文档内容
06A 一元二次方程的解法
考情链接
1. 本次任务由三个部分构成
（1）因式分解法
（2）配方法
（3）求根公式法
2. 考情分析
（1）一元二次方程的解法是一元二次方程的重要部分，属于方程与代数式板块，占中考考
分值约20%。
（2）主要考察一元二次方程的三种解题方法，以考察解答题为主。
（3）对应教材：八年级上册第十七章一元二次方程第二节一元二次方程的解法。
（4）利用因式分解法、配方法及求根公式法解一元二次方程是八年级数学上学期第十七章
第二节内容，主要对一元二次方程因式分解、配方法和求根公式法三种解法进行讲解，重点
是对一元二次方程这三种解法的原理和过程的理解，难点是这三种解法在解一元二次方程
中的灵活应用．通过这节课的学习一方面为我们后期学习根的判别式提供依据，另一方面也
为后面学习一元高次方程奠定基础。
环节 需要时间
自主任务讲解 10分钟
切片1：因式分解法 20分钟
切片2：配方法 35分钟
切片3：求根公式法 35分钟
出门测 10分钟
错题整理 10分钟
1知识加油站1——因式分解法【建议时长：20分钟】
考点一：因式分解法解一元二次方程
知识笔记1
1. 因式分解法定义
运用因式分解的手段求一元二次方程根的方法叫做__________．
2. 因式分解法理论依据
（1）当A⋅B=0时，必有A=0或B=0；当A=0或B=0时，必有A⋅B=0．
（2）通过因式分解，把________________________________________的形式，从而把解一
元二次方程的问题转化为解___________的问题．
3. 解一元二次方程一般步骤
（1）将方程____________________；
（2）将方程左边的二次三项式分解为____________________；
（3）令每一个因式分别为零，得到两个____________；
（4）分别解这两个一元一次方程，它们的解就是__________原方程的解．
【填空答案】
1. 因式分解法
2. 一元二次方程化成两个一次因式的积等于零；一元一次方程
3 右边化为零；两个一次因式的乘积；一元一次方程
例题1:
（1）（★★☆☆☆）（2022•青浦区东方中学期末）方程(x+1)(x−2)=0的解是________．
（2）（★★☆☆☆）（2022•杨浦区期末）方程x(x+3)=4(x+3)的解是________．
（3）（★★☆☆☆）（2023秋•崇明区期末）方程x(2x−1)=2x−1的解为________．
（4）（★★★☆☆）用因式分解法解方程：4x(3x+2)−(2x−5)(3x+2)=0
【配题说明】提取公因式因式分解法解方程
2【常规讲解】
（1）解：(x+1)(x−2)=0，
∴x+1=0，x−2=0，x =−1，x =2．
1 2
故答案为x =−1，x =2．
1 2
（2）解：x(x+3)=4(x+3)，
移项得：x(x+3)−4(x+3)=0，
分解因式得：(x+3)(x−4)=0，
∴x+3=0，x−4=0，
解方程得：
x =3，x =4．
2 2
故答案为：−3或4．
（3）解：移项，得x(2x−1)−(2x−1)=0，
提公因式，得，(2x−1)(x−1)=0，
解得2x−1=0，x−1=0，
1
x = ，x =1．
1 2 2
1
故答案为x = ，x =1．
1 2 2
