文档内容
04A 二次根式的应用
考情链接
1. 本次任务由三个部分构成
（1）二次根式的混合运算
（2）二次根式的化简求值
（3）二次根式与不等式、方程
2. 考情分析
（1）二次根式的应用是二次根式的部分，属于方程与代数式板块，占中考考分值约 15%。
（2）主要考察二次根式的混合运用、化简求值以及与方程、不等式之间的联系，选择题、
填空题和解答题都会出题。
（3）对应教材：八年级上册第十六章二次根式第二节。
（4）二次根式是中考中的重点内容，主要是性质的运用和二次根式的运算，其中掌握二次
根式的运算是重点，理解二次根式的性质是关键．二次根式的综合运算是二次根式的加、减、
乘、除、乘方、开方的混合运算，掌握好方法与技巧，能够进一步开拓学生的解题思路，提
高学生的解题能力。
1知识加油站 1——二次根式的混合运算
考点一：二次根式的混合运算
知识笔记1
二次根式的混合运算
（1）实数的运算律、运算性质以及运算顺序规定，在二次根式运算中都适用；
（2）二次根式的运算中要灵活运用运算律、运算性质、__________等进行解题．
例题1:
（1）（2022•嘉定区中科院上海实验学校月考）计算：( 5−2)2022( 5+2)2023 =__________．
（2）计算：(a−2 b)2 −(a+2 b)2 =__________．
（3）（2023•静安区校级期末）计算：( 5−2)2023( 5+2)2024＝__________．
（4）（2023•松江区期中）已知( x+ y +3)( x+ y −1)=5，则 x+ y =__________．
练习1:
（1）（2022•闵行区上海实验学校西校期中）计算：( 3+ 2)2019( 3− 2)2020 =__________．
（2）计算：(2+ 3)(2− 3)=__________．
（3）（2023•浦东新区期末）计算：
1
①(2x− y+1)(2x+ y−1)； ②(2 2+3)2023(2 2−3)2024 −4 − (1− 2)2 ．
8
2例题2:
（1）（2023•奉贤区校级期中）
4 3
①计算：( 3−1)2 − − 3( 3− )；②计算：( 2 3)2 + ( 3−2)2 +( 2−1)2．
3−1 3
a2 b2
③计算：12a a2b3b2 ．
b a
（2）（2023•普陀区校级期中）
12 1 3 3
①计算：2y +( 4x)
y3 2 xy 4
4
②计算：( 5−1)2 + +(2 5− 7)(2 5+ 7)+| 5−2|
5−1
2+1 1
③（2022秋•杨浦区期末）计算： 18− −4 − ( 3−2)2
2−1 8
3练习2:
1 1
（1）（2022•普陀区曹杨二中期中）计算：4 2 3−( 3+ 2)2 + ．
2 3−2
1 6 4
（2）（2023秋•崇明区期中）计算： (2− 5)2 − 12+ + ．
2 3 5−1
2
（3）（2022•宝山区期末）计算：(4 3+7)(4 3−7)+ ．
5− 3
1 8 − 1
（4）（2023春•浦东新区校级期末）计算：3 −( ) 3 −( 3+1)2 +(2022+2023)0．
3 27
1
（5）（2023春•松江区期中）计算：(x+2 xy + y)( x+ y)−( xy + x) ．
x
4考点二：二次根式新定义题型
例题3:
（2023 秋•浦东新区校级期末）对于任意正数 m ， n ，定义运算※如下： m ※
m− n(m n),
n= 计算(3※2)(8※12)的结果为__________．
m+ n(mn)
练习3:
a
（2022•黄浦区大同中学月考）符号“*”表示一种新的运算，规定a*b= a b− ，则6*2
b
的值为__________．
知识加油站 2——二次根式的化简求值
考点三：代数式的化简求值
知识笔记2
二次根式的化简求值
二次根式化简求值就是运用________、分解变形、构造关系等重要的技巧与方法，解题的关
键是，需把已知条件化简，或把已知条件变形。
例题4:
（1）当a=−2时，二次根式 1−4a 的值是__________．
x− y
（2）若x= 5+1，y= 5−1，则 的值为__________．
x2 − y2
2 a−1 a2 +1
（3）（2023秋•长宁区校级期中）当a= ，化简代数式 + −2，并求值．
3 a −1 a
5练习4：
（1）若x= 2−1，则x3 +x2 −3x+2035的值为__________．
a b
（2）若a=2+ 3，b=2− 3，则 − 的值为__________．
b a
1 1
（3）（2023秋•金山区期中）如果a= 5−2，则 + +a2 −2 =__________．
a a2
