FY25暑假初一A11因式分解——十字相乘法教师版_初中资料合集_2025年秋初中《789年级暑假数学讲义》含6升7衔接（学生+教师版）上海专版_初一_精进_教师版PDF

A11 因式分解——十字相乘法 考情链接 1. 本次任务由两个部分构成 （1）系数为1的十字相乘法 （2）系数不为1的十字相乘法 2. 考情分析 （1）因式分解概念主要以填空的形式对概念进行考察，而提公因式法因式分解则是因式分 解的基础，常常会在解答题中，和其余因式分解方法混合进行考察； （2）十字相乘法是在学生学习了多项式乘法、整式乘法、分解质因数、整式加减法、提取 公因式和运用乘法公式对多项式进行分解因式等知识的基础上，在学生已经掌握了运用完全 平方公式进行分解因式之后，自然过渡到具有一般形式的二次三项式的分解因式，是从特殊 到一般的认知规律的典型范例．首先，这种分解因式的方法在数学学习中具有较强的实用性， 一是对它的学习和研究，不仅给出了一般的二次三项式的分解因式方法，能直接运用于某些 形如 这类二次三项式的分解因式，其次，还间接运用于解一元二次方程和确定二次函数解 析式上，为以后的求解一元二次方程、确定二次函数解析式等内容奠定了基础，十字相乘法 在初中阶段的教学中具有十分重要的地位. 环节 需要时间 课后练习讲解 10分钟 切片1：系数为 1的十字相乘法 45分钟 切片2：系数不为 1的十字相乘法 40分钟 出门测 15分钟 错题整理 10分钟 1知识加油站1——系数为 1的十字相乘法【建议时长：45分钟】 考点一：十字相乘法因式分解的概念 知识笔记1 1、十字相乘法： 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. pqc 对于二次三项式x2 bxc，若存在 ，则x2 bxc_____________ pqb 2、系数为1的十字相乘法 （1）在对 x2 bxc 分解因式时，要先从常数项 c 的正、负入手，若 c0 ，则 p、q________(若c0，则 p、q________)，然后依据一次项系数b 的正负再确定 p、q的 符号 （2）若x2 bxc中的b、c为整数时，要先将c 分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种 可能)，然后看这两个整数之和能否等于b ，直到凑对为止. 【填空答案】 1、 x pxq 2、同号；异号 例题1: （1）（★★☆☆☆）下列算式计算结果为x2 x12的是( ) A．(x3)(x4) B．(x6)(x2) C．(x3)(x4) D．(x6)(x2) （2）（★★☆☆☆）若x2 kx15能分解为(x5)(x3)，则k的值是( ) A．2 B．2 C．8 D．8 【常规讲解】（1）解：x2 x12(x3)(x4)， 故选：C． （2）解：根据题意得：x2 kx15(x5)(x3) x2 2x15 ， 则k 2． 故选：B． 练习1: 2（1）（★★☆☆☆）若多项式x2 mx36因式分解的结果是(x2)(x18)，则m的值是( ) A．20 B．16 C．16 D．20 （2）（★★☆☆☆）若多项式x2 axb分解因式的结果为(x1)(x2)，则ab的值为( ) A．3 B．3 C．1 D．1 【常规讲解】（1）解：x2 mx36(x2)(x18)x2 20x36， 可得m20， 故选：A． （2）解：(x1)(x2) x2 2xx2 x2 x2 所以a1，b2，则ab3． 故选：A． 考点二：系数为1的十字相乘法因式分解 例题2: （★★☆☆☆）对以下式子进行分解因式： （1）x2 x2 （2）x2 x2 （3）x2 5x6 （4）（2023•普陀区校级期末）a2 13a36 （5）x2 5x6 （6）（2023•浦东新区期末）x2 5xy14y2 （7）x2 6x9 （8）（2023•杨浦区期末）x2 xy2y2 【常规讲解】 （1）x2 x2x2x1 （2）x2 x2x2x1 （3）x2 5x6x2x3 （4）解：a2 13a36 ∵4a(9a)13a ， a2 13a36(a4)(a9)． 故答案为：(a4)(a9)． 3（5）x2 5x6x2x3 （6）解：∵7y2y5y，7y2y14y2， x2 5xy14y2 (x7y)(x2y)， 故答案为：(x7y)(x2y)． （7）x2 6x9(x3)(x3)(x3)(x3)(x3)2； （8）解：x2 xy2y2 (x2y)(xy)． 故答案为：(x2y)(x y)． 