FY25暑假初二A01二次根式的概念与性质教师版_初中资料合集_2025年秋初中《789年级暑假数学讲义》含6升7衔接（学生+教师版）上海专版_初二_精进_教师版PDF

01A 二次根式的概念与性质 考情链接 1. 本次任务由两个部分构成 （1）二次根式的概念 （2）二次根式的性质 2. 考情分析 （1）二次根式的概念与性质是二次根式的部分，属于方程与代数式板块，占中考考分值约 28%。 （2）主要考察二次根式的概念及性质，以选择题、填空题为主，也可以结合新定义、数轴 等知识点考察常规讲解题。 （3）对应教材：八年级上册第十六章二次根式第一节。 （4）本讲知识点二次根式是八年级数学上学期第一章第一节内容，主要对二次根式的性质 及运算进行讲解，重点是二次根式的性质，难点是分母有理化的应用．学生已学过平方根、 立方根、实数等概念及求法，对实数运算与性质有初步感受，为本节知识打下了基础．本节 知识是前面相关内容的发展，同时是后面学习的直接基础，起到了承上启下的作用。 环节 需要时间 首课介绍 10分钟 切片 1：二次根式的概念 30分钟 切片 2：二次根式的性质 60分钟 出门测 10分钟 错题整理 10分钟 1知识加油站 1——二次根式的概念【建议时长：30分钟】 考点一：二次根式定义 知识笔记1 二次根式的概念 代数式 a（a0）叫做二次根式，读作“根号a”，其中a是___________． 【填空答案】 被开方数 例题1: （1）（★★☆☆☆）下列式子中二次根式的个数有( ) 1 1 ① ； ② 3； ③− x2 +1； ④3 8； ⑤ (− )2 ； ⑥ 1−x(x1)； ⑦ 7 ． 3 3 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 （2）（★★☆☆☆）若x为任意实数，下列各式一定是二次根式的是( ) A． x2 −3 B． 1 C． x2 +2x D． x2 +1 (x+1)2 【常规讲解】 1 1 （1）二次根式有：① ；② 3；③− x2 +1；⑤ (− )2 ；⑦ 7 共5个， 3 3 3 8的根指数为3，不是二次根式； x1， 1−x0，  1−x(x1)不是二次根式； 故选：D． 2（2）解：A、当x=1时， x2 −3不是二次根式，不符合题意； 1 B、当x=−1时， 不是二次根式，不符合题意； (x+1)2 C 、当x=−1时， x2 +2x不是二次根式，不符合题意； D、x为任意实数， x2 +1是二次根式，符合题意； 故选：D． 练习1:【学习框8】 （1）*（★★☆☆☆）下列各式一定是二次根式的是( ) A． x B． 2 C． −4 D．3 5 （2）（★★☆☆☆）下列各式一定是二次根式的是( ) A． −3 B．3 4 C． x2 +1 D． x 【常规讲解】 （1）解：A、x0时， x 不是二次根式，故A不符合题意； B、 2 是二次根式，故B符合题意； C 、二次根式的被开方数是非负数，故C 不符合题意； D、3 5 ，根指数不是2，不是二次根式，故D不符合题意； 故选：B． （2）解：A、 −3根号下是负数，不是二次根式，故此选项不合题意； B、3 4 是立方根，故此选项不合题意； C 、根据x2 +1一定大于0，则 x2 +1一定是二次根式，故此选项符合题意； D、当x0时， x 无意义，故此选项不合题意． 故选：C ． 3考点二：二次根式成立条件 知识笔记2 二次根式 a （a0）有意义的条件 （1）_________ （2）_________ 【填空答案】 a 0 a 0 例题2: x−2 （1）（★★☆☆☆）若 是二次根式，则x的取值范围是( ) 3 A．x2 B．x2 C．x 2 D．x 2 x （2）（★★☆☆☆）x取何值时， 在实数范围内有意义( ) x−1 A．x1 B．x 1 C．x1 D．x 1 2x+1 （3）（★★☆☆☆）式子 有意义的x取值范围是( ) x−1 1 1 1 A．x1 B．x − C．x − 且x1 D．