FY25暑假初二A03二次根式的运算教师版_初中资料合集_2025年秋初中《789年级暑假数学讲义》含6升7衔接（学生+教师版）上海专版_初二_精进_教师版PDF

03A 二次根式的运算 考情链接 1. 本次任务由三个部分构成 （1）二次根式的加减法 （2）二次根式的乘除法 （3）分母有理化 2. 考情分析 （1）二次根式的运算是二次根式的部分，属于方程与代数式板块，占中考考分值约 30%。 （2）主要考察二次根式的加减法、乘除法以及分母有理化，以分母有理化以填空题为主， 二次根式的运算以填空和解答题为主。 （3）对应教材：八年级上册第十六章二次根式第三节。 （4）二次根式的运算是八年级数学上学期第一章第三节内容．重点是能够运用二次根式的 运算法则解决实际计算问题，难点是复杂二次根式的计算。 环节 需要时间 自主任务讲解 10分钟 切片 1：二次根式的加减法 30分钟 切片 2：二次根式的乘除法 30分钟 切片 3：分母有理化 30分钟 出门测 10分钟 错题整理 10分钟 1知识加油站 1——二次根式的加减法【建议时长：30分钟】 考点一：二次根式加减运算 知识笔记1 二次根式的加法和减法 先把各个二次根式化为______________，再把（化简合并）． 【填空答案】 最简二次根式，同类二次根式分别合并 例题1: 1 （1）（★★☆☆☆）（2022•徐汇区期末）计算：( 0.5+2 )−( 18− 27) 3 1 2 （2）（★★☆☆☆）（2022•闵行区上海实验学校西校期中）计算：12− 0.75−( 5 + 48)． 3 3 1 （3）（★★☆☆☆）（2022秋•静安区期中）计算：( 27−6 0.5)−( 8−6 )． 3 【常规讲解】 2 2 3 （1）解：原式= + −3 2+3 3 2 3 5 2 11 3 =− + ． 2 3 3 4 3 2 （2）解：原式=2 3− − − 4 3 2 3 3 5 =− 3． 2 2 3 （3）解：原式=3 3−6 −2 2+6 2 3 =3 3−3 2−2 2+2 3 =(3 3+2 3)−(3 2+2 2) 2=5 3−5 2 练习1: 【学习框8】 2 1 （1）（★★☆☆☆）计算： 12 +4 0.5− 18+3 ． 3 3 2 1 （2）*（★★☆☆☆）计算：( 24 − 0.5+3 )−( − 6)． 3 8 1 （3）（★★☆☆☆）（2023秋•金山区期中）计算： 12+3 1 − 48 ． 3 【常规讲解】 2 2 （1）解：原式=2 3+4 − 3 2 + 3 2 3 =2 3+2 2 −2 2 + 3 =3 3． 2 2 （2）原式=2 6 − + 6 − + 6 2 4 3 =4 6 − 2． 4 （3）解：原式=2 3+2 3−4 3=0． 考点二：含参二次根式的加减运算 例题2: 3 x 1 x （1）（★★★☆☆）（2022•徐汇南阳模范中学期中）计算： 4x+2 −x +2 (x0 )． 2 9 x 2 2  m a  （2）（★★★★☆）计算： a3m −3a +7m  (a0,m0)   a a m   xy 1 1 （3）（★★★☆☆）计算： − 8x3y + 18xy3(x0,y0) 2 x y 31 4 1 （4）（★★★☆☆）化简： 36x +6x −2x ． 2 x x 【常规讲解】 3 x x 2x （1）解：原式= 2 x+2 −x +2 2 3 x 2 2 x =3 x+ − x+ 2x 3 8 x = + 2x． 3 2  am am （2）原式= a am −3a +7m =−2 am +3 am +7 am =8 am ．   −a −a −m   2xy （3）解：原式= −2 2xy +3 2xy 2 3 2 = xy ． 2 1 4 1 （4）解： 36x +6x −2x 2 x x =3 x +12 x −2 x =13 x ． 练习2:【学习框10】 x 2 （1）（★★★☆☆）计算： 8x −2 +2x . 2 9x 3m n （2）（★★★☆☆）（2022•宝山区期中）计算：4mn −( 27m3 −m 3mn2)(n0)． 4 6 1 （3）（★★★☆☆）（2023秋•浦东新区期中）计算：7a 8a −4a2 +7a 2a ． 8a 2a b （4）（★★★☆☆）化简： 8ab−b −a (a0,b0). b 2a 【常规讲解】 2 5 （1）解：原式=2 2x − 2x + 2x = 2x ． 3 3 43m n （2）解：4mn −( 27m3 −m 3mn2) 4 6 1 =2mn 3m− mn 3m+mn 3m 2 5 = mn 3m ． 2 （3）解：原式=14a 2a −a 2a +7a 2a =20a 2a ． 