练习2: （★★☆☆☆）对以下式子进行分解因式： （1）x2x12 （2）x2x12 （3）x27x10 （4）x27x10 （5） x24x12 （6）x2 2xy3y2． （7）x24x12 【常规讲解 （1）x2 x12x4x3 （2）x2 x12x4x3 （3）x2 7x10x2x5 （4）x2 7x10x2x5 （5）x2 4x12x6x2 （6）x2 2xy3y2 (x3y)(xy) （7）x2 4x12x2x6 例题3: （★★★☆☆）分解因式： （1）（2021•金山区期末）分解因式：(x2 x)2 18(x2 x)72． （2）（2021•普陀区期末）因式分解：(x2 4x)2 (x2 4x)20． （3）（2021•奉贤区期末）分解因式：(a2 a)2 8(a2 a)12． （4）（2022•虹口民办新复兴中学期中）分解因式：(a2 a)2 2(a2 a)8． 【常规讲解】 （1）解：(x2 x)2 18(x2 x)72 4[(x2 x)6][(x2 x)12] (x2 x6)(x2 x12) (x3)(x2)(x4)(x3) ． （2）解：原式(x2 4x5)(x2 4x4) (x5)(x1)(x2)2． （3）解：根据十字相乘法， (a2 a)2 8(a2 a)12， (a2 a2)(a2 a6)， (a2)(a1)(a3)(a2)． （4）解：(a2 a)2 2(a2 a)8 (a2 a)2 2(a2 a)19 (a2 a1)2 9 (a2 a13)(a2 a13) (a2 a4)(a2 a2) (a2 a4)(a2)(a1)． 练习3: （★★★☆☆）分解因式： （1）2ab2 142ab 48． （2）  x2 2x 2 7  x2 2x  8 （3）ab215ab56； （4）  x2 2 2 x  x2 2  2x2； 【常规讲解】 （1）原式2ab2 142ab482ab62ab8 （2）原式(x2 2x8)(x2 2x1)(x4)(x2)(x1)2． （3）原式(ab7)(ab8)； （4）原式(x2 2x2)(x2 x2)(x2)(x1)(x2 2x2)； 故答案为：（1）(2ab6)(2ab8)；（2）(x4)(x2)(x1)2； （3）(ab7)(ab8)；（4）(x2)(x1)(x2 2x2) 考点三：根据因式分解的结果求参数 5例题4: （1）（★★☆☆☆）若x2 2x8(xm)(xn)，且mn，则mn的值为 ． （2）（★★☆☆☆）若m ，n为常数，多项式x2 mxn可因式分解为(x1)(x2)，则 (mn)2023的值为 ． （3）（★★★☆☆）甲，乙两同学分解因式x2 mxn，甲看错了n，分解结果为(x2)(x4)； 乙看错了m，分解结果为(x1)(x9)，请分析一下m，n的值及正确的分解过程． （4）（★★★★☆）已知：关于x的多项式x2 2m1x24可以在有理数范围内分解因式， 求m的值． 【常规讲解】 解：（1）解：∵x2 2x8(x2)(x4)，x2 2x8(xm)(xn)，且mn， m4，n2， 1 mn 42  ． 16 1 故答案为： ． 16 （2）解：∵(x1)(x2)x2 x2x2 mxn， m1，n2， (mn)2023 (12)2023 (1)2023 1． 故答案为：1． （3）∵(x2)(x4)x2 6x8，甲看错了n， m6． ∵(x1)(x9)x2 10x9，乙看错了m， n9， x2 mxnx2 6x9(x3)2． （4）设(xa)(xb) x2 (ab)xab，可得ab24，ab2m1，根据ab是有理数， 可得  a 1 a 1 a 2 13  1 ，m 12；  2 ，m 13；  3 ，m  ； b 24 1 b 24 2 b 12 3 2 1 2 3 a 2 15 a 3 a 3  4 ，m  ；  5 ，m 5；  6 ，m 6； b 12 4 2 b 8 5 b 8 6 4 5 6 a 4 9 a 4 11  7 ，m  ；  8 ，m  ． b 6 7 2 b 6 8 2 7 8 613 15 9 11 故答案为：m 12，m 13，m  ，m  ，m 5，m 6，m  ，m  ． 1 2 3 2 4 2 5 6 7 2 8 2 练习4: （1）（★★☆☆☆）当k  时，二次三项式x2 kx12分解因式的结果是(x4)(x3)． （1）（★★☆☆☆）若x2 mxn分解因式的结果是(x2)(x1)，则mn的值为 ． （3）（★★★☆☆）将一个二次三项式分解因式，甲因看错了一次项系数而分解成 2(x1)(x9)，乙因看错了常数项分解成2(x2)(x4)．根据上述信息将原多项式因式分 解． （4）（★★★★☆）已知：关于x的多项式x2mx36可以在有理数范围内分解因式，求m 的值． 