x− 且x1 2 2 2 1 （4）（★★☆☆☆）若式子 + x+2有意义，则实数x的取值范围是( ) x2 −4 A．x−2 B．x −2，且x2 C．x −2 D．x−2，且x2 【常规讲解】 x−2 （1）解： 是二次根式， 3 x−2 0， 解得x 2， 故选：C ． 4（2）解：根据二次根式的意义及分母不能为0， 得x−10，解得x1．故选：A． （3）解：由题意得，2x+1 0且x−10， 1 解得x − 且x1． 2 故选：C ． （4）解：根据题意，得x+2 0且x2 −40． 解得x−2且x2． 故选：D． 练习2: 【学习框10】 2x （1）*（★★☆☆☆）若 是二次根式，则下列说法正确的是( ) y A．x 0 B．x 0且y0 C．x、 y同号 D．x 0，y0或x 0，y0 x−1+2 （2）（★★☆☆☆）要使式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是( ) x−2 A．x1且x2 B．x 1且x2 C．x2 D．1x2 1 （3）（★★☆☆☆）使式子 + 4−3x在实数范围内有意义的整数x有( ) x+3 A．5个 B．3个 C．4个 D．2个 【常规讲解】 2x x （1）解：依题意有 0且 y0 ，即 0且 y0 ． y y 所以x 0，y0或x 0，y0． 故选：D． （2）解：由题意得：x−20，且x−1 0， 解得：x 1且x2， 故选：B． 51 （3）解： 式子 + 4−3x在实数范围内有意义， x+3 x+30 4  ，解得：−3x ， 4−3x 0 3 又 x要取整数值， x的值为：−2、−1、0、1． 即符合条件的x的值有4个． 故选：C ． 例题3: （1）（★★☆☆☆）（2022•宝山区期末）如果y= 3−2x+ 2x−3，则x+ y的值为( ) 3 2 A． B．1 C． D．0 2 3 （2）（★★☆☆☆）已知x满足|2021−x|+ x−2022 =x，那么x−20212的值为( ) A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 【配题说明】根据二次根式有意义条件求未知数 【常规讲解】 （1）解： 3−2x 0，2x−3 0， 3 3 则x ，x ， 2 2 3 解得：x= ， 2 故y=0， 3 3 则x+ y= +0= ． 2 2 故选：A． （2）解： x−2022 0， x 2022， 2021−x0， 原式变形为x−2021+ x−2022 = x，  x−2022 =2021， 6两边平方得：x−2022=20212， x−20212 =2022． 故选：D． 练习3: 【学习框12】 1 （1）（★★★☆☆）已知x、 y为实数，且y= x−8−3 8−x + ，求xy的平方根． 2 （2）（★★★☆☆）已知 a−2017+|3−a|=a，那么a=_________． 【配题说明】根据二次根式有意义条件求未知数 【常规讲解】 1 （1）解： y= x−8−3 8−x+ ， 2 x−8=8−x=0， 1 解得：x=8， y = ， 2 1 故xy=8 =4， 2 xy的平方根是2． （2）解： a−2017有意义， a 2017，  a−2017+a−3|=a 则 a−2017 =3， 故a−2017=9， 则a=2026． 故答案为：2026． 7知识加油站 2——二次根式的性质【建议时长：60分钟】 考点三：二次根式的性质 知识笔记3 二次根式的性质 a(a 0)  性质1： a2 =a(_______)； 推广性质1可得到： a2 = a = 0(a =0)  −a(a 0)  性质2：( a)2 =a(a0)； 性质3： ab =_________ （a0，b0）； ab = −a −b（a0，b0）； a 性质4： =_________（a0，b0）； b a =_________ （a0，b0）. b 【填空答案】 a −a a0； a  b ； ； b −b 例题4: （★★★☆☆）算下列各式的值： 