（4）解：4x(3x+2)−(2x−5)(3x+2)=0，
∴(3x+2)(2x+5)=0，
则3x+2=0或2x+5=0，
2 5
解得：x =− ，x =− ．
1 3 2 2
练习1: 【学习框8】
（1）（★★☆☆☆）方程(x−4)(x+3)=0的解是________________．
（2）（★★☆☆☆）方程x(3x+2)−6(3x+2)=0的根是________________．
（3）（★★☆☆☆）（2021•宝山区期末）方程2(x−3)=x(x−3)的根________________．
（4）（★★★☆☆）（2023•浦东新区校级期末）用因式分解法解方程：(2x−1)2 =3(1−2x)
【常规讲解】
3（1）解：(x−4)(x+3)=0，
∴x−4=0或x+3=0，
∴x =4，x =−3；
1 2
故答案为：x =4，x =−3．
1 2
（2）解：原方程移项得，
x(3x+2)−6(3x+2)=0，
∴(3x+2)(x−6)=0，
2
解得x =6，x =− ．
1 2 3
2
故答案为：x =6，x =− ．
1 2 3
（3）解：2(x−3)=x(x−3)
移项得，2(x−3)−x(x−3)=0
因式分解得，(x−3)(2−x)=0
解得，x =3，x =2．
1 2
故答案为：x =3，x =2．
1 2
（4）解：方程变形得(2x−1)2 +3(2x−1)=0，
分解因式得：(2x−1)(2x−1+3)=0，
可得2x−1=0或2x+2=0，
1
解得：x = ，x =−2．
1 2 2
例题2:
（1）（★★★☆☆）用因式分解法解方程：(x+1)2 =4x2；
2a2 =8
（2）（★★★☆☆）用因式分解法解方程：
【配题说明】平方差因式分解法解方程
【常规讲解】
（1）解：∵(x+1)2 =4x2，
∴(x+1)2−4x2 =0，
4∴(x+1+2x)(x+1−2x)=0，
∴3x+1=0或1−x=0，
1
解得x =− ，x =1
1 3 2
（2）解：先移项，
2a2−8=2(a2−4)=2(a+2)(a−2)，
(a−2)=0或(a+2)=0．
故答案为：a =2，a =−2，
练习2: 【学习框10】
（1）（★★★☆☆）用因式分解法解方程： ( m2−3 )2 −4m2=0．
（2）（★★★☆☆）用因式分解法解方程：x2 =36
【配题说明】平方差因式分解法解方程
【常规讲解】
（1）解： ( m2−3 )2 −4m2=0
= ( m2−3+2m )( m2−3−2m ) =0
=(m+3)(m−1)(m−3)(m+1)
=0
故答案为：m=−3，m=1,m=3，m=−1，
（2）解：先移项，
x2−36=(x+6)(x−6)
，
∴x+6=0或x−6=0，
故答案为： x =6，x =−6
例题3:
（1）（★★★☆☆）（2023·奉贤期中）用因式分解法解方程：
①x2−4x−96=0 ②2x2−3x−5=0
（2）（★★★☆☆）（2022•青浦区东方中学期中）用因式分解法解方程：4x2 −(x−2)2 =3．
（3）（★★★☆☆）（2023•金山区校级月考）用因式分解法解方程：(x+1)2 −4(x+1)=12
5【配题说明】十字相乘因式分解法解方程
【常规讲解】
（1）①解：x2−4x−96=0，
∴(x-12)(x+8)=0，
∴x−12=0，x+8=0，
∴x =12，x =−8.
