文档内容
05A 一元二次方程的概念及基本解法
考情链接
1. 本次任务由四个部分构成
（1）一元二次方程的概念
（2）一元二次方程的一般式
（3）一元二次方程的解
（4）直接开平方法
2. 考情分析
（1）一元二次方程的概念是一元二次方程的部分，属于方程与代数式板块，占中考考分值
约10%。
（2）主要考察一元二次方程的概念、方程的解、直接开平方法，以选择题、填空题为主，
方程的解、直接开平方法考察解答题。
（3）对应教材：八年级上册第十七章一元二次方程第一节。
（4）一元二次方程概念及解法是八年级数学上学期第二章第一节内容，主要对一元二次方
程概念和直接开平方法解一元二次方程进行讲解，重点是一元二次方程概念的理解，难点是
开平方法解一元二次方程．通过这节课的学习一方面为我们后期学习因式分解法，配方法，
公式法解一元二次方程提供依据，另一方面也为后面学习函数奠定基础。
环节 需要时间
自主任务讲解 10分钟
切片1：一元二次方程的概念 20分钟
切片2：一元二次方程的一般式 20分钟
切片3：一元二次方程的解 20分钟
切片4：直接开平方法 30分钟
出门测 10分钟
错题整理 10分钟
1知识加油站1——一元二次方程的概念【建议时长：20分钟】
考点一：一元二次方程的判断
知识笔记1
一元二次方程的概念
（1）整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式的方程叫做_____________；
（2）一元二次方程：只含有__________________，且________________是_________的
________________称作一元二次方程．
【填空答案】
（1） 整式方程
（2）一个未知数；未知数的最高次数；2；整式方程
例题1:
（1）（★★☆☆☆）下列方程中，哪些是一元二次方程？哪些不是一元二次方程．
①2x+3y2 =9； ②(x−3)(x−3)=x2 −x；
4
③ 3(x−2)(x−1)=0； ④ −2=0；
x2
⑤3x2 −2 x =2； ⑥ax2 +b=0；（a,b为已知数）；
⑦3x2+2y+2=2y．
（2）（★★☆☆☆）判断下列方程是否一元二次方程？哪些不是一元二次方程．
① ax2 −x− 2x+ 3x2 +b=c（a,b,c为有理数）；
②( 2m2 +m−3 ) xm+1+5x=13．
【常规讲解】
（1）③和⑦是一元二次方程
①中两个未知数，是二元二次方程；②中对式子进行整理，两边x2项都消去了，剩下−x=−9，
为一元一次方程；④式方程；⑤方程；⑥中未明确说明a≠0，不可判定为一元二次方程；⑦
化简即为3x2 +2=0，是一元二次方程．
2（2）①首先将方程整理成一般形式，即为： ( a+ 3 ) x 2 − ( 1+ 2 ) x+b−c=0，
根据二次项系数是否为0进行分类讨论，可知：a为有理数，所以a+ 3≠0，即a≠− 3，
是一元二次方程；
②m+1≠2时，显然不是一元二次方程；m+1=2，即m=1时，此时二次项系数
2m2 +m−3=0，也不为一元二次方程；可知方程②不是一元二次方程．
练习1: 【学习框8】
2
（★★☆☆☆）关于x的方程：① ax2 +bx+c=0；②x2 + −4=0；③2x2 −3x+1=0；④
x
x2 −2+x3 =0．其中是一元二次方程的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【常规讲解】
解：①ax2 +bx+c=0，当a=0时，该方程不是一元二次方程；
2
②x2 + −4=0属于分式方程；
x
③2x2 −3x+1=0符合一元二次方程的定义；
④x2 −2+x3 =0的最高次数是3，属于一元三次方程；
综上所述，其中一元二次方程的个数是1个．
故选：A．
考点二：一元二次方程的定义求参数
知识笔记2
一元二次方程的满足条件：
（1）__________________________；
（2）__________________________．