2ab （4）解：原式=2 2ab− 2ab− 2 2ab = ． 2 例题3: b 2 （1）（★★★☆☆）先化简，再求值：a − ab3 +3 ab ，其中a=2，b=3． a b  y 3   x  3 （2）（★★★★☆）先化简，再求值：6x + xy3 −4x + 36xy，其中x= ，y=27．      x y   y  2 【常规讲解】先化简，再代入参数求值 【常规讲解】 （1）解：原式= ab−2 ab+3 ab =2 ab， 当a=2，b=3时，原式=2 6．  xy 3   xy  （2）原式=6x + y xy−4x +6 xy  x y   y      4x  4x =6 xy +3 xy − xy −6 xy =3−  xy ， y  y   3 4 3  2  3 25 当x= ，y=27时，原式=3−  27 = 2 ． 2  27  2 2     5练习3:【学习框12】 1 x 1 （1）（★★★☆☆）先化简后求值，当x=4，y= 时，求 x − 4y − − y3 的值． 9 4 y （2）（★★★★☆）化简 2x+13+ 128x−192 − 2x−2+ 8x−12 ． 【常规讲解】先化简，再代入参数求值 【常规讲解】 x 1 x 1 x （1）因为 x − 4y − − y3 = x −2 y − − y y = −3 y ， 4 y 2 y 2 1 4 1 所以当x=4，y= 时，原式= −3 =0． 9 2 9 （2）解： 2x+13+ 128x−192 − 2x−2+ 8x−12 = 2x−3+ 64(2x−3) +16 − 2x−3+ 4(2x−3) +1 = ( 2x−3)2 +24 2x−3+42 − ( 2x−3)2 +2 2x−3+12 = ( 2x−3+4)2 − ( 2x−3+1)2 = 2x−3+4− 2x−3−1=3． 6知识加油站 2——二次根式的乘除法【建议时长：30分钟】 考点三：二次根式的乘除运算 知识笔记2 二次根式的乘法与除法 （1）两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数__________； （2）两个二次根式相除，被开方数相除，根指数__________． 【填空答案】 （1）不变；（2）不变 例题4: （1）（★★☆☆☆）（2022•宝山区期中）计算： 3 15 =_______．  2 ( ) （2）（★★★☆☆）计算：3 36 −  − 3 =_______．   3   1 （3）（★★☆☆☆）计算： 723 2 ； 2  4 （4）（★★☆☆☆）计算：4 5−5 1 ；   5   【常规讲解】  4 ( ) 4 （1）4 5−5 1 =4 5 −3 5 =− ；   5 3    2 ( )  6 ( ) 2 （2）解：原式=3 36−  − 3 =18−  − 3 =−6 3+ ．     3 3 3     （3）解：原式= 315 = 45 =3 5 ． 2 （4）解：原式=6 23 2 =18 2 ； 2 7练习4:【学习框14】 1 （1）（★★☆☆☆）计算：2 3 12 3． 4 4 3 2 12 （2）（★★☆☆☆）计算：  . 3 5 3 5 2 （3）（★★★☆☆）计算：− 5 2(−2 5)(− )． 2 1 （4）（★★★☆☆）计算： 244  48． 2 【常规讲解】 1 1 1 (1)解：原式=2  3123 =2  363 = 6 3 =3 3． 4 4 2 4 3 3 5 1 1 (2)解：原式=   =2 =2 =1． 3 2 5 12 4 2 2 1 (3)解：原式=− 102 5 =− ． 2 2 2 (4)解：原式=2 64 4 3 =8 34 3 =2． 2 考点四：含参二次根式的乘除运算 例题5: x2y （1）（★★★☆☆）计算： x3y  =_______． 5 14 6 12b （2）（★★★☆☆）计算：  ． ab ab2 5a3 3y 6x2 （3）（★★★☆☆）计算：  ． x y3 2 1 b 3 （4）（★★★☆☆）计算 ab2  (− a3b) b 3 a 2 【常规讲解】 8x2y （1）解： x3y  5 x2y = x3y 5 5 = x3y x2y = 5x． 故答案为： 5x ． 