1 2
②解：2x2−3x−5=0
(2x−5)(x+1)=0
5
x = ，x =−1．
1 2 2
（2）解：4x2 −(x−2)2 =3，
整理得：3x2 +4x−7=0，
(x−1)(3x+7)=0，
x−1=0或3x+7=0，
7
x =1，x =− ．
1 2 3
（3）解：由原方程，得：
(x+1)2 −4(x+1)2 −12=0，
∴(x+1+2)(x+1−6)=0，即(x+3)(x−5)=0，
∴x−3=0或x−5=0，
解得x =−3或x =5．
1 2
练习3: 【学习框12】
（1）（★★★☆☆）（2023•普陀区期中）用因式分解法解方程：
①3x2 −7x+2=0 ②2x2 −7x−4=0
（2）①（★★★☆☆）（2023•闵行期末）用因式分解法解方程：(x+1)(x−3)=5
②（★★★☆☆）（2023•宝山区校级月考）用因式分解法解方程：(x+1)(x−4)= x2 +2．
（3）①（★★★☆☆）用因式分解法解方程：3(2−x)2 +3(x−2)−10=0．
6②（★★★☆☆）用因式分解法解方程：(x−2)2 −4(x−2)=12．
【配题说明】用十字相乘因式分解法解方程
【常规讲解】
3x2 −7x+2=0
（1）①解： ，
∴(3x−1)(x−2)=0，
∴3x−1=0或x−2=0，
1
解得：x = ,x =2．
1 3 2
②解：2x2 −7x−4=0，
(2x+1)(x−4)=0，
2x+1=0或x−4=0，
1
所以x =− ，x =4．
1 2 2
（2）①解：根据题意得：
(x+1)(x−3)=5，
方程整理得：x2−2x−8=0，
分解因式得：
(x−4)(x+2)=0，
解得：x =4，x =−2．
1 2
②解：(x+1)(x−4)= x2 +2，
去括号得，x2 +x−4x−4=x2 +2，
移项并合并同类项得，−3x=6，
系数化为1得，x=−2．
（3）①解：方程(2−x)2 +3(x−2)−10=0变形为(x−2)2 +3(x−2)−10=0．
(x−2+5)(x−2−2)=0 ，
x−2+5=0 或 x−2−2=0 ，
所以x =−3，x =4．
1 2
7②解：(x−2)2 −4(x−2)=12，
(x−2)2 −4(x−2)−12=0 ，
(x−2−6)(x−2+2)=0 ，
x(x−8)=0 ，
x=0或x−8=0，
∴x =0，x =8．
1 2
考点二：因式分解解一元二次方程新定义题型
例题4:
（★★★★☆）（2022•奉贤区期中）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，
我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如x2 =4和(x−2)(x+3)=0有且只有一个相同的实数
根x=2，所以这两个方程为“同伴方程”．
（1）根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有________（只填写序号即可）
①(x−1)2 =9
②x2 +4x+4=0
③x2 +2x−8=0
（2）关于x的一元二次方程x2 −2x=0与x2 +x+m−1=0为“同伴方程”，求m的值；
（3）若关于x的一元二次方程ax2 +bx+c=0(a≠0)同时满足a−b+c=0和9a+3b+c=0，
且与(x−n)(x+3)=0互为“同伴方程”，求n的值．
【常规讲解】
解：（1）①(x−1)2 =9，
解得：x =4，x =−2，
1 2
②x2 +4x+4=0，
解得：x =x =−2，
1 2
③x2 +2x−8=0，
(x+4)(x−2)=0，
解得x =−4，x =2，
1 2
所以，属于“同伴方程”的有①②．
8故答案是：①②；
（2）一元二次方程x2 −2x=0的解为x =0，x =2，
1 2
当相同的根是x=0时，则m−1=0，解得m=1；
当相同的根是x=2时，则4+2+m−1=0，解得m=−5；
综上，m的值为1或−5；
（3）关于x的一元二次方程ax2 +bx+c=0(a≠0)同时满足a−b+c=0和9a+3b+c=0，
∴关于x的一元二次方程ax2 +bx+c=0(a≠0)的两个根是x =−1，x =3；
2 2