9 7 （1）( 18)2= （2）( )2=； （3）(4 )2= 4 8 （4）(3 5)2 −(5 3)2= （5） 0.0144 = （6） (−5)2 = 【常规讲解】 9 （1）18； （2） ； （3）14； （4）−30； （5） 0.0144 = (0.12)2 =0.12；（6） (−5)2 =5− 16 8练习4: 【学习框14】 （1）（★★☆☆☆）算下列各式的值： 10 ① (−7)2 = ② 3 −2 = ③ −x2 = 27 ④ (2−)2 = ⑤ 252 −202 = ⑥ (1− 2)2 = （2）（★★★☆☆）（2022•杨浦区期中）化简： 1 y2 ① 27x3 ； ② 12mn3(m0)； ③6 ； ④ −24x3y3 ． 2 16x4 【常规讲解】 （1）① (−7)2 = 72 =7； 10 64 4 ② 3 −2 = 3 − =− ； 27 27 3 ③ 二次根式有意义则−x2 0，且x2 0，−x2 =0， −x2 =0． ④ 2−0， (2−)2 =−2． ⑤原式= (25+20)(25−20) = 455 =15． ⑥ 1 2，1− 20， (1− 2)2 = 2−1 （2）①由二次根式非负性27x3 0，可得x0， 原式= 9x23x = 9x2  3x = 3x  3x =3x 3x ； ②由二次根式非负性12mn3 0，结合m0，可得n0， 1 1 1 原式= 4n23mn = 4n2  3mn = 2n  3mn =n 3mn； 2 2 2  y  2 y 3 y ③原式=6   =6 = ； 4x2  4x2 2x2 ④由二次根式非负性−24x3y3 0，即有(xy)3 0，可得 xy0 ， 原式= 4x2y2(−6xy) = 4x2y2  −6xy = 2xy  −6xy =−2xy −6xy ． 9例题5: （1）（★★★★☆）（2022•宝山区期中）下列各式中，与化简 −mn3(m0)所得结果相同的是 ( ) A．n −mn B．n mn C．−n mn D．−n −mn 1 （2）（★★★★☆）与根式−x − 的值相等的是 ( ) x A．− x B．−x2 −x C．− −x D． −x 1 （3）（★★★★☆）化简：a − 的结果是（ ） a A． −a B．− −a C．− a D． a 1 （4）（★★★★☆）把二次根式（x-1） 中根号外的因式移到根号内，结果是__________． 1−x 【配题说明】根据二次根式性质化简，特别注意符号变化 【常规讲解】 （1）解：原式= −mnn2 = −mn n2 ， −mn 0，m0， n 0， 原式=−n −mn ． 故选：D． 1 （2）解： − 有意义， x x0， 1 −x − 0 x ， 1 −x −x − =−x = −x x −x ， 故选：D． 101 （3）∵ − 有意义， a 1 ∴− 0，且a0 a ∴a<0 1 −a −a ∴a − =a =a =− −a ． a (−a)2 −a 故选：B． 1 1−x 1−x （4）解：(x-1) =（x−1） =（x−1） =− 1−x． 1−x 1−x 1−x 故答案是：- 1−x ． 练习5：【学习框16】 x （1）（★★★★☆）已知xy0，化简二次根式−y 的正确结果（ ） y2 A． x B． −x C．− x D．− −x （2）*（★★★★☆）对式子m −3m作恒等变形，使根号外不含字母 m ，正确的结果是（ ） A． −3m3 B．− 3m3 C．− −3m3 D． 3m3 1 （3）*（★★★☆☆）（2023•杨浦期中）化简：x − =_______. 12x3 1 （4）（★★★★☆）把− −a11 中根号外因式适当变形后移至根号内得_______. a 【配题说明】根据二次根式性质化简，特别注意符号变化 【常规讲解】 x （1）解：由二次根式有意义的条件可得： 0 y2 ∵xy0， ∴x0，y0， x x x ∴−y =−y =−y =− x. y2 |y| y 故选：C. 11（2）解：由题意可得：−3m0，∴m0 ∴m −3m=− −3m(−m)2 = − −3m3 故选：C. 3x −3x −3x −3x （3）解：原式=x − =x =x· = ， 36x4 36x4 6x2 6x −3x 故答案为： ． 