14 6 12b 14 6 5a3 14 6a a 15ab 7 10b （2）解：  = = = ． ab ab2 5a3 ab ab2 12b ab ab 6b b3 3y 6x2 （3）解：原式=  x y3 18x = ， y2 6x2 0，且6x2 0， y3 y0， 3y 又 0，且y0， x x0， 3 2x 原式= ． y 2 3 a 9 9 （4）解：原式=− 3  ab2 a3b =− a5b2 =− a2b a =−9a2 a ． b 2 b b b 练习5:【学习框16】 （1）（★★☆☆☆）计算：3 5a 2 10b =_______． （2）（★★★★☆）（2022•虹口区上海外国语大学附中月考）化简： 3m2 −3n2 3 m+n a2 −9   =_______． 2a2 2 a2 m−n 1 x2 −4xy+4y2 （3）（★★★☆☆）计算： (x2y0)； 2y−x x2y4 92 6a b 3 （4）（★★★★☆）计算： ab3  (− a3b)(a0) b b2 a 2 （1）解：3 5a 2 10b =6 5a10b =6 50ab =30 2ab． 3(m+n)(m−n) 4a2 a2 （2）解：原式=−9   2a2 9(m+n) m−n 2a2 =−9 3 =−3 6|a| =3 6a． 故答案为：3 6a． 1 x2 −4xy+4y2 （3）解： (x2y0) 2y−x x2y4 1 (x−2y)2 = 2y−x x2y4 1 2y−x = 2y−x −xy2 1 =− ． xy2 2 b2 3 a （4）解：原式=  (− ) ab3  a3b b 6a 2 b b =− (−a2b ab) 2a ab2 ab = ． 2 10知识加油站 3——分母有理化【建议时长：30分钟】 考点五：分母有理化及有理化因式性质 知识笔记3 1. 分母有理化 （1）把分母中的根号化去就是分母有理化，即是指分母中不含_________的运算； （2）分母有理化的方法：是把分子和分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号． 2.有理化因式 两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个含有 二次根式的非零代数式互为____________． 【填空答案】 1. 二次根式 2. 有理化因式 例题6: （1）（★★☆☆☆）（2022•长宁区第三女子中学期中）在下列各式中，二次根式 a−b的有理 化因式( ) A． a+b B． a + b C． a−b D． a − b （2）（★★☆☆☆）下列各式中，二次根式 a + b的有理化因式是( ) A． a + b B． a − b C． a+b D． a−b （3）（★★☆☆☆）下列各式，互为有理化因式的是( ) A． a+b, a−b B． 5− 2, 5− 2 C． x−1, x−1 D．− a + b, a − b （4）（★★☆☆☆）已知a= 2 −1，b= 2 +1，那么a与b的关系为 ( ) A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．a是b的平方根 11【常规讲解】 （1）解：A. a+b a−b = a2 −b2 ，故选项不符合题意； B.( a + b) a−b = a2 −ab+ ab−b2 ，故选项不符合题意； C. a−b a−b =a−b，故选项符合题意； D.( a − b) a−b = a2 −ab− ab−b2 ，故选项不符合题意； 故选：C． （2）解： a + b的有理化因式是 a − b， 故选：B． （3）解： x−1与 x−1互为有理化因式， 故选：C． （4）解： ab=( 2 +1)( 2 −1)=1， a、b互为倒数， 故选：B． 练习6: 【学习框18】 （1）（★★☆☆☆）（2023•浦东新区期末）2 a−1的一个有理化因式是（ ） A．2 a−1 B．2 a−1 C．2 a+1 D．2 a+1 （2）*（★★☆☆☆）（2023•普陀区期末） 5m+n的有理化因式是（ ） A． 5m+ n B． 5m+n C． 5m− n D． 5m−n （3）（★★★☆☆）2− 5的倒数是________． ( )( ) ( )2 （1）解：∵ 2 a−1 2 a+1 = 2 a −12 =4a−1， ∴2 a−1 的一个有理化因式是 2 a+1 ， 故选：C． （2）解：∵ 5m+n 5m+n =5m+n， ∴ 5m+n的有理化因式是 5m+n． 故选：B． 121 2+ 5 （3）解：2− 5的倒数是： = =−2− 5． 2− 5 (2− 5)(2+ 5) 故答案为：−2− 5． 例题7: （★★☆☆☆）（2022•徐汇区期末）计算： 1 2 3−3 2 3+2 （1） =_______．（2） =_______．（3） =_______． 