(x−n)(x+3)=0的两个根是x =n，x =−3，
1 2
关于x的一元二次方程ax2 +bx+c=0(a≠0)同时满足a−b+c=0和9a+3b+c=0，且与
(x−n)(x+3)=0互为“同伴方程”，
∴n=−1或3．
练习4: 【学习框14】
（★★★★☆）如果关于x的一元二次方程ax2 +bx+c=0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根
比另一个根大 1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x2 +x=0的两个
根是x =0，x =−1则方程x2 +x=0是“邻根方程”．
1 2
（1）通过计算，判断x2 −x−6=0是否为“邻根方程”：
（2）已知关于x的方程x2 −(m−1)x−m=0(m是常数）是“邻根方程”，求m的值．
【常规讲解】
解：（1）x2 −x−6=0，
即(x−3)(x+2)=0，
解得：x =3，x =−2，
1 2
3−(−2)=5≠1，
∴一元二次方程x2 −x−6=0不是“邻根方程”；
（2）x2 −(m−1)x−m=0，
即(x+1)(x−m)=0，
解得：x =−1，x =m．
1 2
关于x的方程x2 −(m−1)x−m=0(m是常数）是“邻根方程”，
9∴−1−m=1或m−(−1)=1，
∴m=−2或m=0，
∴m的值为−2或0．
知识加油站2——配方法【建议时长：35分钟】
考点三：配方法解一元二次方程
知识笔记2
1. 配方法定义
先把方程中的________，把________，然后用直接开平方法求出一元二次方程的根的解法叫
__________．
2. 配方法理论依据
配方法的理论依据是完全平方公式：________________．
3. 配方法解一元二次方程步骤
（1）_____________：即方程左右两边同时除以二次项系数；
（2）移项 :___________________；
（3）配方：___________________，把原方程化成______________的形式；
当n≥0时，用直接开平方的方法解变形后的方程．
【填空答案】
1. 常数项移到方程右边；左边配成完全平方式； 配方法
2. a2 ±2ab+b2 =(a±b)2
3. 先把二次项系数化为 1;左边配成完全平方式；方程两边都加上一次项系数一半的平方
(x+m)2 =n
例题5:
（1）（★★★☆☆）用配方法解方程：
①x2 −2x−5=0．
②x2 +2=2 2x
．
10③x2 −2x−399=0．
（2）①（★★★☆☆）（2022秋•徐汇区校级期中）用配方法解：3x2 −2x−7=0．
②（★★★☆☆）（2022•徐汇区期末）用配方法解方程：2x2 +6x−1=0．
1
③（★★★☆☆）（2022•黄浦区期中）用配方法解方程： x2 −2x−3=0．
2
（3）（★★★☆☆）（2023秋•闵行区期中）解方程：2x(x−3)=(x−5)2 −16
（4）（★★★★☆）用配方法解方程：(2x−3)2 −2(2x−3)−3=0（要求用整体法的思想求解）．
【常规讲解】
（1）①解：移项，得x2 −2x=5，
配方，得x2 −2x+1=5+1，
(x−1)2 =6，
∴x−1=± 6 ，
∴x−1= 6，x−1=− 6，
∴x =1+ 6，x =1− 6 ．
1 2
②解：x2 +2=2 2x，
∴x2 −2 2x+2=0，
(x− 2)2 =0，
∴x = x = 2．
1 2
③解：x2 −2x−399=0，
x2 −2x=399，
配方，得x2 −2x+1=399+1，
(x−1)2 =400，
开方，得x−1=±20，
11解得：x =21，x =−19．
1 2
（2）①解：3x2 −2x−7=0，
移项得3x2 −2x=7，
2 7
二次项系数化成1得x2 − x= ，
3 3
2 1 7 1 1 22
配方得x2 − x+ = + ，即(x− )2 = ，
3 9 3 9 3 9
1 22
∴x− =± ，
3 3
1+ 22 1− 22
解得x = ，x =
1 3 2 3
②解：2x2 +6x=1，
1
∴x2 +3x= ，
2
9 1 9 3 11
