FY25暑假初二B06正比例函数教师版_初中资料合集_2025年秋初中《789年级暑假数学讲义》含6升7衔接（学生+教师版）上海专版_初二_志高_教师版PDF

06B 正比例函数 考情链接 1. 本次任务由四个部分构成 （1）函数的概念 （2）正比例函数的概念 （3）正比例函数的图像 （4）正比例函数的性质 2. 考情分析 （1）正比例函数是函数的部分，属于函数与分数板块，占中考考分值约20%。 （2）主要考察函数与正比例函数的概念，以选择题、填空题为主，正比例函数的图象与性 质以考察解答题为主。 （3）对应教材：八年级上册第十八章正反比例函数第一节。 （4）函数是描述变化过程中的数量关系的工具，我们本章将以研究数量问题为起点，以正 比例函数和反比例函数为载体，学习函数的初步知识．本节课的主要内容是对函数和正比例 函数的概念进行讲解，重点是函数及正比例的概念理解，难点是正比例函数的图象和性质。 环节 需要时间 自主任务讲解 10分钟 切片 1：函数的概念 20分钟 切片 2：正比例函数的概念 20分钟 切片 3：正比例函数的图像 20分钟 切片 4：正比例函数的性质 30分钟 出门测 10分钟 错题整理 10分钟 1知识加油站 1——函数的概念【建议时长：20分钟】 考点一：函数的定义 知识笔记1 函数的概念 （1） 在问题研究过程中，_________________叫做变量；________________叫做常量； （2）在某个变化过程中有两个变量，设为x和y，如果在变量x允许的取值范围内，变量 y 随着x变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量 y 叫做___________，x叫 做_____________．函数用记号y= f(x)表示， f(a)表示___________时的函数值； 注：___________________________________________________. （3）表示两个变量之间依赖关系的数学式子称为_______________． 【填空答案】 （1）可以取不同数值的量；保持数值不变的量； （2）变量x的函数；自变量x=a；对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它 对应； （3）函数解析式. 例题1: （1）（★★☆☆☆）圆周长C 与圆的半径r 之间的关系为C =2r ，其中变量是_________，常 量是_________． （2）（★★☆☆☆）面积是S(cm2)的正方形地砖边长为a（cm），S与a之间的函数关系式是 __________， 其中自变量是_______． 【配题说明】区分变量和常量 【常规讲解】· （1）解： 在圆的周长公式C =2r中，C 与r 是改变的，是不变的； 变量是C，r ，常量是2． 2故答案为：C，r ；2． （2）S =a2、a 练习1: 【学习框8】 （1）（★★☆☆☆）在正方形的周长公式l =4a中，a是自变量，_______是________的函数， __________是常量； （2）（★★☆☆☆）在匀速运动中，若用s表示路程，v表示速度，t表示时间，那么式子s=vt， 下列说法中正确的是（ ） A．s、v、t三个量都是变量 B．s与v是变量，t是常量 C．v与t是变量，s是常量 D．s与t是变量，v是常量 【配题说明】区分变量和常量 【常规讲解】 （1）l，a，4； （2）在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量．匀 速运动中速度v不变． 故此题答案选：D 例题2: （1）（★★☆☆☆）（2022•青浦区东方中学期中）下列各图象中，不能表示y是x的函数的是 ( ) A． B． C． D． （2）（★★☆☆☆）有下面四个关系式：①y=|x|；②| y|= x；③2x2 − y=0；④y= x(x 0)．