FY25暑假初一A7B3乘法公式（一）教师版_初中资料合集_2025年秋初中《789年级暑假数学讲义》含6升7衔接（学生+教师版）上海专版_初一_志高_教师版PDF

B03 乘法公式（一）
考情链接
1. 本次任务由三个部分构成
（1）平方差公式
（2）完全平方公式
（3）平方差、完全平方公式计算综合
2. 考情分析
（1）主要考察一下几个方面平方差和完全平方公式的计算及其应用，常常在期中期末以计
算的形式进行考察。同时也会延伸出知二求二、 、凑完全平方等题型；
（2）平方差公式、完全平方公式是特殊的乘法公式，它既是前面知识“多项式乘多项式”
的应用，也是后继知识因式分解、分式等的基础，对整个知识体系也起到了承上启下的作用，
在初中阶段占有很重要的地位.
环节 需要时间
课后练习讲解 10分钟
切片1：平方差公式 30分钟
切片2：完全平方公式 30分钟
切片3：平方差、完全平方公式计算综合 25分钟
出门测 15分钟
错题整理 10分钟
1知识加油站1——平方差公式【建议时长：30分钟】
知识笔记
1、平方差公式定义：
两数和与这两数差相乘，等于这两个数的平方差．________________________．
（1）a、b可以表示数，也可以表示式子（单项式和多项式）
（2）有些多项式相乘，表面上不能用公式，但通过适当变形后可以用公式：
2、平方差公式的特征：
（1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项_______________，另一项互为
________________．
（2）右边是乘式中两项的_______________．
【填空答案】
1、ababa2b2；
2、完全相同；相反数；平方差
考点一：平方差公式的概念与几何意义
例题1:
（1）（★☆☆☆☆）（2022•闵行区期中）下列整式乘法能用平方差公式计算的是( )
A．(2ab)(a2b) B．(b2a)(2ab)
C．(2ab)(2ab) D．(a2b)(2ba)
（2）（★☆☆☆☆）（2022•长宁区第三女子中学期中）下列两个多项式相乘，不能用平方差
公式的是( )
A．(2a3b)(2a3b) B．(2a3b)(2a3b)
C．(2a3b)(2a3b) D．(2a3b)(2a3b)
【常规讲解】
（1）解：A、(2ab)(a2b)不能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
B、(b2a)(2ab)(2ab)(2ab)4a2 b2，故此选项符合题意；
C 、(2ab)(2ab)(2ab)2，故此选项不符合题意；
2D、(a2b)(2ba)(a2b)2，故此选项不符合题意．
故选：B．
（2）解：A、(2a3b)(2a3b)能用平方差公式，故本选项错误；
B、(2a3b)(2a3b)能用平方差公式，故本选项错误；
C 、(2a3b)(2a3b)不能用平方差公式，故本选项正确；
D、(2a3b)(2a3b)能用平方差公式，故本选项错误．
故选：C ．
练习1:
（1）（★☆☆☆☆）在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是( )
1 1
A．(2xy)(2yx) B．( x1)( x1)
2 2
C．(3xy)(3xy) D．(xy)(xy)
（2）（★☆☆☆☆）下列多项式的乘法中，能用平方差公式计算的是( )
1 1
A．(x2)(2x) B．( ab)(b a)
2 2
C．(mn)(mn) D．(x2 y)(x y2)
【常规讲解】
（1）解：A、(2xy)(2yx)，不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
1 1
B、( x1)( x1)，不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
2 2
C 、(3xy)(3xy)，能用平方差公式进行计算，故本选项符合题意；
D、(xy)(xy)不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
故选：C ．
（2）解：A、原式(x2)2 x2 4x4，不符合题意；
1
B、原式b2  a2，符合题意；
4
C 、原式(mn)2 m2 2mnn2，不符合题意；
D、原式x3 x2y2 xyy3，不符合题意．
故选：B．
3例题2:
（★★☆☆☆）（2022•黄浦区期中）从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形（如
图1)，然后将剩余部分剪拼成一个长方形（如图2)，上述操作能验证的等式是( )
A．(ab)2 a2 2abb2 B．(ab)2 a2 2abb2
C．a2 b2 (ab)(ab) D．a2 aba(ab)