则x2 +3x+ = + ，即(x+ )2 = ，
4 2 4 2 4
3 11
∴x+ =± ，
2 2
3 11 3 11
∴x =− + ，x =− − ．
1 2 2 2 2 2
1
③解： x2 −2x−3=0，
2
x2 −4x−6=0，
x2 −4x=6，
x2 −4x+4=6+4，
(x−2)2 =10，
x−2=± 10，
x−2= 10或x−2=− 10，
x =2+ 10，x =2− 10．
1 2
（3）解：2x(x−3)=(x−5)2 −16，
整理得，x2 +4x=9，
12配方得，x2 +4x+4=9+4，
即(x+2)2 =13，
开平方得，x+2=± 13，
∴x = 13−2，x =− 13−2．
1 2
（4）解：(2x−3)2 −2(2x−3)−3=0，
(2x−3)2 −2(2x−3)=3，
(2x−3)2 −2(2x−3)+1=3+1
(2x−3−1)2 =4，
(2x−2)2 =4
∴x =3，x =1．
1 2
练习5: 【学习框16】
（1）①（★★★☆☆）（2022•黄浦区校级期末）用配方法解方程．x2 −4x+1=0．
②（★★★☆☆）用配方法解方程：x2 −4 2x−2=0．
③（★★★☆☆）（2023•静安区校级期中）用配方法解方程：x2 +10x−9975=0．
（2）（★★★☆☆）用配方法解下列方程：
①3y2 −6y−5=0．
②3x2 −4=6x．
③2x2 +4x−7=0．
（3）（★★★☆☆）（2023•闵行区期中）解方程：2x(x−3)=(x−5)2 −16
（4）（★★★★☆）用配方法解方程：(x−1)2 +2(x−1)−1=0（要求用整体法的思想求解）．
【常规讲解】
（1）①解：x2 −4x+1=0
x2 −4x+4=3
13(x−2)2 =3
x−2=± 3
∴x =2+ 3，x =2− 3；
1 2
②解：x2 −4 2x−2=0，
x2 −4 2x=2，
x2 −4 2x+8=2+8，
(x−2 2)2 =10，
x−2 2 =± 10 ，
解得x =2 2+ 10，x =2 2− 10．
1 2
③解：x2 +10x−9975=0，
∴x2 +10x=9975，
∴x2 +10x+25=9975+25，即(x+5)2 =10000，
∴x+5=±100，
∴x =95，x =−105．
1 2
5
（2）①解： y2 −2y= ，
3
5 8
y2 −2y+1= +1，即(y−1)2 = ，
3 3
2 6
∴y−1=± ，
3
3+2 6 3−2 6
∴y = ，y = ．
1 3 2 3
4
②解：方程整理得：x2 −2x= ，
3
7 7
配方得：x2 −2x+1= ，即(x−1)2 = ，
3 3
21
开方得：x−1=± ，
3
21 21
解得：x =1+ ，x =1− ．
1 3 2 3
③解：2x2 +4x−7=0，
142x2 +4x=7，
7
x2 +2x= ，
2
7 9
x2 +2x+1= +1，即(x+1)2 = ，
2 2
3 2
∴x+1=± ，
2
−2+3 2 −2−3 2
∴x = ，x = ．
1 2 2 2
（3）解：2x(x−3)=(x−5)2 −16，
整理得，x2 +4x=9，
配方得，x2 +4x+4=9+4，
即(x+2)2 =13，
开平方得，x+2=± 13，
∴x = 13−2，x =− 13−2．
1 2
（4）由(x−1)2 +2(x−1)−1=0，得(x−1)2 +2(x−1)+1=2，即(x−1+1)2 =2，
所以原方程的解为：x = 2，x =− 2．
1 2
考点四：配方法的应用
例题6:
（★★★☆☆把方程x2 −2=4x用配方法化为(x+m)2 =n的形式，则mn的值是________．
【常规讲解】
解：x2 −2=4x，
∴x2 −4x=2，
∴x2 −4x+4=2+4，
∴(x−2)2 =6，
∴m=−2，n=6，
∴mn=−12，
故答案为：−12
15练习6: 【学习框18】
（★★★☆☆）一元二次方程x2 −2x+m=0配方后得(x−1)2 =n，则m+n的值是________．
【常规讲解】
解：x2 −2x+m=0，
∴x2 −2x+1=1−m，
∴(x−1)2 =1−m，
∴n=1−m，
∴m+n=1，
故答案为：1.