其 中y是x的函数的是( ) A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④ 【配题说明】对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应； 【常规讲解】 3（1）解：A、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以能表示y是 x的函数，故A不符合题意； B、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以能表示y是x的函数， 故B不符合题意； C 、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x 的函数，故C符合题意； D、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以能表示y是x的函数， 故D不符合题意； 故选：C． （2）解： 对于x的每一个取值， y 都有唯一确定的值， y=|x|；③2x2 − y=0；④y= x(x 0)．当x取值时，y有唯一的值对应； 故选：D． 练习2: 【学习框10】 （1）（★★☆☆☆）下列图象不能反映y是x的函数的是( ) A． B． C． D． （2）（★★☆☆☆）在式子①y 3x 1，②y=x2−1，③y= x，④y= x ，⑤ y = x 中， y 是x的函数的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4【配题说明】对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应； 【常规讲解】 （1）解：A、当x取一值时，y没有唯一与它对应的值，y不是x的函数，故选项A符合题 意； B、当x取一值时，y有唯一与它对应的值，y是x的函数，故选项B不合题意； C 、当x取一值时，y有唯一与它对应的值，y是x的函数，故选项C 不合题意； D、当x取一值时，y有唯一与它对应的值，y是x的函数，故选项D不合题意； 故选：A． （2）解：在①y 3x 1，②y=x2−1，③y= x，④y= x ，中，对于 x 的每一个取值， y都有唯一确定的值与之对应，所以y是x的函数； ⑤ y = x 对于x的每一个取值，y都有一个或两个值与之对应，所以y不是x的函数； 故选：C． 考点二：函数定义域和函数值 知识笔记2 函数的定义域和值域 （1）___________________，叫做这个函数的_________． （2）___________________，对应的函数值的全体叫做这个函数的_________． （1）函数自变量允许取值的范围，定义域； （2）函数自变量取遍定义中的所有值，值域； 例题3: x （1）（★★★☆☆）（2022•崇明区二模）函数y= 中自变量x的取值范围是________． 3x+1 x （2）（★★★☆☆）已知函数y= ，当x= 2时，y=________． x−1 （3）（★★★☆☆）如图所示是关于变量x，y的程序计算，若开始输入的x值为4，则最后 输出因变量y的值为 ________． 5【常规讲解】 （1）解：由题意得：3x+10， 1 解得：x− ， 3 1 故答案为：x− ． 3 （2）解：当x= 2时， x 2 2( 2+1) 函数y= = = =2+ 2， x−1 2−1 ( 2−1)( 2+1) 故答案为：2+ 2． （3）解：当x=4，则x(x+1)=45=2015． 输出因变量y=20． 故答案为：20． 练习3: 【学习框12】 3 （1）（★★★☆☆）在函数y= − x+1中，自变量x的取值范围是________． x−2 （2）（★★★☆☆）已知 f(x)=x2 +3x，那么 f(−2)=________． （3）（★★★☆☆）根据如图所示的程序计算函数 y 的值，若输入x的值是 8，则输出 y 的值 是−3；若输入x的值是−8，则输出 y 的值是________． 【常规讲解】 （1）解：根据题意，得：x−20且x+1 0， 6解得x −1且x2， 故答案为：x −1且x2． （2）解：把x=−2代入 f(x)=x2 +3x得 f(−2)=(−2)2 +3(−2)=4−6=−2． 故答案为：−2． −8+b （3）解：当x=8时， =−3， 2 解得b=2， 当x=−8时，y=−2(−8)+2=16+2=18， 故答案为：18． 知识加油站 2——正比例函数的概念【建议时长：20分钟】 考点三：正比例函数概念 知识笔记3 正比例函数的概念 如果_________________________（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例，用 y 数学式子表示两个变量x、 y 成正比例，就是 =k ，或表示为___________，k是不等于零 x 的常数； 【填空答案】 两个变量的每一组对应值的比值是一个常数；y=kx（x不等于0） 例题4: （1）（★★☆☆☆）（2023•黄浦区期中）下列函数（其中x是自变量）中，一定是正比例函数 的是( ) 2 x A．