则y与x间的比例系数是________．
8
（2）（★★★☆☆）下列函数中哪些是正比例函数？如果是,请指出比例系数？
−8
①y=−8x；②y= ；③y=5x2+6；④y=−0.5x−1．
x
【常规讲解】
x 1 1
（1）解：正比例函数的解析式是y=kx(k ≠0) ，k是比例系数，y= = x，比例系数是
8 8 8
1
故答案为：
8
9（2）解：①y=−8x是正比例函数，也是一次函数；
−8
②y= 自变量在分母中，不是一次函数，也不是正比例函数；
x
③y=5x2+6自变量的次数是2，不是一次函数，也不是正比例函数；
④y=−0.5x−1是一次函数，不是正比例函数．
所以①是一次函数，比例系数分别为-8，②③④不是正比例函数．
练习5: 【学习框16】
3
（1）（★★☆☆☆）正比例函数y=− x的比例系数是（ ）
4
3 3
A．−3 B． C．− D．3
4 4
（2）（★★★☆☆）下列式子中，哪些表示y是x的正比例函数？
x
①y=−0.1x；②y= ；③y=2x2；④y2 =4x．
2
（3）（★★★☆☆）下列那些函数是正比例函数？哪些不是？如果是，请指出比例系数
x
① y = ；
2
1
②y= ；
2x
③y=x+2；
④y= 2x.
【常规讲解】
3 3
（1）解：正比例函数y=− x的比例系数是− ，
4 4
故选：C．
x
（2）解：①y=−0.1x；②y= 是正比例函数，
2
1
故答案：为①②是正比例函数；比例系数分别为-0.1，
2
1
（3）解：由正比例函数的概念可知：①④是正比例函数，比例系数分别为 、 2；②③不
2
是正比例函数．
10考点五：正比例函数成立条件
知识笔记5
正比例函数成立条件：
（1）_________；
（2）______________；
（3）________________________.
【填空答案】
（1）k ≠0；
（2）x的次数为1；
（3）不含常数项.
例题6:
（1）（★★★☆☆）如果函数y=(m+1)x+m2 −1是正比例函数．则m的值是_________．
（2）（★★★☆☆）如果y=(a2 −1)xa2−a−1是正比例函数，那么a的值是_________．
【常规讲解】
（1）解：由正比例函数的定义可得：m2 −1=0，且m+1≠0，
解得，m=1；
故答案为：1．
（2）解：由题意得：
a2 −a−1=1且a2 −1≠0，
∴a=2或a=−1且a≠±1，
∴a=2，
故答案为：2．
练习6: 【学习框18】
（1）（★★★☆☆）如果函数y=(m− 2)xm2−1是正比例函数，那么m= _________．
（2）（★★★☆☆）当a= _________．时，函数y=(a−1)x|a|是关于 x的正比例函数．
（3）（★★★☆☆）若y=(k−1)x2−|k| +k+1是关于 x的正比例函数，则k =_________．
11【常规讲解】
（1）解： 函数y=(m− 2)xm2−1是正比例函数，
∴m− 2 ≠0且m2 −1=1，
解得：m=− 2，
故答案为：− 2．
（2）解：y=(a−1)x|a|是关于 x的正比例函数，
∴|a|=1且a−1≠0，
解得：a=−1，
当a=−1时，函数y=(a−1)x|a|是关于 x的正比例函数．
故答案为：−1．
（3）解：y=(k−1)x2−|k| +k+1， y 是 x的正比例函数，
∴2−|k|=1，且，k+1=0，k−1≠0
解得：k =−1．
故答案为：−1．
考点六：待定系数法求函数解析式
例题7：
3
（1）（★★☆☆☆）（2023•黄浦期中）已知y是x的正比例函数，且当x= 3时，y= ；那
3
么y关于x的函数解析式为_________．
2
（2）（★★★☆☆）已知y与2x成正比例，并且x= 时，y=4．
5
①写出y与x之间的函数关系式；
5
②当x=− 时，求y的值；
8
③当y=−12时，求x的值．
【常规讲解】
（1）解：由题意可设y=kx(k ≠0)
．
123 3
将x= 3，y= 代入可得， = 3k
3 3
1
解得k = ，
3
1
∴y关于x的函数解析式是y= x，
3
1
故答案为：y= x.