知识加油站3——求根公式法【建议时长：35分钟】
考点五：求根公式法解一元二次方程
知识笔记3
1. 公式引入
一元二次方程ax2 +bx+c=0（a≠0），可用配方法进行求解：得：__________________．
请利用配方法，解一元二次方程ax2 +bx+c=0（a≠0）.
求根公式推导：____________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
对上面这个方程进行讨论：因为a≠0，所以4a2 >0
（1）________________________________________________________________________
________________________________________________________________________.
（2）_________________________________________________________________________
________________________________________________________________________.
2. 求根公式
一元二次方程ax2 +bx+c=0（a≠0），
当b2 −4ac≥0时，有两个实数根：________________________________
这就是一元二次方程ax2 +bx+c=0（a≠0）的求根公式．
163. 求根公式法解一元二次方程一般步骤
（1）把一元二次方程化成_________________________；
（2）_______________________________；
（3）求出b2 −4ac的值（或代数式）；
（4）若b2 −4ac≥0，则把 a、b、c 及b2 −4ac 的值代入求根公式，求出 x 、 x ；
1 2
____________________
【填空答案】
b b2 −4ac
1. (x+ )2 = ；
2a 4a2
把常数项移到方程右边：ax2 +bx=−c
b c
方程两边同除以二次项的系数：x2 + x =−
a a
b b
方程两边同加上一次项系数一半的平方：(x+ )2 =−c+( )2
2a 2a
b b2 −4ac
整理：(x+ )2 =
2a 4a2
b2 −4ac
（1）当b2 −4ac≥0时， ≥0；
4a2
b b2 −4ac −b± b2 −4ac
利用开平方法，得：x+ =± ，即：x=
2a 4a2 2a
b2 −4ac
（2）当b2 −4ac<0时， <0；这时，在实数范围内，x 取任何值都不能使方程
4a2
b b2 −4ac
(x+ )2 = 左右两边的值相等，所以原方程没有实数根．
2a 4a2
−b+ b2 −4ac −b− b2 −4ac
2，x = ，x =
1 2a 2 2a
3. 一般形式ax2 +bx+c=0（a≠0）；确定a、b、c的值；若b2 −4ac<0，则方程无解．
例题7:
（1）（★★★☆☆）公式法解方程：−2x2 +7x=0
（2）（★★★☆☆）公式法解方程：x2 +3x−1=0
17【常规讲解】
−7±7 7
（1）a=−2,b=7,c=0，则b2 −4ac=49，则x= ，∴x =0，x = ；
−4 1 2 2
（2）解：这里a=1，b=3，c=−1，
△=9+4=13>0，
−3± 13
∴x= ，
2
−3+ 13 −3− 13
则x = ，x = ．
1 2 2 2
练习7: 【学习框20】
（1）（★★★☆☆）（2022•浦东新区期中）公式法解方程：y2 −2 2y−1=0
（2）（★★★☆☆）公式法解方程：−7x2 +6x−9=0
（3）（★★★☆☆）公式法解方程： 2x2 +4 3x−2 2 =0
【常规讲解】
（1）解：a=1，b=−2 2，c=−1，
∴△=(−2 2)2 −4×1×(−1)=12>0，
2 2± 12
∴y= = 2± 3，
2×1
∴y = 2+ 3，y = 2− 3．
1 2
（2）解：a=−7，b=6，c=−9，
