FY25暑假初一A9B5因式分解的概念及提公因教师版_初中资料合集_2025年秋初中《789年级暑假数学讲义》含6升7衔接（学生+教师版）上海专版_初一_志高_教师版PDF

B05 因式分解的概念及提公因式 考情链接 1. 本次任务由四个部分构成 （1）因式分解的概念 （2）因式与公因式 （3）提公因式法因式分解 （4）提公因式法的应用 2. 考情分析 （1）因式分解概念主要以填空的形式对概念进行考察，而提公因式法因式分解则是因式分 解的基础，常常会在解答题中，和其余因式分解方法混合进行考察； （2）学习分解因式一是为解高次方程作准备，二是学习对于代数式变形的能力，从中体会 分解的思想、逆向思考的作用．本章教材是在学生学习了整式运算的基础上提出来的，事实 上，它是整式乘法的逆向运用，与整式乘法运算有密切的联系．分解因式的变形不仅体现了 一种“化归”的思想，而且也是解决后续——分式化简、解方程、恒等变形等学习的基础， 为数学交流提供了有效的途径． 环节 需要时间 课后练习讲解 10分钟 切片1：因式分解的概念 15分钟 切片2：因式与公因式 20分钟 切片3：提公因式法分解因式 25分钟 切片4：提公因式法的应用 25分钟 出门测 15分钟 错题整理 10分钟 1知识加油站1——因式分解的概念【建议时长：15分钟】 知识笔记 1、因式分解： _____________________________________________________________，叫做把这个多项式 因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． 2、因式分解与整式乘法互为逆变形： _____________________________________________________________ 式中m 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因 式． 【填空答案】 1、把一个多项式化成几个整式的乘积的形式 整式的乘积 2、m(abc)  mambmc 因式分解 考点一：因式分解的概念 例题1: （1）（★☆☆☆☆）（2022•闵行七宝三中期末）下列各式从左到右的变形是因式分解的是( ) A．a(a b)  a2  ab B．a2  2a 1 a(a  2)1 C．(a  b)(a b)  a2 b2 D．2a2  6ab  2a(a 3b) （2）（★☆☆☆☆）（2022•浦东新区交中初级中学期末）下列等式从左到右是因式分解，且 结果正确的是( ) A．a2 8a16(a4)2 B．(a4)2 a2 8a16 C．a2 8a 16  a(a 8)16 D．a2 8(a  2) a2 8a 16 【常规讲解】 （1）解： A ．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； B ．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； C ．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； 2D．符合定义，故选项正确，故选项正确，符合题意． 故选：D． （2）解： A ．等式由左边到右边的变形属于因式分解，并且正确，故本选符合题意； B ．等式由左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； C ．等式由左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意； D．等式由左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意； 故选： A ． 练习1: （1）（★☆☆☆☆）下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为( ) A．10x2 5x5x2x5x B．a(x y)axay C．x2  4x  4  (x  2)2 D．x2 163x  (x4)(x 4)3x （2）（★☆☆☆☆）下列从左到右的变形是因式分解的是( ) A．(y 1)(y  2) y2 3y  2 B．a2  2ax x2  a(a  2x) x2 1 1 C．x2 x (x )2 D．(x 3)(x 3)  x2 9 4 2 【常规讲解】 （1）解： A 、不符合因式分解的定义，不是因式分解，故此选项不符合题意； B 、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意； C 、符合因式分解的定义，是因式分解，故此选项符合题意； D、不符合因式分解的定义，不是因式分解，故此选项不符合题意； 故选：C ． （2）解： A 、(y 1)(y  2) y2 3y  2 ，是整式的乘法，不属于因式分解，故此选项不符 合题意； B 、a2  2ax x2  a(a  2x) x2，右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故此 选项不符合题意； 1 1 C 、x2 x (x )2，右边是几个整式的积的形式，属于因式分解，故此选项符合题意； 4 2 D、(x 3)(x 3)  x2 9，是整式的乘法，不属于因式分解，故此选项不符合题意． 