【常规讲解】 （1）解：∵x2 kx12分解因式的结果是(x4)(x3)， x2 kx12(x4)(x3)x2 x12， k 1， 故答案为：1． （2）解：依题意得：x2 mxn(x2)(x1)， 又∵(x2)(x1)x2 x2， x2 mxn x2 x2， m1，n2， mn3． 故答案为：3． （3）解：甲的结果2(x1)(x9) 2(x2 10x9) 2x220x18， 由甲看错一次项系数，得到正确常数项为18， 乙的结果2(x2)(x4) 2(x2 6x8) 2x212x16， 由乙看错常数项，得到正确一次项为12x， 则多项式为2x2 12x18 2(x2 6x9) 2(x3)2． 7（4）设(xa)(xb) x2 (ab)xab，可得ab36，abm，根据ab是有理数，可  a 1 a 1 a 2 得 1 ，m 37；  2 ，m 37；  3 ，m 20； b 36 1 b 36 2 b 18 3 1 2 3 a 2 a 3 a 3  4 ，m 20；  5 ，m 15；  6 ，m 15； b 18 4 b 12 5 b 12 6 4 5 6 a 4 a 4  7 ，m 13；  8 ，m 13． b 9 7 b 9 8 7 8 故答案为：m 37，m 37，m 13，m 13，m 15，m 15，m 20，m 20． 1 2 3 4 5 6 7 8 8知识加油站2——系数不为 1的十字相乘法【建议时长：40分钟】 考点四：系数不为1的十字相乘法的概念 知识笔记2 系数不为1的式子相乘法 在二次三项式ax2 bxca0中，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即aaa ， 1 2 常数项c 可以分解成两个因数之积，即ccc ，把a、a、c 、c 排列如下： 1 2 1 2 1 2 a c 1 1 a c 2 2 a c + a c 1 2 2 1 按斜线交叉相乘，再相加，得到ac a c ，若它正好等于二次ax2bxc的一次项系数b ， 1 2 2 1 即ac a c b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a xc 与a xc 之积，即 1 2 2 1 1 1 2 2 _____________________________. 【填空答案】 ax2 bxcaxc a xc  1 1 2 2 例题5: （1）（★★☆☆☆）（2023•杨浦区期末）如果3x2  pxq(3x4)(x2)，那么 p （2）（★★☆☆☆）多项式 2x2y2 mxy5xyn2xy5 ，则 m ________， n _________. 【常规讲解】 （1）解：∵(3x4)(x2)3x2 2x8，3x2  pxq(3x4)(x2)， p2． 故答案为：2． （2）右边=2x2y2 2nxy5xy5n2x2y2  2n5xy5n m2n5 由题意得： 55n m3  n1 练习5: 9（1）（★★☆☆☆）已知多项式 2x2 mx3x32xn ，则 m ________， n _________. （2）（★★☆☆☆）多项式 3x2 mxy10y2 3x5yxny ，则 m ________， n _________. 【常规讲解】 （1）右边x32xn2x26xnx3n2x26nx3n 6nm 由题意得： 3n3 m5  n1 （2）右边3x2 3nxy5xy5ny2 3x2  3n5xy5ny2 3n5m 由题意得： 5n10 m11  n2 考点五：系数不为1的十字相乘法因式分解 例题6: （★★★☆☆）分解因式： （1）（2022•青浦区清河湾中学期末）因式分解：2x2 6x8； （2）2y2 xyx2 ； （3）12x2 5xy3y2 ； （4）2x45x27 ； （5） 3x2y4x3y5xy （6）4a6 37a4b2 9a2b4 【常规讲解】 （1）解：原式2(x2 3x4)2(x4)(x1)， （2）2y2 xyx2 yx2yx ； （3）12x2 5xy3y2 3x y4x3y （4）2x4 5x2 7  2x2 7  x2 1    2x2 7 x1x1 ； （5）3x2y4x3y5xy12x29xy8xy6y25xy12x26xy6y2 106  2x2 xy y2 6x y2x y （6）原式a2(4a4 37a2b2 9b4)a2(4a2 b2)(a2 9b2) a2(2ab)(2ab)(a3b)(a3b)． 