则b2 −4ac=−216<0，方程无实数解．
−4 3±8
（3）a= 2,b=4 3,c=−2 2，则b2 −4ac=64，则x= ，
2 2
∴x =− 6+2 2，x =− 6 −2 2．
1 2
例题8:
（★★★★☆）用公式法解下列方程：
（1）0.2x2 +2.5x−1.3=0.1x
18(x+3)2 (3x−1)2 x(2x−3)
（2） +1− =
5 5 2
（3）2x2 +3x+8=5x+3
【配题说明】先化简成一元二次方程一般式，再用公式法求值
【常规讲解】
（1）方程可化为2x2 +24x−13=0，a=2,b=24,c=−13，则b2 −4ac=680，
−24±2 170 −12+ 170 −12− 170
则x= ，∴x = ，x =
4 1 2 2 2
（2）两边同时乘以10，方程可化为2x2 −3x−2=0，a=2,b=−3,c=−2，则b2 −4ac=25，
3±5 1
则x= ，∴x =2，x =− ．
4 1 2 2
（3）解：方程整理得：2x2 −2x+5=0，
a=2，b=−2，c=5，
∴b2 −4ac=4−4×2×5<0，
∴方程无解．
练习8：【学习框22】
（1）（★★★☆☆）（2021•普陀区培佳双语学校期中）公式法解方程：(x+5)(x−2)=1．
（2）（★★★☆☆）（2022•嘉定区月考）公式法解方程：4x2 −(x−2)2 =11．
（3）（★★★☆☆）(5x−3)(x+1)=(x+1)2 +5．
(x+3)2 x(2x+8)
（4）（★★★☆☆） +10= ．
2 5
【配题说明】先化简成一元二次方程一般式，再用公式法求值
【常规讲解】
（1）解：整理为一般式，得：x2 +3x−11=0，
a=1，b=3，c=−11，
∴△=32 −4×1×(−11)=50>0，
19−b± b2 −4ac −3±5 2
则x= = ，
2a 2
−3+5 2 −3−5 2
∴x = ，x = ．
1 2 2 2
（2）解：方程化为一般式为3x2 +4x−15=0，
a=3，b=4，c=−15，
△=42 −4×3×(−15)=4×49>0，
−b± b2 −4ac −4±2×7 −2±7
x= = = ，
2a 2×3 3
5
所以x = ，x =−3．
1 3 2
（3）解：(5x−3)(x+1)=(x+1)2 +5，
整理得5x2−3x+5x−3=x2+2x+1+5，即4x2−9=0，
∴a=4，b=0，c=−9，
∴D = b2- 4ac= 0- 4创4- (=9) 1>44 0，
0±12
∴x= ，
8
3 3
解得x = ，x =− ．
1 2 2 2
(x+3)2 x(2x+8)
（4）解： +10= ，
2 5
化为一般式得x2+14x+145=0，
∴a=1，b=14，c=145，
∴∆=b2−4ac=142−4×1×145=−384<0，
∴原方程无解．
20全真战场
教师可以根据课堂节奏将“全真战场”作为课堂补．充．练习或课后补．充．练习让学生的完成
关卡一
练习1:
（★★☆☆☆）用因式分解法及配方法解下列方程：
（1）(x+4)2 =5(x+4) （2）x2 −5x−24=0
【常规讲解】
（1）由(x+4)2 =5(x+4)，得(x+4)(x+4−5)=0，解得：x =1，x =−4；
1 2
（2）由x2 −5x−24=0，得(x−8)(x+3)=0，解得：x =8，x =−3；
1 2
练习2:
（★★★☆☆）用配方法解下列方程：
（1）x2 −4x−1=0 （2）(x−3)(2x+1)=−5
【常规讲解】
解：（1）x2 −4x−1=0，
x2 −4x=1，
x2 −4x+4=1+4，
(x−2)2 =5，
x−2=± 5，
所以x =2+ 5 ，x =2− 5 ；
1 2
（2）(x−3)(2x+1)=−5
2x2 −5x+2=0，
(2x−1)(x−2)=0，
2x−1=0或x−2=0，
1
所以x = ，x =2；
1 2 2
21练习3:
（★★★☆☆）用公式法解下列方程：
1
（1）y2 −3y+1=0 （2）2x2 − 2x− =0
2
【常规讲解】