【常规讲解】
解：∵从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形，剩余部分的面积是：a2 b2，
图2拼成的是长为ab，宽为ab的矩形，因此面积为(ab)(ab)，
根据剩余部分的面积相等得：a2 b2 (ab)(ab)，
故选：C ．
练习2:
（★★☆☆☆）（2020•普陀区期中）如图，边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方
形，剩下部分正好拼成一个等腰梯形，利用这两幅图形面积，能验证怎样的数学公式？(
)
A．a2 b2 (ab)(ab) B．(ab)2 (ab)2 4ab
C．(ab)2 a2 2abb2 D．(ab)2 a2 2abb2
【常规讲解】
解：左边阴影面积为a2 b2
(2a2b)(ab)
右边梯形面积为 (ab)(ab)
2
所以a2 b2 (ab)(ab)
4故选：A．
考点二：平方差公式的应用
例题3:
（★★★☆☆）完成以下计算：
第一组：
（1）（2022•宝山区罗南中学月考）(x3y)(x3y) ．
（2）（2022•黄浦区期中）计算：(2ab)(b2a) ．
1 1
（3）（2022•宝山区实验学校期中）计算：(a )(a ) ．
4 4
第二组：
（1）（2022•长宁区天山二中期中）计算：(12a)(12a)(14a2) ．
（2）计算：(2x1)(2x1)(4x2 1) ．
【常规讲解】
第一组：
（1）(x3y)(x3y)x2 9y2．
（2）原式(2ab)(2ab) (2a)2 b2 4a2 b2．
1 1 1 1
（3）原式(a )(a ) (a2  )  a2．
4 4 16 16
第二组：
（1）(12a)(12a)(14a2) (14a2)(14a2) 116a4．
（2）(2x1)(2x1)(4x2 1) (4x2 1)(4x2 1) 16x4 1．
练习3:
（★★★☆☆）完成以下计算：
第一组：
1 11 1
（1） 3x53x5 ； （2） x  x ； （3） 2x y2xy ．
2 32 3
第二组：
（2018•普陀区期中）(1a)(a1)(a2 1)(a4 1)
【常规讲解】
第一组：
5（1）3x53x5(3x)2529x225；
1 11 1 1 1 1 1
（2） x  x ( x)2 ( )2  x2  ；
2 32 3 2 3 4 9
（3）2x y2xy(2x)2y24x2y2．
第二组：
(1a)(a1)(a2 1)(a4 1) (1a2)(1a2)(a4 1) (1a4)(1a4) 1a8．
例题4:
（1）（★★★★☆）（2023•闵行区校级月考）(5x3y)( )9y2 25x2．
（2）（★★★★☆）（2021•徐汇区校级月考）已知(xay)(xay)x2 16y2，那么a ．
【常规讲解】（1）解：(5x3y)(5x3y)9y2 25x2．
故答案为：5x3y．
（2）解：∵x2 16y2 (x4y)(x4y)，
a4，
故答案为：4．
练习4:
（1）（★★★☆☆）（2019•普陀区校级月考）若M(3X Y2)Y4 9X2，那么代数式M 应
该是( )
A．(3X Y2) B．Y2 3X C．3X Y2 D．3X Y2
（2）（★★★★☆）（2019•浦东新区校级月考）(a2 b) a4 b2．
【常规讲解】（1）解：由题意可知：M (Y4 9X2)(3X Y2)，
(Y2 3X)(Y2 3X)(3X Y2)
(Y2 3X)，
故选：A．
（2）解：(a2 b)(a2 b)a4 b2．
故答案为：(a2 b)
6例题5:
（★★★★☆）简便运算：
（1）（2022•闵行区期中）50.249.8．
（2）（2022•静安区市西中学期中）198202．
2 1
（3）（2021•嘉定区期中）49 50 ．
3 3
【常规讲解】
（1）50.249.8
(500.2)(500.2)
502 0.22
25000.04 2499.96．
（2）原式(2002)(2002)
2002 22
400004 39996．
1 1
（3）原式(50 )(50 )
3 3
1
502 ( )2
3
1
2500
9
8
2499 ．
9
练习5:
（★★★★☆）简便运算：
（1）99.8100.2；
（2）12342 12351233；
【常规讲解】
（1）原式(1000.2)(1000.2)1002 0.22 9999.96；
（2）原式12342 123411234112342 12342 11
7知识加油站2——完全平方公式【建议时长：30分钟】
知识笔记
1、完全平方公式定义
两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的两倍．
ab2 _______________________.
