文档内容
12A 函数的表示法
考情链接
1. 本次任务由三个部分构成
（1）解析法
（2）列表法
（3）图像法
2. 考情分析
（1）函数表示法是函数的部分，属于函数与分析板块，占中考考分值约20%
（2）主要考察函数的表示法的解析法、列表法、图像法以填空题、解答题为主。
（3）对应教材：八年级上册第十八章函数第三节函数的表示法。
（4）函数的表示法是八年级数学上学期第十八章内容，主要对函数的三个表示法进行讲解，
重点是实际问题的函数表示法，难点是数形结合思想的应用的归纳总结．通过这节课的学习
为我们后期学习函数的应用提供依据。
环节 需要时间
自主任务讲解 10分钟
切片1：解析法 30分钟
切片2：列表法 30分钟
切片3：图像法 30分钟
出门测 10分钟
错题整理 10分钟
1知识加油站1——解析法【建议时长：30分钟】
考点一：函数解析式与实际问题的结合应用
知识笔记1
解析法
1．用等式来___________________________________，这个等式称为__________（或函数关
系式）．简单明了，能从解析式了解函数与自变量之间的关系，便于理论上的分析与研究，
但求对应值时需要逐个计算，且有的函数无法用解析式表示．
2．对函数的关系式（即解析式）的理解：
（1）函数关系式是_______．例如y=4x就是一个函数关系式．
（2）函数关系式中指明了那个是自变量，哪个是函数．
通常等式右边代数式中的变量是自变量，等式左边的一个字母表示函数．例如：y= 2x−4
中x是自变量，y是x的函数．
（3）函数关系式________________________．
1− y
例如：y=−3x+1是表示y是x的函数，若写成x= 就表示x是y的函数．求y与x的函
3
数关系时，必须是只用变量x的代数式表示y，得到的等式右边只含x的代数式．
【填空答案】
1．表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法；函数的解析式
2．等式；在书写时有顺序性
例题1:
（1）（★★☆☆☆）（2022•杨浦区期末）已知某等腰三角形的周长为36，腰长为x，底边长为
y，那么y关于x的函数关系式及定义域是( )
36− y
A．x= (9< y<18) B．y=36−2x(09．
故选：D．
1
（2）解：根据题意可知：S = |k|=4，
∆AOB
2
反比例函数的图象位于第二象限，k <0，
∴k =−8，
8
∴反比例函数解析式为y=− ．
x
8
故答案为：y=− ．
x
练习1: 【学习框8】
（1）（★★☆☆☆）若等腰三角形的周长为10cm，则底边长y(cm)与腰长x(cm)间的函数关系
式及自变量的取值范围正确的是( )
A．y=2x(010−2x
又 ，
10−2x>0
解得：2.50，在第一象限内， f 随着v的增大而减小，
∴当视野的度数至少是100度时，车速最多是40km/h．
练习2: 【学习框10】
（★★★☆☆）一司机驾驶汽车从甲地去乙地，以80千米／小时的平均速度用6小时到达目
的地．
（1）当他按原路匀速返回时，求汽车速度v（千米／小时）与时间t（小时）之间的函数关
系式；
（2）如果该司机匀速返回时，用了4.8小时，求返回的速度．
【配题说明】解析法表示两个变量的关系
【常规讲解】
（1）路程=速度×时间，得速度=路程÷时间，即路程一定的情况下，运动速度与运动时间成
反比，根据题意可得返回路程与去的行程相同，即为80×6=480km，则运
480
动速度与所用时间关系即为v= ；
t
480
（2）令t =4.8，则有v= =100km/h．
4.8
5考点二：函数解析式
例题3:
（1）（★★☆☆☆）将关系式3x+4y=12改写成y= f(x)的形式：_________.