【填空答案】
（1）二次项系数不为0
（2）为最高项次数=2
3例题2
（1）（★★☆☆☆）已知方程(a+2)x|3a|−4 +6ax+1=0是关于x的一元二次方程，求a的值．
（2）（★★★☆☆） 方程(m−3)xm2−7 +(m−2)x+5=0
①m为何值时，方程是一元二次方程；
② m为何值时，方程是一元一次方程．
【常规讲解】
（1）解：方程(a+2)x|3a|−4 +6ax+1=0是关于x的一元二次方程，
∴|3a|−4=2且a+2≠0，
解得：a=2．
（2）解：①关于方程(m−3)xm2−7 +(m−2)x+5=0是一元二次方程，
∴m2 −7=2且m−3≠0，
解得m=−3．
故m为−3时，方程是一元二次方程；
②关于(m−3)xm2−7 +(m−2)x+5=0是一元一次方程，
∴m−3=0且m−2≠0或m2 −7=1或m2 −7=0，
解得m=3或m=±2 2或m=± 7
故m为3或±2 2或± 7时，方程是一元一次方程．
练习2: 【学习框10】
（1）（★★☆☆☆）（2022•黄浦区大同中学月考）已知关于x的方程(m−1)xm2+1+2x−3=0是
一元二次方程，则m的值为_______．
（2）（★★★☆☆）k取何值时，关于x的方程(k2 −1)x2 +2(k+1)x+3(k−1)=0
①是一元一次方程？
②是一元二次方程？
【常规讲解】
（1）解：由一元二次方程的定义得：m2 +1=2，且m−1≠0，
解得：m=−1．
4故答案为：−1．
（2）解：①要使方程是一元一次方程，则k2 −1=0且2(k+1)≠0，
∴k =±1且k ≠−1，∴k =1；
②要使方程是一元二次方程，则k2 −1≠0，
知识加油站2——一元二次方程的一般式【建议时长：20分钟】
考点三：一元二次方程系数
知识笔记3
一元二次方程的一般式
任何一个关于x的一元二次方程都可以化成ax2 +bx+c=0_________的形式，这种形式简称
为一元二次方程的一般式．其中ax2叫做_________，a是_________；bx叫做_________，
b是一次项系数；c叫做_________．
【填空答案】
（a≠0）；二次项；二次项系数；一次项；常数项。
例题3:
（1）（★★☆☆☆）（2022•浦东新区进才实验中学月考）一元二次方程(1+3x)(x−3)=2x2 +1
的一次项系数为_________．
（2）（★★☆☆☆）一元二次方程3x(x−1)=2(x+2)化为一般形式后二次项系数是_________，
一次项是_________．
（3）（★★☆☆☆）一元二次方程4x−x2 =3中，当二次项系数是−1时，一次项系数是
_________、常数项是_________．
【常规讲解】
（1）解：(1+3x)(x−3)=2x2 +1，
x−3+3x2 −9x−2x2 −1=0，
5x2 −8x−4=0，
故一元二次方程(1+3x)(x−3)=2x2 +1的一次项系数为−8．
故答案为：−8．
（2）解：将方程整理为一般式，得：3x2 −5x−4=0，
所以二次项系数是3，一次项是−5x，
故答案为：3、−5x．
（3）解：4x−x2 =3，
−x2 +4x−3=0，
故当二次项系数是−1时，一次项系数是4、常数项是−3．
故答案为：4；−3．
练习3: 【学习框12】
（★★☆☆☆）判断下列方程是不是一元二次方程，如果是，指出它们的各项系数和常数项：
（1）3y=4y(2− y)；
（2）2a(a+5)=10；
（3）x2(3+x)+1=5x；
（4）3+2m2 =2(2m−3)．
【常规讲解】
解：（1）原方程整理，得：4y2 −5y=0，是一元二次方程，
二次项系数为4，一次项系数为−5，常数项为0；
（2）原方程整理，得：a2 +5a−5=0，是一元二次方程；
二次项系数为1，一次项系数为5，常数项为−5；
（3）方程整理，得：x3 +3x2 −5x+1=0，不是一元二次方程，
三次项系数为1，二次项系数为3，一次项系数为−5，常数项为1；