y= B．y=− C．y=−3x+2 D．y=kx x 3 （2）（★★★☆☆）（2023•金山期中）下列问题中，两个变量成正比例的是（ ） 7A．一个人的体重和年龄 B．圆的周长和直径 C．车辆行驶的路程一定时，行驶的速度和时间 D．周长一定时，长方形的长和宽 【常规讲解】 2 （1）解：A、y= 是反比例函数； x x B、y= 是正比例函数； 3 C 、y=−3x+2是一次函数； D、当k =0时，不是正比例函数． 故选：B． （2）解：一个人的体重和年龄不成正比例， ∴A不符合题意； 圆的周长直径=（一定）， ∴圆的周长和直径成正比例， ∴B符合题意； 速度时间 = 路程（一定）， ∴车辆行驶的路程一定时，行驶的速度和时间成反比例， ∴C不符合题意； 2（长+宽） = 长方形的周长（一定）， ∴周长一定时，长方形的长和宽不成正比例， ∴D不符合题意． 故选：B． 练习4: 【学习框14】 （1）（★★☆☆☆）在下列式子中，表示y是x的正比例函数的是( ) x 2 A．y= x B．y= x2 C．y= D．y= 2 x （2）（★★★☆☆）（2022•青浦期中）下面问题中，两个变量成正比例关系的是（ ） A．等腰三角形的面积一定，它的底边和底边上的高 B．长方形的长确定，它的面积与宽 C．长方形的长确定，它的周长与宽 D．等边三角形的面积和它的长 8【常规讲解】 （1）解：根据正比例函数的定义可得，形如y=kx(k 0)，y是x的正比例函数， x 1 x 由于y= = x，因此y= 是正比例函数， 2 2 2 故选：C． （2）解：A、等腰三角形的面积一定，它的底边和底边上的高成反比，选项不符合题意； B、长方形的长确定，它的面积等于长乘宽，是正比例关系，选项符合题意； C、长方形的长确定，它的周长等于 2 倍长加 2 倍宽，不是正比例关系，选项不符合题意； D、设等边三角形的边长为a，则面积S= 1 a 3 a= 3 a2，不是正比例关系，选项不符合题 2 2 4 意；故选：B 考点四：比例系数 知识笔记4 解析式形如________________________叫做正比例函数，其中常数k叫做比例系数． 正比例函数y=kx的定义域是___________．确定了比例系数，就可以确定一个正比例函数 的解析式. 【填空答案】 y=kx（k是不等于零的常数）的函数；一切实数 例题5: x （1）（★★☆☆☆）已知正比例函数y= ，则y与x间的比例系数是________． 8 （2）（★★★☆☆）下列函数中哪些是正比例函数？如果是,请指出比例系数？ −8 ①y=−8x； ②y= ； ③y=5x2+6； ④y=−0.5x−1． x 【常规讲解】 x 1 1 （1）解：正比例函数的解析式是y=kx(k 0) ，k是比例系数，y= = x，比例系数是 8 8 8 1 故答案为： 8 9（2）解：①y=−8x是正比例函数，也是一次函数； −8 ②y= 自变量在分母中，不是一次函数，也不是正比例函数； x ③y=5x2+6自变量的次数是2，不是一次函数，也不是正比例函数； ④y=−0.5x−1是一次函数，不是正比例函数． 所以①是一次函数，比例系数分别为-8，②③④不是正比例函数． 练习5: 【学习框16】 3 （1）（★★☆☆☆）正比例函数y=− x的比例系数是（ ） 4 3 3 A．−3 B． C．− D．3 4 4 （2）（★★★☆☆）下列式子中，哪些表示y是x的正比例函数？ x ①y=−0.1x； ②y= ； ③y=2x2； ④y2 =4x． 2 （3）（★★★☆☆）下列那些函数是正比例函数？哪些不是？如果是，请指出比例系数 x ① y = ； 2 1 ②y= ； 2x ③y=x+2； ④y = 2x. 【常规讲解】 3 3 （1）解：正比例函数y=− x的比例系数是− ， 4 4 故选：C． x （2）解：①y=−0.1x；②y= 是正比例函数， 2 1 故答案：为①②是正比例函数；比例系数分别为-0.1， 2 1 （3）解：由正比例函数的概念可知：①④是正比例函数，比例系数分别为 、 2；②③不 2 是正比例函数． 