FY25暑假初二A01二次根式的概念与性质学生版_初中资料合集_2025年秋初中《789年级暑假数学讲义》含6升7衔接（学生+教师版）上海专版_初二_精进_学生版PDF

01A 二次根式的概念与性质 考情链接 1. 本次任务由两个部分构成 （1）二次根式的概念 （2）二次根式的性质 2. 考情分析 （1）二次根式的概念与性质是二次根式的部分，属于方程与代数式板块，占中考考分值约 28%。 （2）主要考察二次根式的概念及性质，以选择题、填空题为主，也可以结合新定义、数轴 等知识点考察常规讲解题。 （3）对应教材：八年级上册第十六章二次根式第一节。 （4）本讲知识点二次根式是八年级数学上学期第一章第一节内容，主要对二次根式的性质 及运算进行讲解，重点是二次根式的性质，难点是分母有理化的应用．学生已学过平方根、 立方根、实数等概念及求法，对实数运算与性质有初步感受，为本节知识打下了基础．本节 知识是前面相关内容的发展，同时是后面学习的直接基础，起到了承上启下的作用。 1知识加油站 1——二次根式的概念 考点一：二次根式定义 知识笔记1 二次根式的概念 代数式 a（a0）叫做二次根式，读作“根号a”，其中a是___________． 例题1: （1）下列式子中二次根式的个数有( ) 1 1 ① ； ② 3； ③− x2 +1； ④3 8； ⑤ (− )2 ； ⑥ 1−x(x1)； ⑦ 7 ． 3 3 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 （2）若x为任意实数，下列各式一定是二次根式的是( ) A． x2 −3 B． 1 C． x2 +2x D． x2 +1 (x+1)2 练习1: （1）下列各式一定是二次根式的是( ) A． x B． 2 C． −4 D．3 5 （2）下列各式一定是二次根式的是( ) A． −3 B．3 4 C． x2 +1 D． x 2考点二：二次根式成立条件 知识笔记2 二次根式 a （a0）有意义的条件 （1）_________ （2）_________ 例题2: x−2 （1）若 是二次根式，则x的取值范围是( ) 3 A．x2 B．x2 C．x 2 D．x 2 x （2）x取何值时， 在实数范围内有意义( ) x−1 A．x1 B．x 1 C．x1 D．x 1 2x+1 （3）式子 有意义的x取值范围是( ) x−1 1 1 1 A．x1 B．x − C．x − 且x1 D．x− 且x1 2 2 2 1 （4）若式子 + x+2有意义，则实数x的取值范围是( ) x2 −4 A．x−2 B．x −2，且x2 C．x −2 D．x−2，且x2 练习2: 2x （1）若 是二次根式，则下列说法正确的是( ) y A．x 0 B．x 0且y0 C．x、 y同号 D．x 0，y0或x 0，y0 x−1+2 （2）要使式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是( ) x−2 A．x1且x2 B．x 1且x2 C．x2 D．1x2 31 （3）使式子 + 4−3x在实数范围内有意义的整数x有( ) x+3 A．5个 B．3个 C．4个 D．2个 例题3: （1）（2022•宝山区期末）如果y= 3−2x+ 2x−3，则x+ y的值为( ) 3 2 A． B．1 C． D．0 2 3 （2）已知x满足|2021−x|+ x−2022 =x，那么x−20212的值为( ) A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 练习3: 1 （1）已知x、 y为实数，且y= x−8−3 8−x + ，求xy的平方根． 2 （2）已知 a−2017+|3−a|=a，那么a=_________． 4知识加油站 2——二次根式的性质 考点三：二次根式的性质 知识笔记3 二次根式的性质 a(a 0)  性质1： a2 =a(_______)； 推广性质1可得到： a2 = a = 0(a =0)  −a(a 0)  性质2：( a)2 =a(a0)； 性质3： ab =_________ （a0，b0）； ab = -a −b（a0，b0）； a 性质4： =_________（a0，b0）； b a =_________ （a0，b0）. b 例题4: 计算下列各式的值： 9 7 （1）( 18)2= （2）( )2=； （3）(4 )2= 4 8 （4）(3 5)2 −(5 3)2= （5） 0.0144 = （6） (−5)2 = 练习4: （1）算下列各式的值： 10 ① (−7)2 = ②3 −2 = ③ −x2 = 27 ④ (2−)2 = ⑤ 252 −202 = ⑥ (1− 2)2 = 5（2）（2022•杨浦区期中）化简： 1 ① 27x3 ； ② 12mn3(m0)； 2 y2 ③6 ； ④ −24x3y3 ． 16x4 例题5: （1）（2022•宝山区期中）下列各式中，与化简 −mn3(m0)所得结果相同的是( ) A．n −mn B．n mn C．−n mn D．