6x 1 （4）解：∵− −a11 ，有意义， a ∴−a110，则a<0， ∴− 1 −a11 = − a11 = −a9 ， a a2 故答案为： −a9 ． 例题6: （1）（★★★★☆）（2022•闵行区文来中学期中）若化简|1−a|− a2 −8a+16的结果是2a−5， 则实数a的取值范围是( ) A．a为任意实数 B．a 1 C．a4 D．1 a 4 （2）（★★★☆☆）当1 x2时，化简 x2 −4x+4+ 1−2x+x2 =________. （3）（★★★★☆）已知y= x2 −4x+4−x+3，当 x 分别取1，2，3，  ，2020时，所对应 的 y 值的总和是________． （4）（★★★☆☆）（2023 闵行区期中） a 、 b 、 c 是 ABC 的三条边，化简 (a−b+c)2 − (a−b−c)2 =___________. 【配题说明】根据二次根式性质化简，求参 【常规讲解】 （1）解： |1−a|− a2 −8a+16 =|1−a|−|a−4|=2a−5， 应该满足|1−a|−|a−4|=(a−1)−(4−a)， 12a−1 0  ， 4−a 0 1 a 4． 故选：D． （2）解： 1 x2，  x2 −4x+4+ 1−2x+x2 = (x−2)2 + (1−x)2 =2−x+x−1 =1． 故答案为：1． （3）解： y= x2 −4x+4−x+3= (x−2)2 −x+3=|x−2|−x+3， 当x2时， y=2−x−x+3=5−2x ， 即当x=1时， y=5−2=3 ； 当x 2时， y=x−2−x+3=1 ， 即当 x 分别取2，3，  ，2020时， y 的值均为1， 综上所述，当x分别取1，2，3，  ，2020时，所对应的 y 值的总和是3+20191=2022， 故答案为：2022． （4）解：由已知得， (a−b+c)2 − (a−b−c)2 ， = a−b+c − a−b−c ， = a+c−b − b+c−a ， a 、b、 c 是 ABC的三条边， 原式=a+c−b−(b+c−a)=2a−2b， 故答案为：2a−2b． 练习6:【学习框18】 （1）（★★★★☆）若代数式 (2−a)2 + (a−4)2 ＝2成立，求a的取值范围． （2）（★★★★☆）化简： (x+2)2 + (x−2)2 13（3）*（★★★★☆）化简： x2 +6x+9+ x2 −2x+1− x2 −4x+4 （4）（★★★☆☆）已知：a、b、c是ABC 的三边长，化简： (a+b+c)2 − (b+c−a)2 + (c−b−a)2 ． 【配题说明】根据二次根式性质化简，求参 【常规讲解】 （1） (2−a)2 + (a−4)2 = 2−a + a−4 ，由此进行分类讨论： ①当a2时，原式= (2−a)+(4−a)=6−2a； ②当2a4时，原式= (a−2)+(4−a)=2； ③当a4时，原式= (a−2)+(a−4)=2a−6； 综上所述，可知a的取值范围是2a4． （2）解： (x+2)2 + (x−2)2 =|x+2|+|x−2| ， 当x −2时，x+2 0，x−2 0， |x+2|+|x−2| =−x−2−x+2 =−2x； 当−2 x 2时，x+20，x−2 0， |x+2|+|x−2| = x+2−x+2 =4； 当x2时，x+20，x−20， |x+2|+|x−2| = x+2+x−2 =2x． （3）解：原式= (x+3)2 + (x−1)2 − (x−2)2 =|x+3|+|x−1|−|x−2|， 当x−3时，原式 =−(x+3)−(x−1)+(x−2)=−x−4 ， 当−3 x 1时，原式 =(x+3)−(x−1)+(x−2)= x+2 ， 当1 x 2时，原式 =(x+3)+(x−1)+(x−2)=3x ， 当x2时，原式 =(x+3)+(x−1)−(x−2)= x+4 （4）解： a、b、c 是ABC 的三边长， 14a+bc，b+ca，b+ac， 原式 =|a+b+c|−|b+c−a|+|c−b−a| =a+b+c−(b+c−a)+(b+a−c) =a+b+c−b−c+a+b+a−c =3a+b−c． 