10考点五：正比例函数成立条件 知识笔记5 正比例函数成立条件： （1）_________； （2）______________； （3）_____________________. 【填空答案】 （1）k  0； （2） x 的次数为1； （3）不含常数项. 例题6: （1）（★★★☆☆）如果函数y=(m+1)x+m2 −1是正比例函数．则m的值是_________． （2）（★★★☆☆）如果y=(a2 −1)xa2−a−1是正比例函数，那么a的值是_________． 【常规讲解】 （1）解：由正比例函数的定义可得：m2 −1=0，且m+10， 解得，m=1； 故答案为：1． （2）解：由题意得： a2 −a−1=1且a2 −10， a =2或a=−1且a1， a =2， 故答案为：2． 练习6: 【学习框18】 （1）（★★★☆☆）如果函数y=(m− 2)xm2−1是正比例函数，那么m=_________． （2）（★★★☆☆）当a=_________．时，函数y=(a−1)x|a|是关于 x的正比例函数． （3）（★★★☆☆）若y=(k−1)x2−|k| +k+1是关于 x的正比例函数，则k =_________． 11【常规讲解】 （1）解： 函数y=(m− 2)xm2−1是正比例函数， m− 2 0且m2 −1=1， 解得：m=− 2， 故答案为：− 2． （2）解： y=(a−1)x|a|是关于 x的正比例函数， |a|=1 且a−10， 解得：a=−1， 当a=−1时，函数y=(a−1)x|a|是关于 x的正比例函数． 故答案为：−1． （3）解： y=(k−1)x2−|k| +k+1， y是 x的正比例函数， 2−|k|=1，且，k+1=0，k−10 解得：k =−1． 故答案为：−1． 考点六：待定系数法求函数解析式 例题7： 3 （1）（★★☆☆☆）（2023•黄浦期中）已知 y 是x的正比例函数，且当x= 3时，y= ；那 3 么 y 关于x的函数解析式为_________． 2 （2）（★★★☆☆）已知 y 与2x成正比例，并且x= 时，y=4． 5 ①写出 y 与x之间的函数关系式； 5 ②当x=− 时，求 y 的值； 8 ③当y =−12时，求x的值． 【常规讲解】 （1）解：由题意可设y=kx(k 0) ． 123 3 将x= 3，y= 代入可得， = 3k 3 3 1 解得k = ， 3 1 ∴y关于x的函数解析式是y= x， 3 1 故答案为：y= x. 3 （2）①解：设 y 与 x 之间的函数关系式为：y=k2x， 2 当x= 时，y=4， 5 2 4=k2 ， 5 解得：k =5，  y 与 x 之间的函数关系式为y=10x； 5 ②解：当x=− 时， 8  5 25 y=10− =− ；  8 4 ③解：当y=−12时，−12=10x， 6 解得：x=− 5 练习7：【学习框20】 （★★★☆☆）已知y+5与x成正比例，当x=1时，y=2 （1）求y与x的函数表达式； （2）当x=−1时，求函数值 y ； （3）当y=16时，求自变量 x 的值． 【常规讲解】 （1）解：∵y+5与 x 成正比例， ∴y+5=kx． ∴y=kx−5． ∵当x=1时，y=2， 13∴k−5=2． ∴k =7． ∴ y 与 x 的函数表达式为y=7x−5； （2）当x=−1时，y=7(−1)−5=−12； （3）当y=16时，7x−5=16． ∴x=3． 知识加油站 3——正比例函数的图像【建议时长：20分钟】 考点七：正比例函数作图 知识笔记6 正比例函数的图像 （1）一般地，正比例函数______________的图象是经过_____________这两点的一条直线， 我们把正比例函数 y=kx 的图象叫做直线 y=kx ； （2）图像画法：___________________________． 【填空答案】 （1）y=kx(k 是常数，k 0)； (0，0) ， (1，k) （2）列表、描点、连线 14例题8: 1 （★★★☆☆）在平面直角坐标系中画出函数 y = x的图象（先填写下表，再描点、连线） 2 x  −3 −2 −1 0 1 2 3 y  【常规讲解】 解：填表， x  −3 −2 −1 0 1 2 3 y  3 −1 1 0 1 1 3 − − 2 2 2 2 描点， 连线． 15练习8: 【学习框22】 （★★☆☆☆）如图所示的平面直角坐标系中作出一次函数 y=−2x 的图象． 思考：作一次函数 y=−2x 的图象，一般取几个点就可以了？为什么？ 