−n −mn 1 （2）与根式−x − 的值相等的是 ( ) x A．− x B．−x2 −x C．− −x D． −x 1 （3）化简：a − 的结果是（ ） a A． −a B．− −a C．− a D． a 1 （4）把二次根式（x-1） 中根号外的因式移到根号内，结果是__________． 1−x 练习5： x （1）已知xy0，化简二次根式−y 的正确结果（ ） y2 A． x B． −x C．− x D．− −x （2）对式子m −3m作恒等变形，使根号外不含字母 m ，正确的结果是（ ） A． −3m3 B．− 3m3 C．− −3m3 D． 3m3 61 （3）（2023•杨浦期中）化简：x − =_______. 12x3 1 （4）把− −a11 中根号外因式适当变形后移至根号内得_______. a 例题6: （1）（2022•闵行区文来中学期中）若化简|1−a|− a2 −8a+16的结果是2a−5，则实数a的 取值范围是( ) A．a为任意实数 B．a 1 C．a4 D．1 a 4 （2）当1 x2时，化简 x2 −4x+4+ 1−2x+x2 =________. （3）已知y= x2 −4x+4−x+3，当 x 分别取1，2，3，  ，2020时，所对应的 y 值的总和 是________． （4）（2023 闵行区期中）a、b、c是 ABC的三条边，化简 (a−b+c)2 − (a−b−c)2 = ___________. 练习6: （1）若代数式 (2−a)2 + (a−4)2 ＝2成立，求a的取值范围． （2）化简： (x+2)2 + (x−2)2 （3）化简： x2 +6x+9+ x2 −2x+1− x2 −4x+4 （4）已知：a、b、c是ABC 的三边长，化简： (a+b+c)2 − (b+c−a)2 + (c−b−a)2 ． 7例题7: 先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如 m2 n 的化简，只要我们找到两个正数a、 b ，使 a+b=m ， ab=n ，使得 ( a)2 +( b)2 =m ， a b = n ，那么便有： m2 n = ( a  b)2 = a  b(ab)． 例如：化简 7+4 3 ． 解：首先把 7+4 3 化为 7+2 12 ，这里m=7，n=12，由于4+3=7，43=12．即 ( 4)2 +( 3)2 =7， 4 3= 12．  7+4 3 = 7+2 12 = ( 4+ 3)2 =2+ 3． （1）填空： 6−2 5 =_______.， 10+4 6 =_______. （2）化简： 29−8 13 ． 练习7: 有这样一类题目：化简 a2 b ，如果你能找到两个数m、n，使m2 +n2 =a，并且mn= b， 那么将a2 b 变成m2 +n2 2mn=(mn)2 开方，从而将 a2 b 化简．例如：化简 3+2 2 因为 3+2 2 = 1+2+2 2 = 12 +( 2)2 +2 2 = (1+ 2)2 所以 3+2 2 = (1+ 2)2 =1+ 2 仿照上例化简下列各式： （1） 9+4 5 ； （2） 18−2 77 ． 8全真战场 关卡一 练习1: 在式子 −3.14， a2 +b2 ， a+5， −3y2 ， m2 +1， |ab|中，二次根式的有 ( ) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 练习2: （1）如图，在数轴上所表示的x的取值范围中，有意义的二次根式是 ( ) 1 1 A． x−3 B． x+3 C． D． x−3 x+3 1 （2）若代数式 m+ 有意义，则点 (m,n) 在平面直角坐标系中的 ( ) mn A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 （3）已知ab，化简二次根式 −ab5 的正确结果是 ( ) A．b2 ab B．b2 −ab C．−b2 ab D．−b2 −ab 练习3: （1）若x，y为实数，且 3x−1+ 1−3x + y=6，则xy的值为 ( ) 1 A．0 B． C．2 D．不能确定 3 （2）b= a−3− 3−a +4，则 ab =_______. 练习4: 2 2 3 3 4 4 观察下列各式：2 = 2+ ；3 = 3+ ；4 = 4+ ； 3 3 8 8 15 15 则依次第四个式子是_______；用 n(n 2) 的等式表达你所观察得到的规律应是_______. 9练习5: a、b、c三个数在数轴上的点如图所示，求|a−b|+|c−a|−|c+b|− (a−c)2 的值． 关卡二 练习6: 1 若a+b−2 a−1−4 b−2 =3 c−3− c−5，则a+b+c的值为_______. 2 练习7: 已知|x+2|+|1−x|=9− (y−5)2 − (1+ y)2 ，则x+ y的最小值为_______. 练习8: 已知a、b为实数，且满足 a+1+ a2b−4a2+|6−2b|=2，则符合条件的实数对(a,b)有 __________对 10