例题5:
1 1+2a+a2 a2 −4a+4
（1）（2022•宝山区期中）已知a= ，求 − 的值．
2+ 3 a+1 a2 −2a
3− 2 3+ 2
（2）已知：x= ，y= ，求代数式x2 −3xy+ y2的值．
3+ 2 3− 2
2 x2 −1 x2 +2x+1 1
（3）（2023 秋•杨浦区期中）先化简，再求值：已知x= ，求 − −
1+ 3 x−1 x2 +x x
的值．
1 1
（4）（2023秋•浦东新区期中）已知x= ，y= ，求x2 −3xy+ y2的值．
2+1 2−1
6练习5:
1 x+3 2x2 +x−1
（1）（2022•静安区市西中学期中）已知x= ，求 + 的值．
3+2 x2 +3x 2x−1
x−2 xy + y 1
（2）（2022•青浦区东方中学期中）先化简再求值： ，其中
x−y x+2 xy + y
1 1
x= ，y=
3+2 2 3−2 2
1 1
（3）（2022•青浦区期中）已知x= ,y= ，求代数式：x2 −xy+ y2的值．
7− 5 7+ 5
例题6:
1 1
（1）已知 a+ =3，则a+ =__________．
a a
（2）已知 2022−a + a−2023=a，则a−20222 =__________．
练习6:
1 1
（1）已知x+ =5，则 x−1+ 的值是__________．
x−1 x−1
x+ y 2xy
（2）已知y= x−8+ 8−x +18，求代数式 − 的值．
x− y x y −y x
7知识加油站 3——二次根式与不等式、方程
考点四：解含有二次根式的方程和不等式
知识笔记3
二次根式与不等式、方程
（1）方程的运算、_____________以及运算顺序规定，在二次根式运算中都适用；
（2）二次根式的运算中要灵活运用不等式的性质、运算性质等进行解题．
例题7:
（1）（2022•静安区同济大学附属七一中学期中）不等式 2 3x+63 2x 的解集是
__________．
（2）（2023秋•杨浦区期中）解不等式： 3x 2x−1的解集是__________．
（3）若a 2a+1，化简|a+ 2|− (a+ 2+1)2 =__________．
（4）（2022•虹口区上海外国语大学附中月考）解方程： 2x+2 6 = 3x+ 5x．
2 x−3 y =2
（5）（2022•浦东新区张江集团中学期中）已知方程组 ，那么2 x+3 y的值
4x−9y=12
是__________．
练习7:
（1）（2022•长宁区上海第三女子中学期中）解不等式： 2x−5 3x的解集是__________．
（2）（2023秋•普陀区校级期中）不等式2x−5 5x的解集是__________．
（3）求满足(1− 3)x1+ 3 的最大整数解．
83 2 2
（4） x+1= x．
2 3
3x− 2y= 2
（5）解方程组： ．
x− 6y=1
考点五：二次根式大小比较
例题8:
（1）比较大小：2 3 ______3 2 ．（用，=或填空）
1
（2）比较大小：2+ 3 ______ ．（用，=或填空）
3− 2
1 1
（3）比较 与 的大小．
6−2 8− 6
a+4 a+5
（4）比较 与 的大小．
a+5 a+6
练习8：
（1）比较大小：3 11______4 6．（用，=或填空）
1 1
（2）比较大小： ______ ．（用，=或填空）6
3－ 7 7－ 5
1 1
（3）比较 与 的大小.
7− 5 5− 3
9全真战场
关卡一
练习1:
1 48− 12
（1）计算：( )−1+ =______．
2 3
（2）（2022•静安区市西中学期中）
计算：(2− 3)2+| 12− 18|− ( 3−2)2 −( 5−1)0．
练习2:
不等式 2x−3 3x的解集是__________________．
练习3:
x+ 2y=2 2
（1）解方程组： ．
2x− y=3 2
3x− 2y=1
（2）解方程组： ．
2x− 3y=0
练习4:
y x 1
（1）化简并求值： 25xy +x −4y − xy3 ，其中x=1，y=2．
x y y
（2）已知x=2− 3，y=2+ 3．则代数式x2 + y2 −2xy的值为______．
10关卡二
练习5:
3+ 4−2 3
化简 =________．
6+ 2
练习6:
（2022•宝山区上海市宝山实验学校期中）定义[x]表示不超过实数 x的最大整数，设
5+1
= ，则[16]=______．
2
练习7:
2 2+ 5 a5 −7a4 +6a3 −7a2 +11a+13
（2022•虹口区外国语大学附中月考）已知a= ，求 的
5− 2 a2 −6a+4
值．
11