3
（2）①解：设 y与x之间的函数关系式为：y=k⋅2x，
2
当x= 时，y=4，
5
2
∴4=k×2× ，
5
解得：k =5，
∴ y与x之间的函数关系式为y=10x；
5
②解：当x=− 时，
8
5 25
y=10×− =− ；
8 4
③解：当y=−12时，−12=10x，
6
解得：x=−
5
练习7【学习框20】
（★★★☆☆）已知y+5与x成正比例，当x=1时，y=2
（1）求y与x的函数表达式；
（2）当x=−1时，求函数值 y；
（3）当y=16时，求自变量x的值．
【常规讲解】
（1）解：∵y+5与x成正比例，
∴y+5=kx．
∴y=kx−5．
∵当x=1时，y=2，
13∴k−5=2．
∴k =7．
∴ y与x的函数表达式为y=7x−5；
（2）当x=−1时，y=7×(−1)−5=−12；
（3）当y=16时，7x−5=16．
∴x=3．
知识加油站3——正比例函数的图像【建议时长：20分钟】
考点七：正比例函数作图
知识笔记6
正比例函数的图像
（1）一般地，正比例函数______________的图象是经过_____________这两点的一条直线，
我们把正比例函数y=kx的图象叫做直线y=kx；
（2）图像画法：___________________________．
【填空答案】
（1）y=kx(k 是常数，k
≠0)；(0，0)，(1，k)
（2）列表、描点、连线
例题8:
1
（★★★☆☆）在平面直角坐标系中画出函数 y= x的图象（先填写下表，再描点、连线）
2
x … −3 −2 −1 0 1 2 3
y …
14【常规讲解】
解：填表，
x … −3 −2 −1 0 1 2 3
y … 3 −1 1 0 1 1 3
− −
2 2 2 2
描点，
连线．
练习8: 【学习框22】
（★★☆☆☆）如图所示的平面直角坐标系中作出一次函数y=−2x的图象．
思考：作一次函数y=−2x的图象，一般取几个点就可以了？为什么？
15【常规讲解】
解：如图所示：
作一次函数y=−2x的图象，取2个点就可以了，因为两点确定一条直线．
16知识加油站4——正比例函数的性质【建议时长：30分钟】
考点八：正比例函数的性质
知识笔记7
正比例函数的性质
（1）___________，正比例函数的图像经过第________象限；自变量x的值逐渐增大时，y
的值也随着逐渐增大．
（2）___________，正比例函数的图像经过第________象限；自变量x的值逐渐增大时，y
的值则随着逐渐减小．
【填空答案】
（1）当k >0时，一、三
（2）当k<0时，二、四
例题9:
（1）（★★☆☆☆）正比例函数y=−2x的图象经过第_________象限．
（2）（★★★☆☆）（2022•嘉定区月考）若函数y=(4m−1)x+(m−4)是正比例函数，那么图象
经过________象限．
（3）（★★★☆☆）y=(π−3)x图像经过________象限，y的值随x的值增大而________．
（4）（★★★☆☆）（2024•上海期中）下列函数中，y随x的增大而减小的是（ ）
A．y=3x B．y=−3x C．y=3x2 D．y=−3x2
（5）（★★★☆☆）（2024•普陀二模）已知正比例函数y=kx(k是常数，k ≠0)的图象经过
点A(2,6)
，那么下列坐标所表示的点在这个正比例函数图象上的是( )
A．
(−1,−3)
B．
(1,−3)
C．
(6,2)
D．
(6,−2)
【常规讲解】
（1）由题意，y＝-2x，可知函数过二、四象限．
故答案为：二、四．
17（2）解：
函数y=(4m−1)x+(m−4)是正比例函数，
∴m−4=0，得m=4，
∴y=15x，
∴该函数经过第一、三象限，
故答案为：第一、三．
（3）解：∵函数y=(π−3)x中，比例系数π−3>0，
∴图象经过第一、三象限，y的值随x的值增大而增大，
故答案为：第一、三；增大．
（4）解：A、正比例函数y=3x的y随x的增大而增大，故A错误；
B、正比例函数y=−3x的y随x的增大而减小，故B正确；
C、二次函数y=3x2的对称轴为x=0，且开口向上，x<0时，y随x的增大而减小，x>0
时，y随x的增大而增大，故C错误；