故选：C ． 3考点二：已知因式分解的的结果求参数 例题2: （1）（★★☆☆☆）多项式x2  ax  b 分解成(x1)(x2) ，求ab的值． （2）（★★★☆☆）已知多项式(19x31)(13x17)(13x17)(11x23) 可因式分解成 (axb)(8xc)，其中a，b，c均为整数，则a+b+c=（ ） A．﹣12 B．﹣32 C．38 D．72 【常规讲解】 解：x2axb(x1)(x2)x2x2， 所以a  1,b  2，a b  1(2)  3 （2）原式=(13x﹣17)(19x﹣31﹣11x23) (13x﹣17)(8x﹣8) ， ∵可以分解成(axb)(8xc)， ∴a=13，b=﹣17，c=﹣8， ∴a+b+c=﹣12． 故选A． 练习2: （1）（★★☆☆☆）（2022•松江区期中）已知多项式ax2bxc分解因式得 x3x2 ， 则a，b，c的值分别为（ ） A．1，1，6 B．1，1，6 C．1，1，6 D．1，1，6 （2）（★★☆☆☆）已知二次三项式x2 bxc分解因式(x3)(x1)，则bc的值为( ) A．1 B．1 C．5 D．5 【常规讲解】 （1）解：x3x2x2x6， ∵多项式ax2bxc分解因式得 x3x2 ， ∴a1,b1,c6， 故选：C． （2）解：∵二次三项式x2 bxc分解因式(x3)(x1)，  x2  bx  c  (x 3)(x 1)，  x2  bx  c  (x 3)(x 1) 4 x2 2x3， 则b2，c3， 故bc5． 故选：C ． 知识加油站2——因式与公因式【建议时长：20分钟】 知识笔记 1、因式： 几个整式相乘，每个整式叫做它们的积的因式. 2、多项式的公因式： 一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式。 3、确定公因式的方法： （1）若各项系数是整系数，取系数的_______________； （2）取相同的字母，字母的指数取__________； （3）取相同的多项式，多项式的指数取__________. （4）所有这些因式的__________即为公因式. 【填空答案】 （1）最大公约数 （2）较低的 （3）较低的 （4）乘积 5考点三：公因式的概念 例题3: （1）（★☆☆☆☆）（2022•青浦实验中学期中）单项式3a3b与单项式9a2b3的公因式是( ) A．3a2b B．3a3b3 C．a2b D．a3b3 （2）（★☆☆☆☆）（2022•嘉定区期中）多项式6x3y2 3x2y2 12x2y3的公因式是 ． 【常规讲解】 （1）解：单项式3a3b与单项式9a2b3的公因式是3a2b． 故选： A ． （2）解：多项式6x3y2 3x2y2 12x2y3的公因式是3x2y2． 练习3: （1）（★☆☆☆☆）多项式12ab3 8a3b的各项公因式是( ) A．ab B．2ab C．4ab D．4ab2 （2）（★★☆☆☆）8xmyn1与12x5myn 的公因式是( ) A．xmyn B．xmyn1 C．4xmyn D．4xmyn1 【常规讲解】 （1）解：12ab3c8a3b  4ab(3b2c 2a2)，则4ab是公因式， 故选：C ． （2）解：8xmyn1与12x5myn 的公因式是4xmyn1． 故选：D． 例题4: （★★☆☆☆）写出下列各式的公因式： （1）5ab10a2： ； （2）8x3y218xy2z： ； （3）a3b22ab4ab3 ： ； （4）3ab24ba ： ； （5）5m2ab10mab2 ： . 【常规讲解】解：（1）∵5ab+10a2=5a·b+5a·2a ∴5ab+10a2的公因式是：5a （2）∵8x3y2-18xy2z=2xy2·4x2-2xy2·9z 6∴8x3y2-18xy2z的公因式是：2xy2 （3）∵a3b2-2ab+4ab3=ab·a2b-ab·2+ab·4b2 ∵a3b2-2ab+4ab3的公因式是：ab （4）∵3(a-b)2-4(b-a)=(a-b)·3(a-b)+(a-b)·4 ∴3(a-b)2-4(b-a)的公因式是：a-b （5）∵5m2(a-b)-10m(a-b)2=5m(a-b)·m-5m(a-b)·2(a-b) ∴5m2(a-b)-10m(a-b)2的公因式是：5m(a-b) 练习4: （★★☆☆☆）把以下各式的公因式写在横线上： （1）5x225x2y： ； （2）a(x y)b(yx)： ． 【常规讲解】解：（1）5x225x2y5x2(15y)， 则公因式为：5x2； 故答案为：5x2； （2）a(xy)b(yx)(xy)(ab) ， 则公因式为：(xy)； 故答案为：(xy)． 例题5: （★★☆☆☆）将下列各组中的整式写成它们的公因式与另一因式相乘的形式： 8 4 （1） x3y2、 xy3； （2） ma 2 、3xam. 27 9 【常规讲解】 4 2 4 （1） xy2 x2；y xy2； 9 3 9 （2）mama；3xma 7练习5: （★★☆☆☆）将下列各组中的整式写成它们的公因式与另一因式相乘的形式： （1）6a3 、4a； （2）3x  ab 2 、51x2y  ab 3 . 