（4）方程整理，得：2m2 −4m+9=0，是一元二次方程，
二次项系数为2，一次项系数为−4，常数项为9．
6例题4:
（1）①（★★☆☆☆）若m2x2 −(2x+1)2 +(n−3)x+5=0是关于x的一元二次方程，且不含x
的一次项，则m=_______，n=_______．
②（★★☆☆☆）已知关于x的一元二次方程(a−3)x2 −2x+a2 −9=0的常数项是 0，则a=
_______．
（2）①将一元二次方程(x+a)2 =b，化成x2 −8x−5=0的形式，则a，b的值分别是( )
A．−4，21 B．−4，11 C．4，21 D．−8，69
②（★★★☆☆）一元二次方程a(x−1)2 +b(x−1)+c=0化为一般形式2x2 −3x−1=0，试求
a、b、c的值．
③（★★☆☆☆）（2022•徐汇区南洋模范中学月考）若一元二次方程x2 −ax=2a−1的各项系
3
数的和为 ，则a=_________．
2
【配题说明】一元二次方程化简成一般式对应系数求参
【常规讲解】
（1）①解：由m2x2 −(2x+1)2 +(n−3)x+5=0知，
根据题意知，m2 −4≠0，n−7=0，
解得m≠±2，n=7．
故答案是：≠±2，7．
②解：关于x的一元二次方程(a−3)x2 −2x+a2 −9=0的常数项是0，
∴a2 −9=0，即a=3或a=−3，
当a=3时，方程为−2x=0，不符合题意，
则a=−3．
故答案为：−3．
（2）①解：(x+a)2 =b，
则x2 +2ax+a2 =b，
∴x2 +2ax+a2 −b=0，
由题意得：2a=−8，a2 −b=−5，
7解得：a=−4，b=21，
故选：A．
② 解 ： 一 元 二 次 方 程 a(x−1)2 +b(x−1)+c=0 化 为 一 般 形 式 后 为
ax2 −(2a−b)x−(b−a−c)=0，
一元二次方程a(x−1)2 +b(x−1)+c=0化为一般形式后为2x2 −3x−1=0，得
a=2 a=2
2a−b=3 ，解得b=1 ．
b−a−c=1 c=−2
③解：移项，得x2 −ax−2a+1=0．
3
由各项系数的和为 ，得
2
3
1−a−2a+1= ．
2
1
解得a= ．
6
1
故答案为： ．
6
练习4: 【学习框14】
（1）①（★★★☆☆）（2023•杨浦区期中）若关于x的一元二次方程(m−3)x2 −3x+m2 =9的
常数项为0，则m=_______．
②（★★★☆☆）若关于x的一元二次方程(m−1)x2 +2x+m2 −1=0的常数项为0，则m的值
是_______．
（2）①（★★★☆☆）把方程3x2 +x=2(x−2)化成ax2 +bx+c=0的形式，则a，b，c的值
分别为( )
A．3，1，4 B．3，−1，4 C．3，−1，−4 D．3，4，−1
②（★★★☆☆）一元二次方程a(x−1)2 +b(x−1)+c=0化为一般形式后为2x2 −3x−1=0，
a+b
试求 的值．
c
③（★★★☆☆）设 a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项，且满足
(a−3)4 + b+2+|a+b+c|=0，求满足条件的一元二次方程．
8【配题说明】一元二次方程化简成一般式对应系数求参
【常规讲解】
（1）①解：方程整理得：(m−3)x2 −3x+m2 −9=0，
由常数项为0，得到m2 −9=0，
解得：m=3（舍去）或m=−3，
则m=−3，
②解：根据题意得：m2 −1=0，
解得：m=1或m=−1，
当m=1时，方程为2x=0，不合题意，
则m的值为−1，
故答案为：−1
故答案为：−3
（2）①解：将原方程转化为一般形式为3x2 −x+4=0，
∴a=3，b=−1，c=4．
故选：B．
②解：原方程可化为：
ax2 −(2a−b)x+a−b+c=0，
由题意得，a=2，2a−b=3，a−b+c=−1，
解得：a=2，b=1，c=−2，
a+b 3
=−
c 2
③(a −3)4 ≥ 0 ， b+2≥0，|a+b+c|≥0，