例题7: （★★★★☆）先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如 m2 n 的化简，只要我们找到 两个正数a、b，使a+b=m，ab=n，使得( a)2 +( b)2 =m， a b = n ，那么便有： m2 n = ( a  b)2 = a  b(ab)． 例如：化简 7+4 3 ． 解：首先把 7+4 3 化为 7+2 12 ，这里m=7，n=12，由于4+3=7，43=12．即 ( 4)2 +( 3)2 =7， 4 3= 12．  7+4 3 = 7+2 12 = ( 4+ 3)2 =2+ 3． （1）填空： 6−2 5 =_______.， 10+4 6 =_______. （2）化简： 29−8 13 ． 【配题说明】根据二次根式化简与完全平方式综合运用 【常规讲解】 解：（1） 6−2 5 = ( 5−1)2 = 5−1， 10+4 6 = (2+ 6)2 =2+ 6 ； 故答案为： 5−1，2+ 6； （2） 29−8 13 = (4− 13)2 =4− 13． 15练习7:【学习框20】 （★★★★☆）有这样一类题目：化简 a2 b ，如果你能找到两个数m、n，使m2 +n2 =a， 并且mn= b，那么将a2 b变成m2 +n2 2mn=(mn)2开方，从而将 a2 b 化简．例 如：化简 3+2 2 因为 3+2 2 = 1+2+2 2 = 12 +( 2)2 +2 2 = (1+ 2)2 所以 3+2 2 = (1+ 2)2 =1+ 2 仿照上例化简下列各式： （1） 9+4 5 ； （2） 18−2 77 ． 【配题说明】根据二次根式化简与完全平方式综合运用 【常规讲解】 解：（1） 9+4 5 = 4+5+4 5 = 22 +22 5+( 5)2 = (2+ 5)2 =2+ 5； （2） 18−2 77 = 11+7−2 77 = ( 11)2 −2 11 7+( 7)2 = ( 11− 7)2 = 11− 7 ． 16全真战场 教师可以根据课堂节奏将“全真战场”作为课堂补．充．练习或课后补．充．练习让学生的完成 关卡一 练习1: （★★☆☆☆）在式子 −3.14， a2 +b2 ， a+5， −3y2 ， m2 +1， |ab|中，是二 次根式的有 ( ) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【常规讲解】 解：在所列式子中是二次根式的有 −3.14， a2 +b2 ， m2 +1， |ab|这4个， 故选：B． 练习2: （1）（★★★☆☆）如图，在数轴上所表示的 x 的取值范围中，有意义的二次根式是 ( ) 1 1 A． x−3 B． x+3 C． D． x−3 x+3 1 （2）（★★★☆☆）若代数式 m+ 有意义，则点 (m,n) 在平面直角坐标系中的 ( ) mn A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 （3）（★★★☆☆）已知ab，化简二次根式 −ab5 的正确结果是 ( ) A．b2 ab B．b2 −ab C．−b2 ab D．−b2 −ab 【常规讲解】 （1）解：从数轴可知：x −3， A．当−3 x3时， x−3 无意义，故本选项不符合题意； B．当x −3时， x+3 有意义，故本选项符合题意； 1 C ．当−3 x 3时， 无意义，故本选项不符合题意； x−3 1 D．