FY25暑假初一A9B5因式分解的概念及提公因学生版_初中资料合集_2025年秋初中《789年级暑假数学讲义》含6升7衔接（学生+教师版）上海专版_初一_志高_学生版PDF

B05 因式分解的概念及提公因式 考情链接 1. 本次任务由四个部分构成 （1）因式分解的概念 （2）因式与公因式 （3）提公因式法因式分解 （4）提公因式法的应用 2. 考情分析 （1）因式分解概念主要以填空的形式对概念进行考察，而提公因式法因式分解则是因式分 解的基础，常常会在解答题中，和其余因式分解方法混合进行考察； （2）学习分解因式一是为解高次方程作准备，二是学习对于代数式变形的能力，从中体会 分解的思想、逆向思考的作用．本章教材是在学生学习了整式运算的基础上提出来的，事实 上，它是整式乘法的逆向运用，与整式乘法运算有密切的联系．分解因式的变形不仅体现了 一种“化归”的思想，而且也是解决后续——分式化简、解方程、恒等变形等学习的基础， 为数学交流提供了有效的途径． 1知识加油站1——因式分解的概念 知识笔记 1、因式分解： _____________________________________________________________，叫做把这个多项式 因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． 2、因式分解与整式乘法互为逆变形： _____________________________________________________________ 式中m 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因 式． 考点一：因式分解的概念 例题1: （1）（2022•闵行七宝三中期末）下列各式从左到右的变形是因式分解的是( ) A．a(a b)  a2  ab B．a2  2a 1 a(a  2)1 C．(a  b)(a b)  a2 b2 D．2a2  6ab  2a(a 3b) （2）（2022•浦东新区交中初级中学期末）下列等式从左到右是因式分解，且结果正确的是( ) A．a2 8a16(a4)2 B．(a4)2 a2 8a16 C．a2 8a 16  a(a 8)16 D．a2 8(a  2) a2 8a 16 练习1: （1）下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为( ) A．10x2 5x5x2x5x B．a(x y)axay C．x2  4x  4  (x  2)2 D．x2 163x  (x4)(x 4)3x （2）下列从左到右的变形是因式分解的是( ) A．(y 1)(y  2) y2 3y  2 B．a2  2ax x2  a(a  2x) x2 1 1 C．x2 x (x )2 D．(x 3)(x 3)  x2 9 4 2 2考点二：已知因式分解的的结果求参数 例题2: （1）多项式x2  ax  b 分解成(x1)(x2)，求ab的值． （2）已知多项式(19x31)(13x17)(13x17)(11x23) 可因式分解成(axb)(8xc)，其 中a，b，c均为整数，则a+b+c=（ ） A．﹣12 B．﹣32 C．38 D．72 练习2: （1）（2022•松江区期中）已知多项式ax2bxc分解因式得 x3x2 ，则a，b，c的 值分别为（ ） A．1，1，6 B．1，1，6 C．1，1，6 D．1，1，6 （2）已知二次三项式x2 bxc分解因式(x3)(x1)，则bc的值为( ) A．1 B．1 C．5 D．5 知识加油站2——因式与公因式 知识笔记 1、因式： 几个整式相乘，每个整式叫做它们的积的因式. 2、多项式的公因式： 一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式。 3、确定公因式的方法： （1）若各项系数是整系数，取系数的_______________； （2）取相同的字母，字母的指数取__________； （3）取相同的多项式，多项式的指数取__________. （4）所有这些因式的__________即为公因式. 3考点三：公因式的概念 例题3: （1）（2022•青浦实验中学期中）单项式3a3b与单项式9a2b3的公因式是( ) A．3a2b B．3a3b3 C．a2b D．a3b3 （2）（2022•嘉定区期中）多项式6x3y2 3x2y2 12x2y3的公因式是 ． 练习3: （1）多项式12ab3 8a3b的各项公因式是( ) A．ab B．2ab C．4ab D．4ab2 （2）8xmyn1与12x5myn 的公因式是( ) A．xmyn B．xmyn1 C．4xmyn D．4xmyn1 例题4: 写出下列各式的公因式： （1）5ab10a2： ； （2）8x3y218xy2z： ； （3）a3b22ab4ab3 ： ； （4）3ab24ba ： ； （5）5m2ab10mab2 ： . 练习4: 把以下各式的公因式写在横线上： （1）5x225x2y： ； （2）a(x y)b(yx)： ． 例题5: 将下列各组中的整式写成它们的公因式与另一因式相乘的形式： 8 4 （1） x3y2、 xy3； （2） ma 2 、3xam. 27 9 4练习5: 将下列各组中的整式写成它们的公因式与另一因式相乘的形式： （1）6a3 、4a； （2）3x  ab 2 、51x2y  ab 3 . 知识加油站3——提公因式法因式分解 知识笔记 1、提取公因式法： 如果一个多项式的各项含有_________，则可以把该公因式提取出来作为多项式的一个因式， 提出公因式后的式子放在括号里，作为一个因式.这种分解因式的方法叫做提取公因式法. 2、提取公因式的步骤： “__________”：就是第一步要正确找出多项式中各项的公因式； “__________”：就是第二步将所找出的公因式提出来； “__________”：就是当提出公因式后，此时可直接观察提出公因式后剩下的另一个因式，也 可以用原多项式去除以公因式，所得的商即为提出公因式后剩下的另一个因式. 3、提取公因式法注意事项： （1）如果多项式的首项是负数时，一般应先提出“-”号，使括号内的第一项系数是正数，然 后再对括号内的多项式进行提取公因式。 （2）利用提公因式法分解因式时，一定要“___________”。 （3）注意避免出现分解因式的漏项问题，一般提取公因式后，括号里的多项式项数与原多 项式的项数一致。 5考点四：提公因式法分解因式 例题6: 多项式8x2n4xn提取公因式后，剩下的因式应是（ ）. A．4xn B．2xn1 C．4xn1 D．2xn11 练习6: 将x4 3x2 x提取公式x，剩下的因式是 ． 例题7: 分解因式： （1）（2022•宝山区罗南中学期末）分解因式：4x2y 12xy  ． （2）（2021•奉贤区期末）分解因式：2m2nmn2  ． （3）（2022•嘉定区丰庄中学期中）因式分解：15a10ab5abc ． （4）（2022•嘉定区期中）分解因式：3x3 9x2 3x ． （5）（2022•虹口区民办新复兴中学期中）分解因式：3x2y 12xy2  ． （6）（2022•青浦区实验中学期中）因式分解：15a2b3ab ． 练习7: 分解因式： （1）15a2b3ab （2）10a3bc2 15a2b2c （3）27a2bc9ab2c3abc2 6（4）4x2y  6xy2  2xy （5）24x2y 12xy2  28y3 （6）3ma3 6ma3 15ma . 例题8: 分解因式： （1）（2022•浦东新区建平中学西校期中）因式分解：(y x)2  2(x y) ． （2）（2022•杨浦区期中）分解因式：a2(a 2b)ab(4b2a)． （2） （2022•嘉定区期中）因式分解：6(x  y)2  2(x  y)(x  y) （3）（2022•浦东新区建平中学西校期中）2m(ac)5(ac)． 1 （5） xn 2xn1 2 7练习8: 分解因式： （1）18  ab 212  ab 3 （2）  a1  x2 a1  xa1 （2）2a 3ba  2b2b  a2a 3b （4）2a2 bc a  cb  1 1 （5） a2x2a2  a2ax3 2 4 8知识加油站4——提公因式法的应用 考点四：提公因式法分解因式求值 例题9: （1）（2022•浦东新区建平中学西校期中）已知ab4，ab2，求a2bab2的值. （2）已知x3  x2  x10，求x100  x99  x98  x97的值． 20213 220212 2019 （3）计算： ． 20213 20212 2022 练习9: （1）已知x y 5，xy2，求x5y4  x4y5的值。 9（2）已知x2  x1 0，求x2021 x2020  x2  x1的值． 20203 20202 2021 （3）计算： 20203 220202 2018 例题10: 阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： 1xxx1xx12 1x  1xx x1   1x1x2 1x3 . （1）上述分解因式的方法是______，共应用了______次； （2）若分解1xxx1xx12  x x12014，则需应用上述方法______次，结果是 ______； （3）分解因式：1xxx1xx12x x1n .（n为正整数） 10练习10: 化简：1xx1xx1x2x 1x 2012 ，且当x2时，求原式的值． 考点五：因式分解与错题纠正 例题11: 下面是小颖因式分解的过程，仔细阅读后解答所提出的问题． a2mnb2nm 解：原式a2mnb2 mn …………………第一步 mn a2 b2 …………………第二步 mnabab ………………第三步 (1)小颖的因式分解过程从第_____步开始出现错误； (2)请写出正确的因式分解的过程． 11练习11: （2020•徐汇区期中）甲乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2） （x+4），乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则2a+b＝ ． 12全真战场 关卡一 练习1: ( ) （1）（2020•嘉定区期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是 A．2x(x1) 2x2  2x B．x2  2x  3 x(x  2) 3 C．(x y)2  x2 2xy y2 D．x2  2x  x(x  2) ( ) （2）（2020•浦东新区月考）下列从左边到右边的变形，是正确的因式分解的是 A．(x1)(x1) x2 1 B．x2 4y2 (x4y)(x4y) C．x2  6x  9  (x  3)2 D．x2  2x 1 x(x  2)1 练习2: 已知关于x的二次三项式3x2 mxn分解因式的结果为(3x2)(x1)，则m 、n的值分别 为( ) A．m1，n2 B．m1，n2 C．m2，n1 D．m2，n1 练习3: （1）（2019•浦东新区期末）8x3y2和12x4y 的公因式是___________． （2）多项式4x3y2  2x2y 8x2y3的公因式是__________． 练习4: 分解因式： （1）6a2 8a3； （2）2m3 6m2 18m； （3）2ad12bd4d； （4）2x3y 8x2y2； 13（4）4a2b6ab2 2ab； （6）3x3myn1  2x2myn  6xmyn1； （7）4xx  y 3x  y； （8）4x  xy 23  yx 3 ； （8）6am  n8bm  n； （10）5am1b  ab 310am1b3 ba 3 ； 关卡二 练习5: 2 2 2 2  1 已知：bca2，求 aabcb c a b c2b2c2a的值． 3 3 3 3  3 14练习6: （2023•奉贤区期中）阅读下列材料，然后解答问题： 问题：分解因式：x35x24 解答：对于任意一元多项式 f(x)，其奇次项系数之和为m，偶次项系数之和为n，若mn， 则 f(1)0，若mn，则 f （1）0．在x35x24中，因为m145，n5，所 以把x1代入多项式x35x24，得其值为0，由此确定多项式x35x24中有因式(x1)， 于 是 可 设 x35x24x1 x2 pxq  ， 分 别 求 出 p、q 的 值 ， 再 代 入 x35x24x1 x2 pxq  ，就容易分解多项式x35x24，这种分解因式的方法叫做 “试根法”． (1)上述式子中p ，q ； (2)对于一元多项式x35x23x9，必定有f（ ）＝0； (3)请你用“试根法”分解因式：x35x23x9． 15