文档内容
06B 正比例函数
考情链接
1. 本次任务由四个部分构成
（1）函数的概念
（2）正比例函数的概念
（3）正比例函数的图像
（4）正比例函数的性质
2. 考情分析
（1）正比例函数是函数的部分，属于函数与分数板块，占中考考分值约20%。
（2）主要考察函数与正比例函数的概念，以选择题、填空题为主，正比例函数的图象与性
质以考察解答题为主。
（3）对应教材：八年级上册第十八章正反比例函数第一节。
（4）函数是描述变化过程中的数量关系的工具，我们本章将以研究数量问题为起点，以正
比例函数和反比例函数为载体，学习函数的初步知识．本节课的主要内容是对函数和正比例
函数的概念进行讲解，重点是函数及正比例的概念理解，难点是正比例函数的图象和性质。
1知识加油站 1——函数的概念
考点一：函数的定义
知识笔记1
函数的概念
（1） 在问题研究过程中，_________________叫做变量；________________叫做常量；
（2）在某个变化过程中有两个变量，设为x和y，如果在变量x允许的取值范围内，变量
y 随着x变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量 y 叫做___________，x叫
做_____________．函数用记号y= f(x)表示， f(a)表示___________时的函数值；
注：___________________________________________________.
（3）表示两个变量之间依赖关系的数学式子称为_______________．
例题1:
（1）圆周长C 与圆的半径r 之间的关系为C =2r ，其中变量是_________，常量是
_________．
（2）面积是S(cm2)的正方形地砖边长为a（cm），S 与a之间的函数关系式是__________，
其中自变量是_______．
练习1:
（1）在正方形的周长公式l =4a中，a是自变量，_______是________的函数，__________
是常量；
（2）在匀速运动中，若用 s 表示路程，v 表示速度，t 表示时间，那么式子s=vt，下列说
法中正确的是（ ）
A．s、v、t三个量都是变量 B．s与v是变量，t是常量
C．v与t是变量，s是常量 D．s与t是变量，v是常量
2例题2:
（1）（2022•青浦区东方中学期中）下列各图象中，不能表示y是x的函数的是( )
A． B． C． D．
（2）有下面四个关系式：①y=|x|；②| y|= x；③2x2 − y=0；④y= x(x 0)．其中y是
x的函数的是( )
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④
练习2:
（1）下列图象不能反映y是x的函数的是( )
A． B．
C． D．
（2）在式子①y 3x 1，②y=x2−1，③y= x，④y= x ，⑤ y = x 中， y 是x的函
数的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3考点二：函数定义域和函数值
知识笔记2
函数的定义域和值域
（1）___________________，叫做这个函数的_________．
（2）___________________，对应的函数值的全体叫做这个函数的_________．
例题3:
x
（1）（2022•崇明区二模）函数y= 中自变量x的取值范围是________．
3x+1
x
（2）已知函数y= ，当x= 2时，y=________．
x−1
（3）如图所示是关于变量x，y的程序计算，若开始输入的x值为4，则最后输出因变量y
的值为 ________．
练习3:
3
（1）在函数y= − x+1中，自变量x的取值范围是________．
x−2
（2）已知 f(x)=x2 +3x，那么 f(−2)=________．
（3）根据如图所示的程序计算函数 y 的值，若输入x的值是 8，则输出 y 的值是−3；若输
入x的值是−8，则输出 y 的值是________．
4知识加油站 2——正比例函数的概念
考点三：正比例函数概念
知识笔记3
正比例函数的概念
如果_________________________（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例，用
y
数学式子表示两个变量x、 y 成正比例，就是 =k ，或表示为___________，k是不等于零
x
的常数；
例题4:
（1）（2023•黄浦区期中）下列函数（其中x是自变量）中，一定是正比例函数的是( )
2 x
A．y= B．y=− C．y=−3x+2 D．y=kx
x 3
（2）（2023•金山期中）下列问题中，两个变量成正比例的是（ ）
A．一个人的体重和年龄 B．圆的周长和直径
C．车辆行驶的路程一定时，行驶的速度和时间 D．周长一定时，长方形的长和宽
练习4:
（1）在下列式子中，表示y是x的正比例函数的是( )
x 2
A．y= x B．y= x2 C．y= D．y=
2 x
（2）（2022•青浦期中）下面问题中，两个变量成正比例关系的是（ ）
A．等腰三角形的面积一定，它的底边和底边上的高
B．长方形的长确定，它的面积与宽
C．长方形的长确定，它的周长与宽
D．等边三角形的面积和它的长
5考点四：比例系数
知识笔记4
解析式形如________________________叫做正比例函数，其中常数k叫做比例系数．
正比例函数y=kx的定义域是___________．确定了比例系数，就可以确定一个正比例函数
的解析式.