【常规讲解】 解：如图所示： 作一次函数 y=−2x 的图象，取2个点就可以了，因为两点确定一条直线． 16知识加油站 4——正比例函数的性质【建议时长：30分钟】 考点八：正比例函数的性质 知识笔记7 正比例函数的性质 （1）___________，正比例函数的图像经过第________象限；自变量x的值逐渐增大时，y 的值也随着逐渐增大． （2）___________，正比例函数的图像经过第________象限；自变量x的值逐渐增大时，y 的值则随着逐渐减小． 【填空答案】 （1）当k 0时，一、三 （2）当k 0时，二、四 例题9: （1）（★★☆☆☆）正比例函数y =−2x的图象经过第_________象限． （2）（★★★☆☆）（2022•嘉定区月考）若函数 y=(4m−1)x+(m−4) 是正比例函数，那么图象 经过________象限． （3）（★★★☆☆） y=(−3)x 图像经过________象限，y的值随x的值增大而________． （4）（★★★☆☆）（2024•上海期中）下列函数中，y随x的增大而减小的是（ ） A．y=3x B．y=−3x C．y=3x2 D．y=−3x2 （5）（★★★☆☆）（2024•普陀二模）已知正比例函数y=kx(k是常数，k 0)的图象经过 点A(2,6) ，那么下列坐标所表示的点在这个正比例函数图象上的是( ) A． (−1,−3) B． (1,−3) C． (6,2) D． (6,−2) 【常规讲解】 （1）由题意，y＝-2x，可知函数过二、四象限． 故答案为：二、四． 17（2）解： 函数 y=(4m−1)x+(m−4) 是正比例函数， m−4=0，得m=4， y=15x ， 该函数经过第一、三象限， 故答案为：第一、三． （3）解：∵函数y=(−3)x中，比例系数−30， ∴图象经过第一、三象限，y的值随x的值增大而增大， 故答案为：第一、三；增大． （4）解：A、正比例函数y=3x的y随x的增大而增大，故A错误； B、正比例函数y=−3x的y随x的增大而减小，故B正确； C、二次函数y=3x2的对称轴为x=0，且开口向上，x0时，y随x的增大而减小，x0 时，y随x的增大而增大，故C错误； D、二次函数y=−3x2的对称轴为x=0，且开口向下，x0时，y随x的增大而增大，x0 时，y随x的增大而减小，故D错误； 故选：B． （5）解： 正比例函数y=kx(k是常数，k 0)的图象经过点A(2,6) ， 6=2k， 解得：k =3， 正比例函数解析式为y=3x； A．当x=−1时，y=3(−1)=−3， 点 (−1,−3) 在这个正比例函数图象上，选项A符合题意； B．当x=1时，y=31=3，3−3， 点 (1,−3) 不在这个正比例函数图象上，选项B不符合题意； C．当x=6时，y=36=18，182， 点 (6,2) 不在这个正比例函数图象上，选项C不符合题意； D．当x=6时，y=36=18，18−2， 点 (6,−2) 不在这个正比例函数图象上，选项D不符合题意． 故选：A． 18练习9: 【学习框24】 （1）（★★☆☆☆）若函数 y=5x 是正比例函数，它的图象在第______象限． （2）（★★★☆☆）已知正比例函数 y = kx 的图像经过点A(−4,3)，则函数图像经过______ 象限． （3）（★★★☆☆）（2021•静安区二模）如果正比例函数的图象经过第二、四象限，那么函数 值 y随 x的增大而_________． （4）（★★★☆☆）（2023•上海普陀·二模）已知正比例函数y=kx(k 0) 的图象经过点 (2，−4) ， 那么函数值 y 随自变量x的值的增大而_________．填“增大”或“减小”） （5）（★★★☆☆）若正比例函数y=mx(m0)的图象经过点A(2,−3)，则以下四个点中， 也在其图象上的是（ ） A．(−4,6) B．(6,−4) C．(4,6) D．(−6,−4) 【常规讲解】 （1）解： y =5x ， k =50， 函数图象经过第一、三象限， 故答案为：一、三． （2）解：将点A(−4,3) 代入y=kx中，得 3=−4k 3 解得：k =− 4 3 ∴正比例函数y=− x 4 3 ∵− ＜0 4 ∴函数图像经过第二、第四象限 故答案为：第二、第四． （3）解：正比例函数的图象经过第二、四象限，大致图象如图： 19x越大， y越小， 故答案为：减小． （4）解：首先把x=2，y=−4代入y=kx， 得2k =−4， ∴k =−20， 再根据正比例函数图象的性质，得 y 随x的增大而减小． 