当x=−3时， 无意义，故本选项不符合题意； x+3 17故选：B． （2）解：由题意得，m 0，mn0， 则m0，n0， 点(m,n)在第一象限， 故选：A． （3）解： a b，  −ab5 中−ab5 0， b 0，  −ab5 =b2 −ab 故选：B． 练习3: （1）（★★★☆☆）若 x ， y 为实数，且 3x−1+ 1−3x + y=6，则 xy 的值为 ( ) 1 A．0 B． C．2 D．不能确定 3 （2）（★★★☆☆）b= a−3− 3−a +4，则 ab =_______. 【常规讲解】 3x−1 0 （1）解：由题意可知： ， 1−3x 0 1 1 x= ， y =6 ，xy= 6=2， 3 3 故选：C ． （2）解：由题意得： a−3 0  3−a 0 ， 解得a=3，b=4，  ab = 34 = 12 =2 3． 故答案为：2 3 ． 18练习4: 2 2 3 3 4 4 （★★★☆☆）观察下列各式：2 = 2+ ；3 = 3+ ；4 = 4+ ； 3 3 8 8 15 15 则依次第四个式子是_______；用n(n 2)的等式表达你所观察得到的规律应是_______. 【常规讲解】 5 5 解：第四个式子是5 = 5+ ；用n(n 2)的等式表达你所观察得到的规律应是 24 24 n n n = n+ ． n2 −1 n2 −1 n n 故答案为：n = n+ ． n2 −1 n2 −1 练习5: （★★★☆☆）a、b、c三个数在数轴上的点如图所示，求|a−b|+|c−a|−|c+b|− (a−c)2 的值． 【常规讲解】 解：由数轴可知，ac0b，|c||b|， 则a−b0，c−a0，b+c0， |a−b|+|c−a|−|c+b|− (a−c)2 =b−a+c−a−c−b−c+a =−a−c． 关卡二 练习6: 1 （★★★★☆）若a+b−2 a−1−4 b−2 =3 c−3− c−5，则a+b+c的值为_______. 2 【常规讲解】 1 解：整理得：(a−1−2 a−1+1)+(b−2−4 b−2+4)+ (c−3−6 c−3+9)=0 2 1 ( a−1−1)2 +( b−2−2)2 + ( c−3−3)2 =0， 2  a−1=1， b−2 =2， c−3 =3， a 1，b 2，c 3， 19a=2，b=6，c=12， a+b+c=20． 故答案为：20． 练习7: （★★★★☆）已知|x+2|+|1−x|=9− (y−5)2 − (1+ y)2 ，则x+ y的最小值为_______. 【常规讲解】 解： |x+2|+|1−x|=9− (y−5)2 − (1+ y)2 ， |x+2|+|x−1|+| y+1|+| y−5|=9， |x+2|+|x−1| 可理解为在数轴上，数 x的对应的点到 −2 和 1 两点的距离之和； | y+1|+| y−5|可理解为在数轴上，数 y的对应的点到−1和5两点的距离之和， 当−2 x 1，|x+2|+|x−1|的最小值为3； 当−1 y 5时，| y+1|+| y−5|的最小值为6， x的范围为−2 x 1， y的范围为−1 y 5， 当x=−2，y=−1时，x+ y的值最小，最小值为−3． 故答案为−3． 练习8: （★★★★☆）已知a、b为实数，且满足 a+1+ a2b−4a2+|6−2b|=2，则符合条件的实数 对(a,b)有__________对 【常规讲解】 解： a2b−4a2 = a2(b−4)有意义， a2 0， ①当a=0时，1+|6−2b|=2， |6−2b|=1 ， 6−2b=1， 5 7 b= 或 ； 2 2 ②当a0时，b−4 0， b 4， 206−2b0， |6−2b|=2b−6， a+1+ a2b−4a2+|6−2b|=2，  a+1+ a2b−4a2 +2b−6=2， a+1+ a2b−4a2 =8−2b， a+1 0， a2b−4a2 0， 8−2b 0， b 4， b=4， 把b=4代入 a+1+ a2b−4a2+|6−2b|=2得： a+1=0， a=−1， 5 7 则符合条件的实数对(a,b)有：(−1,4)或(0, )或(0, )，3对， 2 2 21