2y+1
（2）（★★★☆☆）（2022•浦东新区校级期中）已知x与y的关系是x= ．
y−1
①把它改写成y= f(x)的形式；
②求 f( 3)．
③当 f(x)= 2 时，求x的值．
【常规讲解】
3
（1）解：由题意知：写成函数y=3− x．
4
3
故答案为：y=3− x．
4
（2）解：①由题意得：xy−x=2y+1，
xy−2y= x+1，
(x−2)y=x+1．
x+1
∴ y= ．
x−2
3+1 ( 3+1)( 3+2)
② f( 3)= = =−5−3 3．
3−2 ( 3−2)( 3+2)
③ f(x)= 2 ，
x+2
即 = 2，
x−2
x(1− 2)=−2 2−2，
−2 2−2
x= ，
1− 2
x=4 2+6．
练习3: 【学习框12】
3x+5
（1）（★★★☆☆）已知x与y有如下关系x= ．
y−2
6①把它改成y= f(x)的形式；
②求 f( 2)的值．
y−1
（2）（★★★☆☆）已知函数x= ．
y+1
①写成y= f(x)的形式；
②写出函数的定义域；
③求 f( 2)的值．
【常规讲解】
（1）解：①等式两边同时乘以(y−2)得：xy−2x=3x+5，
移项得：xy=5x+5，
5
等式两边同时除以x得；y=5+ ．
x
5 5 2
②将x= 2代入得；y=5+ =5+ ．
2 2
（2）解：①由题意得：xy+x= y−1，
xy− y=−x−1，
(x−1)y=−x−1．
−x−1
∴y= ．
x−1
②由题意得：x−1≠0，
解得x≠1．
故函数的定义域是x≠1；
− 2−1
③ f( 2)= =−3−2 2．
2−1
7知识加油站2——列表法【建议时长：30分钟】
考点二：列表法表示函数关系
知识笔记2
列表法
用______________来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法；从表格中直接找到自
变量对应的函数值，查找方便，但无法将自变量与函数值的全部对应值都列出来，且难以看
出规律．
【填空答案】
表格形式
例题4:
（1）（★★★☆☆）一位学生在乘坐磁悬浮列车从龙阳路站到上海浦东国际机场途中，记录了
列车运行速度的变化情况，如下表：
时间t（分） 0 1 1.5 2 3 4 5 5.5 6 7 8
速度v（千米/时） 0 146 217 300 300 300 300 300 281 121 0
根据表中提供的信息回答下列问题：
①在哪一段时间内列车的速度逐渐加快？
②在哪一段时间内列车是匀速行驶的？在这一段时间内列车走了多少路程？
③在哪一段时间内列车的速度逐渐减慢？
（2）（★★★☆☆）行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才
能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过
140km/h)，对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表：
刹 车 时 车 速0 10 20 30 40 50 …
(km/h)
刹车距离(m) 0 2.5 5 7.5 10 12.5 …
①自变量是____________________，因变量是____________________．
②当刹车时车速为40km/h时，刹车距离是____________m．
8③该种型号汽车的刹车距离用 y(m)表示，刹车时车速用x(km/h)表示，根据上表反映的规
律写出y与x之间的关系式．
④你能否估计一下，该种车型的汽车在车速为110km/h的行驶过程中，前面有一汽车遇紧
急情况急刹并停在距该车31m的地方，司机亦立即刹车，该汽车会不会和前车追尾？请你说
明理由．
（3）（★★★☆☆）2022年3月23日，“天宫课堂”第二课在中国空间站正式开讲，航天员王
亚平、叶光富、翟志刚为学生们上了一堂豪华的太空课，引发了学生了解科学知识的新热
潮．八（1）班社团通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的
关系：
气温t/° C 0 5 10 15 20
声音在空气中331 334 337 340 343
的传播速度
v/(m/s)
①在这个变化过程中，____________________是自变量，____________________是因变量．
②从表中数据可知，气温每升高1°C，声音在空气中传播的速度就提高___________m/s．
③ 声 音 在 空 气 中 的 传 播 速 度 v(m/s) 与 气 温 t(°C) 的 关 系 式 可 以 表 示 为
____________________．
④某日的气温为22°C，小乐看到烟花燃放5s后才听到声响，那么小乐与燃放烟花所在地大
约相距多远？
【常规讲解】
（1）分析图表可知，自变量是表示的时间t，函数表示的速度v，图表表示的是函数v和自
变量t之间的依赖关系，观察表格可知：
①速度逐渐加快的是0~2分钟时间段；
7
②匀速行驶的是 2~5.5 分钟时间段，注意单位换算，这段时间持续5.5−2=3.5min= h，
120
7
列车行程即为300× =17.5km；
120