【常规讲解】 （1）2a3a2；22a；（2）3x  ab 2 ；3x  ab 217xy  ab  知识加油站3——提公因式法因式分解【建议时长：25分钟】 知识笔记 1、提取公因式法： 如果一个多项式的各项含有_________，则可以把该公因式提取出来作为多项式的一个因式， 提出公因式后的式子放在括号里，作为一个因式.这种分解因式的方法叫做提取公因式法. 2、提取公因式的步骤： “__________”：就是第一步要正确找出多项式中各项的公因式； “__________”：就是第二步将所找出的公因式提出来； “__________”：就是当提出公因式后，此时可直接观察提出公因式后剩下的另一个因式，也 可以用原多项式去除以公因式，所得的商即为提出公因式后剩下的另一个因式. 3、提取公因式法注意事项： （1）如果多项式的首项是负数时，一般应先提出“-”号，使括号内的第一项系数是正数，然 后再对括号内的多项式进行提取公因式。 （2）利用提公因式法分解因式时，一定要“___________”。 （3）注意避免出现分解因式的漏项问题，一般提取公因式后，括号里的多项式项数与原多 项式的项数一致。 【填空答案】 1、公因式 2、一找；二提；三去除 3、提干净 8考点四：提公因式法分解因式 例题6: （★☆☆☆☆）多项式8x2n4xn提取公因式后，剩下的因式应是（ ）. A．4xn B．2xn1 C．4xn1 D．2xn11 【常规讲义】解：8x2n4xn =4xn2xn4xn1 =4xn 2xn1  ∴此多项式的公因式为4xn，提取公因式后，剩下的因式是2xn1. 故选B 练习6: （★☆☆☆☆）将x4 3x2 x提取公式x，剩下的因式是 ． 【常规讲义】解：x4 3x2 xx(x33x1)， 故答案为：x3 3x1 例题7: （★★☆☆☆）分解因式： （1）（2022•宝山区罗南中学期末）分解因式：4x2y 12xy  ． （2）（2021•奉贤区期末）分解因式：2m2nmn2  ． （3）（2022•嘉定区丰庄中学期中）因式分解：15a10ab5abc ． （4）（2022•嘉定区期中）分解因式：3x3 9x2 3x ． （5）（2022•虹口区民办新复兴中学期中）分解因式：3x2y 12xy2  ． （6）（2022•青浦区实验中学期中）因式分解：15a2b3ab ． 【常规讲解】 （1）解：4x2y 12xy  4xy(x 3)． （2）解：2m2n  mn2  mn(2m  n)． （3）解：原式5a(32bbc)． （4）解：3x3 9x2 3x 3x(x2 3x1)． （5）解：3x2y12xy2 3xy(x4y)． （6）解：15a2b3ab  3ab(5a 1)． 9练习7: （★★☆☆☆）分解因式： （1）15a2b3ab （2）10a3bc2 15a2b2c （3）27a2bc9ab2c3abc2 （4）4x2y  6xy2  2xy （5）24x2y 12xy2  28y3 （6）3ma3 6ma3 15ma . 【常规讲解】 （1）3ab5a1 （2）5a2bc  2ac3b  （3）3abc9a 3b c （4）2xy2x 3y 1   （5）4y 6x23xy7y2   （6）3ma a2 5 例题8: （★★★☆☆）分解因式： （1）（2022•浦东新区建平中学西校期中）因式分解：(y x)2  2(x y) ． （2）（2022•杨浦区期中）分解因式：a2(a 2b)ab(4b2a)． （3）（2022•嘉定区期中）因式分解：6(x  y)2  2(x  y)(x  y) （4）（2022•浦东新区建平中学西校期中）2m(ac)5(ac)． 1 （5） xn 2xn1 2 【常规讲解】 （1）解：(y x)2 2(x y)  (y x)2 2(y x) (y x)(y x2)． （2）解：a2(a2b)ab(4b2a)  a2(a  2b) 2ab(a  2b) a(a2b)(a2b) a(a2b)2． 10（3）解：6(x y)2 2(x y)(x y) 2(x y)[3(x y)(x y)] 2(x y)(2x4y) 4(x y)(x2y)． （4）解：原式 (a c)(2m 5)． 1 （5） xn1x4 2 练习8: （★★★☆☆）分解因式： （1）18  ab 212  ab 3 （2）  a1  x2 a1  xa1 （3）2a 3ba  2b2b  a2a 3b （4）2a2 bc a  cb  1 1 （5） a2x2a2  a2ax3 2 4 【常规讲解】 （1）6  ab 2 32a2b  （2）a1 x2 x1  （3）原式 2a  3ba  2b a  2b2a  3b  22a  3ba  2b （4）原式2a2 bc a  bc a  bc  2a1  ax （5）原式= x2a2 4 11知识加油站4——提公因式法的应用【建议时长：25分钟】 考点四：提公因式法分解因式求值 例题9: （1）（★★★☆☆）（2022•浦东新区建平中学西校期中）已知ab4，ab2，求a2bab2 的值. （2）（★★★★☆）已知x3  x2  x10，求x100  x99  x98  x97的值． 