又(a−3)4 + b+2+|a+b+c|=0，
∴a−3=0，b+2=0，a+b+c=0，
∴a=3，b=−2，c=−1，
∴满足条件的一元二次方程是3x2 −2x−1=0．
9知识加油站3——一元二次方程的解【建议时长：20分钟】
考点四：一元二次方程的根
知识笔记4
一元二次方程的解
能够使一元二次方程____________________________叫做方程的解．只含有一个未知数的方
程，它的解又叫做__________．
【填空答案】
左右两边的值相等的未知数的值；方程的根
（老师可以在此提问学生解和根有什么区别？）
答：根与解的区别主要体现在一元方程与多元方程上。
对于一元方程，方程的根和解是相同的，都指的是使方程成立的未知数的值。
对于多元方程，方程的解和根是有区别的，多元方程通常不含根的概念，因为它们涉及多个
未知数,在这种情况下，方程的解是指满足方程所有条件的未知数的整体集合，而不仅仅是
单个值。
例题5:
（★★☆☆☆）判断方程后面括号里的数是否为方程的根．
（1）2x2 −2=3x(− 1 ，2)； （2）(2x− 3)2 =3 ( 3，− 3 ) ．
2
【常规讲解】
1
（1）将x=− 代入原方程，
2
1 2 3 1 3
左边=2×− −2=− ，右边=3×− =− ，
2 2 2 2
1
左边 = 右边，所以− 是原方程的根；将x=2代入原方程，
2
左边=2×22 −2=6，右边=3×2=6，左边=右边，
所以2是原方程的根；
（2）将x= 3代入原方程，
10( )2
左边= 2 3− 3 =3，右边=3，
左边
=
右边，所以 3是原方程的根；
( )2
将x=− 3代入原方程，左边= −2 3− 3 =27，右边=3，左边≠右边，
所以− 3不是原方程的根．
练习5: 【学习框16】
（★★☆☆☆）检验−3和 1 是不是方程4x2 −9=2x−7的解？检验结果是：__________是这
个方程的解．
【常规讲解】
解：当x=−3时，左边=4×9−9=−27，右边−6−7=−13，左边≠右边，所以x=−3不是原
方程的解；
当x=1时，左边=4−9=−5，右边=2−7=−5，左边=右边，所以x=1是原方程的解；
综上所述，x=1是原方程的解．
故答案为：x=1．
考点五：一元二次方程求参
例题6:
（1）（★★☆☆☆）（2022•静安区同济大学附属七一中学期中）若关于x的一元二次方程
(m−1)x2 +3x+m2 −1=0有一根为0，则m=________．
（2）（★★☆☆☆）（2022•闵行区上海实验学校西校期中）关于x的方程3x2 +mx−1=0的一
个根是2，则m=________．
【常规讲解】
（1）解：把x=0代入方程得m2 −1=0，解得m=±1，
而m−1≠0，
所以m=−1．
故答案是：−1．
（2）解：把x=2代入方程3x2 +mx−1=0，得
1112+2m−1=0，
11
解得m= ．
2
11
故答案为： ．
2
练习6: 【学习框18】
（1）（★★★☆☆）（2022•宝山区期中）关于x的一元二次方程(a− 2)x2 +x+a2 −2=0的一
个根是0，那么a的值是________．
（2）（★★★☆☆）（2022•普陀区期中）关于x的一元二次方程x2 −(m−2)x−2m=0有一个根
为2，那么m的值为________．
【常规讲解】
（1）解：依题意得a2 −2=0，且a− 2 ≠0，
解得a=− 2．
故选：−
2
．
（2）解：关于x的一元二次方程x2 −(m−2)x−2m=0有一个根为2，
∴22 −2(m−2)−2m=0
，
整理，得−4m+8=0，
解得m=2．
故答案是：2．
考点六：整体法求值
例题7：
（1）（★★★☆☆）如果a+b+c=0，那么一元二次方程ax2 +bx+c=0，必有一个根是
________．
（2）（★★★☆☆）（2023 秋•杨浦区期中）已知a为方程x2 −3x−6=0的一个根，则代数式
6a−2a2 +2023的值.