③速度逐渐减慢的是5.5~8分钟时间段．
（2）解：①由题意得，自变量是刹车时车速，因变量是刹车距离．
故答案为：刹车时车速；刹车距离；
9②当刹车时车速为40km/h时，刹车距离是10m．
故答案为：10；
③由表格可知，刹车时车速每增加10km/h，刹车距离增加2.5m，
∴y与x之间的关系式为：y=0.25x(x…0)；
④当x=110时，y=110×0.25=27.5，
27.5<31，
∴该汽车不会和前车追尾．
（3）解：①根据题意可知，气温是自变量，声音在空气中的传播速度是因变量，
故答案为：气温，声音在空气中的传播速度；
②由表中数据可知，气温每升高1°C，声音在空气中传播的速度就提高3÷5=0.6m/s，
故答案为：0.6；
3t
③由表格中两个变量对应值的变化规律可得，v=331+ =331+0.6t，
5
故答案为：v=331+0.6t；
④当t =22时，v=331+13.2=344.2(m/s)，
344.2×5=1721(m)，
答：小乐与燃放烟花所在地大约相距1721m．
练习4: 【学习框14】
（1）（★★★☆☆）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些
数据
温度/°C −20 −10 0 10 20 30
声速/m/s 318 324 330 336 342 348
下列说法错误的是( )
A．这个问题中，空气温度和声速都是变量
B．空气温度每降低10°C，声速减少6m/s
C．当空气温度为20°C时，声音5s可以传播1710m
D．由数据可以推测，在一定范围内，空气温度越高，声速越快
（2）（★★★☆☆）一种豆子每千克售2元，豆子的总售价y（元)与所售豆子的质量x（千
克）之间的关系如下表：
10售出豆子质量x（千克） 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 5
总售价y（元) 0 1 2 3 4 5 6 10
①在这个表格中反映的是哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
②当豆子售出5千克时，总售价是多少？
③按表中给出的关系，用一个式子把x与y之间的关系表示出来．
④当豆子售出20千克时，总售价是多少？
（3）（★★★☆☆）蜡烛厂为了解某批次蜡烛燃烧情况，进行了实验．点燃一根该批次蜡烛，
蜡烛的高度h(cm)与燃烧的时间r(min)之间的关系如下表：
燃烧的时间0 2 4 6 …
(min)
蜡烛的高度20 19 18 17 …
h(cm)
①上表反映了哪两个变量之间的关系？自变量、因变量各是社么？
②蜡烛的高度h(cm)与燃烧的时间(min)之间的关系式是什么？
③若一根该批次蜡烛燃烧了26分钟，则此时这根蜡烛的高度是多少？
④若一根该批次蜡烛的高度为8厘米，则此时这根蜡烛已经燃烧的时间是多少？
【常规讲解】
（1）解：这个问题中，空气温度和声速都是变量，因此选项 A不符合题意；
在一定的范围内，空气温度每降低10°C，声速减少6m/s，表格之外的数据就不一定有这样
规律，因此选项B符合题意；
当空气温度为20°C时，声速为342m/s，声音5s可以传播342×5=1710m，因此选项C不
符合题意；
从表格可得，在一定范围内，空气温度越高，声速越快，因此选项D不符合题意；
故选：B．
（2）解：①表格中反映的是售出豆子质量x（千克）与总售价y（元)之间的关系，售出豆
子的质量x（千克）是自变量，总售价y（元)是因变量；
②由图表可知，售出5千克时，总售价为10元；
③设x与y之间的关系为：y =kx，
11把x=1，y=2代入上式，
得k =2，
x与y之间的关系为y=2x；
④当豆子售出20千克时，
y=2×20=40（元)，
当豆子售出20千克时，总售价是40元．
（3）解：①上表反映了蜡烛的高度h(cm)与燃烧的时间r(min)之间的关系，其中自变量是
燃烧的时间r(min)、因变量是蜡烛的高度h(cm)，
②由表格中两个变量对应值的变化规律可知，燃烧时间每增加2分钟，蜡烛的长度就减小1
厘米，h=20−0.5t，
③当t =26时，h=20−13=7（厘米），
答：当蜡烛燃烧了26分钟，这根蜡烛的高度为7厘米；
④当h=8时，即8=20−0.5t，解得t =24，
答：该批次蜡烛的高度为8厘米，则此时这根蜡烛已经燃烧了24分钟．
12知识加油站3——图像法【建议时长：30分钟】
考点三：函数图像表示变量关系
知识笔记3
图像法
图像法：用_______来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法；函数与自变量的对
应关系、函数的变化情况及趋势能够很直观地显示出来，但从图像上找自变量与函数的对应
值一般只能是近似的，且只能反映出变量间关系的一部分而不是全体．
【填空答案】
图像
例题5:
（★★★☆☆）某工厂购买的原材料的单价从今年开始进行了调整，如图，l 、l 分别表示该
1 2
工厂去年和今年采购原材料的价格y（万元）与数量x（吨)之间的关系，y与x成正比例，
请根据图象提供的信息回答下列问题：
（1）该厂去年采购原材料的价格y关于数量x的函数解析式是______________________.