（1）由题意可知：a=1，b=−3，c=1，
∴△=9−4×1×1=5
3± 5
∴y=
2
1
（2）解：2x2 − 2x− =0
2
1
a=2，b=− 2 ，c=− ，
2
1
∴△=(− 2)2 −4×2×(− )=6>0，
2
2± 6 2± 6
x= = ．
2×2 4
练习4:
（★★★☆☆）用合适的方法解下列方程
（1）(2x−1)2 −25=0 （2）x2 −4x−1=0
（3）(x−3)(2x+1)=−5 （4）(4x−1)2 −10(4x−1)−24=0
【常规讲解】
解：（1）(2x−1)2 −25=0，
(2x−1)2 =25，
2x−1=±5，
所以x =3，x =−2；
1 2
（2）x2 −4x−1=0，
x2 −4x+4=1+4，
(x−2)2 =5，
x−2=± 5，
所以x =2+ 5 ，x =2− 5 ；
1 2
221
所以x = ，x =2；
1 2 2
13 1
所以x = ，x =− ．
1 4 2 4
x−2=± 5，
所以x =2+ 5 ，x =2− 5 ；
1 2
（3）(x−3)(2x+1)=−5
2x2 −5x+2=0，
(2x−1)(x−2)=0，
2x−1=0或x−2=0，
1
所以x = ，x =2；
1 2 2
（4）(4x−1)2 −10(4x−1)−24=0，
(4x−1−12)(4x−1+2)=0，
4x−13=0或4x+1=0，
13 1
所以x = ，x =− ．
1 4 2 4
关卡二
练习5:
x
（★★★★☆） 若x2 +3xy−2y2 =0，那么 =________．
y
【常规讲解】
解：由原方程，得
1
两边同时乘以 得：
y2
x x
( )2 +3 −2=0
y y
x
设 =t，则上式方程即为：
y
t2 +3t−2=0，
−3± 17
解得，t = ，
2
23x −3± 17
所以 = ；
y 2
−3± 17
故答案是： ．
2
练习6:
（★★★★☆）用配方法说明：不论x为何值，代数式2x2 −6x+5的值总大于0．
【常规讲解】
2x2 −6x+5
证明：
9 9
=2(x2 −3x+ )− +5
4 2
3 1
=2(x− )2 +
2 2
3
2(x− )2…0
2
3 1 1
∴2(x− )2 + ≥
2 2 2
．
即代数式2x2 −6x+5的值总是大于0．
练习7:
（★★★★☆）阅读下面材料：方程x4 −6x2 +8=0是一个一元四次方程，根据该方程的特点，
它的解法通常是设x2 = y，则x4 = y2，∴原方程可化为y2 −6y+8=0，解方程求得 y 的值，
进而得到原方程的四个根x = 2，x =− 2，x =2，x =−2．
1 2 3 4
以上方法叫做换元法，通过换元达到降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解
答下列问题．
（1）解方程2(x2 +3x)2 −3(x2 +3x)−2=0；
（2）已知实数a满足(a2 + 3)2 −3a2 =10+3 3，请直接写出− 3a2的值．
【常规讲解】
解：（1）设y=x2 +3x，则2y2 −3y−2=0，
则(y−2)(2y+1)=0，
1
解得y =2，y =− ，
1 2 2
−3± 17
当x2 +3x=2，即x2 +3x−2=0时，解得x= ；
2
241 1 −3± 7
当x2 +3x=− ，即x2 +3x+ =0时，解得x= ；
2 2 2
−3+ 17 −3− 17 −3+ 7 −3− 7
综上所述，原方程的解为x = ，x = ，x = ，x = ；
1 2 2 2 3 2 4 2
（2）(a2 + 3)2 −3a2 =10+3 3整理得：(a2 + 3)2 −3(a2 + 3)−10=0，
设y=a2 + 3，则y2 −3y−10=0，
则(y+2)(y−5)=0，
解得y =−2， y =5，
1 2
当y=−2时，则a2 + 3=−2，无意义，舍去；
当y=5时，则a2 + 3=5，得到a2 =5− 3，
∴− 3a2 =− 3(5− 3)=3−5 3．
故− 3a2的值为3−5 3．
25