12a2 +1
（3）（★★★☆☆）已知a是方程x2 −2023x+1=0的一个根，则a3 −2023a2 + 的值.
2023
【常规讲解】
（1）解：由题意，一元二次方程ax2 +bx+c=0满足a+b+c=0 ，
∴当x=1时，代入方程ax2 +bx+c=0，有a+b+c=0；
综上可知，方程必有一根为1．
故答案为：1．
（2）解：a是方程x2 −3x−6=0的一个根，
∴a2 −3a−6=0，
∴a2 −3a=6，
∴6a−2a2 +2023
=−2(a2 −3a)+2023
=−2×6+2023
=2011．
故答案为：2011．
（3）解：a是方程x2 −2023x+1=0的一个根，
∴a2 −2023a+1=0，
a2 +1
∴a2 −2023a=−1，a= ，
2023
a2 +1
∴a3 −2023a2 + =a(a2 −2023a)+a=−a+a=0．
2023
故答案为：0．
练习7：【学习框20】
（1）①（★★★☆☆）（2023秋•静安区校级期中）如果a+b=−c，则方程ax2 +bx+c=0必
有一解为x=__________．
②（★★★☆☆）在一元二次方程ax2 +bx+c=0中，若a、b、c满足关系式a−b+c=0，
则这个方程必有一个根为__________．
（2）（★★★☆☆）（2022 秋•长宁区校级期中）a是方程x2 +x−1=0的一个根，则代数式
−2a2 −2a+2022值是__________．
13（3）①（★★★★☆）（2020•金山区期中）若关于 x 的方程 ax2 +bx+c=0(a≠0) 满足
a−b+c=0，称此方程为“月亮”方程．已知方程a2x2 −1999ax+1=0(a≠0)是“月亮”方程，
1999a
求a2 +1999a+ 的值为( )
a2 +1
A．0 B．2 C．1 D．−2
2018
②（★★★★☆）已知a是方程x2 −2018x+1=0的一个根，求a2 −2017a+ 的值．
a2 +1
【常规讲解】
（1）①解：ax2 +bx+c=0，若a+b+c=0，
∴当x=1时，a+b+c=0，
∴此方程必有一个根为1，
故答案为：1．
②解：a是方程x2 +x−1=0的一个根，
∴a2 +a−1=0，
整理得，a2 +a=1，
∴−2a2 −2a+2022=−2(a2 +a)+2022
=−2×1+2022
=2020．
故答案为：2020．
（2）解：由题意，一元二次方程ax2 +bx+c=0，满足a−b+c=0，
∴当x=−1时，一元二次方程ax2 +bx+c=0即为：a×(−1)2 +b×(−1)+c=0；
∴a−b+c=0，
∴当x=1时，代入方程ax2 +bx+c=0，有a+b+c=0；
综上可知，方程必有一根为−1．
故答案为：−1．
（3）①方程a2x2 −1999ax+1=0(a≠0)是“月亮”方程，
∴a2 +1999a+1=0，
∴a2 +1999a=−1，a2 +1=−1999a，
141999a 1999a
a2 +1999a+ =−1+ =−1−1=−2．
∴ a2 +1 −1999a
故选：D．
②解：a是方程x2 −2018x+1=0的一个根，
∴ x2 −2018x+1=0，
∴a2 =2018a−1，
2018 2018
∴a2 −2017a+ =2018a−1−2017a+
a2 +1 2018a−1+1
1
=a−1+
a
a2 +1
= −1
a
2018a−1+1
= −1
a
=2018−1
=2017．