ab2 _______________________.
2、完全平方公式的特征
（1）左边是两个____________________相乘；
（2）右边是__________，是左边两项的__________，加上（这两项相加时）或减去（这两
项相减时）这两项_______________倍；
（3）公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等代数式．
【填空答案】
1、ab2 a2 2abb2；ab2 a2 2abb2．
2、（1）相同的二项式；（2）三项式；平方和；乘积的2
考点三：完全平方公式的概念与几何意义
例题6:
（1）（★☆☆☆☆）下列各式中，能用完全平方公式计算的是( )
A．(xy)(xy) B．(xy)(xy) C．(xy)(xy) D．(xy)(xy)
（2）（★☆☆☆☆）下列各式中，能用完全平方公式计算的是( )
A．(ab)(ba) B．(n2 m2)(m2 n2)
1 1
C．( pq)(q p) D．(2x3y)(2x3y)
2 2
【常规讲解】
（1）解：A、原式x2  y2，不符合题意；
B、原式x2 2xy y2，符合题意；
C 、原式 y2 x2，不符合题意；
8D、原式x2  y2，不符合题意，
故选：B．
（2）解：A、原式b2 a2，本选项不合题意；
B、原式(m2 n2)2，本选项符合题意；
1
C 、原式q2  p2，本选项不合题意；
4
D、原式4x2 9y2，本选项不合题意，
故选：B．
练习6:
（1）（★☆☆☆☆）下列多项式中，能用完全平方公式计算的是( )
A．(a1)(a1) B．(ab)(ba) C．(ab)(ab) D．(ab)(ab)
（2）（★☆☆☆☆）下列公式不能用完全平方公式计算的是( )
A．(2x y)(2x y) B．(2x y)(2x y)
C．(2x y)(2x y) D．(2x y)(2x y)
【常规讲解】
（1）解：A．(a1)(a1)(1a)(1a)(1a2)，两式可以利用平方差公式计算，故此
选项错误；
B．(ab)(ba)(ba)(ba)(b2 a2)，两式可以利用平方差公式计算，故此选项错误；
C ．(ab)(ab)(ab)(ab)，两式可以利用完全平方公式计算，故此选项正确；
D．(ab)(ab))(a2 b2)，两式可以利用平方差公式计算，故此选项错误；
故选：C ．
（2）解：（A）原式(2x y)(2x y)(2x y)2，故A能用完全平方公式，
（B）原式(2x y)(2x y)，故B不能用完全平方公式，
（C）原式(2x y)2，故C能用完全平方公式，
（D）原式 (2x y)(2x y) (2x y)2，故D能用完全平方公式；
故选：B．
9例题7:
（★★☆☆☆）（2021•奉贤区期中）图（1）是一个长为2a，宽为2b(ab)的长方形，用剪
刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）
那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是( )
A．ab B．(ab)2 C．(ab)2 D．a2 b2
【常规讲解】
解：中间部分的四边形是正方形，边长是ab2bab，
则面积是(ab)2．
故选：C ．
练习7:
（★★☆☆☆）我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来
解释一些代数恒等式．例如图甲可以用来解释ab2 ab2 4ab．那么通过图乙面积
的计算，验证了一个恒等式，此等式是（ ）
A．a2 b2 abab B．aba2ba2ab2b2
C．ab2 a2 2abb2 D．ab2 a2 2abb2
【常规讲解】
解：空白部分的面积：ab2，
还可以表示为：a2 2abb2，
所以，此等式是ab2 a2 2abb2．
故选：C．
10考点四：完全平方公式的应用
例题8:
（★★★☆☆）完成以下三组计算：
第一组：
（1）3x92 = ．
（2）（2020•普陀区期末）计算：(2xy)2  ．
（3）（2021•普陀区长征中学月考）(a2b)2  ．
第二组：
（1）  9a2 16b23a4b3a4b；
1 1 1 1 1 1 