故答案为：减小． （5）解：把 (−2,3) 代入y=kx(k 0)， 3 解得：k =− ， 2 3 ∴正比例函数的解析式为y=− x， 2 当x=−4时，y=6，点(−4,6)也在其图象上， 当x=6时，y=−9−4，点(6,−4)不在其图象上， 当x=4时，y=−66，点(4,6)不在其图象上， 当x=−6时，y=9−4，点(−6,−4)不在其图象上， 故选：A． 例题10: 1 （1）（★★★☆☆）已知P(1,y )，P(2,y )在正比例函数y=− x的图象上，则y _____y ．（填 1 1 2 2 4 1 2 “”或“”或“=” ) ． （2）（★★★☆☆）点A(x,y ) 和点B(x ,y )在正比例函数y=4x的图象上，当x  x 时， 1 1 2 2 1 2 则y 与y 的大小关系是（ ） 1 2 A．y  y B．y  y C．y = y D．无法判断 1 2 1 2 1 2 20（3）（★★★☆☆）若点P(x,y ) ，Q(x ,y ) 在正比例函数 y=mx 的图象上，当x  x 时， 1 1 2 2 1 2 y  y ，则m的值可以是（ ） 1 2 A．2 B．0 C．−1 D．1 【常规讲解】 1 （1）解： k =− 0， 4 y随 x 的增大而减小． 又 12， y  y ． 1 2 故答案为：． （2）解： k 0， y随 x 的增大而增大， 当x  x 时，则y  y 1 2 1 2 （3）解：∵点P(x,y ) ，Q(x ,y ) 在正比例函数 y=mx 的图象上，当x  x 时，y  y ， 1 1 2 2 1 2 1 2 ∴m0， ∴m的值可以是−1， 故选：C． 练习10: 【学习框26】 （1）（★★★☆☆）正比例函数y =−6x的图像经过A(x,y ),B(x ,y ) ，且x  x ，则y _____ 1 1 2 2 1 2 1 y ．（填“”或“”或“=” ) ． 2 1 （2）（★★★☆☆）（2023•青浦期中）已知点A(−6,y ) 和B(−3,y ) 都在直线y=− x上，则 1 2 2 y 与y 的大小关系是（ ） 1 2 A．y  y B．y = y C．y  y D．无法确定 1 2 1 2 1 2 （3）（★★★☆☆）若函数y=kx的图象上有两点A(x,y ) 、B(x ,y ) ，当x  x 时， 1 1 2 2 1 2 y  y ，则k的值可以是（ ） 1 2 A．−2 B．0 C．1 D．2 21【常规讲解】 （1）根据题意可知−60，则y随x增大而减小， 且x  x ， 1 2 y  y 1 2 1 1 （2）解：y=− x，k =− 0 2 2 y 随x的增大而减小， 又∵−6−3， ∴y  y 1 2 故选：A． （3）解：∵正比例函数y=kx图象上有两点A(x,y ) 、B(x ,y ) ，当x  x 时，y  y ， 1 1 2 2 1 2 1 2 ∴y随x的增大而减小， ∴k 0， 结合选项只有−2在k 0的范围内． 故选：A． （3）解：根据图像可知，①与②经过一、三象限，③经过二、四象限， ∴a0，b0， c0 ， ∵②越靠近y轴，则ba， ∴大小关系为：bac； 故选择：C. 考点九：正比例函数的性质求参 例题11: （1）（★★★☆☆）已知正比例函数 y=(m+1)xm2−1的图象经过第二、四象限，则m的值为 ________． （2）（★★★☆☆）已知正比例函数y=(k−3)x的函数值 y 随 x 的增大而增大，则k 的取值 范围为______． 22y=(m−1)xm2−3 （3）（★★★☆☆）已知函数 是正比例函数． ①若函数关系式中 y 随 x 的增大而减小，求m的值； ②若函数的图象过第一、三象限，求m的值． 【常规讲解】 （1）解： y=(m+1)xm2−1为正比例函数， m2 −1=1，解得m= 2 ， 图象经过第二、四象限， m+10， m=− 2 ， 故答案为：− 2． （2）解：根据题意，正比例函数y=(k−3)x的函数值 y 随 x 的增大而增大， 则k−30， 解得k 3． 故答案为：k 3． （3）解： 函数y=(m−1)xm2−3是正比例函数， m−10  ， m2 −3=1 解得：m =−2，m =2． 1 2 ① 函数关系式中 y 随 x 的增大而减小， m−10， m1， m=−2． ② 函数的图象过第一、三象限， m−10， m1， m=2． 