知识加油站4——直接开平方法【建议时长：30分钟】
考点七：用开平方解方程
知识笔记5
直接开平方法
如果一元二次方程的一边是，另一边是______________，那么就可以用直接开平方法求解，
这种方法适合形如______________的形式求解．
【填空答案】
含有未知数的代数式的平方；一个非负的常数；(x+h)2 =k(k ≥0)
例题8:
用直接开平方法解下列方程．
（1）（★★☆☆☆）（2022•宝山区期末）方程2x2 =1的解是_______．
（2）（★★☆☆☆）（2021•浦东新区新竹园中学月考）方程 x2 − 64 =0的两根为 x =
1
15_______，x =_______．
2
（3）（★★★☆☆）（2022•嘉定区中科院上海实验学校月考）解方程：3(x−1)2 +1=16．
（4）（★★★☆☆）（2021•徐汇区徐汇中学期中）解方程： 2(6−x)2 =128 2 ．
【常规讲解】
（1）解：2x2 =1，
1
x2 = ，
2
2
x=± ，
2
2 2
所以x = ，x =− ．
1 2 2 2
2 2
故答案为：x = ，x =− ．
1 2 2 2
（2）解：移项得：x2 =8，
开方得：x=±2 2，
即x =2 2，x =−2 2，
1 2
故答案为：2 2，−2 2 ．
（3）解：3(x−1)2 +1=16，
3(x−1)2 =15，
(x−1)2 =5，
x−1=± 5
解得：x =1+ 5，x =1− 5．
1 2
（4）解： 2(6−x)2 =128 2 ，
(x−6)2 =128，
∴x−6=±8 2，
∴x =6+8 2，x =6−8 2 ．
1 2
练习8：【学习框22】
用直接开平方法解下列方程．
（1）（★★☆☆☆）x2 −9=0．
16（2）（★★☆☆☆）4(x−2)2 −36=0．
（3）（★★☆☆☆）解关于x的方程：9x2 − 625 =0．
（4）（★★★☆☆）（2021•静安区民立中学月考）解方程： 2(2x−5)2 =9 2．
1
（5）（★★★☆☆）（2022•嘉定区月考）解方程： (2x−2)2 −16=0．
3
【常规讲解】
解：（1）x2 −9=0，∴x2 =9，
∴x=±3．
（2）4(x−2)2 −36=0，
∴(x−2)2 =9，
∴x=5或x=−1．
625 25 25
（3）整理方程，即得x2 = = ，直接开平方法解方程，得：x=± ，
9 9 9
5 5
即方程两根为x = ，x =−
1 3 2 3
（4）解：
2(2x−5)2 =9 2，
∴(2x−5)2 =9，
则2x−5=3或2x−5=−3，
解得x =4，x =1．
1 2
1
（5） (2x−2)2 −16=0，
3
(2x−2)2 =48，
2x−2=±4 3，
x=1±2 3
例题9：
（1）（★★★☆☆）（2021•徐汇区南洋模范中学月考）解方程：4(x+1)2 −9(x−2)2 =0
（2）（★★★☆☆）（2023•长宁期中）解方程：(x−1)2 =9(2x+5)2
17【配题说明】特殊两边开平方题型
【常规讲解】
（1）解：4(x+1)2 =9(x−2)2，
∴2(x+1)=±3(x−2)，
4
∴x =8，x = ．
1 2 5
（2）解：(x−1)2 =9(2x+5)2，
x−1=3(2x+5) 或x−1=−3(2x+5)
，
16
解得，x =− ，x =−2；
1 5 2
练习9：【学习框24】
（1）（★★★☆☆）解一元二次方程(3x−1)2 −(x+1)2 =0