（2） a b a b a2  b2 ．
3 2 3 2 9 4 
第三组：
（1）（2022•黄浦区期中）计算：(ab2c)2  ．
（2）（2022•静安区教育学院附属学校期中）计算：(a2b3c)2  ．
（3）
x y22xy
．
【常规讲解】
第一组：
（1）3x92 (3x)2 23x992 9x2 54x81：
（2）原式[(2x y)]2 (2x y)2 4x2 4xy y2，
（3）(a2b)2 a2 4ab4b2．
第二组：
（1）原式(9a2 16b2)(9a2 16b2)81a4 288a2b2 256b4；
1 1 1 1 1 1 1
（2）原式( a2  b2)( a2  b2) a4  a2b2  b4．
9 4 9 4 81 18 16
第三组：
（1）原式(ab)2 4c(ab)4c2 a2 2abb2 4ac4bc4c2．
（2）(a2b3c)2 [(a2b)3c]2 (a2b)2 6c(a2b)9c2
a2 4ab4b2 6ac12bc9c2．
（3）原式(x y2)2 (x y)2 4(x y)4 x2 2xyy2 4x4y4．
练习8:
11（★★★☆☆）完成以下三组计算：
第一组：
1 1 1
（1）(4x y)2； （2）(3yx)2； （3）( a3b)(3b a)．
2 2 2
第二组：
（1）2a32a3 4a2 9  ；
1 1 1 1 1 1 
（2） a b a b a2 b2  ．
2 5 2 5 4 25 
第三组：
（1）（2019•宝山区期末）计算：(xy1)2．
（2）（2019•虹口区月考）计算：(x2y1)2．
【常规讲解】
第一组：
1
（1）原式(4x y)2
2
1
16x2 4xy y2．
4
（2）(3y)2 2(3y)xx2
9y2 6xyx2．
1 1
（3）解：原式( a3b)( a3b)
2 2
1
( a3b)2
2
1
 a2 3ab9b2．
4
第二组：
（1）原式(4a2 9)(4a2 9)16a4 72a2 81．
1 1 1 1 1 1 1
（2）原式( a2  b2)( a2  b2) a4  a2b2  b4．
4 25 4 25 16 50 625
第三组：
（1）解：(xy1)2
[(x y)1]2
(xy)2 2(xy)1
x2 2xy y2 2x2y1．
（2）解：原式(x2y)2 2(x2y)1
12x2 4xy4y2 2x4y1．
例题9:
（★★★☆☆）简便计算：
（1）99.82； （2）20052．
【常规讲解】
（1）99.82 (1000.2)2 10000400.049960.04；
（2）20052 (20005)2 400000020000254020025．
练习9:
（★★★☆☆）简便计算：
2
 1
（1）30  ；
 3
（2）5012 10024984982．
【常规讲解】
2
 1 1 1 1 1
（1）30  =302 230 ( )2 =90020 =920 ；
 3 3 3 9 9
（2）5012 10024984982=(501498)2=32 =9 ．
13知识加油站3——平方差、完全平方公式计算综合【建议时长：25分钟】
考点五：平方差公式和完全平方公式的综合计算
例题10:
（★★★☆☆）
（1）（2021•宝山区期末）计算：(x2y3)(x2y3)．
（2）（2021•宝山区期末）计算：(a4)(a4)(2a)(a2)．
（3）化简：(2x3y)(2x3y)(2xy)2．
（4）（2022•嘉定区育才中学期末）计算：(2x y)2 y(y4x)(2x)2．
（5）（2022•黄浦区期中）计算：(x1)(x1)(1x2)．
【常规讲解】
（1）原式x2 (2y3)2
x2 (4y2 12y9)
x2 4y2 12y9．
（2）原式a2 16(a2 4a4)
a2 16a2 4a4
2a2 4a12．
（3）原式4x2 9y2 4x2 4xyy2
4xy10y2．
（4）(2x y)2 y(y4x)(2x)2
4x2 4xy y2 y2 4xy4x2
8x2．
（5）原式(x2 1)(1x2)
(x2 1)2
(x4 2x2 1)
x4 2x2 1．
14练习10:
（★★★☆☆）计算：
（1）计算：(2xy1)(2xy1)