练习6: （★★★☆☆）分解因式： （1）2x25x3 ； （2）2x29x35 ； （3）6x2x1 ； （4）6x213x5 ； （5）3x2 8xy3y2 ； 【常规讲解】 （1）2x2 5x32x1x3 ； （2）2x2 9x352x5x7 （3）6x2 x13x12x1 ； （4）6x213x5  6x213x5  3x12x5 （5）3x2 8xy3y2 x3y3xy ； 例题7: （★★★★☆）分解因式： （1）(x2  x1)(x2  x2)12； （2） 20(x y)2 7(x y)6 ． （3）2  x2 6x1 2 5  x2 6x1  x2 1  2  x2 1 2 【常规讲解】 （1）原式  x2 x 2 3(x2 x)10 (x2 x2)(x2 x5) (x2)(x1)(x2 x5)． （2）20(x y)2 7(x y)6 [4(x y)3][5(x y)2] (4x4y3)(5x5y2) ． （3）[2(x2 6x1)(x2 1)][(x2 6x1)2(x2 1)] (3x2 12x3)(3x2 6x3) 9(x2 4x1)(x2 2x1) 9(x2 4x1)(x1)2． 11练习7: （★★★★☆）分解因式： （1）(x2 x)2 8(x2 x)12 （2）3(x2)2 5(x2)12 （3）7(x y)35(x y)2 2(x y) 【常规讲解】（1）解：(x2 x)2 8(x2 x)12 (x2 x6)(x2 x2) (x3)(x2)(x2)(x1)． （2）设m(x2)，则原式可变为：3m2 5m12，由（2）可因式分解为： 3m2 5m12(m3)(3m4)， 所以3(x2)2 5(x2)12 (x23)(3x64) (x1)(3x10)． （3）7(x y)35(x y)2 2(x y) (x y)[7(x y)2 5(x y)2] ＝(x＋y)[(x＋y)－][7(x＋y)＋] 1 2 ＝(x＋y)(x＋y－1)(7x＋7y＋2)． 12考点六：十字相乘法与新定义 例题8: (★★★☆☆)阅读下列材料： 对于多项式x2 x2，如果我们把x1代入此多项式，发现x2 x2的值为0，这时可以 确定多项式中有因式(x1)；同理，可以确定多项式中有另一个因式(x2)，于是我们可以 得到：x2 x2(x1)(x2)．又如：对于多项式2x2 3x2，发现当x2时，2x2 3x2 的值为0，则多项式2x2 3x2有一个因式(x2)，我们可以设2x2 3x2(x2)(mxn)， 解得m2，n1，于是我们可以得到：2x2 3x2(x2)(2x1)． 请你根据以上材料，解答以下问题： （1）当 x 时，多项式 8x2 x7 的值为 0，所以多项式 8x2 x7 有因 式 ，从而因式分解8x2 x7 ； （2）以上这种因式分解的方法叫试根法，常用来分解一些比较复杂的多项式，请你尝试用 试根法分解多项式： ①3x2 11x10； ②x3 21x20． 【常规讲解】解：（1）当x1时，多项式8x2 x7的值为0， 所以多项式8x2 x7有因式(x1)， 从而因式分解8x2 x7(x1)(8x7)， 故答案为：1，(x1)，(x1)(8x7)； （2）①因为当x2时，3x2 11x100， 所以有一个因式是(x2)， 所以3x2 11x10(x2)(3x5)； ②因为当x1，4，5时，x3 21x200， 所以x3 21x20(x1)(x4)(x5)． 13练习8: (★★★☆☆)对于多项式x3 5x2 x10，我们把x2代入此多项式，发现x2能使多项 式x3 5x2 x10的值为0，由此可以断定多项式x3 5x2 x10中有因式(x2)，（注：把 xa代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式(xa))，于是我们可以把 多 项 式 写 成 ： x3 5x2 x10(x2)(x2 mxn) ， 分 别 求 出 m 、 n 后 再 代 入 x3 5x2 x10(x2)(x2 mxn)，就可以把多项式x3 5x2 x10因式分解． （1）求式子中m、n的值； （2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式x3 5x2 8x4． 【常规讲解】解：（1）在等式x3 5x2 x10(x2)(x2 mxn)，中， 分别令x0，x1， 即可求出：m3，n5 （2）把x1代入x3 5x2 8x4，得其值为0， 则多项式可分解为(x1)(x2 axb)的形式， 用上述方法可求得：a4，b4， 所以x3 5x2 8x4(x1)(x2 4x4)， (x1)(x2)2． 解法二：把x2代入x3 5x2 8x4，得其值为0， 则多项式可分解为(x2)(x2 axb)的形式， 用上述方法可求得：a3，b2， 所以x3 5x2 8x4(x2)(x2 3x2)， (x1)(x2)2． 