例题5:
x
（1）已知正比例函数y= ，则y与x间的比例系数是________．
8
（2）下列函数中哪些是正比例函数？如果是,请指出比例系数？
−8
①y=−8x； ②y= ； ③y=5x2+6； ④y=−0.5x−1．
x
练习5:
3
（1）正比例函数y=− x的比例系数是（ ）
4
3 3
A．−3 B． C．− D．3
4 4
（2）下列式子中，哪些表示y是x的正比例函数？
x
①y=−0.1x； ②y= ； ③y=2x2； ④y2 =4x．
2
（3）下列那些函数是正比例函数？哪些不是？如果是，请指出比例系数
x
① y = ；
2
1
②y= ；
2x
③y= x+2；
④y = 2x.
6考点五：正比例函数成立条件
知识笔记5
正比例函数成立条件：
（1）_________；
（2）______________；
（3）_____________________.
例题6:
（1）如果函数y=(m+1)x+m2 −1是正比例函数．则m的值是_________．
（2）如果y=(a2 −1)xa2−a−1是正比例函数，那么a的值是_________．
练习6:
（1）如果函数y=(m− 2)xm2−1是正比例函数，那么m=_________．
（2）当a=_________．时，函数y=(a−1)x|a|是关于x的正比例函数．
（3）若y=(k−1)x2−|k| +k+1是关于 x的正比例函数，则k =_________．
7考点六：待定系数法求函数解析式
例题7：
3
（1）（2023•黄浦期中）已知 y 是x的正比例函数，且当x= 3时，y= ；那么 y 关于x的
3
函数解析式为_________．
2
（2）已知 y 与2x成正比例，并且x= 时，y=4．
5
①写出 y 与x之间的函数关系式；
5
②当x=− 时，求 y 的值；
8
③当y =−12时，求x的值．
练习7
已知y+5与x成正比例，当x=1时，y=2
（1）求y与x的函数表达式；
（2）当x=−1时，求函数值 y ；
（3）当y=16时，求自变量 x 的值．
8知识加油站 3——正比例函数的图像
考点七：正比例函数作图
知识笔记6
正比例函数的图像
（1）一般地，正比例函数______________的图象是经过_____________这两点的一条直线，
我们把正比例函数
y=kx
的图象叫做直线
y=kx
；
（2）图像画法：___________________________．
例题8:
1
在平面直角坐标系中画出函数y = x的图象（先填写下表，再描点、连线）
2
x −3 −2 −1 0 1 2 3
y
9练习8:
如图所示的平面直角坐标系中作出一次函数
y=−2x
的图象．
思考：作一次函数
y=−2x
的图象，一般取几个点就可以了？为什么？
10知识加油站 4——正比例函数的性质
考点八：正比例函数的性质
知识笔记7
正比例函数的性质
（1）___________，正比例函数的图像经过第________象限；自变量x的值逐渐增大时，y
的值也随着逐渐增大．
（2）___________，正比例函数的图像经过第________象限；自变量x的值逐渐增大时，y
的值则随着逐渐减小．
例题9:
（1）正比例函数y =−2x的图象经过第_________象限．
（2）（2022•嘉定区月考）若函数y=(4m−1)x+(m−4)是正比例函数，那么图象经过________
象限．
（3）y=(−3)x图像经过________象限，y的值随x的值增大而________．
（4）（2024•上海期中）下列函数中，y随x的增大而减小的是（ ）
A．y=3x B．y=−3x C．y=3x2 D．y=−3x2
（5）（2024•普陀二模）已知正比例函数y=kx(k是常数，k 0)的图象经过点A(2,6) ，那
么下列坐标所表示的点在这个正比例函数图象上的是( )
A． (−1,−3) B． (1,−3) C． (6,2) D． (6,−2)
练习9:
（1）若函数y=5x是正比例函数，它的图象在第______象限．
（2）已知正比例函数 y = kx 的图像经过点A(−4,3)，则函数图像经过______象限．
（3）（2021•静安区二模）如果正比例函数的图象经过第二、四象限，那么函数值 y随 x的
增大而_________．
11（4）（2023•上海普陀·二模）已知正比例函数y=kx(k 0)
的图象经过点
(2，−4)
，那么函数
值 y 随自变量x的值的增大而_________．填“增大”或“减小”）
（5）若正比例函数y=mx(m0)的图象经过点A(2,−3)，则以下四个点中，也在其图象上
的是（ ）
A．(−4,6) B．(6,−4) C．(4,6) D．(−6,−4)
例题10:
1
（1）已知P(1,y )，P(2,y )在正比例函数y=− x的图象上，则y _____y ．（填“”或“”
1 1 2 2 4 1 2
或“=” ) ．
（2）点A(x,y ) 和点B(x ,y )在正比例函数y=4x的图象上，当x x 时，则y 与y 的大
1 1 2 2 1 2 1 2
小关系是（ ）
A．y y B．y y C．y = y D．无法判断
1 2 1 2 1 2