（2）如果今年该工厂购买100吨的原材料，那么要花费_______元；
（3）今年该工厂预计用 600 万元购买原材料，那么今年所采购的原材料的数量比去年少
_______吨．
【常规讲解】
解：（1）设该厂去年采购原材料的价格y关于数量x的函数解析式是y=ax，
13点(160,480)在该函数图象上，
∴480=160a，
解得a=3，
即该厂去年采购原材料的价格y关于数量x的函数解析式是y=3x，
故答案为：y=3x；
（2）设该厂今年采购原材料的价格y关于数量x的函数解析式是y=bx，
点(160,640)在该函数图象上，
∴640=160a，
解得a=4，
即该厂今年采购原材料的价格y关于数量x的函数解析式是y=4x，
当x=100时，y=4×100=400，
即如果今年该工厂购买100吨的原材料，那么要花费400万元，
故答案为：400；
（3）当y=600时，
去年可以采购原材料为：600÷3=200（吨)，今年可以采购原材料为：600÷4=150（吨)，
则年该工厂预计用 600 万元购买原材料，那么今年所采购的原材料的数量比去年少
200−150=50（吨)，
故答案为：50．
练习5: 【学习框16】
（★★★☆☆）（2021•普陀区期末）甲、乙两车分别从 A地将一批物资运往B地，两车离A
地的距离s（千米）与其相关的时间t（小时）变化的图象如图所示．读图后填空：
（1） A地与B地之间的距离是_______千米；
（2）甲车由 A地前往B地时所对应的s与t的函数解析式是_____________________.
（3）甲车出发_______小时后被乙车追上；
（4）甲车由 A地前往B地比乙车由 A地前往B地多用了_______小时．
14【常规讲解】
解：（1） A地与B地之间的距离是60千米；
（2）甲车由 A地前往B地时所对应的s与t的函数解析式是乙车由 A地前往B地时所对应
的s与t的函数解析式，代入(3,60)，得s=20t；
（3）由题意可知20t=30，
解得t =1.5．
所以甲车出发1.5小时后被乙车追上；
（4）甲车由 A地前往B地比乙车由 A地前往B地多用了3−1=2小时．
例题6:
（1）（★★★☆☆）（2022•徐汇区期末）据医学研究，使用某种抗生素可治疗心肌炎，某一患
者按规定剂量服用这种抗生素，已知刚服用该抗生素后，血液中的含药量y（微克）与服用
的时间x成正比例药物浓度达到最高后，血液中的含药量y（微克）与服用的时间x成反比
例，根据图中所提供的信息，回答下列问题：
①抗生素服用_______小时时，血液中药物浓度最大，每毫升血液的含药量有_______微克；
②根据图象求出药物浓度达到最高值之后，y与x之间的函数解析式及定义域；
③求出该患者服用该药物10小时时每毫升血液的含药量y．
15（2）（★★★☆☆）在全民健身环城越野赛中，甲乙两选手的行程y（千米），随时间x（小
时）变化的图象（全程）如图所示．
①甲选手跑到8千米时，用了_______小时．起跑_______小时后，甲乙两人相遇；
②乙选手在0剟x 2的时段内，y与x之间的函数关系式是_______.