3+ 2 6 2− 3 2−1 （4） =_______． 2+1 1 1 （5） + 27−6 ． 2+ 3 3 6 2 （6） + + ( 3−2)2 3 1− 3 【配题说明】分母有理化常规计算 【常规讲解】 1 3− 2 （1）解： = = 3− 2． 3+ 2 ( 3+ 2)( 3− 2) 故答案为： 3− 2． 6(2 3−3 2) （2）解：原式= 6 6 2 18−3 12 = 6 6 2−6 3 = 6 = 2− 3 . (2+ 3)2 （3）解：原式= (2− 3)(2+ 3) (2+ 3)2 = 4−3 =(2+ 3)2 =4+3+4 3 13=7+4 3． ( 2−1)( 2−1) （4）解：原式= ( 2+1)( 2−1) =( 2−1)2 =2+1−2 2 =3−2 2． 故答案为：3−2 2． 1 1 2− 3 （5） + 27−6 = +3 3−2 3 2+ 3 3 (2+ 3)(2− 3) =2− 3+ 3=2． （6）解：原式=2 3−1− 3+2− 3 =1． 练习7: 【学习框20】 （★★☆☆☆）（2023•静安区期末）分母有理化： 1 1 2 2 （1） =_______．（2） + =_______．（3） =_______． 2+1 1− 2 2 2 3+ 2 4 6 ( 6+2)( 2+2) （4） =_______．（5） =_______．（6） =_______． 5− 3 2 3+3 2+4+ 6 【配题说明】分母有理化常规计算 【常规讲解】 1 2−1 = = 2−1 （1）解： ( )( ) ， 2+1 2+1 2−1 故答案为： 2−1． ( ) 1+ 2 1 2 2 2 （2）解： + = + ( )( ) 1− 2 2 1− 2 1+ 2 2 2 ( ) =− 1+ 2 + 2 =−1− 2+ 2 =−1． 故答案为：−1． 142(2 3− 2) （3）解：原式= (2 3+ 2)(2 3− 2) 2 6−2 = 12−2 ． 6−1 = 5 4( 5+ 3) （4）解：原式= 5−3 =2 5+2 3． 故答案为2 5+2 3． 6(2 3−3) 6(2 3−3) （5）解：原式= = =4 3−6． (2 3+3)(2 3−3) 3 故答案为：4 3−6． 2+4+ 6 ( 6+2)+( 2+2) 1 1 2− 2 6−2 6− 2 （6） = = + = + = ， ( 6+2)( 2+2) ( 6+2)( 2+2) 2+2 6+2 2 2 2 2 2( 6+ 2) 2( 6+ 2) 6+ 2 原式= = = = ． 6− 2 ( 6− 2)( 6+ 2) 6−2 2 6+ 2 故答案为： ． 2 例题8： （★★★★☆）化简求值： 1 1 （1）( x+ )2 −( x− )2 x x b− ab a b a+b （2）化简：（ a＋ ）÷（ ＋ － ）（a≠b）． a + b ab +b ab −a ab a+2 ab+b  a b  a （3）化简： − −    a−b a+ ab b− ab  b+ ab a−1 a−2 a+1 （4）（2023•浦东新区期中）化简： − ． a+1 a−1 15【配题说明】结合公式法巧算化简 【常规讲解】 1 1 （1）原式=x+2+ −(x−2+ ) =4． x x a+ ab+b− ab a a( a − b)−b b( a + b)−(a+b)(a−b) （2）解：原式＝ ÷ a + b ab( a + b)( a − b) a+b a2 −a ab −b ab −b2 −a2 +b2 ＝ ÷ a + b ab( a + b)( a − b) a+b ab( a − b)( a + b) ＝ · ＝－ a + b ． a + b − ab(a+b) （3）解：原式 a+2 ab+b  1 1  b+ ab = − −    a−b  a + b b− a  a a+2 ab+b 2 a b+ ab = −  a−b a−b a a+2 ab+b 2b+2 ab = − a−b a−b a−b = a−b =1 ( a +1)( a −1) ( a −1)2 （4）解：原式= − a +1 a −1 = a −1−( a−1) =0． 