20213 220212 2019 （3）（★★★★☆）计算： ． 20213 20212 2022 【常规讲解】 （1）当ab4，ab2时，原式ab(ab)248； （2）原式 x100  x99  x98  x97  x97(x3  x2  x1)，再把x3  x2  x10代入，得原式=0． 故答案为：0 （ 3 ） 解 ： 原 式 20212202122019 2021220192019 2019  20212 1  2019 673 = =   = 20212202112022 2021220222022 2022  20212 1  2022 674 练习9: （1）（★★★☆☆）已知x y 5，xy2，求x5y4  x4y5的值。 （2）（★★★★☆）已知x2  x1 0，求x2021 x2020  x2  x1的值． 20203 20202 2021 （3）（★★★★☆）计算： 20203 220202 2018 【常规讲解】 （1）∵x5y4x4y5x4y4 xy  且x y 5，xy2 原式=24580 故答案为80 （2）解：∵x2  x1 0， x2021x2020x2019x2x1x2019(x2x1)(x2x1) (x2x1)(x2019x31)  0． 1220202202012021 2020220212021 2021  20202 1  2021 （3）解：原式= =   20202202022018 2020220182018 2018  20202 1  2018 例题10: （★★★★☆）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： 1xxx1xx12 1x  1xx x1   1x1x2 1x3 . （1）上述分解因式的方法是______，共应用了______次； （2）若分解1xxx1xx12  x x12014，则需应用上述方法______次，结果是 ______； （3）分解因式：1xxx1xx12x x1n .（n为正整数） 【常规讲解】（1）上述分解因式的方法是：提取公因式法，根据运算步骤可知共用了2次； （2）1xxx1xx12xx12014 = 1xxx1xx12xx12014 = 1x 1xxx1x1x2x1x2013   = 1x1x 1xxx1x1x2x1x2012   =… = 1x2015 ∴分解1xxx1xx12xx12014 ，需应用上述方法2014次，结果是1x2015； （3）1xxx1xx12xx1n = 1xxx1xx12xx1n = 1x 1xxx1x1x2x1xn1   = 1x1x 1xxx1x1x2x1xn2   =… = 1xn1x = 1xn1 13练习10: （★★★★☆）化简：1xx1xx1x2x 1x 2012 ，且当x2时，求原式的 值． 【常规讲解】解：原式1x1xx1x2  x1x2012 1x21xx1x2012 …… 1x2013 ∴当x2时，原式1． 考点五：因式分解与错题纠正 例题11: （★★★☆☆）下面是小颖因式分解的过程，仔细阅读后解答所提出的问题． a2mnb2nm 解：原式a2mnb2 mn …………………第一步 mn a2 b2 …………………第二步 mnabab ………………第三步 (1)小颖的因式分解过程从第_____步开始出现错误； (2)请写出正确的因式分解的过程． 【常规讲解】（1）解：a2mnb2nm a2mnb2 m n mn a2 b2 ， ∴在第一步就出现了错误， 故答案为：一； （2）解：a2mnb2nm a2mnb2 m n mn a2 b2 mnabab． 14练习11: （★★★☆☆）（2020•徐汇区期中）甲乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解 结果为（x+2）（x+4），乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则2a+b＝ ． 【常规讲解】∵分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）， ∴a＝6， 乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9）， ∴b＝9， ∴2a+b＝12+9＝21． 故答案为：21． 15全真战场 教师可以根据课堂节奏将“全真战场”作为课堂补充练习或课后补充练习让学生的完成 ．． ．． 关卡一 练习1: ( ) （1）（★☆☆☆☆）（2020•嘉定区期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是 A．2x(x1) 2x2  2x B．x2  2x  3 x(x  2) 3 C．(x y)2  x2 2xy y2 D．