③甲选手经过1.5小时后，距离起点的有_______千米．
【配题说明】分段函数图像表示变量关系
【常规讲解】
（1）解：①由图象可知，抗生素服用4小时时，血液中药物浓度最大，每毫升血液的含药
量有6微克，
故答案为：4，6；
k
②设y与x之间的函数解析式为y= ，
x
k
把x=4时，y=6代入上式得：6= ，
4
解得：k =24，
24
则y= (x>4)；
x
24
③当x=10时，y= =2.4（微克），
10
答：该患者服用该药物10小时时每毫升血液的含药量为2.4微克．
（2）解：①由图可知，甲选手跑到 8千米时，用了0.5 小时，起跑1 小时后，甲乙两人相
遇，
故答案为：0.5，1；
②由图可得，乙选手的速度为10千米/小时，
∴y与x之间的函数关系式是y=10x(0剟x 2)；
16故答案为：y=10x(0剟x 2)；
③由图可知，甲0.5小时距离起点8千米，1小时距离起点10千米，
∴0.5剟x 1.5时，甲用0.5小时跑了(10−8)=2（千米），
∴x=1.5时，甲距离起点10+2=12（千米），
故答案为：12．
练习6: 【学习框18】
（1）（★★★☆☆）（2022•青浦区世界外国语学校期末）接种疫苗是预防控制传染病最有效的
手段．甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠病毒疫苗．甲地在前期完成5万人员接种
后，甲、乙两地同时以相同速度接种．甲地经过a天接种后，由于情况变化，接种速度放缓．图
中的折线BCD和线段OA分别反映了甲、乙两地的接种人数y（万人）与接种时间x（天)
之间的函数关系．根据图象所提供的信息回答下列问题：
①乙地比甲地提前了_______天完成疫苗接种工作；
②试写出乙地接种人数y （万人）与接种时间x（天)之间的函数解析式______________.
2
③当甲地放缓接种速度后，每天可接种_______万人．
（2）（★★★☆☆）（2022•杨浦区期末）在全民健身环城越野赛中，甲乙两位选手都完成了比
赛，甲的行程S（千米）随时间t（小时）变化的图象（全程）如图所示；乙的行程S（千
米）随时间t（小时）的函数解析式为S =10t(0剟t 2)．
①在图中画出乙的行程S（千米）随时间t（小时）的函数图象；
②环城越野赛的全程是_______千米；
③甲前0.5小时的速度是_______千米/小时；
④甲和乙出发1小时后相遇，相遇时甲的速度是_______千米/小时．
17【配题说明】分段函数图像表示变量关系
【常规讲解】
（1）解：①由图象可得，乙地比甲地提前了100−80=20天完成疫苗接种工作，
故答案为：20；
②设乙地接种人数y （万人）与接种时间x（天)之间的函数解析式为y =kx，
2 2
点(80,40)在该函数图象上，
∴40=80k，
解得k =0.5，
即乙地接种人数y （万人）与接种时间x（天)之间的函数解析式为y =0.5x(0剟x 80)，
2 2
故答案为：y =0.5x(0剟x 80)；
2
③a=(25−5)÷0.5=20÷0.5=40，
故当甲地放缓接种速度后，每天可接种(40−25)÷(100−40)=15÷60=0.25（万人），
故答案为：0.25．
（2）解：①乙的行程S（千米）随时间t（小时）的函数解析式为S =10t(0剟t 2)，
18∴当t =1时，S =10，
∴S =10t的图象过(0,0)和(1,10)，
图象如图所示：
②乙的行程S（千米）随时间
t（小时）的函数解析式为
S =10t(0剟t 2)，
当t =2时，S =20，
∴环城越野赛的全程是20千米，
故答案为：20；
8
③甲前0.5小时的速度是 =16（千米/小时），
0.5
故答案为：16；
④和乙出发1小时后相遇，相遇时乙的行程是10千米，
10−8
∴相遇时甲的速度为 =4（千米/小时），
1−0.5
故答案为：4．
19全真战场
教师可以根据课堂节奏将“全真战场”作为课堂补．充．练习或课后补．充．练习让学生的完成
关卡一
练习1:
（★★★☆☆）研究发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（分钟）之间有
如下关系：
提出概念所用的2 5 7 10 12 13 14 17 20
时间x（分钟）
对概念的接受能47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55
y
力
根据以上信息，回答下列问题：
（1）当提出概念所用的时间为10分钟时，学生的接受能力约是多少？
（2）当提出概念所用的时间为多少分钟时，学生的接受能力最强？
（3）当2