（3）若点P(x,y ) ，Q(x ,y ) 在正比例函数 y=mx 的图象上，当x x 时，y y ，则
1 1 2 2 1 2 1 2
m的值可以是（ ）
A．2 B．0 C．−1 D．1
练习10:
（1）正比例函数y =−6x的图像经过A(x,y ),B(x ,y ) ，且x x ，则y _____y ．（填“”
1 1 2 2 1 2 1 2
或“”或“=” ) ．
1
（2）（2023•青浦期中）已知点A(−6,y ) 和B(−3,y ) 都在直线y=− x上，则y 与y 的大
1 2 2 1 2
小关系是（ ）
A．y y B．y = y C．y y D．无法确定
1 2 1 2 1 2
（3）若函数y=kx的图象上有两点A(x,y ) 、B(x ,y ) ，当x x 时，y y ，则k的值
1 1 2 2 1 2 1 2
可以是（ ）
A．−2 B．0 C．1 D．2
12考点九：正比例函数的性质求参
例题11:
（1）已知正比例函数y=(m+1)xm2−1的图象经过第二、四象限，则m的值为________．
（2）已知正比例函数y=(k−3)x的函数值 y 随 x 的增大而增大，则k 的取值范围为______．
y=(m−1)xm2−3
（3）已知函数 是正比例函数．
①若函数关系式中 y 随 x 的增大而减小，求m的值；
②若函数的图象过第一、三象限，求m的值．
练习11：
（1）（2020•金山区期中）若函数 y=(m+1)xm2−3是正比例函数，且图象在一、三象限，则
m=______．
（2）正比例函数y=(2m+1)x的图像经过第二、四象限，则m的取值范围是________．
（3）（2023•金山期中）已知正比例函数y=(m−1)x，且y随着x的增大而减小．
①求m的取值范围；
②已知点P(m，6)
在该函数图象上，求出这个正比例函数解析式．
13考点十：正比例函数的综合应用
例题12:
（2023•青浦期中）如图，在甲、乙两同学进行400米跑步比赛中，路程s（米）与时间t
（秒）之间的函数关系的图象分别为折线OAB和线段OC，请根据图上信息回答下列问
题：
（1）_________先到达终点；
（2）第_________秒时，_________追上_________；
（3）比赛全程中，_________的速度始终保特不变；
（4）写出优胜者在比赛过程中所跑的路程s（米）与时间t（秒）之间的函数关系式及定
义域_________．
（5）途中两人相遇时，距离终点_________米．
14练习12:
（2022•黄浦期中）在创建文明城区的活动中，有两段长度相等的彩色道砖铺设任务，分别
y
交给甲、乙两个施工队同时进行施工．如图是反映所铺设彩色道砖的长度 （米）与施工
时间x（时）之间的关系的部分图象，请解答下列问题．
（1）乙队在2 x6的时段内的速度是______米/时，当甲队铺了50米时，乙队铺了
______米．
（2）如果铺设的彩色道砖的总长度为150米，开挖6小时后，甲队，乙队均增加人手，提
高了工作效率，此后乙队平均每小时比甲队多铺5米，结果乙队反而比甲队提前1小时完
成总铺设任务．求提高工作效率后甲队、乙队每小时铺设的长度分别为多少米？
15全真战场
关卡一
练习1:
若函数y=x+(1−m2)是正比例函数，则m的值是______．
练习2:
按如图所示的程序计算函数 y 的值，若输入的 x 值为−3，则输出 y 的结果为______．
练习3:
画出
y=−3x
函数图象，并写出函数性质：
练习4:
已知正比例函数 y=(m−1)x 的函数图象有两点A(x ，y )，B(x ，y )，当x x 时，有y y ．
1 1 2 2 1 2 1 2
（1）求 m 的取值范围；
（2）当 m 取最大整数时，画出该函数图象．
16关卡二
练习5:
关于 x的新函数定义如下：
（1）当x=0时，y =1:
q 1
（2）当x= (p是正整数，q是整数，q0，且 p，q不含除1以外的公因数）时，y= ；
p p
（3）当 x为无理数时， y =0．
3 1 5 1
例：当x= 时， y = ；当x=− 时， y = ．
4 4 4 4
以下结论：①当x= 5时， y =0；
②若a、b是互不相等且不为0的有理数，当x=a时，函数值记为y ，当x=b时，函数值
1
记为y ，当x=ab时，函数值记为y ，则一定有y y = y :
2 3 1 2 3
1
③若 y = ，则对应的自变量 x有且只有4种不同的取值；
3
1
④若2022 x 2023，则满足y 的自变量 x的取值共有12个．
5
正确的个数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
17练习6:
规定[x]表示不大于 x的最大整数，例如[2.3]=2，[3]=3，[−2.5]=−3．那么函数y=[x]
的图象为( )
A． B．
C． D．
练习7:
已知y是x的正比例函数，且当x=6时， y=−2 ．
（1）求出这个函数的解析式；
（2）在直角坐标平面内画出这个函数的图像；
（3）如果点P（a，4）在这个函数的图像上，求a的值；
（4）试问点A(−6，2)
关于原点对称的点B是否也在这个图像上？
18