练习8：【学习框20】 （★★★★☆）化简求值： 1 1 （1）*( a+ )2 −( a− )2 a a a−b a+b−2 ab （2） − a − b a − b x+2 xy+ y 1 x− y+1 （3）已知x=2− 3,y =2+ 3，化简并求值( + ) x + y x − y x 16x y −y x y x +x y （4）化简并求值: − x y + y x y x −x y 【配题说明】结合公式法巧算化简 【常规讲解】 1 1 （1）( a+ )2 −( a− )2 a a 1 1 =a+2+ −a+2− a a =4； a−b a+b−2 ab （2） − a − b a − b ( a + b)( a − b) ( a − b)2 = − a − b a − b = a + b−( a − b) = a + b− a + b =2 b； x+2 xy+ y 1 x− y+1 1 x （2）( + ) =( x + y + ) x + y x − y x x − y x− y+1 ( x + y)( x − y)+1 x =  x − y x−y+1 x− y+1 x x x( x + y) x+ xy =  = = = x − y x− y+1 x − y x− y x− y 将x=2− 3,y =2+ 3代上式 2− 3+ (2− 3)(2+ 3) 2− 3+1 3−1 原式= = =− (2− 3)−(2+ 3) −2 3 2 x y −y x y x +x y （4） − x y + y x y x −x y xy( x− y) xy( x+ y) = − xy( x+ y) xy( y − x) x− y x+ y = + x+ y x− y 17( x− y)2 +( x+ y)2 = x−y x−2 xy + y+x+2 xy + y = x−y 2x+2y = ； x− y 考点六：分母有理化应用 例题9: 1 1 （★★★☆☆）已知a= ，b= ， 3− 2 3+ 2 （1）求ab，a+b的值； b a （2）求 + 的值． a b 【常规讲解】 1 3+ 2 解：（1） a= = = 3+ 2 ， 3− 2 ( 3− 2)( 3+ 2) 1 3− 2 b= = = 3− 2， 3+ 2 ( 3+ 2)( 3− 2) ab=( 3+ 2)( 3− 2)=1， a+b= 3+ 2 + 3− 2 =2 3； b a 3− 2 3+ 2 （2） + = + a b 3+ 2 3− 2 =( 3− 2)2 +( 3+ 2)2 =5−2 6 +5+2 6 =10． 练习9: 【学习框24】 （★★★☆☆）已知：a=2+ 3，b=2− 3 a b 求：①a2 +b2，② − 的值． b a 【常规讲解】 18解：当a=2+ 3，b=2− 3时， a+b=2+ 3+2− 3=4，a−b=2+ 3−2+ 3=2 3， ab=(2+ 3)(2− 3)=4−3=1， ①a2 +b2 =(a+b)2 −2ab =42 −21 =14； a b ② − b a a2 −b2 = ab (a+b)(a−b) = ab 42 3 = 1 =8 3． 例题10: （★★★☆☆）化简下面式子. 2 2 2 2 （1）化简： + + ++ 3+1 5+ 3 7+ 5 99+ 97 1 1 1 1 （2）( + + ++ )( 2007+1)的值． 2+ 1 3+ 2 4+ 3 2007+ 2006 【配题说明】分母有理化找规律题型 【常规讲解】 （1）原式： 2( 3−1) 2( 5− 3) 2( 7− 5) 2( 99− 97) = + + + ( 3+1)( 3−1) ( 5+ 3)( 5− 3) ( 7 + 5)( 7 − 5) ( 99+ 97)( 99− 97) = 3−1+ 5− 3+ 7− 5+ 99− 97 = 99−1 =3 11−1 1 （2）解： = n+1− n ． n+1+ n 原式=( 2−1+ 3− 2++ 2007− 2006)( 2007+1) =( 2007−1)( 2007+1)=2006． 19练习10: 【学习框2】 （★★★☆☆）化简下面式子. 1 1 1 1 （1） + + ++ 的值． 2+1 3+ 2 4+ 3 2009+ 2008 1 1 1 1 （2）( + + ++ )( 2n+1+1) 3+1 5+ 3 7+ 5 2n+1+ 2n−1 【配题说明】分母有理化找规律题型 【常规讲解】 1 1 1 1 （1）解： + + ++ 2+1 3+ 2 4+ 3 2009+ 2008 = 2−1+ 3− 2+ 4− 3++ 2009− 2008 = 2009−1． 1 （2）原式= ( 3−1+ 5− 3++ 2n+1− 2n−1)( 2n+1+1) 2 1 = ( 2n+1−1)( 2n+1+1) 2 1 = (2n+1−1) 2 =n 20全真战场 教师可以根据课堂节奏将“全真战场”作为课堂补．充．练习或课后补．充．练习让学生的完成 关卡一 练习1: 1 （1）（★★☆☆☆）化简： =_________． 