23练习11：【学习框28】 （1）（★★★☆☆）（2020•金山区期中）若函数y=(m+1)xm2−3是正比例函数，且图象在一、 三象限，则m=______． （2）（★★★☆☆）正比例函数y=(2m+1)x的图像经过第二、四象限，则 m 的取值范围是 ________． （3）（★★★☆☆）（2023•金山期中）已知正比例函数y=(m−1)x，且 y 随着 x 的增大而减 小． ①求m的取值范围； ②已知点P(m，6) 在该函数图象上，求出这个正比例函数解析式． 【常规讲解】 （1）解： y=(m+1)xm2−3为正比例函数， m2 −3=1，且m+10， 解得m=2， 图象在一、三象限， m+10， m−1， m=2， 故答案为：2． （2）解：∵正比例函数y=(2m+1)x的图象经过第二、第四象限， ∴2m+10， 1 ∴m− 2 1 故答案为：m− ． 2 （3）①解：∵正比例函数y=(m−1)x，且y随着x的增大而减小． ∴m−10， ∴m1， ∴m的取值范围：m1； 24②解：∵点P(m，6) 在该函数图象上， ∴6 =(m−1)m， 解得：m=3或m=−2， ∵m1， ∴m=−2， ∴正比例函数解析式：y=−3x． 考点十：正比例函数的综合应用 例题12: （★★★★☆）（2023•青浦期中）如图，在甲、乙两同学进行400米跑步比赛中，路程s （米）与时间t（秒）之间的函数关系的图象分别为折线OAB和线段OC，请根据图上信 息回答下列问题： （1）_________先到达终点； （2）第_________秒时，_________追上_________； （3）比赛全程中，_________的速度始终保特不变； （4）写出优胜者在比赛过程中所跑的路程s（米）与时间t（秒）之间的函数关系式及定 义域_________． （5）途中两人相遇时，距离终点_________米． 【常规讲解】 （1）由图象可知：乙先到达终点； 故答案为：乙； 25（2）由图象可知：甲一开始速度比较快，后面速度变慢，乙速度不变， 第40秒时，甲乙路程一样，即乙追上甲； 故答案为：40，乙，甲； （3）由图象可知：比赛全程中，乙的速度始终保持不变； 故答案为：乙； （4）乙的速度为：40050=8（米/秒）， S =8t(0t50)； 故答案为：S =8t(0t50) ； （5）第40秒时，甲乙相遇，此时乙走的路程为840=320（米）， 距离终点400−320=80（米）， 故答案为：80 练习12: 【学习框30】 （★★★★☆）（2022•黄浦期中）在创建文明城区的活动中，有两段长度相等的彩色道砖铺 y 设任务，分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工．如图是反映所铺设彩色道砖的长度 （米）与施工时间x（时）之间的关系的部分图象，请解答下列问题． （1）乙队在2 x6的时段内的速度是______米/时，当甲队铺了50米时，乙队铺了 ______米． （2）如果铺设的彩色道砖的总长度为150米，开挖6小时后，甲队，乙队均增加人手，提 高了工作效率，此后乙队平均每小时比甲队多铺5米，结果乙队反而比甲队提前1小时完 成总铺设任务．求提高工作效率后甲队、乙队每小时铺设的长度分别为多少米？ 【常规讲解】 （1）解：由图象可得， 乙队在2 x6的时段内的速度是：(50−30)(6−2)=5（米/时）； 甲队在0 x6的时段内的速度是：606=10（米/时）， 2650 当甲队铺了50米时，时间= =5（时）， 10 则乙队铺了30+5(5−2)=30+53=45（米）， 故答案为：5，45； （2）解：设提高工作效率后甲队每小时铺设的长度为x米，则乙队每小时铺设的长度为 (x+5) 米，根据题意得， 150−60 150−50 −1= ， x x+5 解得x =15，x =−30， 1 2 经检验，x =15，x =−30，均为原方程的解，但x =−30不合题意，舍去， 1 2 2 提高工作效率后甲队每小时铺设的长度为15米，乙队每小时铺设的长度为20米． 27全真战场 教师可以根据课堂节奏将“全真战场”作为课堂补．充．练习或课后补．充．练习让学生的完成 关卡一 练习1: （★★☆☆☆）若函数y=x+(1−m2)是正比例函数，则m的值是______． 【常规讲解】 解：依题意得：1−m2 =0． 解得m=1． 故答案是：1． 