14全真战场 教师可以根据课堂节奏将“全真战场”作为课堂补充练习或课后补充练习让学生的完成 ．． ．． 关卡一 练习1: （1）（★★☆☆☆）不能用十字相乘法分解的是（ ） A．x2 x2 B．3x2 10x3 C．5x2 6xy8y2 D．4x2 x2 （2）（★★☆☆☆）若多项式x2 mxn可因式分解为(x2)(x3)，则mn的值为( ) A．6 B．6 C．5 D．1 （3）（★★☆☆☆）已知多项式 2x2 mx5x12xn ，则 m ________， n _________. 【常规讲解】（1）根据系数非负，无法把二次项系数和常数项分解之后其之和等于1， 故答案为：D． （2）解：∵x2 mxn(x2)(x3)x2 x6， m1，n6， 则mn1(6)6， 故选：B． （3）右边x12xn2x22xnxn2x2 2nxn m2n 由题意得： 5n m3  n5 练习2: （★★★☆☆）分解因式： （1）x213x48； （2）x217x72； （3）x2 11xy12y2； （4）a2 4ab5b2； （5）20xy64y2 x2 【常规讲解】 （1）x2 13x48(x16)(x3) （2）x2 17x72(x9)(x8)． （3）x2 11xy12y2 (x12y)(x y) 15（4）a2 4ab5b2 (a5b)(ab)． （5）原式=x2 20xy64y2 (x16y)(x4y) 练习3: （★★★★☆）因式分解： （1） 6x2 7x3 ； （2） 3x2 5x12 ； （3）6a4 5a34a2 （4）（2023•宝山区期末）(a2 a)2 4(a2 a)12． （5）2  a2 a 2 28  a2 a  48； （6）abcx2   a2b2 c2 xabc； 【常规讲解】 （1）6x2 7x3 (3x1)(2x3)； （2）3x2 5x12(x3)(3x4)； （3）原式a2(6a2 5a4)a2(3a4)(2a1)； （4）解：原式(a2 a2)(a2 a6) (a1)(a2)(a2 a6)． （5）2  a2 a 2 28  a2 a  48 2[(a2 a)2 14(a2 a)2 24] 2(a2 a12)(a2 a2) 2(a4)(a3)(a2)(a1)． （6）原式(abxc)(cxab)． 练习4: (★★★☆☆)分解因式x2 axb，甲看错了a的值，分解的结果为(x6)(x1)，乙看错了 b的值，分解结果为(x2)(x1)． （1）求a，b的值； （2）把x2 axb分解因式． 【常规讲解】 解：（1）因为(x6)(x1)x2 5x6， (x2)(x1)x2 x2， 由于甲看错了a的值没有看错b的值，所以b6， 乙看错了b的值而没有看错a的值，所以a1， a1，b6； 16（2）多项式x2 axbx2 x6(x3)(x2)． 练习5: x (★★★☆☆)已知15x2 47xy28y2 0，求 的值． y 【常规讲解】∵15x2 47xy28y2 (3x7y)(5x4y)， ∴(3x7y)(5x4y)0． ∴3x7y或者5x4y． x 7 x 4 ∴  或者  ． y 3 y 5 17关卡二 练习6: （★★★★☆）分解因式：(x2 4xy3y2)(4x2 20xy21y2)15y4． 【常规讲解】解：原式(x3y)(x y)(2x7y)(2x3y)15y4 [(x3y)(2x3y)][(x y)(2x7y)]15y4 (2x2 9xy9y2)(2x2 9xy7y2)15y4 (2x2 9xy)2 16y2(2x2 9xy)63y4 15y4 (2x2 9xy)2 16y2(2x2 9xy)48y4 (2x2 9xy4y2)(2x2 9xy12y2) (2x y)(x4y)(2x2 9xy12y2)． 故答案为：(2x y)(x4y)(2x2 9xy12y2)． 练习7: （★★★★☆）分解因式：(2a5)(a2 4)(2a3)165． 【常规讲解】解：原式=(2a5)(a2)(a2)(2a3)165 =[(2a5)(a2)][(a2)(2a3)]165 =(2a2 a10)(2a2 a6)165 =(2a2 a)2 16(2a2 a)105 =(2a2 a21)(2a2 a5) =(a3)(2a7)(2a2 a5) 练习8: （★★★★★）分解因式： （1）x2 3xy10y2 x9y2 （2）x2  y2 5x3y4 【常规讲解】 x -5y +2 （1） ，(x5y  2)(x 2y 1) ； x +2y -1 （2）分析：虽然缺少xy项，但不妨碍使用双十字分解（xy系数看成0）； 18x +y +1 ，(x  y 1)(x  y  4) x -y +4 19