D、二次函数y=−3x2的对称轴为x=0，且开口向下，x<0时，y随x的增大而增大，x>0
时，y随x的增大而减小，故D错误；
故选：B．
（5）解：正比例函数y=kx(k是常数，k ≠0)的图象经过点A(2,6) ，
∴6=2k，
解得：k =3，
∴正比例函数解析式为y=3x；
A．当x=−1时，y=3×(−1)=−3，
∴点 (−1,−3) 在这个正比例函数图象上，选项A符合题意；
B．当x=1时，y=3×1=3，3≠−3，
∴点 (1,−3) 不在这个正比例函数图象上，选项B不符合题意；
C．当x=6时，y=3×6=18，18≠2，
∴点 (6,2) 不在这个正比例函数图象上，选项C不符合题意；
D．当x=6时，y=3×6=18，18≠−2，
∴点 (6,−2) 不在这个正比例函数图象上，选项D不符合题意．
故选：A．
18练习9: 【学习框24】
（1）（★★☆☆☆）若函数y=5x是正比例函数，它的图象在第______象限．
（2）（★★★☆☆）已知正比例函数 y = kx的图像经过点A(−4,3)，则函数图像经过______
象限．
（3）（★★★☆☆）（2021•静安区二模）如果正比例函数的图象经过第二、四象限，那么函数
值 y 随 x的增大而_________．
（4）（★★★☆☆）（2023•上海普陀·二模）已知正比例函数y=kx(k ≠0)
的图象经过点
(2，−4)
，
那么函数值y随自变量x的值的增大而_________．填“增大”或“减小”）
（5）（★★★☆☆）若正比例函数y=mx(m≠0)的图象经过点A(2,−3)，则以下四个点中，
也在其图象上的是（ ）
A．(−4,6) B．(6,−4) C．(4,6) D．(−6,−4)
【常规讲解】
（1）解：
y=5x，
∴k =5>0，
∴函数图象经过第一、三象限，
故答案为：一、三．
（2）解：将点A(−4,3)
代入y=kx中，得
3=−4k
3
解得：k =−
4
3
∴正比例函数y=− x
4
3
∵− ＜0
4
∴函数图像经过第二、第四象限
故答案为：第二、第四．
（3）解：正比例函数的图象经过第二、四象限，大致图象如图：
19x越大， y 越小，
故答案为：减小．
（4）解：首先把x=2，y=−4代入y=kx，
得2k =−4，
∴k =−2<0，
再根据正比例函数图象的性质，得y随x的增大而减小．
故答案为：减小．
（5）解：把 (−2,3) 代入y=kx(k ≠0)，
3
解得：k =− ，
2
3
∴正比例函数的解析式为y=− x，
2
当x=−4时，y=6，点(−4,6)也在其图象上，
当x=6时，y=−9≠−4，点(6,−4)不在其图象上，
当x=4时，y=−6≠6，点(4,6)不在其图象上，
当x=−6时，y=9≠−4，点(−6,−4)不在其图象上，
故选：A．
例题10:
1
（1）（★★★☆☆）已知P(1,y )，P(2,y )在正比例函数y=− x的图象上，则y _____y ．（填
1 1 2 2 4 1 2
“>”或“< ”或“=” )．
（2）（★★★☆☆）点A(x,y ) 和点B(x ,y )在正比例函数y=4x的图象上，当x < x 时，
1 1 2 2 1 2
则y 与y 的大小关系是（ ）
1 2
A．y > y B．y < y C．y = y D．无法判断
1 2 1 2 1 2
20（3）（★★★☆☆）若点P(x,y ) ，Q(x ,y ) 在正比例函数y=mx的图象上，当x < x 时，
1 1 2 2 1 2
y > y ，则m的值可以是（ ）
1 2
A．2 B．0 C．−1 D．1
【常规讲解】
1
（1）解：k =− <0，
4
∴y随 x的增大而减小．
又1<2，
∴y > y ．
1 2
故答案为：>．
（2）解：k >0，
∴y随 x的增大而增大，
∴当x < x 时，则y < y
1 2 1 2
（3）解：∵点P(x,y ) ，Q(x ,y ) 在正比例函数y=mx的图象上，当x < x 时，y > y ，
1 1 2 2 1 2 1 2
∴m<0，
∴m的值可以是−1，
故选：C．
练习10: 【学习框26】
（1）（★★★☆☆）正比例函数y =−6x的图像经过A(x,y ),B(x ,y ) ，且x < x ，则y _____