（2）（★★★☆☆）（2021•青浦期中）解一元二次方程(x+3)2 =(3x−5)2
【配题说明】特殊两边开平方题型
【常规讲解】
（1）解：(3x−1)2 −(x+1)2 =0，
平方差因式分解得：
(3x−1)−(x+1)
(3x−1)+(x+1)
=0，
整理得：
(2x−2)4x=0，
∴原方程的解为：x =1，x =0；
1 2
（2）解：(x+3)2 =(3x−5)2
两边同时开方，得x+3=±(3x−5)
，
则x +3=3x −5或x +3=−3x +5，
1 1 2 2
考点九：开平方法解含参方程
例题10:
（1）（★★★☆☆）解关于 x的方程 x2 −2kx−2=0 ．
18（2）（★★★☆☆）（2022•虹口区上海外国语大学附中月考）解方程：ax2 −1=1−x2
．
【常规讲解】
（1）整理方程，得x2 −2kx+k2 =k2 +2，即(x−k)2 =k2 +2，直接开平方法解方程，即得
x−k =± k2 +2 ，即得方程两根为x =k+ k2 +2，x =k− k2 +2．
1 2
（2）解：ax2 −1=1−x2 ，(a+1)x2 =2，
当a=−1时，方程无解；
2
当a≠−1时，x2 = ，
a+1
a+1<0时，方程没有实数解；
2 2a+2
a+1>0，x=± =± ，
a+1 a+1
2a+2 2a+2
即x =− ，x = ，
1 a+1 2 a+1
2a+2 2a+2
综上所述，a＝„ 1时，方程没有实数解；a>−1时，x =− ，x = ．
1 a+1 2 a+1
练习10: 【学习框26】
（★★★☆☆）（2021•闵行区期末）解关于
x的方程：a2x2 −1=−x2
．
【常规讲解】
解：当a=0时，−1=−x2 ，即x2 =1．
解得x =1，x =−1；
1 2
当a≠0时，a2x2 −1=−x2 ，即(a2 +1)x2 =1．
1
所以x2 = ．
a2 +1
1+a2 1+a2
解得x = ，x =− ．
1 1+a2 2 1+a2
1+a2 1+a2
综上所述， x的值是1或−1或 或−
1+a2 1+a2
19全真战场
教师可以根据课堂节奏将“全真战场”作为课堂补．充．练习或课后补．充．练习让学生的完成
关卡一
练习1:
（1）（★★☆☆☆）下面关于x的方程中：①ax2 +bx+c=0；②3(x−9)2 −(x+1)2 =1；
1
③x2 + +5=0；④x2 +5x3 −6=0；⑤3x2 =3(x−2)2；⑥12x−10=0．是一元二次方程个
x
数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
（2）（★★☆☆☆）关于x的方程3x2 −2(3m−1)x+2m=15有一个根−2，则m的值等于( )
1 1
A．2 B．− C．−2 D．
2 2
【常规讲解】
1
（1）解：关于x的方程中：①ax2 +bx+c=0；②3(x−9)2 −(x+1)2 =1；③x2 + +5=0；
x
④ x2 +5x3 −6=0；⑤3x2 =3(x−2)2；⑥12x−10=0．只有②是一元二次方程．故选：A．
（2）解：把x=−2代入方程3x2 −2(3m−1)x+2m=15得3×4−2(3m−1)×(−2)+2m=15，
1
解得m= ．
2
故选：D．
练习2:
（★★★☆☆）已知关于 x的方程(m2 −1)x2 +(m−1)x−2=0．
（1）当m为何值时，该方程为一元二次方程？