练习2: （★★☆☆☆）按如图所示的程序计算函数 y 的值，若输入的 x 值为−3，则输出 y 的结果为 ______． 【常规讲解】 解： −3−1， 把x=−3代入y=2x2，得 y=29=18 ， 故答案为：18． 练习3: （★★☆☆☆）画出 y=−3x 函数图象，并写出函数性质： 【常规讲解】 列表， 28， 函数图象如图2，由函数图象可知，函数图象经过第二四象限，在每一象限内， y 随 x 的增 大而减小． 练习4: （★★★☆☆）已知正比例函数 y=(m−1)x 的函数图象有两点A(x ， y )，B(x ，y )，当 1 1 2 2 x  x 时，有y  y ． 1 2 1 2 （1）求 m 的取值范围； （2）当 m 取最大整数时，画出该函数图象． 【常规讲解】 解：（1） 正比例函数 y=(m−1)x 的函数图象有两点A(x ，y )，B(x ，y )，当x x 时， 1 1 2 2 1 2 有y  y ， 1 2 m−10， m1， m的取值范围是m1； （2） m1， m取最大整数0， 所以解析式为 y=−x ， 图象如图所示： 关卡二 练习5: （★★★★☆）关于 x的新函数定义如下： 29（1）当x=0时， y =1: q 1 （2）当x= (p是正整数，q是整数， q0 ，且 p，q不含除1以外的公因数）时，y= ； p p （3）当 x为无理数时， y =0 ． 3 1 5 1 例：当x= 时， y = ；当x=− 时， y = ． 4 4 4 4 以下结论：①当x= 5时， y =0 ； ②若a、b是互不相等且不为0的有理数，当x=a时，函数值记为y ，当x=b时，函数值 1 记为y ，当x=ab时，函数值记为y ，则一定有y y = y : 2 3 1 2 3 1 ③若 y = ，则对应的自变量 x有且只有4种不同的取值； 3 1 ④若2022 x 2023，则满足y 的自变量 x的取值共有12个． 5 正确的个数有 ( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【常规讲解】 解：① 5 是无理数， 当x= 5时， y =0 ； 故①符合题意； ② a、b是互不相等且不为0的有理数， 7 1 设a= ，则y = ， 15 1 15 3 1 设b= ，则y = ， 7 1 7 1 1 x=ab= ，则y =  y y ， 5 3 5 1 2 故②不符合题意； 1 1 2 5 ③ y = 时，x= 或x= 或x= ， 3 3 3 3 故③不符合题意； 1 ④ y ， 5 x一定是有理数，且x0， 30p p 设x= ，则2022 2023， q q 2022q p 2023q， 1 y ， 5 p的可能取值为1，2，3，4，5， 当 p=1 时，q可以取2022，2023，共2个， 当 p =2 时，q可以取4045，共1个， 当 p =3 时，q可以取6067，6068，共2个， 当 p =4 时，q可以取8089，8091，共2个， p=5 当 时，q可以取10111，10112，10113，10114，共4个，  1 x y 的自变量 的取值共有11个， 5 故④不符合题意； 故选： A． 练习6: [x] x [2.3]=2 [3]=3 [−2.5]=−3 （★★★★☆）规定 表示不大于 的最大整数，例如 ， ， ．那 y=[x] ( ) 么函数 的图象为 A． B． C． D． 31【常规讲解】 y=[x]=0 解：由已知得：当0 x1时， ， y =[x]=1 当1 x2时， ， y=[x]=2 当2 x3时， ， y=[x]=−1 当−1 x0时， ， y=[x]=−2 当−2 x−1时， ，  由以上可得 A选项符合题意， 故选： A． 练习7: y=−2 （★★★★☆）已知y是x的正比例函数，且当x=6时， ． （1）求出这个函数的解析式； （2）在直角坐标平面内画出这个函数的图像； （3）如果点P（a，4）在这个函数的图像上，求a的值； (−6，2) （4）试问点A 关于原点对称的点B是否也在这个图像上？ 【常规讲解】 1 （1）设正比例函数解析式为 y=kx(k 0) ，当x=6时， y=−2 ，代入可得：k =− ． 3 1 所以这个函数的解析式为y=− x； 3 （2）图略； 1 （3）将（a，4）代入y=− x中，得：a=−12； 3 1 （4）易得点B坐标为 (6，−2) ，将x=6代入y=− x，得y=−2，所以点B也在这个函数的 3 图像上． 32