1 1 2 2 1 2 1
y ．（填“>”或“< ”或“=” )．
2
1
（2）（★★★☆☆）（2023•青浦期中）已知点A(−6,y ) 和B(−3,y ) 都在直线y=− x上，则
1 2 2
y 与y 的大小关系是（ ）
1 2
A．y > y B．y = y C．y < y D．无法确定
1 2 1 2 1 2
（3）（★★★☆☆）若函数y=kx的图象上有两点A(x,y ) 、B(x ,y ) ，当x >x 时，
1 1 2 2 1 2
y < y ，则k的值可以是（ ）
1 2
A．−2 B．0 C．1 D．2
21【常规讲解】
（1）根据题意可知−6<0，则y随x增大而减小，
且x < x ，
1 2
y > y
1 2
1 1
（2）解：y=− x，k =− <0
2 2
y随x的增大而减小，
又∵−6<−3，
∴y > y
1 2
故选：A．
（3）解：∵正比例函数y=kx图象上有两点A(x,y ) 、B(x ,y ) ，当x >x 时，y < y ，
1 1 2 2 1 2 1 2
∴y随x的增大而减小，
∴k <0，
结合选项只有−2在k <0的范围内．
故选：A．
考点九：正比例函数的性质求参
例题11:
（1）（★★★☆☆）已知正比例函数 y=(m+1)xm2−1的图象经过第二、四象限，则m的值为
________．
（2）（★★★☆☆）已知正比例函数y=(k−3)x的函数值 y随x的增大而增大，则k 的取值
范围为______．
（3）（★★★☆☆）已知函数y=(m−1)xm2−3
是正比例函数．
①若函数关系式中 y 随 x的增大而减小，求m的值；
②若函数的图象过第一、三象限，求m的值．
【常规讲解】
（1）解：y=(m+1)xm2−1为正比例函数，
22∴m2 −1=1，解得m=± 2 ，
图象经过第二、四象限，
∴m+1<0，
∴m=− 2 ，
故答案为：− 2．
（2）解：根据题意，正比例函数y=(k−3)x的函数值 y随x的增大而增大，
则k−3>0，
解得k >3．
故答案为：k >3．
（3）解： 函数y=(m−1)xm2−3是正比例函数，
m−1≠0
∴ ，
m2 −3=1
解得：m =−2，m =2．
1 2
① 函数关系式中 y 随 x的增大而减小，
∴m−1<0，
∴m<1，
∴m=−2．
②
函数的图象过第一、三象限，
∴m−1>0，
∴m>1，
∴m=2．
练习11：【学习框28】
（1）（★★★☆☆）（2020•金山区期中）若函数y=(m+1)xm2−3是正比例函数，且图象在一、
三象限，则m= ______．
（2）（★★★☆☆）正比例函数y=(2m+1)x的图像经过第二、四象限，则
m 的取值范围是
________．
23（3）（★★★☆☆）（2023•金山期中）已知正比例函数y=(m−1)x，且
y 随着 x 的增大而减
小．
①求m的取值范围；
②已知点P ( m，6 ) 在该函数图象上，求出这个正比例函数解析式．
【常规讲解】
（1）解：y=(m+1)xm2−3为正比例函数，
∴m2 −3=1，且m+1≠0，
解得m=±2，
图象在一、三象限，
∴m+1>0，
∴m>−1，
∴m=2，
故答案为：2．
（2）解：∵正比例函数y=(2m+1)x的图象经过第二、第四象限，
∴2m+1<0，
1
∴m<−
2
1
故答案为：m<− ．
2
（3）①解：∵正比例函数y=(m−1)x，且y随着x的增大而减小．
∴m−1<0，
∴m<1，
∴m的取值范围：m<1；
②解：∵点P ( m，6 ) 在该函数图象上，
∴6 =( m−1 ) m，
解得：m=3或m=−2，
∵m<1，
∴m=−2，
∴正比例函数解析式：y=−3x．
2425全真战场
教师可以根据课堂节奏将“全真战场”作为课堂补．充．练习或课后补．充．练习让学生的完成
关卡一
练习1:
（★★☆☆☆）若函数y=x+(1−m2)是正比例函数，则m的值是______．
【常规讲解】
解：依题意得：1−m2 =0．
解得m=±1．
故答案是：±1．
练习2:
（★★☆☆☆）按如图所示的程序计算函数 y 的值，若输入的 x值为−3，则输出 y 的结果为
______．
【常规讲解】
解：−3<−1，