x2  2x  x(x  2) （2）（★☆☆☆☆）（2020•浦东新区月考）下列从左边到右边的变形，是正确的因式分解的 ( ) 是 A．(x1)(x1) x2 1 B．x2 4y2 (x4y)(x4y) C．x2  6x  9  (x  3)2 D．x2  2x 1 x(x  2)1 【常规讲解】 （1）解： A 、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意； B 、不是积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意； C 、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意； D、是因式分解，故本选项符合题意； 故选：D． （2）解： A 、不是因式分解，故本选项不符合题意； B 、两边不相等，不是因式分解，故本选项不符合题意； C 、是因式分解，故本选项符合题意； D、不是因式分解，故本选项不符合题意； 故选：C ． 练习2: （★★☆☆☆）已知关于x的二次三项式3x2 mxn分解因式的结果为(3x2)(x1)，则 m 、n的值分别为( ) A．m1，n2 B．m1，n2 C．m2，n1 D．m2，n1 【常规讲解】 解：∵关于x的二次三项式3x2 mxn分解因式的结果为(3x2)(x1)， (3x2)(x1)3x2  x23x2 mxn， m1，n2， 16m1，n2． 故选： A ． 练习3: （1）（★★☆☆☆）（2019•浦东新区期末）8x3y2和12x4y 的公因式是___________． （2）（★★☆☆☆）多项式4x3y2  2x2y 8x2y3的公因式是__________． 【常规讲解】 （1）解：系数的最大公约数是4， 相同字母的最低指数次幂是x3y ， 公因式为4x3y． （2）解：多项式4x3y2  2x2y 8x2y3 的公因式是2x2y， 故答案为：（1）4x3y；（2）2x2y 练习4: （★★★☆☆）分解因式： （1）6a2 8a3； （2）2m3 6m2 18m； （3）2ad12bd4d； （4）2x3y 8x2y2； （5）4a2b6ab2 2ab； （6）3x3myn1  2x2myn  6xmyn1； （7）4xx  y 3x  y； （8）4x  xy 23  yx 3 ； （9）6am  n8bm  n； （10）5am1b  ab 310am1b3 ba 3 ； 【常规讲解】 （1）6a2 8a3  2a2(34a)； （2）2m3 6m2 18m  2m(m2 3m 9)； （3）2ad 12bd 4d 2d(a6b2)． （4）2x3y8x2y2  2x2y(x4y)； （5）4a2b 6ab2  2ab  2ab(2a 3b 1)； （6）3x3myn1  2x2myn  6xmyn1  xmyn1(3x2m  2xmy 6y2)． （7）4xx  y3x  y  (x  y)(4x 3)； （8）原式 4x(x y)2 3(x y)3  (x y)2[4x3(x y)] (x y)2(x3y)； （9）6am n8bm n 2(m n)(3a  4b)； （10）原式5am1b  ab 310am1b3 ab 3  5am1b(a b)3(a2  2b2) ； 17关卡二 练习5: 2 2 2 2  1 （★★★★☆）已知：bca2，求 aabcb c a b c2b2c2a的 3 3 3 3  3 值． 【常规讲解】 2 2 2 原式 a(abc) b(abc) c(abc) 3 3 3 2 2  (abc)(abc) (abc)2． 3 3 2 8 因为bca2，所以abc2，所以原式 4 ． 3 3 8 故答案为： 3 练习6: （★★★★☆）（2023•奉贤区期中）阅读下列材料，然后解答问题： 问题：分解因式：x35x24 解答：对于任意一元多项式 f(x)，其奇次项系数之和为m，偶次项系数之和为n，若mn， 则 f(1)0，若mn，则 f （1）0．在x35x24中，因为m145，n5，所 以把x1代入多项式x35x24，得其值为0，由此确定多项式x35x24中有因式(x1)， 于 是 可 设 x35x24x1 x2 pxq  ， 分 别 求 出 p、q 的 值 ， 再 代 入 x35x24x1 x2 pxq  ，就容易分解多项式x35x24，这种分解因式的方法叫做 “试根法”． (1)上述式子中p ，q ； (2)对于一元多项式x35x23x9，必定有f（ ）＝0； (3)请你用“试根法”分解因式：x35x23x9． 【常规讲解】 （1）解： ∵x35x24x1 x2 pxq  x3 px2qxx2 pxqx3p1x2q pxq， p15,q4， p4,q4， 故答案为：4，4； （2）多项式x35x23x9，奇次项系数之和为m4，偶次项系数之和为n4． 18根据题意若mn，则 f(1)0， 故答案为：1； （3）由（2）可知因式分解后必有因式(x1)， 设x35x23x9x1 x2 pxq  ， 等式右边x3 px2qxx2 pxqx3p1x2pqxq， p6,q9， x35x23x9x1 x26x9  =x1x32． 19