（2）(2xy)2 x(x y)2xy．
（3）（2020•浦东新区期末）a(a4)(a2)2．
（4）（2020•松江区期末）(x2y)(x3y)(xy)2．
（5）（2020•浦东新区期中）(x yz)(x yz)(x yz)2．
【常规讲解】
（1）原式[(2x1)y][(2x1)y] (2x1)2 y2 4x2 4x1y2．
（2）解：(2xy)2 x(x y)2xy 4x2 4xy y2 x2 xy2xy 3x2 3xy y2．
（3）解：a(a4)(a2)2 a2 4aa2 4a4 4．
（4）解：(x2y)(x3y)(xy)2 x2 3xy2xy6y2 x2 2xy y2 2x2 xy5y2．
（5）解：(x yz)(x yz)(x yz)2 (x y)2 z2 [(x y)z]2
(x y)2 z2 [(x y)2 2z(x y)z2] (x y)2 z2 (x y)2 2z(x y)z2
2z2 2xz2yz．
例题11:
（★★★★☆）（2023•闵行区校级月考）如图，大正方形的边长为a，小正方形的边长为b．如
图1，小正方形摆放在边长为的内部右上角，其未叠合部分（阴影）的面积为S ；如图2，
1
若再在图1中大正方形的右下角摆放小正方形，两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S ；
2
如图3，在大正方形的外部左下角摆放小正方形，形成阴影部分的面积为S ．
3
（1）用含a，b的代数式分别表示S 、S ；
1 2
（2）若ab10，ab20，求S S 的值；
1 2
（3）当S S 30时，求S 的值．
1 2 3
【常规讲解】解：（1）由图可得，S a2 b2，S a2 a(ab)b(ab)b(ab)2b2 ab；
1 2
（2）S S a2 b2 2b2 aba2 b2 ab，
1 2
∵ab10，ab20，
15S S a2 b2 ab(ab)2 3ab10032040；
1 2
1 1 1
（3）由图可得，S a2 b2  b(ab) a2  (a2 b2 ab)，
3 2 2 2
∵S S a2 b2 ab30，
1 2
1 1
S  (S S ) 3015．
3 2 1 2 2
练习11:
（★★★★☆）我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观的形象，能有效地表现一
些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙的解决一些图形问题．
在一节数学课上，张老师准备了1张甲种纸片，1张乙种纸片，2张丙种纸片，如图1所示，
甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x
的长方形．她将这些纸片拼成了如图2所示的一个大正方形．
【理解应用】
（1）图2中的大正方形的边长为 ；
（2）观察图2，用两种不同方式表示大正方形的面积，可得到一个等式，请你直接写出这
个等式 ；
【拓展应用】
（3）利用（2）中的等式计算：
①已知a2 b2 10，ab6，求ab的值；
②已知(2021a)(a2019)2020，求(2021a)2 (a2019)2的值．
【常规讲解】解：（1）观察图形可知：图2中的大正方形的边长为：x y，
（2）由题意得：
(x y)2 x2 2xy y2；
（3）①∵a2 b2 10，ab6，
(ab)2 a2 b2 2ab，
62 102ab，
2ab3610，
162ab26，
ab13；
②设2021am，a2019n，
mn2021aa20192，
∵(2021a)(a2019)2020，
mn2020，
(2021a)2 (a2019)2
m2 n2
(mn)2 2mn
22 2(2020)
44040
4044．
17全真战场
教师可以根据课堂节奏将“全真战场”作为课堂补充练习或课后补充练习让学生的完成
．． ．．
关卡一
练习1:
（1）（★☆☆☆☆）下列代数式中能用平方差公式计算的是( )
A．(xy)(xy) B．(2xy)(y2x)
1 1
C．(x y)(y x) D．(xy)(yx)
2 2
（2）（★☆☆☆☆）下列各式中，能用完全平方公式计算的是( )