把x=−3代入y=2x2，得y=2×9=18，
故答案为：18．
练习3:
（★★☆☆☆）画出y=−3x函数图象，并写出函数性质：
【常规讲解】
列表，
26，
函数图象如图2，由函数图象可知，函数图象经过第二四象限，在每一象限内，y 随 x的增
大而减小．
练习4:
（★★★☆☆）已知正比例函数y=(m−1)x的函数图象有两点A(x ， y )，B(x ， y )，当
1 1 2 2
x y ．
1 2 1 2
（1）求m的取值范围；
（2）当m取最大整数时，画出该函数图象．
【常规讲解】
解：（1） 正比例函数y=(m−1)x的函数图象有两点A(x ，y )，B(x ，y )，当x y ，
1 2
∴m−1<0，
∴m<1，
∴m的取值范围是m<1；
（2）m<1，
∴m取最大整数0，
所以解析式为y=−x，
图象如图所示：
关卡二
练习5:
（★★★★☆）关于 x的新函数定义如下：
27（1）当x=0时， y =1:
q 1
（2）当x= (p是正整数，q是整数，q≠0，且 p，q不含除1以外的公因数）时，y= ；
p p
（3）当 x为无理数时， y =0．
3 1 5 1
例：当x= 时， y = ；当x=− 时， y = ．
4 4 4 4
以下结论：①当x= 5时， y =0；
②若a、b是互不相等且不为0的有理数，当x=a时，函数值记为y ，当x=b时，函数值
1
记为y ，当x=a⋅b时，函数值记为y ，则一定有y y = y :
2 3 1 2 3
1
③若 y = ，则对应的自变量 x有且只有4种不同的取值；
3
1
④若2022剟x 2023，则满足y… 的自变量 x的取值共有12个．
5
正确的个数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【常规讲解】
解：①
5 是无理数，
∴当x= 5时， y =0；
故①符合题意；
②a、b是互不相等且不为0的有理数，
7 1
设a= ，则y = ，
15 1 15
3 1
设b= ，则y = ，
7 1 7
1 1
∴x=a⋅b= ，则y = ≠ y y ，
5 3 5 1 2
故②不符合题意；
1 1 2 5
③ y = 时，x=± 或x=± 或x=± ……，
3 3 3 3
故③不符合题意；
1
④ y… ，
5
∴x一定是有理数，且x≠0，
28p p
设x= ，则2022剟 2023，
q q
∴2022q剟p 2023q，
1
y… ，
5
∴p的可能取值为1，2，3，4，5，
当
p=1时，q可以取2022，2023，共2个，
当 p =2时，q可以取4045，共1个，
当 p =3时，q可以取6067，6068，共2个，
当 p =4时，q可以取8089，8091，共2个，
当 p =5时，q可以取10111，10112，10113，10114，共4个，
1
∴ y… 的自变量 x的取值共有11个，
5
故④不符合题意；
故选：A．
练习6:
（★★★★☆）规定[x]表示不大于 x的最大整数，例如[2.3]=2，[3]=3，[−2.5]=−3．那
么函数y=[x]的图象为( )
A． B．
C． D．
29【常规讲解】
解：由已知得：当0„
x<1时，y=[x]=0，
当1„
x<2时，y=[x]=1，
当2„
x<3时，y=[x]=2，
当−1„
x<0时，y=[x]=−1，
当−2„
x<−1时，y=[x]=−2，
……
由以上可得A选项符合题意，
故选：A．
练习7:
（★★★★☆）已知y是x的正比例函数，且当x=6时，y=−2．
（1）求出这个函数的解析式；
（2）在直角坐标平面内画出这个函数的图像；
（3）如果点P（a，4）在这个函数的图像上，求a的值；
（4）试问点A(−6，2)关于原点对称的点B是否也在这个图像上？
【常规讲解】
1
（1）设正比例函数解析式为y=kx(k ≠0)，当x=6时，y=−2，代入可得：k =− ．
3
1
所以这个函数的解析式为y=− x；
3
（2）图略；
1
（3）将（a，4）代入y=− x中，得：a=−12；
3
1
（4）易得点 B 坐标为(6，−2)，将x=6代入y=− x，得y=−2，所以点 B 也在这个函数
3
的图像上．
30