3+1 1 （2）（★★★☆☆）计算： 12 − 18+3 + 8． 3 1 （3）（★★★☆☆）计算：− 18−3 +(− 2)2 − 4． 3 【常规讲解】 3−1 3−1 （1）解：原式= = ． ( 3+1)( 3−1) 2 3−1 故答案为： ． 2 3 （2）解：原式=2 3−3 2 +3 +2 2 3 =2 3−3 2 + 3+2 2 =3 3− 2． 1 （3）解：− 18−3 +(− 2)2 − 4 3 =−3 2 − 3+2−2 =−3 2 − 3； 练习2: 1 1 1 1 1 （1）（★★★☆☆）计算：3 +2 1 − 5 − 3 ． 5 3 3 5 5 3x 3 （2）（★★★☆☆）计算： 12 +6 −4x ． 4 x 1 y2 2 （3）（★★★☆☆）（2022•嘉定区中科院上海实验学校月考）计算： x4y(−4 )+ xy2 ． 3 x 9 【常规讲解】 1 1 1 1 1 3 4 4 4 11 （1）解：3 +2 1 − 5 − 3 = 5+ 3− 3− 5= 5； 5 3 3 5 5 5 3 3 25 25 213x 3 （2）解： 12 +6 −4x 4 x 3x 3x =2 3+6 −4x 2 x =2 3+3 3x −4 3x =2 3− 3x ． x2 y 2y （3）解：解：原式= y(−4  x)+ x 3 x 9 4xy 2y =− xy + x． 3 9 练习3: 1 （★★★☆☆）阅读下面的解答过程，然后答题：已知a为实数，化简 −a3 −a − ． a 1 解：原式=a. −a −a. −a ① a =(a−1). −a ② （1）上述解答是否有错误？ （2）若有错误，从第几步开始出现错误？ （3）写出正确的解答过程． 【常规讲解】 解：（1）解答有错误； （2）从第①步开始出现错误； 1 （3）原式=−a −a −a (− ) −a a =−a −a + −a =(−a+1) −a ． 练习4: 2 b a （★★★☆☆）已知：a+b=−3，ab= ，求b +a 的值． 3 a b 【常规讲解】 22b a b ab a ab (a+b)2 −2ab 由题意可得：a0，b0，则b +a = + ==− ab ， a b −a −b ab 2 (−3)2 −2 2 3 2 23 代入a+b=−3，ab= ，得原式=− =− 6． 3 2 3 6 3 练习5: x−3 （★★★★☆）（2022•静安区同济大学附属七一中学期中）已知y =− (x−3) y，化简 y x2 −8x+16+ (y−1)2 − (x−3)2 ． 【常规讲解】 x−3 解： y =− (x−3) y 0， y y0，x−3 0， x 3，  x2 −8x+16+ (y−1)2 − (x−3)2 = (x−4)2+| y−1|−|x−3| =|x−4|+| y−1|−|x−3| =4−x+1− y−3+x =2− y． 关卡二 练习6: （★★★★☆）已知a，b是实数，且( 1+a2 +a)( 1+b2 +b)=1，问a，b 之间有怎样的关 系． 【常规讲解】 解： ( 1+a2 +a)( 1+b2 +b)=1， 等式的两边都乘以( 1+a2 −a)，得 1+b2 +b= 1+a2 −a①， 等式的两边都乘以( 1+b2 −b)得 1+a2 +a= 1+b2 −b②， ①+②，得 1+b2 +b+ 1+a2 +a= 1+b2 −b+ 1+a2 −a， 整理，得2a+2b=0 23所以a+b=0 故答案为：a+b=0 练习7: 2x+ xy +3y （★★★★☆）已知 x 、 y 为正数，且 x( x + y)=3 y( x +5 y)，求 的 x+ xy − y 值． 【常规讲解】 解：由已知条件得x−2 xy −15y=0， ( x +3 y)( x −5 y)=0， x +3 y 0，  x −5 y =0，  x =5 y ，x=25y， 2x+ xy +3y 50y+5y+3y 58y  = = =2． x+ xy − y 25y+5y− y 29y 练习8: a−b a−b （★★★★☆）已知 a + b =1，且 a =m+ ， b =n− ，其中m、n均为有理数， 2 2 求m2 +n2的值． 【常规讲解】 a−b a−b 解： a + b =1， a =m+ ， b =n− ， 2 2 a−b ( a + b)( a − b) a − b a + b 1 m= a− = a− = a− = = ， 2 2 2 2 2 a−b ( a + b)( a − b) a − b a + b 1 n= b+ = b+ = b+ = = ， 2 2 2 2 2 1 1 1 m2 +n2 = + = ． 4 4 2 24