A．(2m3n)(2m3n) B．(2m3n)(2m3n)
C．(2m3n)(2m3n) D．(2m3n)(3m2n)
【常规讲解】
（1）解：A、两个括号内的数字完全相同，不符合平方差公式，故不符合题意；
B、两个括号内的相同数字是2x ，相反数字是(y)与y，故可用平方差公式计算，该选项
符合题意；
C 、没有完全相同的数字，也没有完全相反的数字，故不符合题意；
D、两个括号内只有相同项，没有相反项，故不符合题意．
故选：B．
（2）解：(2m3n)(2m3n)(2m3n)(2m3n)(4m2 9n2)4m2 9n2；
(2m3n)(2m3n)(2m3n)2 4m2 12mn9n2；
(2m3n)(2m3n)4m2 9n2；
(2m3n)(3m2n)6m2 13mn6n2．
故选：B．
18练习2:
（★★☆☆☆）如图，能根据图形中的面积说明的乘法公式是( )
A．(ab)(ab)a2 b2 B．(ab)2 a2 2abb2
C．(ab)2 a2 2abb2 D．(x p)(xq)x2 (pq)x pq
【常规讲解】
解：大正方形的面积为：(ab)2，
四个部分的面积的和为：a2 2abb2，
能说明的乘法公式是：(ab)2 a2 2abb2；
故选：B．
练习3:
（★★★☆☆）计算：
（1）计算：(a5b)(a5b)(a2b)2．
（2）（2020•浦东新区期中）计算：(x3)(x3)(2x)2．
（3）（2020•浦东新区期中）计算：(2a3b)2 (3a2b)2．
（4）计算：3(2x1)2 (3x4)(3x4)．
【常规讲解】
（1）解：(a5b)(a5b)(a2b)2
(a2 25b2)(a2 4ab4b2)
a2 25b2 a2 4ab4b2
29b2 4ab．
（2）解：(x3)(x3)(2x)2．
x2 9(44xx2)
x2 944xx2
4x13．
（3）解：原式4a2 12ab9b2 9a2 12ab4b2 5a2 5b2．
（4）解：原式3(4x2 4x1)(169x2)
1912x2 12x3169x2
21x2 12x13．
练习4:
（★★★★☆）用简便方法计算：
3 1
（1）403397； （2）29 30 ；
4 4
（3）9910110001； （4）492 522．
【常规讲解】
（1）403397(4003)(4003)1600009159991；
3 1 1 1 1 15
（2）29 30 (30 )(30 )900 899 ；
4 4 4 4 16 16
（3）999910001(100001)(100001)9999999；
（4）492 522 (501)2 (502)2 5105．
20关卡二
练习5:
（★★★★★）计算：12 122 124

 122n
1（n是正整数）．
【常规讲解】
12 122 124

 122n
1
(21)(21)(22 1)(24 1)(22n 1)1
(24 1)(24 1)(22n 1)1
24n 1124n
故答案为：24n
练习6:
（★★★★★）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如
下图），此图揭示了(ab)n(n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．
例如：
(ab)0 1，它只有一项，系数为1；
(ab)1 ab，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；
(ab)2 a2 2abb2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；
(ab)3 a3 3a2b3ab2 b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；

根据以上规律，解答下列问题：
（1）(ab)4展开式共有_______项，系数分别为_______；
（2）(ab)n展开式共有_______项，系数和为_______．
【常规讲解】
解：（1）展开式共有5项，展开式的各项系数分别为1，4，6，4，1，
（2）展开式共有n1项，系数和为2n．
故答案为：（1）5；1，4，6，4，1；（2）(n1)，2n．
2122