（2）当m为何值时，该方程为一元一次方程？
【常规讲解】
解：（1）关于x的方程(m2 −1)x2 +(m−1)x−2=0为一元二次方程，
∴m2 −1≠0，解得m≠±1，
即当m≠±1时，方程为一元二次方程；
（2）关于x的方程(m2 −1)x2 +(m−1)x−2=0为一元一次方程，
20∴m2 −1=0，且m−1≠0，解得m=−1，
即当m为−1时，方程为一元一次方程．
练习3:
（★★★☆☆）分别根据下列条件，写出关于x的一元二次方程ax2 +bx+c=0(a≠0)的一般形
式：
（1）a=2 ， b=3 ， c=1 ；
1 3 2
（2）a=− ，b= ，c=
2 4 5
【常规讲解】
解：（1）当a=2，b=3，c=1时，一元二次方程是2x2 +3x+1=0；
1 3 2 1 3 2
(2)a=− ，b= ，c= 时，一元二次方程是− x2 + x+ =0．
2 4 5 2 4 5
练习4:
（1）（★★★☆☆）解下列方程：(x−2)2 −9=0．
（2）（★★★☆☆）解下列方程：(2y−3)2 −64=0．
（3）（★★★☆☆）解关于x的方程：4(2x−5)2 =9(3x−1)2．
【常规讲解】
（1）解：(x−2)2 −9=0，
∴(x−2)2 =9，
∴x−2=±3，
∴x−2=3或x−2=−3，
解得：x =5，x =−1．
1 2
（2）解：方程整理得：(2y−3)2 =64，
开方得：2y−3=8或2y−3=−8，
解得： y =5.5或y=−2.5
（3）整理方程，即为 2 ( 2x−5 ) 2 = 3 ( 3x−1 ) 2，直接开平方法解方程，即得
212(2x+5)=±3(3x−1) ，得2(2x+5)=3(3x−1) 或2(2x+5)=−3(3x−1)
，解得方程两根分为
13 7
x = ，x =− ．
1 5 2 13
练习5:
1 1
（★★★☆☆）（2020•杨浦区期中）若关于 的一元二次方程a(x−m)2 =3的两根为 ± 3，
x 2 2
其中a、m为两数，则a=_______，m=_______．
【常规讲解】
解：a(x−m)2 =3，
3
∴(x−m)2 = ，
a
3
则x−m=± ，
a
3
∴x=m± ，
a
1
根据题意知m= ，a=4，
2
1
故答案为：4， ．
2
关卡二
练习5:
（★★★★☆）若x2a+b −2xa+b +3=0是关于 x的一元二次方程，求a，b的值．
【常规讲解】
解：x2a+b −2xa+b +3=0是关于 x的一元二次方程，
2a+b=2 a=1
∴
①
，解得
；
a−b=1 b=0
2
a=
2a+b=2 3
②
，解得 ；
a−b=0
b=
2
3
2a+b=1 a=1
③
，解得
；
a−b=2 b=−1
22 2
a=
2a+b=0 3
④
，解得 ；
a−b=2
b=−
4
3
4
a=
2a+b=2 3
⑤
，解得 ；
a−b=2
b=−
2
3
2 2 4
a= a= a=
a=1 3 a=1 3 3
综上所述
， ，
， ， ．
b=0
b=
2 b=−1
b=−
4
b=−
2
3 3 3
练习6:
（★★★★☆）已知a为方程2x2 −3x−1=0的一个根，求代数式(a+1)(a−1)+3a(a−2)的值．
【常规讲解】
解：原式=a2 −1+3a2 −6a
=4a2 −6a−1，
a为方程2x2 −3x−1=0的一个根，
∴2a2 −3a=1，
原式=2(2a2 −3a)−1
∴
=2×1−1
=2−1
=1．
23
